Convergencia de series de vectores ortogonales

Convergencia de series de vectores ortogonales

Objetivos. Establecer el siguiente criterio de convergencia de series de vectores ortogo- nales en espacios de Hilbert: P

k∈Na_k converge si, y s´olo si, P

k∈Nka_kk² < +∞.

Prerrequisitos. Identidad de Pit´agoras en espacios con producto interno, definici´on de la convergencia de series, desigualdad de Schwarz.

1 Proposici´on (la identidad de Pit´agoras en espacios con producto interno, repaso).

Sean a, b vectores ortogonales en un espacio con producto interno H. Entonces ka + bk² = kak² + kbk².

2 Proposici´on (la identidad de Pit´agoras para una suma finita de vectores ortogonales, repaso). Sea a₁, . . . , a_m una lista ortogonal de vectores en un espacio con producto interno H. Entonces

m

X

k=1

a_k

2

=

m

X

k=1

ka_kk².

Demostraci´on. Inducci´on matem´atica sobre m. En el paso de inducci´on se usa la Propo- sici´on1.

3 Proposici´on (la identidad de Pit´agoras para una serie de vectores ortogonales). Sea (a_k)_k∈N una sucesi´on ortogonal en un espacio de Hilbert H. Supongamos que la serie P

k∈Na_k converge en H a un vector v. Entonces X

k∈N

ka_kk² = kvk². (1)

En particular, la serie num´erica en el lado izquierdo de (1) converge.

Demostraci´on. Para cada m en N, denotemos la suma P

k≤ma_k por b_m. De la ortogona- lidad de la sucesi´on original se sigue que si n > m, entonces b_n− b_m ⊥ b_m. Usamos este hecho y la desigualdad de Schwarz:

|hv − b_m, b_mi|² = |hv − b_n, b_mi + hb_n− b_m, b_mi|² = |hv − b_n, b_mi| ≤ kv − b_nk kb_mk.

Fijando m y pasando al l´ımite cuando n tiende a infinito, obtenemos que v − b_m ⊥ b_m. Por el teorema de Pit´agoras para sumas finitas de vectores ortogonales,

kvk² = kv − b_mk²+ kb_mk² = kv − b_mk²+X

k≤m

ka_kk².

Pasando al l´ımite cuando m tiende a infinito, obtenemos (1).

Convergencia de series de vectores ortogonales, p´agina 1 de 2

4 Proposici´on (criterio de la convergencia de una sucesi´on ortogonal en un espacio de Hilbert). Sea (a_k)_k∈N una sucesi´on ortogonal en un espacio de Hilbert H. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) la serie P

k∈Na_k converge en H;

(b) P

k∈Nka_kk² < +∞.

Demostraci´on. Por la Proposici´on3, (a) implica (b). Supongamos (b) y demostremos (a).

Sea ε > 0. Encontramos p en N tal que X

k≥p

ka_kk² < ε².

Para cada n en N definimos bn como P

k≤na_k. Sean m, n ∈ N, p ≤ m < n. Entonces b_n− b_m =

n

X

k=m+1

a_k.

Por la identidad de Pit´agoras, kb_n− b_mk² =

n

X

k=m+1

ka_kk² ≤X

k≥p

ka_kk² < ε²,

y kb_n− b_mk < ε. Hemos demostrado que la sucesi´on (b_n)_n∈N es de Cauchy.

Convergencia de series de vectores ortogonales, p´agina 2 de 2