Los polígonos regulares tienen sus lados y ángulos iguales y están inscritos en una circunferencia.

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POLÍGONOS REGULARES

Los polígonos regulares tienen sus lados y ángulos iguales y están inscritos en una circunferencia.

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

1. Circunferencia circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono.

Su centro equidista de todos los vértices.

Su radio es el radio del polígono.

2. Circunferencia inscrita

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Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.

Su centro equidista de todos los lados.

Su radio es la apotema del polígono.

Elementos de un polígono regular

1 El centro C es el punto interior que equidista de cada vértice.

2 El radio r es el segmento que va del centro a cada vértice.

3 La apotema a es la distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

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1Ángulo central de un polígono regular

El ángulo central está formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono, El ángulo central = 360°/ n

Por ejemplo, el ángulo central del pentágono regular es 360° / 5 = 72º Ángulo interior de un polígono regular

El ángulo interior está formado por dos lados consecutivos.

El ángulo interior = 180° − Ángulo central

Por ejemplo, el ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

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El ángulo exterior está formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Por ejemplo, el ángulo exterior del pentágono regular = 72º Ángulos de un polígono

Suma de ángulos interiores de un polígono

Los ángulos interiores de un polígono son los determinados por dos lados consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono, la suma es:

S = (n − 2) · 180°.

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Suma de ángulos de un triángulo= (3 − 2) · 180° = 180º.

Suma de ángulos de un cuadrilátero= (4 − 2) · 180° = 360º.

Suma de ángulos de un pentágono= (5 − 2) · 180° = 540º.

Suma de ángulos de un hexágono= (5 − 2) · 180° = 720º.

Perímetro y área de un polígono regular

1 El perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado.

P = n · l El área es

Ejemplo de cálculo de área y perímetro Halar el perímetro y el área del hexágono:

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Las medidas de un polígono regular se pueden calcular de la siguiente forma:

Perímetro (P): Se multiplica el número de lados (n) por la longitud (L) de cada lado.

Área (A): Se multiplica el perímetro (P) por la apotema (a) y se divide entre dos.

También se puede expresar el área en función al número de lados y a la longitud del lado, donde se representa la función de tangente.

Ejemplo de polígono regular

Supongamos que tenemos un polígono regular de seis lados donde cada lado mide 12 metros ¿Cuál es el perímetro y área de la figura?

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CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES A PARTIR DE UN LADO

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

Dado el lado ab, traza un arco con centro en a y radio a-b. Con el mismo radio traza otro arco con centro en b. El punto de corte de ambos arcos define el tercer vértice del triángulo.

CUADRADO

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Dado el lado a-b, existen dos sencillas maneras de hacerlo. Elige la que prefieras:

1. Dibuja una recta perpendicular a a-b que pase por b. Con centro en b y radio a-b traza un arco. El punto de corte con la anterior perpendicular dará un tercer vértice del cuadrado. Mediante rectas paralelas se obtiene el cuarto vértice.

2. Dibuja una recta perpendicular a a-b que pase por b. Mediante el uso de la escuadra dibuja una recta a 45º por a. El punto de corte de ambas rectas determina el tercer vértice y el cuarto se obtiene por rectas paralelas.

PENTÁGONO REGULAR

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Mediante mediatriz, obtén el punto medio M del segmento ab.

Traza una recta perpendicular a a-b por el punto b.

Con centro en b y radio a-b, traza un arco que corte a la anterior perpendicular en el punto D.

Con centro en M y radio M-D traza un arco que corte a la prolongación del segmento ab en Q. a-Q es la diagonal del pentágono.

Con centro en a y radio a-Q traza un arco que corte con la extensión del arco a-D en el vértice c.

Con centro en c y radio a-b traza un arco que cortará al anterior Q-c en d.

Haciendo centro en a y en d con radio a-b se obtiene el vértice e.

HEXÁGONO REGULAR

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Con centro en a y radio a-b traza un arco de circunferencia.

Con centro en b y el mismo radio a-b dibuja otro arco que cortará al anterior en el centro O de la circunferencia circunscrita al hexágono.

Dibuja la circunferencia de centro O y radio O-a.

Con centro en b y radio b-a dibuja un arco que cortará a la circunferencia en c.

Desde c puedes trazar otro arco con el mismo radio a-b que dará un nuevo vértice del hexágono d.

HEPTÁGONO REGULAR

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Trazar una recta perpendicular al segmento a-b pasando por b. Dibujar una recta con un ángulo de 30º por a que cortará a la anterior

perpendicular en el punto P.

Con centro en a y radio a-P trazar un arco de circunferencia que corta a la mediatriz del segmento a-b en el punto O.

Este punto O es el centro de la circunferencia circunscrita al heptágono.

OCTÓGONO REGULAR

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Por a y b trazar dos rectas que formen 45º con el lado ab. Ambas rectas se cortan en el punto M. Con centro en M y radio M-a trazar un arco que corta a la mediatriz del segmento ab en el punto O, centro de la

circunferencia circunscrita al octógono.

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran

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imprecisión.

Sirve para dibujar polígonos inscritos en una circunferencia de cualquier número de lados.

A mayor sea el número de lados, mayor será la imprecisión.

En nuestro caso lo vamos a utilizar para dibujar un decágono inscrito en una circunferencia de radio 3,5 cm.

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el decágono, en nuestro caso de radio 3,5 cm.

2. Dibujamos sus diámetros vertical usando la escuadra

3. Dividimos el diámetro en DIEZ partes iguales utilizando Tales.

4. Hacemos centro de compás en los dos puntos de intersección del diámetro con la circunferencia con radio el diámetro y dónde se nos corten obtenemos el punto Q.

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5. Unimos el punto Q con el punto de la segunda división del diámetro, y dónde esa semirrecta nos corte a la circunferencia obtenemos un vértice del decágono, B.

6. Ahora ya conocemos el lado del decágono inscrito en una circunferencia de radio 3,5 cm.

7. Con radio AB, vamos marcando el resto de los vértices del decágono en la circunferencia.

8. Una vez obtenidos los vértices del decágono, sólo nos queda unirlos.

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Referencias