Determinar la solución particular en una Ecuación Diferencial

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(1)

Determinar la solución particular en una Ecuación Diferencial

de la forma F( D ) y = g(t) mediante varios métodos

Preparado por Profesora: Rosa Cristina De Peña Presentamos una Ecuación Diferencial de la forma:

I. F ( D )y = g(t) para n = 2 tenemos que la ecuación I se puede expresar:

( A2 D2 + A1 D + A0 )y = g(t)

**¿Cómo obtener la misma solución particular con los tres métodos?:

1. Coeficientes indeterminados 2. Variación de los parámetros 3. Transformada de Laplace.

*** La Transformada de Laplace genera la solución particular.

1. Método de Coeficientes Indeterminados.

(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5 y = yc+ yp

r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r1= 3 r2 = 2 yc = C1e3t + C2 e2t

g(t) = 4 g’ (t) = 0 yp= A D yp= 0 D2 yp= 0 D2yp -5 D yp + 6 yp= 4 yp =

3 2 64 = Y = yc + yp = C1e3t + C2 e2t +

3 2 Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t

Para las condiciones iniciales : 4 = C1e3(0) + C2 e2(0) +

3

2 = C1 + C2

-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2

Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = 3

−35

(2)

2. Método de Variación de los Parámetros.

(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5

y = yc+ yp

r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r1= 3 r2 = 2 yc = C1e3t + C2 e2t

yp = µ1e3t2e2t

y’p : µ'1e3t +µ'2e2t =0

3µ'1e3t +2µ'2e2t =4

t t t t

t t t

e e

e e e

e

W e3 2 5 2 5

2 3

3 2 2

3 = − =−

=

t t

t t

t t

e e e e

e e

3 5

2 5

2 2

1 4 2 4 4

0

' =

= −

= −

µ µ1 =

4e3tdt = 4e33t

t t

t t

t t

e e e e

e e

2 5

3 5

3 3

2 3 4 4 4

0

' =−

= −

= −

µ t

t

t e e

dt

e 2

2 2

2 2

2

4 4

=

= −

=

µ

yp = µ1e3t2e2t =

3 2 3

6 2 4

3 2 4

3

4 3 3 2 2

+ =

= −

− +

=

t t + t t e e e e

(3)

y = yc+ yp = C1e3t + C2 e2t + 3 2

Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t

Para las condiciones iniciales :

4 = C1e3(0) + C2 e2(0) + 3

2 = C1 + C2

-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2

Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = 3

−35

Y= F(t) = 15 e3t 3

−35e2t + 3 2

(4)

3. Transformada de Laplace

(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5

{

2 5 6

}

δ

{ }

4 δ D yDy+ y =

{ }

2 5δ

{ }

6δ

{ }

4δ

{}

1

δ D yDy + y =

S2 F(s) –S F(0) – F’(0) – 5 [ S F(s) – F(0)] + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s 1

S2 F(s) – 4 S – (-5) – 5 S F(s) + 5 (4) + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s 1

S2 F(s) – 4 S + 5 – 5 S F(s) + 20 + 6 F(s) = 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s 1

S2 F(s) – 4 S + 25 – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s 1

S2 F(s) – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s

1 + 4 s - 25

[S2 – 5 S + 6 ] F(s) = 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ s

1 + 4 s - 25

F(s) =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+

− 4 4 25

6 5 1

2 s

s s s

F(s) =

) 2 )(

3 (

25 4

4 2

− +

s s s

s

s =

) 2 )(

3 (

4 25 4 2

− +

s s s

s s

{ }

⎭⎬

⎩⎨

− +

=

) 2 )(

3 (

4 25 ) 4

(

2 1 1

s s s

s s s

F δ

δ

(5)

) 2 )(

3 (

4 25 4 2

− +

s s s

s

s =

2 3+ − + −

s C s

B s A

4s2 -25 s + 4 = A( s2 -5s +6 ) + B( s2-2s) + C( s2 -3s)

4s2 -25 s + 4 = (A+ B + C ) s2 + (-5A -2B -3C)s + 6 A

T. I. : 4 = 6A A=

3 2 T. Lineal s : -25 = -5A -2B -3C T. Cuadrático s2 : 4 = A+ B + C

Sustituyendo A : -25 = - 2B 3C 3

10− − -25 + 2B 3C

3

10 =− − - 2B 3C 3

65 =− −

4 = 3

2+ B+ C 4- 3

2 = B + C =B+C 3

10

C B 2 3 2

20 = +

-15 = - C C = 15 B =

3 15 35 3

10− =−

{ }

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + −

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + −

⎭⎬

⎩⎨

=

2 ) 3

( 1 1 1

1

s C s

B s

s A

F δ δ δ

δ

{ }

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + −

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨

− +

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨

=

2 15 3

3 35 3

2 )

( 1 1 1

1

s s

s s

F δ δ δ

δ =

3 2-

3

35 e3t + 15 e2t

Y= F(t) = 3 2 -

3

35 e3t + 15 e2t

Figure

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