L´ımites de funciones mon´ otonas (un tema del curso “An´ alisis real”)
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com
Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas
M´exico
4 de marzo de 2021
L´ımites de una funci´ on creciente en los extremos de un intervalo
0
a b
inf(V ) sup(V )
Proposici´on 1. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, f : (a, b) → R una funci´on creciente,
V := f [(a, b)].
Entonces
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = inf(V ), (1)
x →blim
x ∈(a,b)
f (x ) = sup(V ). (2)
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades,
puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞
sup(V )=3
inf(V )=1
(a, b) = (0, +∞)
f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞
sup(V )=3
inf(V )=1
(a, b) = (0, +∞)
f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞
sup(V )=3
inf(V )=1
(a, b) = (0, +∞)
f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞
sup(V )=3
inf(V )=1
(a, b) = (0, +∞)
f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
L´ımites de una funci´ on decreciente en los extremos de un intervalo
0
a b
inf(V ) sup(V )=+∞
Proposici´on 2. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, f : (a, b) → R una funci´on decreciente,
V := f [(a, b)].
Entonces
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = sup(V ), (3)
x →blim
x ∈(a,b)
f (x ) = inf(V ). (4)
Demostraci´ on para un caso
u+ε t
f (t)
0
a b
u=inf(V )
Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = u.
Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε. Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
u − ε < u ≤ f (x ) ≤ f (a + δ) = f (t) < u + ε.
Demostraci´ on para un caso
u+ε
t
f (t)
0
a b
u=inf(V )
Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = u.
Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V .
Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε. Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
u − ε < u ≤ f (x ) ≤ f (a + δ) = f (t) < u + ε.
Demostraci´ on para un caso
u+ε t
f (t) 0
a b
u=inf(V )
Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = u.
Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε.
Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
u − ε < u ≤ f (x ) ≤ f (a + δ) = f (t) < u + ε.
Demostraci´ on para un caso
u+ε t
f (t) 0
a b
u=inf(V )
Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = u.
Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε.
Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
u − ε < u ≤ f (x ) ≤ f (a + δ) = f (t) < u + ε.
Demostraci´ on para un caso
u+ε t
f (t) 0
a b
u=inf(V )
Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = u.
Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε.
Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
u − ε < u ≤ f (x ) ≤ f (a + δ) = f (t) < u + ε.
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V .
Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E .
Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Demostraci´ on para un caso m´ as
E
t
f (t)
a 0 b
sup(V )=+∞
Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞.
Demostremos que
x →alim
x ∈(a,b)
f (x ) = +∞.
Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a.
Para cada x en (a, a + δ),
f (x ) ≥ f (a + δ) = f (t) > E .
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 1. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A).
Explicar por qu´e existen los l´ımites
t→xlim
t>x
f (t), lim
t→xt<x
f (t).
Estos l´ımites se denotan por f (x+) y f (x−), respectivamente.
Ejercicio 2. En la situaci´on del ejercicio anterior, demostrar que
f (x−) ≤ f (x ) ≤ f (x+).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 1. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A).
Explicar por qu´e existen los l´ımites
t→xlim
t>x
f (t), lim
t→xt<x
f (t).
Estos l´ımites se denotan por f (x+) y f (x−), respectivamente.
Ejercicio 2. En la situaci´on del ejercicio anterior, demostrar que
f (x−) ≤ f (x ) ≤ f (x+).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 3. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x, y ∈ A, x < y . Demostrar que
f (x+) ≤ f (y−).
Sugerencia: puede servir un punto intermedio entre x , y .
Ejercicio 4. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, sean a < x1 < . . . < xn< b. Demuestre que
n
X
j=1
(f (xj+) − f (xj−)) ≤ f (b) − f (a).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 3. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x, y ∈ A, x < y . Demostrar que
f (x+) ≤ f (y−).
Sugerencia: puede servir un punto intermedio entre x , y .
Ejercicio 4. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, sean a < x1 < . . . < xn< b.
Demuestre que
n
X
j=1
(f (xj+) − f (xj−)) ≤ f (b) − f (a).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 5. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, y sea h > 0.
Consideremos el conjunto de los saltos de f de altura ≥ h:
Sh:= {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) ≥ h}.
Demuestre que Sh es finito.
Ejercicio 6. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Consideremos el conjunto de los saltos de f :
S := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) > 0}.
Demuestre que S es finito o numerable.
Ejercicios: discontinuidades de una funci´ on creciente
Ejercicio 5. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, y sea h > 0.
Consideremos el conjunto de los saltos de f de altura ≥ h:
Sh:= {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) ≥ h}.
Demuestre que Sh es finito.
Ejercicio 6. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente.
Consideremos el conjunto de los saltos de f :
S := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) > 0}.
Demuestre que S es finito o numerable.
