Espectro de un operador lineal
Objetivos. Definir el espectro de un operador lineal y mostrar que en el caso de dimensi´on finita el espectro coincide con el conjunto de los valores propios y tambi´en con el conjunto de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico.
Requisitos. Transformaciones lineales, operadores lineales, correspondencia entre trans- formaciones lineales y matrices, criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada, criterio de invertibilidad de un operador lineal, valores y vectores propios de un operador lineal, polinomio caracter´ıstico de un operador lineal.
Suponemos que V es un espacio vectorial sobre un campo F.
1. Valor propio y vector propio de un operador lineal (repaso). Sean T ∈ L(V ) y λ ∈ F. Se dice que λ es un valor propio de T si existe un vector u ∈ V \ {0V} tal que T u = λu. En esta situaci´on el vector u se denomina vector propio correspondiente al valor propio λ.
2. Notaci´on para ker(λI − T ) (repaso). Sean T ∈ L(V ) y λ ∈ F. Ponemos ST ,λ := ker(λI − T ) =u ∈ V : T u = λu .
3. Descripci´on de valores propios en t´erminos de la inyectividad de λI − T (repaso). Sean T ∈ L(V ) y λ ∈ F. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) λ es un valor propio de T . (b) ST ,λ 6= {0V}.
(c) el operador λI − T no es inyectivo.
4. Polinomio caracter´ıstico de un operador lineal (repaso). Sea T ∈ L(V ). En- tonces el polinomio caracter´ıstico de T se define como
CT(λ) := det(λI − T ).
5. Definici´on (espectro de un operador lineal). Sea V un espacio vectorial de di- mensi´on finita y sea T ∈ L(V ). El espectro de T denotado por sp(T ) se define como el conjunto de todos los escalares λ ∈ F tales que λI − T no es invertible:
sp(T ) :=λ ∈ F: λI − T no es invertible .
6. Valores propios y espectro de una matriz. Cualquier matriz A ∈ Mn(F) genera al operador lineal TA∈ L(Fn) mediante la regla TAx := Ax. Los valores propios, vectores propios y el espectro de A se definen como los valores propios, vectores propios y el espectro de la transformaci´on lineal TA. El polinomio caracter´ıstico del operador TA coincide con det(λIn− A).
Espectro de un operador lineal, p´agina 1 de 4
Para establecer un criterio de valor propio, necesitamos recordar el siguiente criterio de invertibilidad de una transformaci´on lineal.
7. Criterio de invertibilidad de una transformaci´on lineal (repaso). Sean V un espacio vectorial de dimensi´on finita n sobre un campo F, B una base de V , T ∈ L(V ).
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) T es invertible.
(b) T es inyectiva, esto es, ker(T ) = {0}.
(c) T es suprayectiva, esto es, im(T ) = V . (d) la matriz TB es invertible.
(e) det(T ) 6= 0, esto es, det(TB) 6= 0.
8. Teorema (criterio de valor propio). Sean V un espacio vectorial de dimensi´on finita n sobre un campo F, B una base de V , T ∈ L(V ), λ ∈ F. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) λ ∈ sp(T ), esto es, λI − T no es invertible.
(b) λ es un valor propio de T , esto es, la transformaci´on λI − T no es inyectiva.
(c) λI − T no es suprayectiva, esto es, r(λI − T ) < n.
(d) la matriz λIn− TB no es invertible.
(e) CT(λ) = 0, esto es, det(λIn− TB) = 0.
Demostraci´on. Aplicar el criterio de invertibilidad a la transformaci´on λI − T y cambiar cada una de las condiciones por su negaci´on.
9. Nota. Por el criterio, sp(T ) coincide con el conjunto de los valores propios de T y con el conjunto de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de T (se trata de las ra´ıces pertenecientes al mismo campo F).
10. Ejemplo. Calcular el polinomios caracter´ıstico, el espectro y los subespacios propios de la transformaci´on T ∈ L(C2) definida mediante su matriz en la base can´onica:
TE =
6 4
−1 1
.
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Soluci´on. Calculemos el polinomio caracter´ıstico de T :
CT(λ) = det(λI2− TE) = λ2− tr(TE)λ + det(TE) = λ2− 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5).
De all´ı concluimos que sp(T ) = {2, 5}. Calculemos los subespacios propios y vectores propios correspondientes a los valores propios 2 y 5.
λ = 2. Vamos a calcular el subespacio ST ,2 = ker(2I − T ) = ker(T − 2I). Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones lineales homog´eneas (TE − 2I2)x = 02
TE − 2I2 =
4 4
−1 −1
R1∗=
1 4
R2+= R1
−−−−−→ 1 1 0 0
. Subespacio propio correspondiente al valor propio 2:
ST ,2 = ker(2I − T ) =
x1
−x1
: x1 ∈ C
= `
1
−1
= `(e1− e2).
Una base del subespacio propio (consiste de un vector u1):
u1 = e1− e2.
Los vectores propios asociados al valor propio 2 son de la forma αu1, donde α ∈ C \ {0}.
Probemos que u1 es un vector propio asociado al valor propio 2:
T u1 =
6 4
−1 1
1
−1
=
2
−2
= 2u1. X
Ahora calculemos el subespacio propio asociado al valor propio 5. Transformemos la matriz TE − 5I2 en una matriz pseudoescalonada reducida:
TE − 5I2 =
1 4
−1 −4
R2+= R1
−−−−−→ 1 4 0 0
. Subespacio propio correspondiente al valor propio 5:
ST,5 = ker(5I − T ) = −4x2 x2
: x2 ∈ C
= ` −4 1
= `(−4e1+ e2).
Una base del subespacio propio:
u2 = −4e1+ e2. Comprobaci´on:
T u2 =
6 4
−1 1
−4 1
= −20 5
= 5u2. X
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11. Ejemplos. Calcule los valores y vectores propios de las siguientes matrices:
−7 −8
4 5
, −4 −6
3 5
.
12. Ejercicio. Calcule los valores propios de las matrices A y B = A>A, donde
A = α −β
β α
, B = A>A.
13. Ejercicio (espectro de la matriz transpuesta). Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que sp(A>) = sp(A).
14. Tarea adicional (invertibilidad de In − AB y In − BA). Sean A, B ∈ Mn(F) tales que In− AB es invertible. Demuestre que In− BA tambi´en es invertible, y
(In− BA)−1 = In+ B(In− AB)−1A.
15. Tarea adicional (espectro de BA es igual con el espectro de AB). Sean A, B ∈ Mn(F). Demuestre que
sp(AB) = sp(BA).
Primer m´etodo: considerar por separado los casos λ = 0 y λ 6= 0. En el caso λ 6= 0 usar el resultado de la tarea anterior sobre la invertibilidad de I − AB y I − BA. Segundo m´etodo: aplicar la definici´on de valor y vector propio.
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