4. CREACIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
4. CREACIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
En este apartado se expone con detalle el procedimiento seguido para la realización del modelo del ensayo de fragmentación de fibra única mediante el Método de los Elementos Finitos.
Ya se ha mencionado en la definición de los objetivos de este proyecto, que para el análisis numérico de la propagación de grietas se va a emplear un modelo de fisuración cohesiva, empleando elementos cohesivos.
A continuación se describe el proceso seguido para la construcción de dicho modelo, explicando con detalle todas las características más importantes del mismo, así como los pasos seguidos para su elaboración.
4.1. SOFTWARE
Para la simulación del ensayo de fragmentación del modelo se han usado varios paquetes comerciales que implementan el Método de los Elementos Finitos para el análisis de problemas mecánicos.
Para la resolución del modelo se ha usado el paquete comercial ABAQUS.
Dicho paquete incluye desde su versión 6.5 entre sus funciones los elementos cohesivos necesarios para el modelado de la superficie de propagación de la grieta de despegue mediante el modelo de fisuración cohesiva que se utiliza en este proyecto.
Los elementos cohesivos (ABAQUS Inc., 2006) se han diseñado específicamente para el modelado del comportamiento de juntas, adhesivos e interfases de materiales compuestos, además de otras situaciones en las que sean de relevancia la integridad y resistencia de las interfases entre diferentes materiales y en modelos de fisuración cohesiva.
En general el objetivo fundamental de los cohesivos se resume en describir de manera simple y realista el proceso de fisuración, en general de tipo no lineal, que se produce en un sólido.
Por tanto los cohesivos pueden ser utilizados en zonas de los modelos de elementos finitos en las que se espera la propagación de una fisura, sin ser necesaria una fisura inicial para comenzar dicha propagación, de ahí el interés en la utilización de dichos elemento en el modelo realizado del ensayo de fragmentación de fibra única.
En realidad, la localización del punto de inicio de propagación, así como las características de la evolución de la fisura son determinadas como parte de la solución del modelo.
La propagación de la fisura está restringida a la zona modelada con elementos cohesivos, impidiéndose su propagación a lo largo de las zonas adyacentes.
Para la construcción de la geometría del modelo, le definición de las condiciones de contorno, los materiales que componen la probeta y las cargas que actúan en el
ensayo durante toda la historia del mismo, se ha utilizado el paquete MSC Patran 2007 r2.
Sin embargo, dicho paquete no incluye entre sus funciones los elementos cohesivos, por tanto, los elementos cohesivos se han introducido directamente en el fichero de ABAQUS, así como la definición del contacto existente entre las caras de la grieta de despegue a medida que ésta progresa por la interfase entre la fibra y la matriz.
La resolución del modelo ya totalmente definido con la inclusión de los cohesivos se ha llevado a cabo igualmente con las versiones 6.61 y 6.82 de ABAQUS, que proporcionan los archivos de salida requeridos con el fin de extraer los resultados necesarios para el estudio detallado de todo el proceso de ensayo simulado.
De la misma manera, para todo el postproceso de los resultados referidos se ha utilizado el programa ABAQUS Viewer, del que se extraen los resultados que se muestran en el desarrollo de esta memoria y de los que se extraerán las conclusiones detalladas más adelante.
En la Figura 31 se muestra un esquema resumen de la utilización de estos programas comerciales durante el proceso de construcción y resolución del modelo y de la extracción de resultados del análisis realizado.
4.2 HIPÓTESIS
Atendiendo a las características del ensayo previamente descrito, para la simulación del mismo y la construcción del modelo de Elementos Finitos, se han aceptado como válidas algunas hipótesis, las cuales se relatan a continuación.
El problema en estudio presenta simetría de revolución, tanto de la geometría de la probeta como de las cargas aplicadas a la misma, alrededor del eje de la fibra. Por tanto se trata de un problema axisimétrico, con lo que para obtener la solución del problema, bastará con modelar una sección radial de la probeta.
Se admite que se obtendrá una solución repetitiva en el entorno de cada rotura en la fibra y simétrica respecto al plano en que esta rotura se produce.
Además se supone que los fragmentos en que queda dividida la fibra tras el proceso de fragmentación son lo suficientemente largos como para que no haya interacción entre las grietas de despegue que puedan iniciarse en ambos extremos de los fragmentos.
Teniendo en cuenta las hipótesis referidas hasta ahora, se puede simplificar la geometría en estudio, reduciéndola al análisis del estado tensional y la propagación de la fisura en la fracción de la probeta que corresponde a la mitad de uno de los fragmentos en que queda dividida la fibra
Los materiales que intervienen, es decir, aquellos que constituyen tanto la fibra como la matriz, tienen un comportamiento isótropo elástico lineal.
La interfase entre la fibra y la matriz se modela con elementos cohesivos, lo que constituye la característica más importante del estudio realizado, dado que éste utiliza un modelo de fisuración cohesiva para analizar la propagación de la grieta de despegue que avanza por la interfase.
Una vez que aparece la grieta de despegue, hay que considerar el contacto entre las caras de la misma.
En modelo emplea una formulación en grandes desplazamientos.
De esta forma, el modelo general estudiado para la simulación del ensayo, teniendo en cuenta todas las hipótesis aceptadas y la las características del ensayo es el que se muestra en la Figura 32.
Fig. 32. Configuración general del Modelo de Elementos Finitos
4.3 GEOMETRÍA
Hay que tener en cuenta que las dimensiones del modelo realizado para la simulación del ensayo son completamente diferentes a las mostradas en el esquema de la Figura 32.
Atendiendo a las longitudes típicas de las probetas utilizadas en este tipo de ensayos, se han elegido para este modelo las dimensiones que se describen a continuación.
Radio de la fibra (rf): rf = 5 µm Radio de la probeta (rm): rm= 1000 µm Semi-longitud del fragmento (Lf): Lf= 400 µm
De esta manera, en la Figura 33, se muestra un esquema general de la geometría en estudio, en la que pueden verse las proporciones reales entre los tamaños de la zona de la fibra y la zona de la matriz que componen la geometría del modelo analizado.
Fig. 33. Geometría y dimensiones del Modelo de Elementos Finitos
4.4 MATERIALES
Los materiales elegidos para la constitución de la probeta del ensayo de fragmentación de fibra única son una Fibra de Vidrio-E y una matriz polimérica Epoxy que la rodea.
En cuanto al comportamiento de los materiales que constituyen la probeta, se acepta la hipótesis ya mencionada de que ambos presentan comportamiento isótropo elástico lineal.
Las propiedades elásticas consideradas para los dos materiales constituyentes son las mostradas en la Tabla 2.
Módulo de Young, E
Coeficiente de Poisson, ν
Coeficiente de Expansión Térmica, α Fibra de Vidrio-E 70.000 MPa 0.2 7 E-6 K-1
Matriz Epoxy 3.500 MPa 0.3 50 E-6 K-1
Tabla 2. Propiedades de la fibra y la matriz empleadas en el modelo. París et al.
(2006)
4.5 CONDICIONES DE CONTORNO
Atendiendo a las hipótesis consideradas, las condiciones de contorno que se incluyen en la creación del modelo, a fin de simular todo la historia de carga seguida por la probeta desde su fabricación hasta el proceso de ensayo, se componen de los cuatro pasos que se describen a continuación.
PASO 1
En este paso se simula la compresión sufrida por el sólido, tras la solidificación en el proceso de curado de la probeta a 105 ºC, hasta la temperatura ambiente (25ºC).
Para ello se introduce una variación de temperatura negativa ∆To = - 80º C y una contracción del sólido equivalente a una deformación del -0.4% (∆ε= -0.004), que en desplazamientos equivale a un valor de u1 = ∆ε Lf = -1.5998 µm, dato que resulta de despreciar la contribución de la fibra en el acortamiento de la probeta. La Figura 34 muestra una representación de este paso de carga.
Fig.34. Paso 1 de carga
PASO 2
En este paso de carga se inicia el proceso de tracción, llegando hasta un alargamiento medio del 1% (∆ε=0.01), respecto al comienzo del ensayo, lo que en términos de desplazamiento equivale a un valor de u2 = u1 + ∆ε Lf = 2.4008 µm.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente durante todo el ensayo.
1
En la la Figura 35 muestra una representación de las condiciones de contorno correspondientes a esta paso de carga.
Fig.35. Paso 2 de carga PASO 3
Este paso de carga simula el proceso de rotura de la fibra, por tanto, cambia la condición uz = 0 por σzz = 0 en el plano de rotura.
El desplazamiento impuesto en la cara superior no varía respecto al paso de carga anterior.
ABAQUS trata esta condición de contorno aplicando linealmente unas cargas en dicha zona opuestas a las que se obtuvieron como resultado al final del paso anterior.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente.
La Figura 36 muestra una representación de este paso de carga.
2
Fig.36. Paso 3 de carga
PASO 4
En este último paso se continúa el proceso de tracción hasta alcanzar un alargamiento medio del 3% (∆ε=0.03), respecto al comienzo del ensayo, lo que en términos de desplazamientos equivale a un valor de u3 = u2 + ∆ε Lf = 18.4 µm.
La probeta se mantiene a temperatura ambiente.
La Figura 37 muestra la representación de las condiciones introducidas en este paso de carga.
2
Fig. 38. Paso 4 de carga
3
4.6 MALLADO
Para la discretización del modelo se ha empleado una malla constituida por elementos axisimétricos de 4 nodos, dadas las condiciones de simetría respecto al eje de la fibra del problema.
Dicha malla se ha construido de forma que en la zona de interés del problema, es decir, aquella en que se produce la rotura en la fibra y el inicio de la propagación de la grieta de despegue, los elementos que forman la misma sean elementos de forma regular y del mismo tamaño. De esta forma, se ha mallado esta zona con elementos cuadrados de dimensiones 0.5 x 0.5 µm. Uno de estos elementos axisimétricos cuadrados se muestra en la se representa en la Figura 39.
Fig.39. Elemento axisimétrico cuadrado utilizado en la zona crítica.
En las zonas alejadas de la zona crítica mencionada, se ha permitido que los elementos sean de mayor tamaño, debido a que la solución del problema en estas zonas en más uniforme, disminuyendo de esta forma los recursos necesarios para el análisis del problema.
En la Figura 40 se muestra el aspecto de la malla completa resultante de la discretización.
En lo que sigue se denomina a esta discretización como Malla A, ya que posteriormente se desarrollan algunas discusiones acerca del refino de dicho mallado y se mostraran otras mallas desarrolladas que se mostraran con otras denominaciones.
Además, en la Figura 41, se muestra una vista con más detalle de la zona crítica del modelo, mostrando los elementos cuadrados que forman la malla en la zona en que se produce la rotura de la fibra y el comienzo de la propagación de la grieta de despegue.
Fig.40. Aspecto general de la Malla A completa.
Fig.41. Malla A. Detalle de la zona en que se produce la rotura de la fibra y la propagación de la grieta de despegue.
4.7 ELEMENTOS COHESIVOS
El modelado con elementos cohesivos consiste principalmente en desarrollar los puntos que se señalan a continuación.
1- La elección del tipo de elemento cohesivo adecuado para su utilización en el problema en estudio.
2- Incluir los elementos cohesivos en un modelo de elementos finitos, conectándolos adecuadamente con el resto de componentes que conforman el modelo.
3- Definir la geometría inicial de los elementos cohesivos incluidos en el modelo.
4- Definir el comportamiento mecánico constitutivo de los cohesivos.
4.7.1 Elección del tipo de elementos cohesivos
ABAQUS incluye en su librería los siguientes tipos de elementos cohesivos:
- Elementos para análisis en dos dimensiones.
- Elementos para análisis en tres dimensiones.
- Elementos para análisis axisimétricos.
La nomenclatura utilizada por el programa para definir el tipo de elemento que se incluye se hace según se muestra en la Figura 42.
Fig.42. Nomenclatura utilizada en ABAQUS para los elementos cohesivos.
Atendiendo a la condición de axisimetría del problema en estudio, el tipo de cohesivo seleccionado para modelar la interfase fibra-matriz debe ser del tipo axisimétrico, seleccionando además que el número de nodos del mismo sea igual a 4. La nomenclatura de los elementos cohesivos empleados es por tanto: COHAX4.
De esta forma, la disposición del tipo de elemento cohesivo seleccionado se muestra en la Figura 43.
Fig.43. Elementos cohesivos axisimétricos de 4 nodos 4.7.2 Inclusión de los elementos cohesivos en el modelo
El siguiente paso, una vez elegido el tipo de cohesivos que se van a utilizar, es incluir los elementos cohesivos en el modelo de elementos finitos, conectándolos adecuadamente con el resto de componentes que conforman el modelo, es decir, discretizar la zona cohesiva de dicho modelo.
La zona cohesiva debe ser discretizada con una sola capa de elementos cohesivos, una fila en el modelo que aquí se trata.
En la inclusión de los elementos cohesivos en el modelo se han conectado ambas caras de la capa (fila en este caso) de cohesivos a los componentes adyacentes.
En caso de que los elementos cohesivos y los elementos de las zonas adyacentes tengan correspondencia entre sus nodos, cosa que se cumple en este modelo, es inmediato realizar la conexión de forma simple, en la que los cohesivos comparten los nodos con los del mallado de las zonas contiguas, tal y como se muestra en la Figura 44.
4.7.3. Definición de la geometría inicial de los elementos cohesivos
La definición de la geometría inicial de los elementos cohesivos se ha realizado directamente a partir de la conectividad entre los nodos que lo componen y la posición de dichos nodos.
Es decir, la definición del elemento cohesivo se hace especificando el número del elemento y todos los nodos que lo definen.
Resaltar que en el modelo realizado el espesor de la zona cohesiva es nulo, por tanto las posiciones de los nodos de los elementos cohesivos coinciden dos a dos en cada elemento, tal como se muestra en la Figura 45.
Fig.45. Elementos cohesivos con espesor nulo
De esta forma, el aspecto de la zona cohesiva con elementos de espesor nulo es la que se observa en la Figura 46.
Fig 46. Aspecto de la malla tras la introducción de los elementos cohesivos con espesor nulo.
4.7.4. Definición del comportamiento mecánico constitutivo de los elementos cohesivos
Si la zona cohesiva es muy fina tal que a efectos prácticos puede ser considerada de espesor nulo, o directamente es realmente de espesor nulo como es el caso del estudio tratado, las respuesta de los cohesivos suele ser especificada directamente en términos de tracción frente a separación en la interfase.
De esta manera, en la definición de los cohesivos se incluye la orden:
*COHESIVE SECTION, RESPONSE=TRACTION SEPARATION
Por tanto, para estas situaciones, las propiedades macroscópicas del material en la zona cohesiva dejan de tener relevancia directa y el análisis debe referirse a conceptos derivados de la mecánica de la fractura tales como la energía necesaria para la creación de nuevas superficies.
Los elementos cohesivos modelan la carga inicial, el comienzo del daño y la propagación del mismo, que precede a un eventual fallo de la interfase. De esta forma, aparecen dos zonas diferenciadas en el comportamiento mecánico de los elementos cohesivos, tal como se puede observar en la Figura 47.
Fig.47. Respuesta típica de los elementos cohesivos.
El comportamiento previo al inicio del daño se asume que es elástico lineal y es escrito en términos de una matriz elástica constitutiva que relaciona las tensiones nominales con las deformaciones nominales a través de la interfase, de la siguiente manera
El vector de tensiones nominales , , está constituido por tres componentes (dos para problemas bidimensionales): , y . De ellas, es la tensión normal a la interfase, y y son las tensiones en las direcciones tangenciales a la misma.
La separaciones se denotan por: , , y . Análogamente a las tensiones, , es la separación en la dirección normal a la interfase, y y son las separaciones en las dos direcciones tangenciales.
Llamando al espesor constitutivo del elemento cohesivo, las deformaciones nominales quedan definidas por:
(ec.6)
El valor de este espesor constitutivo por defecto es de valor unidad siendo éste diferente al espesor geométrico que es cero o prácticamente nulo.
En el caso que se desee el desacoplamiento entre las componentes, como es el caso de este estudio, basta con hacer nulos los elementos de la matriz fuera de la diagonal, con lo que bastaría con especificar el valor de los tres elementos diagonales de la matriz.
Para tal efecto, se incluye la orden siguiente:
*ELASTIC, TYPE=TRACTION
La segunda zona diferenciada en el comportamiento del comportamiento de los elementos cohesivos es la correspondiente a la zona en proceso de daño.
De esta manera, el modelado de esta zona se resume teniendo en cuenta tres factores principales: El criterio de inicio del daño, la ley de evolución de la zona de daño y por último la elección de si se elimina o no el elemento tras alcanzar su estado de degradación total.
El inicio de la degradación del elemento comienza cuando el valor de las tensiones o deformaciones alcanzan cierto valor que satisface un criterio de inicio del daño especificado.
En este estudio se ha empleado un criterio que asume que el daño se inicia cuando la tensión nominal máxima alcanza un valor crítico elegido. Este criterio se representa de la siguiente manera.
(ec.7)
El símbolo
‹›
se usa para puntualizar que una tensión de compresión pura en la dirección normal no produce el inicio del daño.De esta manera, en la definición de los cohesivos se incluye la orden:
*DAMAGE INITIATION, CRITERION=MAXS
La evolución del daño, describe de qué forma el elemento se va degradando una vez que se ha satisfecho el criterio de inicio del fallo. Para describir esta evolución hay que especificar dos parámetros.
El primero, se refiere a la degradación total del elemento, que puede hacerse especificando la separación a la que comienza la rotura real, o bien, como es el caso de este estudio, incluyendo la energía disipada cuando se alcanza la rotura, Gc.
El segundo de ellos, definiendo una variable escalar D que toma valor 0 en el momento de la iniciación del daño y valor 1 cuando se produce la degradación total, se refiere a la forma en que D varía entre ambos valores de 0 y 1.
En el caso de nuestro estudio, se adopta una ley lineal respecto a la separación para esta variación, quedando definido completamente el comportamiento del cohesivo, tal como se muestra en la Figura 48.
Fig.48. Evolución lineal del daño en el cohesivo
Además atendiendo a que en el ensayo de fragmentación ocurre todo proceso de propagación de la grieta de despegue en modo II, se especifica el comportamiento del cohesivo utilizando en el criterio energético su definición para modo mixto, aunque el efecto del modo I y III no tienen influencia.
Por tanto, el criterio energético utilizado para especificar en qué momento se alcanza la degradación total del elemento se especifica en el modelo según la ley:
*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=ENERGY,MIXED MODE BEHAVIOR=POWER LAW, POWER=
Por último sólo queda decidir si una vez degradado completamente el elemento cohesivo se mantiene su presencia en el modelo o se procede a su eliminación.
Por defecto, el elemento cohesivo retiene su resistencia a compresión incluso una vez que se ha producido su degradación completa, aunque su resistencia ante otros modos de carga haya desaparecido. Por tanto, manteniendo los cohesivos una vez degradados, su presencia impide la interpenetración entre las superficies adyacentes.
En caso de que se eliminen los elementos cohesivos una vez degradados completamente, no quedaría impedida la interpenetración entre las caras de la grieta de despegue, siendo necesario introducir una condición de contacto entre dichas caras.
En principio se ha decidido en este estudio la eliminación del mismo, aunque posteriormente se procederá a una discusión más detallada del motivo de esta elección, así como de la condición de contacto mencionada que será preciso introducir en el modelo.
Para ello se incluye la orden:
ELEMENT DELETION=YES
