VARIABLES ALEATORIAS. Ing. Mónica Hernández Adame

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VARIABLES ALEATORIAS

Ing. Mónica Hernández Adame

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Temario

VARIABLES ALEAORIAS

3.1Definición de variables aleatorias 3.2 Variables aleatorias discretas 3.3 Variables aleatorias continuas 3.4 Distribución de probabilidad 3.5 Función de probabilidad 3.6 Densidad de probabilidad

Unidad III

(3)

¿Qué es una variable?

Una variable es un símbolo que actúa en

las funciones, las fórmulas, los algoritmos

y las proposiciones de las matemáticas y

la estadística.

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CLASIFICACIÓN

Variables

Cualitativas

Nominal

Ordinaria

Cuantitativas

Discreta

Continua

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Variable cualitativa nominal

 Presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

 Por ejemplo, el estado civil de una persona:

• Soltero

• Casado

• Separado

• Divorciado

• Viudo

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Variable cualitativa ordinaria

 Presenta modalidades no numéricas en las que existe un orden.

 Por ejemplo:

• Los resultados de un examen: Sobresaliente, suficiente, regular, insuficiente.

• Lugar obtenido en una competencia: 1º. 2º. 3º.

• Medallas ganadas: Oro, plata, bronce.

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Variable cuantitativa discreta

 Es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

 Por ejemplo:

• Numero de libros en un estante, 9, 10, 15.

• Numero de mascotas en una casa: 1, 3, 5.

• Número de estudiantes en un salón: 20, 30, 40

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Variable cuantitativa continua

 Es aquella que solo puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

 Por ejemplo:

• El peso de los alumnos de un salón: 50.3, 55.2

• La altura de los edificios: 3.5, 4.8. 9.2

• El promedio de las calificaciones de un alumno 8.9, 9.4, 9.9

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 Peso de 5 amigos.

 Color de ojos de 10 amigos.

 Medalla de plata ganada en una competición deportiva.

 Comida Favorita.

 Participantes de una manifestación

Clasifica las siguientes variables

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Clasifica las siguientes variables

 Tiempo que se tarda en recorrer 1 Km.

 Lugar que ocupan 10 amigos en la cola del cine.

 Primer apellido de los habitantes de un pueblo.

 Profesión que te gusta.

 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

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Distribución de

probabilidad

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¿Qué es una variable aleatoria?

Cualquier característica medible que toma

diferentes valores con probabilidades determinadas Por ejemplo:



Lanzar un dado



Sacar un premio



La calificación de un examen

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¿Qué es?



Es una función que le da a cada uno de los sucesos que se definen sobre una variable aleatoria un valor que denota cuán probable es que tenga lugar el suceso que representa

Es decir, describe el comportamiento de la variable

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Elementos del espacio de probabilidad

1. Debe tener un espacio muestral, que reúne todos los resultados posibles del experimento, los cuales se conocen con el nombre de sucesos elementales

Para definir la distribución de probabilildad se deben tener

todos los elementos del espacio muestral

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Elementos del espacio de probabilidad

3. Una medida de probabilidad que determina la

probabilidad de que cada suceso tenga lugar.

2. Un grupo de todos los sucesos aleatorios.

Este componente y el

anterior se denomina

espacio de medida.

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Si la variable es discreta, su distribución de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno ocurra.

Si la variable es continua, la distribución de probabilidad permite determinar las

probabilidades

correspondientes a

subintervalos de valores.

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Ejemplo, vamos a lanzar un dado

(18)

Ejemplo, vamos a lanzar un dado

Tabl a de valo res

(19)

Ejemplo, vamos a lanzar un dado

Gráfic a

𝑓 𝑥 = 1

6

(20)

Ejemplo, vamos a lanzar un dado

Funci ón

𝑓 𝑥 = 1 6

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Condiciones para establecer las probabilidades

1. La probabilidad debe estar entre cero y uno 0 ≤ 𝑓 ≤ 1

2. Las suma de las pobabilidades asignadas debe ser 1.

Σ𝑓 𝑥 = 1

(22)

Determina si la siguiente función es una función de probabilidad para 𝑥 = 1,2,3,

x 1 2 3 𝚺

𝐹(𝑥) 3/20 6/20 11/20 20/20=1

𝑓 𝑥 = 𝑥² + 2 20

𝑓 1 = (1)²+2

20 = 3

20 = 0.15 𝑓 2 = (2)²+2

20 = 6

20 = 0.3 𝑓 3 = (3)²+2

20 = 11

20 = 0.55

(23)

Determina si la siguiente función es una función de probabilidad para 𝑥 = 1,2,3,

x 1 2 3 𝚺

𝐹(𝑥) 3/20 6/20 11/20 20/20=1

𝑓 𝑥 = 𝑥² + 2 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3

F(X)

X

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Ejercicio

Una moneda tiene 2 lados, cara o cruz, encuentre la función de probabilidad en forma de tabla de la variable aleatoria “x” que es el número de las veces que cae cruz al

lanzar la moneda 2 veces

S x

0 1 2

X f

1/4 2/4 1/4

x 0 1 2 𝚺

𝐹(𝑥) 1/4 2/4 1/4 4/4 = 1

(25)

Ejercicio

x 0 1 2 𝚺

𝐹(𝑥) 1/4 2/4 1/4 4 / 4 = 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 1 2

F(X)

X

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Ejercicio

Una moneda tiene 2 lados, cara o cruz, encuentre la función de probabilidad en forma de tabla de la variable aleatoria “x”

que es el número de veces que sale “cara”

al lanzar la moneda 3 veces

(27)

Cara

Cruz

Cara

Cruz

Cara

Cruz

Cara Cruz Cara Cruz Cara Cruz Cara Cruz

3

2

1

0

1/8

3/8

1/8

S x

X f

(28)

Ejercicio

x 0 1 2 3 𝚺

𝐹(𝑥) 1/8 3/8 3/8 1/8 8/8 = 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0 1 2 3

PROBABILIDAD F(X)

EVENTO “X”

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Densidad de probabilidad

Nos permite determinar la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome

algún valor en un intervalo de valores, en

un número incontable de valores

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Características

𝒂 𝒃

𝒇(𝒙)

𝑷 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 =

𝒂 𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Propiedades

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥

2.

_−∞^∞

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏

3.

_𝒂^𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)

(31)

Ejemplo:

El tamaño de un fruto corresponde a una variable aleatoria con una función de densidad (la medida está en cm):

𝑓 𝑥 =

0, 𝑥 < 2

𝑥 16 , 2 ≤ 𝑥 < 6 0, 𝑥 > 6

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0

2.

_𝟐^{𝟔 𝒙}

𝟏𝟔

𝒅𝒙 =

^𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟔

𝒙 𝒅𝒙 =

^𝟏

𝟏𝟔 𝒙^𝟐

𝟐 𝟐 𝟔

=

𝒙^𝟐 𝟑𝟐 𝟐

𝟔

= 𝟔^𝟐

𝟑𝟐 − 𝟐^𝟐

𝟑𝟐 = 𝟑𝟐

𝟑𝟐 = 𝟏

(32)

¿Cuál es la probabilidad de que un fruto seleccionado al azar mida entre 4 y 5 cm?

3.

_𝟒^{𝟓 𝒙}

𝟏𝟔

𝒅𝒙 =

^𝒙^𝟐

𝟑𝟐 𝟒 𝟓

= 𝟓^𝟐

𝟑𝟐 − 𝟒^𝟐

𝟑𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔

𝟑𝟐 = 𝟗

𝟑𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓

La probabilidad es de 28.12%

(33)

La variable aleatoria “x” tiene la siguiente función de densidad de probabilildad

𝑓(𝑥) = 1

4 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 0, 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟:

1) 𝑃 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 2) 𝑃 𝑥 = 1 3) 𝑃 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 4) 𝑃(𝑥 = 4)

1) 𝑃 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 = 1

3 1

4 𝑑𝑥 = ¹

4 𝑥

1

3 = ³

4 − ¹

4 = ²

4 = ¹

2 = 50%

2) 𝑃 𝑥 = 1 = ¹

4 = 25%

3) 𝑃 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 = 1

2 1

4 𝑑𝑥 = ¹

4 𝑥

1

2 = ²

4 − ¹

4 = ¹

4 = 25%

2) 𝑃 𝑥 = 4 = ¹

4 = 25%

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Media, varianza y desviación estándar

Media o valor esperado

𝜇 = 𝐸 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Varianza

𝜎² = 𝑉 𝑋 =

−∞

∞

𝑥 − 𝜇 ² ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

−∞

∞

𝑥² 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 − 𝜇²

Desviación estándar

𝜎 = 𝜎²

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