2.3. Partes positiva y negativa de una función

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2.3. Partes positiva y negativa de una funci´ on

Como veremos en el pr´oximo cap´ıtulo, la construcci´on de la integral de Lebesgue empieza definiendo la integral de una funci´on medible no-negativa.

Para poder extender esta definici´on a funciones con valores positivos o nega- tivos se requiere expresar cualquier funci´on f : D → R mediante funciones no-negativas. A continuaci´on analizaremos esta situaci´on.

Sean D un conjunto no-vac´ıo arbitrario y f : D → R^∗. La cuesti´on de representar f = g− h, siendo g y h : D → R^∗ funciones no-negativas, lleva a considerar las funciones g = f₊ y h = f₋, definidas por

f₊(x) :=

{ f (x), si f (x)≥ 0

0, si f (x) < 0 , f₋(x) :=

{ 0, si f (x) ≥ 0

−f(x), si f(x) < 0 . A f₊ la llamaremos parte positiva de f y a f₋ parte negativa.

Ejemplo 1. La siguiente figura ilustra geom´etricamente c´omo son f+ y f₋.

-x

6y

a b

• •

 @ AA

AA

AA y = f (x)HH

-x

6y

a b

• •

 @ AA

AA y = f₊(x)HH

-x

6y

a b

•

^ZZZ •

y = f₋(x)

Figura 1

Notaci´on Sea D un conjunto no-vac´ıo arbitrario y f, g : D→ R^∗. Entonces:

i) (f ∨ g)(x) := m´ax{f(x), g(x)}, (f ∧ g)(x) := m´ın{f(x), g(x)}, ∀ x ∈ D.

ii) f ≥ g si f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ D.

Lema 1. Sea f : D → R^∗. Entonces:

i) f₊= f ∨ 0, f− = (−f) ∨ 0.

ii) f = f₊− f−. iii) |f|= f++ f₋.

iv) Si f ≥ 0, entonces f+= f y f₋= 0.

Demostraci´on i) Sea x ∈ D. Si f(x) ≥ 0, entonces f+(x) = f (x) = m´ax{f(x), 0}. Por otra parte, si f(x) < 0, entonces f+(x) = 0 = m´ax{f(x), 0}.

Esto prueba que f₊= f ∨ 0. La prueba de que f₋= (−f) ∨ 0 es similar.

Dejaremos la prueba de ii), iii) y iv) a cargo del lector.

M´as adelante necesitaremos relacionar propiedades de f con propiedades de f₊ y de f₋y viceversa. Los resultados a continuaci´on tratan esta cuesti´on.

Lema 2. Si f, g : Ω→ R^∗ son medibles, entonces f∨ g y f ∧ g son medibles.

Demostraci´on Probaremos el caso de la funci´on m´aximo, el otro caso se puede tratar de forma similar. Sea t ∈ R. Observando que

{x ∈ Ω : t < (f ∨ g)(x)} = {x ∈ Ω : t < f(x)} ∪ {x ∈ Ω : t < g(x)}, obtenemos la conclusi´on.

Del teorema 2.1 y de los dos lemas anteriores resulta lo siguiente.

Proposici´on 1. Una funci´on f : Ω→ R^∗ es medible si, y s´olo si, sus partes positiva y negativa f₊ y f₋ lo son.

Lema 3.

i) Sean f, g : D → R^∗. Entonces f ≤ g si, y s´olo si, f+ ≤ g+ y f₋ ≥ g₋. ii) Si E ⊆ D y g : E → R^∗, entonces (g^D)+ = (g+)^D y (g^D)₋ = (g₋)^D. Demostraci´on i) Supongamos que f ≤ g. Entonces f+= f∨0 ≤ g∨0 = g+. Por otra parte, ya que −f ≥ −g resulta f₋= (−f) ∨ 0 ≥ (−g) ∨ 0 = g₋.

Consideremos ahora f₊≤ g+ y f₋ ≥ g₋. Entonces f₊ ≤ g+ y −f₋≤ g₋. Por consiguiente f = f₊− f− ≤ g+− g− = g.

ii) Supongamos primero que x∈ E. Si g(x) ≥ 0, entonces g+(x) = g(x).

Adem´as g^D(x) = g(x) ≥ 0. Luego (g^D)₊(x) = g(x) = (g₊)^D(x). Si g(x) < 0, entonces g₊(x) = 0. Luego, (g^D)₊(x) = 0 = (g₊)^D(x). Finalmente, cuando x∈ E^c, resulta (g^D)₊(x) = 0 = (g₊)^D(x).

La otra igualdad se puede establecer procediendo en la forma anterior.

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2.4. L´ımite de funciones medibles

En esta secci´on analizaremos el comportamiento de una sucesi´on de fun- ciones medibles bajo el proceso de l´ımite. Para ello nos basaremos en los conceptos de lim inf y de lim sup.

Sean D un conjunto arbitrario no-vac´ıo y f_n: D → R^∗,∀ n ∈ N. Entonces las funciones ´ınf f_n y sup f_n se definen puntualmente, esto es:

(´ınf f_n)(x) := ´ınf{fn(x) : n∈ N}, ∀ x ∈ D;

(sup f_n)(x) := sup{fn(x) : n∈ N}, ∀ x ∈ D.

Observemos que las funciones ´ınf f_n y sup f_n toman valores en R^∗.

En lo que sigue no hay que olvidar que siempre trabajamos bajo el marco de un espacio medible (Ω, Σ).

Lema 1. Si f_n∈ L⁰(Σ), ∀ n ∈ N, entonces:

i) ´ınf f_n∈ L⁰(Σ).

ii) sup f_n∈ L⁰(Σ).

Demostraci´on Probaremos ´unicamente ii) y dejaremos la demostraci´on de i) como ejercicio.

Sea t∈ R. Luego,

{x ∈ Ω : sup fn(x) > t} = ∪^∞

n=1

{x ∈ E : fn(x) > t}.

Ya que L⁰(Σ) es una σ-´algebra , de la igualdad anterior se sigue lo deseado.

Recordaremos ahora la definici´on del l´ım sup y del l´ım inf de una sucesi´on.

Sea {an} una sucesi´on en R^∗. Para cada k∈ N, hagamos

m_k= ´ınf{an: n≥ k}, Mk = sup{an, n≥ k}. (2.1) Observemos que

m_k ≤ mk+1 ≤ Mk+1 ≤ Mk. Definimos entonces

l´ım inf

n→∞ a_n := sup{mk : k∈ N}, l´ım sup

n→∞ a_n:= ´ınf{Mk: k ∈ N}.

Notemos que el l´ım inf y el l´ım sup de una sucesi´on siempre existen en R^∗, a´un cuando la sucesi´on no sea convergente. Adem´as

{an} tiene l´ımite L ∈ R^∗ si, y s´olo si, l´ım inf

n→∞ a_n = l´ım sup

n→∞ a_n = L. (2.2) Regresando a nuestro desarrollo, procediendo puntualmente definimos los conceptos anteriores para una sucesi´on de funciones.

Definici´on 1. Sea D un conjunto arbitrario no-vac´ıo y f_n : D → R^∗, n∈ N.

Entonces las funciones l´ım inf_n→∞f_n y l´ım sup_n→∞f_n se definen por:

(l´ım inf

n→∞ fn)(x) := l´ım inf

n→∞ fn(x), (l´ım sup

n→∞ fn)(x) := l´ım sup

n→∞ fn(x), ∀ x ∈ D.

Lema 2. Sea {fn} una sucesi´on en L⁰(Σ).

i) Entonces l´ım inf

n→∞ f_n, l´ım sup

n→∞ f_n∈ L⁰(Σ).

ii) {x ∈ Ω : l´ımn→∞f_n(x) existe (en R^∗)} es medible.

Demostraci´on i) De acuerdo al lema 1, cada funci´on g_n := ´ınf{fn, f_n+1, . . .} ∈ L⁰(Σ).

Luego, aplicando nuevamente dicho resultado se sigue que l´ım inf

n→∞ fn= sup{gn: n ∈ N} ∈ L⁰(Σ).

La medibilidad de l´ım sup_n→∞f_n∈ L⁰(Σ) se establece an´alogamente.

ii) De acuerdo con (2.2) se cumple que {x ∈ Ω : l´ım

n→∞f_n(x)existe (en R^∗)} = {x ∈ Ω : l´ım inf

n→∞ f_n(x) = l´ım sup

n→∞ f_n(x}.

Siendo l´ım inf_n→∞f_n y l´ım sup_n→∞f_n funciones medibles, al aplicar el lema 2.?? se obtiene la conclusi´on.

Proposici´on 1.

i) Si l´ım

n→∞fn(x) existe para cada x∈ Ω, entonces l´ım

n→∞fn ∈ L⁰(Σ).

ii) Si f_n ≥ 0, entonces ∑_∞

n=1f_n ∈ L⁰(Σ).

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Demostraci´on i) Basta notar que

nl´ım→∞fn= l´ım inf

n→∞ fn ∈ L⁰(Σ).

ii) Observemos que cada suma parcial S_n = ∑_n

k=1f_k es medible. Ense- guida, ya que S_n+1 ≥ Sn, resulta ∑_∞

n=1f_n(x) = l´ım_n→∞S_n(x), x ∈ E. La conclusi´on se obtiene aplicando ahora i).

Teorema de Egorov

Al siguiente resultado se le conoce como teorema de Egorov (D. F. Ego- rov, 1869-1931). Aunque no lo utilizaremos en nuestro desarrollo, es muy interesante pues indica que la convergencia puntual de funciones medibles en un conjunto de medida finita es “casi”convergencia uniforme.

Teorema 1. Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita y {fn} una suce- si´on de funciones medibles en Ω. Si {fn} converge puntualmente, entonces para cada ϵ > 0 existe un conjunto medible E ⊆ Ω tal que µ(E) ≤ ϵ y la convergencia de {fn} es uniforme en Ω \ E.

Demostraci´on Tomemos f = l´ım_n→∞f_n y consideremos ϵ > 0. Fijemos k∈ N y para cada N ∈ N definamos

B_N ={x ∈ Ω : |f(x) − fn(x)| ≤ 1

k, ∀ n ≥ N}.

Notemos que B_N ⊆ BN +1. Adem´as, ya que {fn} converge a f en Ω, se cumple que Ω = ∪^∞_{N =1}B_N. Luego ∩^∞_{N =1}B_N^c = ∅. Puesto que Ω tiene medida finita, esto implica que µ(B_{N (k)}^c ) ≤ ϵ2^−k para alg´un N (k) ∈ N. Ya que B_{N +1}⊆ B^c_N, supondremos tambi´en que N (k) > k.

Definamos E =∪^∞k=1(B_{N (k)}^c ). A partir de la σ-subaditividad de µ, resulta µ(E)≤ ϵ. Para probar que la convergencia es uniforme en Ω\E = ∩^∞_k=1B_{N (k)}, sea r > 0. Escojamos despu´es K ∈ N de manera que _K¹ ≤ r. Sea x ∈ Ω \ E.

Entonces x∈ BN (K) y por lo tanto

|f(x) − fn(x)|≤ 1

N (K) ≤ r, ∀ n ≥ N(K). 2 Notas

Clase 11, septiembre 13, 2021 Fernando Galaz Fontes