1. Escriba cada una de las siguientes relaciones como un conjunto de pares ordenados.

MATEMATICA DISCRETA Segundo cuatrimestre - A~ no 2016

Practico 4 RELACIONES

1. Escriba cada una de las siguientes relaciones como un conjunto de pares ordenados.

a)

8840 M artillo 9921 T enaza 452 P intura 2207 Alf ombra

b)

3 1 4 1

c) xRy si x

y para x; y 2 X = f1; 2; 3; 4g

2. Escriba cada una de las siguientes relaciones en forma de tabla.

a) R = f(a; 6) ; (b; 2) ; (a; 1) ; (c; 1)g

b) R = f(Rogelio; Musica) ; (P atricia; Historia) ; (Benjam{n; Matematicas)g c) xRy si x

y para x; y 2 X = f1; 2; 3; 4g

3. Indique cuales de las relaciones dadas en los ejercicios 1 y 2 son funciones.

4. En cada caso, dibuje la digra ca de la relacion dada.

a) R = f(a; a) ; (b; b)g sobre fa; b; cg

b) R = f(1; 2) ; (2; 1) ; (3; 3) ; (1; 1) ; (2; 2)g sobre f1; 2; 3g c) R = f(1; 2) ; (2; 3) ; (3; 4) ; (4; 1)g sobre f1; 2; 3; 4g

5. En cada caso, escriba la relacion representada por la digra ca dada como un conjunto de pares ordenados.

a) b) c)

6. En cada caso, considere la relacion R en el conjunto f1; 2; 3; 4; 5g de nida por la regla que se indica y resuelva los tems (i)-(viii).

a) (x; y) 2 R si x + y 6.

b) (x; y) 2 R si x = y 1.

(i) Liste los elementos de R.

(ii) Liste los elementos de R

. (iii) Encuentre el dominio de R.

(iv) Encuentre el rango de R.

(v) Encuentre el dominio de R

. (vi) Encuentre el rango de R

.

(vii) >Es R re exiva, simetrica, antisimetrica y/o transitiva?

(viii) >Es R un orden parcial ? En caso a rmativo, >es R un orden total ?

7. En cada caso, determine si la relacion R de nida en N por la regla que se indica es re exiva, simetrica, antisimetrica, transitiva y/o un orden parcial.

a) (x; y) 2 R si x = y

. b) (x; y) 2 R si x > y.

c) (x; y) 2 R si 3 divide a x y.

d) (x; y) 2 R si 3 divide a x + 2y.

8. Sea X un conjunto no vac o. De na la relacion R en P (X) por la regla (A; B) 2 R si A B.

>Es esta relacion re exiva, simetrica, antisimetrica, transitiva y/o un orden parcial ? 9. Suponga que R

es una relacion de orden parcial sobre X

para i = 1; 2. De na la

relacion R en X

X

por la regla

(x

; x

) R (x

; x

) si x

R

x

y x

R

x

. Demuestre que R es de orden parcial en X

X

.

10. En cada caso, proporcione un ejemplo de relacion en f1; 2; 3; 4g que tenga las propiedades especi cadas.

a) Re exiva, simetrica y no transitiva.

b) Re exiva, no simetrica y no transitiva.

c) Re exiva, antisimetrica y no transitiva.

11. Sean R

y R

las relaciones en f1; 2; 3; 4g dadas por R

= f(1; 1) ; (1; 2) ; (3; 4) ; (4; 2)g R

= f(1; 1) ; (2; 1) ; (3; 1) ; (4; 4) ; (2; 2)g Liste los elementos de R

R

y R

R

.

12. Sean R y S relaciones sobre X. Para cada una de las siguientes a rmaciones, determine si es verdadera (V) o falsa (F). Si la a rmacion es verdadera, demuestrela; de otra manera, de un contraejemplo.

a) Si R y S son transitivas, R [ S es transitiva.

b) Si R y S son re exivas, R \ S es re exiva.

c) Si R y S son simetricas, R S es simetrica.

d) Si R es antisimetrica, R

es antisimetrica.

13. >Que esta equivocado en el siguiente argumento que, se supone, demuestra que cualquier relacion R sobre X que es simetrica y transitiva es re exiva?

Sea x 2 X. Usando la simetr a, se tiene que (x; y) e (y; x) estan ambos en R.

Luego, como (x; y) ; (y; x) 2 R, por la transitividad, se tiene que (x; x) 2 R.

Por lo tanto, R es re exiva.

14. En cada caso, determine si la relacion indicada es una relacion de equivalencia en el conjunto de todas las personas.

a) f(x; y) j x e y son de la misma alturag b) f(x; y) j x es mas alto que yg

c) f(x; y) j x e y en algun momento han vivido en el mismo pa sg d) f(x; y) j x e y tienen el mismo nombreg

15. En cada caso, determine si la relacion indicada es una relacion de equivalencia en el conjunto f1; 2; 3; 4; 5g. Si lo es, liste las clases de equivalencia.

a) f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4) ; (5; 5) ; (1; 3) ; (3; 1)g b) f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4)g

c) f(x; y) j 1 x 5 y 1 y 5 g d) f(x; y) j x divide a 2 y g

16. En cada caso, escriba como un conjunto de pares ordenados la relacion de equivalencia en f1; 2; 3; 4g generada (como en el teorema 3.2.1) por la particion dada. Ademas, encuentre las clases de equivalencia [1], [2], [3] y [4].

a) ff1; 2g ; f3; 4gg b) ff1; 2; 3g ; f4gg

c) ff1g ; f2g ; f3g ; f4gg d) ff1; 2; 3; 4gg

17. Sea R una relacion de equivalencia en un conjunto X. En cada caso, describa a R como un conjunto de pares ordenados suponiendo que cumple la propiedad indicada.

a) X tiene una sola clase de equivalencia generada por R.

b) jXj = jRj

18. Demuestre que si R es una relacion de equivalencia sobre un conjunto X, entonces dominio (R) = rango (R) = X.

19. >Cuantas relaciones de equivalencia hay en el conjunto f1; 2; 3g?

20. Sea X = f1; 2; 3g. Sea R la relacion sobre X X de nida por

(a; b) R (c; d) si ad = bc.

a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia sobre X X.

b) Liste un elemento (representante) de cada clase de equivalencia en X X.

c) Describa la relacion R en terminos \familiares".

21. Sea f una funcion de X a Y . Sea R la relacion sobre X de nida por xRy si f (x) = f (y) .

Demuestre que R es una relacion de equivalencia sobre X.

22. Sea f una funcion caracter stica en X (de algun conjunto Y X). Sea R la relacion sobre X de nida por

xRy si f (x) = f (y) .

De acuerdo con el ejercicio anterior, R es una relacion de equivalencia. >Cuales son las clases de equivalencia?

23. Sea f una funcion de X a Y . Sea

S = f

( fyg) j y 2 Y . a) Demuestre que S es una particion de X.

b) Describa una relacion de equivalencia que de lugar a esta particion.

24. Si X e Y son conjuntos, se de ne que X es equivalente a Y si existe una funcion biyectiva de X a Y .

a) Demuestre que la equivalencia de conjuntos es una relacion de equivalencia.

b) Si X e Y son conjuntos nitos y X es equivalente a Y , >que indica acerca de X e Y ?

c) Demuestre que los conjuntos f1; 2; 3; :::g y f2; 3; 4; :::g son equivalentes.