Estudo e aplicação da transformada de Fourier na regularização de dados sísmicos na exploração de petróleo

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA – CT CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO - PPGCEP. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. ESTUDO E APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA REGULARIZAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS NA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO. Tiago Cavalcanti da Rocha. Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena. Natal / RN, Fevereiro de 2016 1.

(2) Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na Regularização de Dados Sísmicos na Exploração de Petróleo. Tiago Cavalcanti da Rocha. Natal / RN, Fevereiro de 2016 ii.

(3) Catalogação da Publicação na Fonte Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Rocha, Tiago Cavalcanti da. Estudo e aplicação da transformada de Fourier na regularização de dados sísmicos na exploração de petróleo / Tiago Cavalcanti da Rocha. - Natal, 2016. xiii, 83f: il. Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena. Coorientador: Prof. Dr. Gilberto Corso. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo.. 1. Transformada de Fourier anti-vazamento - Dissertação. 2. Processamentos de dados - Dissertação. 3. Regularização de dados sísmicos - Dissertação. I. Lucena, Liacir dos Santos. II. Corso, Gilberto. III. Título..

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(5) ROCHA, Tiago Cavalcanti da – Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na Regularização de Dados Sísmicos na Exploração de Petróleo. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Física aplicada à exploração e à produção de petróleo e gás natural (FAP), Natal – RN, Brasil. Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena Co-orientador: Prof. Dr. Gilberto Corso RESUMO Na área do petróleo os dados sísmicos geralmente são irregulares e esparsamente amostrados ao longo das coordenadas espaciais em razão de obstáculos na colocação dos geofones. Métodos de Fourier são eficientes se os dados de entrada estão em uma grade de amostragem regular. Entretanto, quando os métodos de Fourier são aplicados a um conjunto de dados amostrados irregularmente, a ortogonalidade entre as componentes de Fourier deixa de existir e a energia de uma componente de Fourier pode ―vazar‖ para outros componentes, fenômeno chamado de ―vazamento espectral‖ (spectral leakage). O objetivo da pesquisa desta dissertação é estudar a representação espectral de dados amostrados irregularmente. Em particular, será apresentada a estrutura básica da representação da transformada de Fourier não igualmente espaçada (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform), estudo de suas propriedades e demonstração do seu potencial no processamento do sinal sísmico. Para isso, estudamos a transformada de Fourier rápida (FFT – fast Fourier transform) e a transformada de Fourier rápida não igualmente espaçada (NFFT – nonuniform fast Fourier transform) que calculam rapidamente a transformada de Fourier discreta (DFT – discrete Fourier transform) e a NDFT, respectivamente. Comparamos a recuperação do sinal usando a FFT, NDFT e NFFT. Abordamos a interpolação do traço sísmico usando a transformada de Fourier antivazamento (ALFT – antileakage Fourier transform) para superar o problema do vazamento espectral causado pela amostragem irregular. As aplicações a dados sintéticos e dados reais mostraram que o método ALFT funciona de maneira eficaz em dados sísmicos de geologia complexa, sofre pouco com a amostragem espacial irregular dos dados e os efeitos de borda, bem como é robusto e estável com dados com ruído. Entretanto, não é tão eficiente computacionalmente quanto o FFT e sua reconstrução não é tão eficiente no caso de preenchimento irregular de grandes buracos na aquisição.. Palavras-Chaves: sísmica, processamentos de dados, transformada de Fourier antivazamento, regularização de dados.. iv.

(6) ABSTRACT In the oil prospection research seismic data are usually irregular and sparsely sampled along the spatial coordinates due to obstacles in placement of geophones. Fourier methods provide a way to make the regularization of seismic data which are efficient if the input data is sampled on a regular grid. However, when these methods are applied to a set of irregularly sampled data, the orthogonality among the Fourier components is broken and the energy of a Fourier component may "leak" to other components, a phenomenon called "spectral leakage". The objective of this research is to study the spectral representation of irregularly sampled data method. In particular, it will be presented the basic structure of representation of the NDFT (nonuniform discrete Fourier transform), study their properties and demonstrate its potential in the processing of the seismic signal. In this way we study the FFT (fast Fourier transform) and the NFFT (nonuniform fast Fourier transform) which rapidly calculate the DFT (discrete Fourier transform) and NDFT. We compare the recovery of the signal using the FFT, DFT and NFFT. We approach the interpolation of seismic trace using the ALFT (antileakage Fourier transform) to overcome the problem of spectral leakage caused by uneven sampling. Applications to synthetic and real data showed that ALFT method works well on complex geology seismic data and suffers little with irregular spatial sampling of the data and edge effects, in addition it is robust and stable with noisy data. However, it is not as efficient as the FFT and its reconstruction is not as good in the case of irregular filling with large holes in the acquisition. Keywords: seismic, data processing, antileakage Fourier transform, data regularization.. v.

(7) O que é o tempo? (...) De que modo existem aqueles dois tempos – o passado e o futuro – se o passado já não existe e o futuro ainda não veio? Quanto ao presente, se fosse sempre presente e não passasse para o pretérito, já não seria tempo, mas eternidade. Mas se o presente, para ser tempo, tem necessariamente de passar para o pretérito, como podemos afirmar que ele existe, se a causa da sua existência é a mesma pela qual deixará de existir? Para que digamos que o tempo verdadeiramente só existe porque tende a não ser? (...) Quem, por conseguinte, se atreve a negar que as coisas futuras não existem? Não está já no espírito a expectação das coisas futuras? Quem pode negar que as coisas pretéritas já não existem? Mas está ainda na alma a memória das coisas passadas. E quem contesta que o presente carece de espaço, porque passa num momento? Contudo a atenção perdura e através dela continua a retirar-se o que era presente. Portanto, o futuro não é um tempo longo, porque ele não existe: o futuro longo é apenas a longa expectação do futuro. Nem é longo o tempo passado porque não existe, mas o pretérito longo outra coisa não é senão a longa lembrança do passado. (...) Santo Agostinho (354-430) vi.

(8) Aos Meus Pais.. vii.

(9) AGRADECIMENTOS. À Universidade Federal do Rio Grande do Norte e ao PPGCEP. Ao Professor e Orientador, Dr. Liacir dos Santos Lucena, que me ajudou na realização deste trabalho dando toda a base científica para o seu desenvolvimento. Ao Professor e Co-Orientador, Dr. Gilberto Corso, pelo norteamento constante, revisão dos textos, criticas construtivas e elogios. Aos meus companheiros de pesquisa Éberton da Silva Marinho, pela instalação do pacote NFFT, pela ajuda constante na implementação de quase todos os algoritmos e gráficos da dissertação e colaboração na pesquisa; Francisco Iranildo Ferreira do Nascimento Gomes e Rutinaldo Aguiar Nascimento, pelas indicações de bibliografia e de sites de pesquisa. Aos professores do PPGCEP, pela transmissão de novos conhecimentos. À minha noiva pelo apoio diário e compressão pelas minhas ausências em razão do trabalho e estudo em dedicação à pesquisa. Aos meus pais, familiares e amigos que direta ou indiretamente contribuíram para a concretização deste trabalho.. viii.

(10) SUMÁRIO 1.. Introdução ........................................................................................................................... 2. 2.. Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes ..................... 6 2.1 TRANSFORMADA DE FOURIER ............................................................................................ 6 2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA – DFT ................................................................ 7 2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................................... 9 2.4 TRANSFORMADA Z ............................................................................................................ 9. 3.. Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes ............ 15 3.1 TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA NÃO UNIFORME – NDFT .................................. 15 3.2 TRANSFORMADA Z NÃO UNIFORME – NZT ...................................................................... 16 3.2.1 Existência e unicidade da INDFT............................................................................ 17 3.2.2 Cálculo da INDFT ................................................................................................... 19 3.2.2.1 Eliminação de Gauss ........................................................................................ 19 3.2.2.2 Interpolação polinomial .................................................................................... 19 3.2.2.3 Método da Pseudoinversa de Moore-Penrose .................................................. 21 3.2.3 Propriedades da NDFT ............................................................................................ 21. 4.. Algoritmos para os Cálculos das Transformadas ............................................................. 29 4.1 PARA GRADES UNIFORMES ............................................................................................... 29 4.1.1 Transformada Rápida de Fourier – FFT .................................................................. 29 4.1.1.1 Para valores de. .................................................................................... 29. 4.1.1.2 Para fatores arbitrários ...................................................................................... 31 4.1.2 Transformada Z CHIRP – CZT ............................................................................... 33 4.2 PARA GRADES NÃO UNIFORMES ....................................................................................... 34 4.2.1 Transformada Discreta de Fourier Warped – WDFT .............................................. 34 ix.

(11) 4.2.2 Método de Horner.................................................................................................... 39 4.2.3 Método de Goertzel ................................................................................................. 39 4.2.3.1 Interpretação do Filtro Digital .......................................................................... 39 4.2.3.2 Intepretação de Séries Trigonométricas ........................................................... 42 4.2.4 Transformada de Fourier rápida não igualmente espaçada – NFFT ....................... 44 4.2.4.1 Transformada de Fourier no toro ...................................................................... 45 4.2.4.2 Transformada Discreta de Fourier não igualmente espaçada no toro .............. 45 4.2.4.3 Algoritmos ........................................................................................................ 46 4.3 TRANSFORMADA DE FOURIER ANTI-VAZAMENTO – ALFT .............................................. 52 4.3.1 Amostragem regular, irregular e vazamento espectral ............................................ 52 4.3.2 Algoritmo ................................................................................................................ 52 5.. Aplicações das transformadas em sísmica de petróleo..................................................... 57 5.1 INTRODUÇÃO À SÍSMICA DE PETRÓLEO ............................................................................ 57 5.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................... 58. 6.. Conclusões ........................................................................................................................ 76. 7.. Bibliografia ...................................................................................................................... 80. x.

(12) LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma DFT de 20 pontos no plano ...................................................................................................................... 11 Figura 2.2: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma transformada Z CHIRP de 60 pontos no plano. com. ,. ,. e. . ............ 12. Figura 2.3: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma transformada Z CHIRP de 60 pontos no plano. com. ,. ,. e. . ............... 12. Figura 3.1: exemplo ilustrativo de dez pontos de frequência ao longo do círculo unitário no plano para a DFT e NDFT. .................................................................................................... 16 Figura 4.1: exemplo ilustrativo da localização das amostras de frequência para a DFT e WDFT. para. . .................................................................................................. 38. Figura 4.2: algoritmo 1 – NFFT (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). .................................. 48 Figura 4.3: algoritmo 2 – NFFTH (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). ................................ 49 Figura 4.4: algoritmo 3 – Landweber (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). .......................... 51 Figura 4.5: algoritmo 4 – gradientes conjugados para as equações normais (CGNE – conjugate gradients for the normal equations) (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). ............. 51 Figura 4.6: algoritmo 5 – ALFT. ............................................................................................. 54 Figura 5.1: em (a), (b), (c) e (d) temos a comparação entre as transformadas FFT, NDFT, NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal sem ruído e com amostragem regular; e em (e), (f), (g) e (h) em um sinal sem ruído e com amostragem irregular. ........................................... 59 Figura 5.2: em (a), (b), (c) e (d) temos a comparação entre as transformadas FFT, NDFT, NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal com ruído e com amostragem regular; e em (e), (f), (g) e (h) em um sinal com ruído e com amostragem irregular. .......................................... 60 Figura 5.3: apresentação de um evento sísmico linear: (a) dados originais; (b) dados amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em vermelho os dados regularizados. ........................................................... 63 xi.

(13) Figura 5.4: apresentação de quatro efentos sísmicos lineares: (a) dados originais; (b) dados amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em vermelho os dados regularizados............................................................ 66 Figura 5.5: apresentação de um evento sísmico hiperbólico: (a) dados originais; (b) dados amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em vermelho os dados regularizados............................................................ 69 Figura 5.6: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos: (a) dados originais; (b) dados amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em vermelho os dados regularizados............................................................ 71 Figura 5.7: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos com a metade do sismograma: (a) dados amostrados irregulamente; (b) dados regularizados. ................................................ 72 Figura 5.8: apresentação de eventos sísmicos reais: (a) dados originais; (b) dados amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em vermelho os dados regularizados. .................................................................................... 74 Figura 6.1: gráfico comparativo do custo computacional da FFT – em vermelho, NFFT – em verde, NDFT – em azul, e ALFT – em cinza. .......................................................................... 77. xii.

(14) LISTA DE ABREVIATURAS ALFT – antileakage Fourier transform; AVO – amplitude variation with offset; CGNE – conjugate gradients for the normal equations; CZT – chirp z-transform; DFT – discrete Fourier transform; FFT – fast Fourier transform; GFFT – generalised fast Fourier transform; IDFT – inverse discrete Fourier transform; IFFT – inverse fast Fourier transform; INDFT – inverse nonuniform discrete Fourier transform; NDFT – nonuniform discrete Fourier transform; NDFTH – adjoint nonuniform discrete Fourier transform; NFFT – non-equispaced fast Fourier transform; NFFTH – adjoint nonuniform fast Fourier transform; NUFFT – non-uniform fast Fourier transform; NZT – nonuniform z-transform; WDFT – warped discrete Fourier transform.. xiii.

(15) Capítulo 1 Introdução. 1.

(16) Introdução. 1. Introdução A representação de sinais e sistemas no domínio da frequência é uma importante ferramenta no estudo do processamento de sinais, comunicação e outros campos. Em muitas aplicações, sinais e sistemas de tempo discreto são caracterizados por sequências de comprimento finito. Uma representação no domínio da frequência amplamente utilizada de tal sequência é a transformada discreta de Fourier (DFT – discrete Fourier transform) que corresponde às amostras igualmente espaçadas de suas transformadas de Fourier de tempo discreto ou, de forma equivalente, às amostras de sua transformada Z avaliada no círculo unitário do plano. em pontos igualmente espaçados (BAGCHI e MITRA, 1967).. Em muitos cenários, entretanto, o fato da DFT amostrar o espectro de forma igualmente espaçada compromete, em termos de precisão, a sua aplicabilidade direta. Quando se calcula a DFT de uma sequência , -, com. pontos obtidos pela amostragem de um sinal. contínuo a uma frequência , apenas as frequências ser analisadas com precisão. Isso equivale a avaliar. , com. , podem. ( ), a transformada Z de , -, em. ângulos igualmente espaçados sobre a circunferência unitária no plano z (LIMA, DE SOUZA e DE OLIVEIRA, 2008). Na área do petróleo os dados sísmicos geralmente são irregulares e esparsamente amostrados ao longo das coordenadas espaciais. As causas para a amostragem irregular incluem a presença de obstáculos, tais como problemas de hardware (com geofones, aquafones, canhões de ar comprimido, etc.), de regularização, falhas na edição de traços e difusão. As causas para a amostragem esparsa geralmente estão relacionadas à economia. Usar grandes espaçamentos na linha de tiro e receptores leva à aquisição mais rápida e mais barata, mas também, obviamente, a amostragens esparsas (SCHONEWILLE, 2000). Portanto, no caso dos estudos sísmicos para a indústria do petróleo, um esquema de amostragem não uniforme, adaptado aos atributos do domínio da frequência do sinal, pode ser mais útil e conveniente em algumas aplicações. Uma das ferramentas que está à disposição é a transformada de Fourier discreta não igualmente espaçada (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform) de uma sequência de comprimento finito como amostras de sua transformada Z avaliada em pontos arbitrariamente escolhidos no plano . O conceito desta transformada é basicamente uma generalização da transformada de Fourier discreta convencional (BAGCHI e MITRA, 1967) e que motivou o desenvolvimento de algoritmos computacionalmente rápidos para o seu cálculo como a transformada rápida de Fourier não. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 2.

(17) Introdução igualmente espaçada (NFFT – nonuniform fast Fourier transform) (POTTS, STEIDL e TASCHE, 2001). Métodos de Fourier fornecem um modo de fazer a regularização de dados sísmicos. Esses métodos são eficientes se os dados de entrada estão em uma grade de amostragem regular, e a reconstrução é para preencher os traços perdidos. Sua eficiência é devida ao uso da transformada rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) (COOLEY e TUKEY, 1965). Entretanto, quando esses métodos são aplicados a um conjunto de dados amostrados irregularmente, a ortogonalidade entre as componentes de Fourier não vale mais. A energia de uma componente de Fourier pode ―vazar‖ para outras componentes e essa interferência é chamada ―vazamento espectral‖ (spectral leakage) (XU, ZHANG e LAMBARÉ, 2010). Para minimizar este problema surge a interpolação do traço sísmico usando a chamada transformada de Fourier anti-vazamento (ALFT – antileakage Fourier transform) que reortogonaliza a base de Fourier global sobre sua grade amostrada irregularmente, resultando em um espectro mais preciso dos coeficientes de Fourier para dados amostrados irregularmente. Existem muitas razões para efetuar a regularização dos dados em sísmica de petróleo, como para aumentar a amostragem espacial, criar uma grade regular, reduzir o ruído, melhorar a imagem de pré-empilhamento e análise de variação da amplitude com o afastamento (AVO - amplitude variation with offset) (KHATCHATRIAN, 2012). O objetivo da pesquisa desta dissertação é estudar o processamento de dados amostrados irregularmente. Em particular, será investigada a aplicação do método de reconstrução de Fourier e diversas variantes com generalizações e especializações, apresentação da estrutura básica da representação NDFT, estudo de suas propriedades e demonstração do seu potencial no processamento de sinal sísmico. Além disso, estudamos as transformadas FFT e NFFT que calculam rapidamente a DFT e a NDFT, respectivamente. Comparamos a recuperação do sinal para a FFT, a NDFT e a NFFT. Abordamos a interpolação do traço sísmico usando o ALFT, para superar o problema do vazamento espectral causado pela amostragem irregular, e aplicamos o ALFT a dados sísmicos reais da área de petróleo. Para implementar a NFFT e a NDFT usamos as bibliotecas NFFT 3.0 (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006) e FFTW3 (FRIGO e JOHNSON), e o pacote OMP4NFFT (KUNIS e RAUHUT) e para os demais algoritmos e gráficos usamos os recursos padrão do MATLAB (2012) e MAPLE (2012). Aplicamos os algoritmos primeiramente aos casos de dados sísmicos sintéticos obtidos através da wavelet de Ricker gerados pela biblioteca Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 3.

(18) Introdução SEISMICLAB (SACCHI) e depois a dados sísmicos reais obtidos de MOUSA e ALSHUHAIL (2011). O algoritmo ALFT foi cedido pelo professor Mauricio D. Sacchi, do departamento de física da universidade de Alberta no Canadá, quando veio a Natal/RN em 2015, a partir de sua intepretação do artigo de XU, ZHANG e LAMBARÉ (2010). A dissertação está organizada em sete capítulos, sendo este, a introdução, referente ao Capítulo 1. No Capítulo 2 estudamos a transformada discreta de Fourier e generalizações em grades uniformes. Com grades uniformes queremos dizer o caso em que a amostragem é regular, ou seja, igualmente espaçadas. Já grades não uniformes são aquelas em que as amostras não estão igualmente espaçadas. Este capítulo abrange o estudo da transformada de Fourier de tempo contínuo, da transformada de Fourier de tempo discreto, da transformada de Fourier discreta, da transformada de Laplace, da transformada Z e da transformada Z de tempo finito. O Capítulo 3 trata da transformada discreta de Fourier e generalizações em grades não uniformes, compreendendo a transformada Z não uniforme, a transformada de Fourier discreta não uniforme e a transformada discreta de Fourier Warped (WDFT – warped discrete Fourier transform). No Capítulo 4 apresentamos os algoritmos para os cálculos de algumas das principais transformada vistas nos capítulos anteriores, sendo para grades uniformes e não uniformes. Para as primeiras, veremos a transformada rápida de Fourier – FFT e a transformada Z CHIRP (CZT – chirp z-transform). Já para grades não uniformes veremos os métodos de Horner e Goertzel para o cálculo da NDFT, e estudaremos a NFFT. Apresentamos ainda neste capítulo o ALFT. Por fim, no Capítulo 5 apresentamos aplicações em sísmica de petróleo das principais transformadas estudadas e comparações entre os métodos; no Capítulo 6 abordamos as conclusões que foram obtidas neste trabalho e as recomendações para trabalhos futuros; e, finalizando, no Capítulo 7, são citadas as referências bibliográficas utilizadas neste trabalho.. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 4.

(19) Capítulo 2 Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes.

(20) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes. 2. Transformada. Discreta. de. Fourier. e. Generalizações em Grades Uniformes Neste capítulo, revisaremos primeiro a definição da transformada de Fourier. Desenvolvemos as modificações necessárias na transformada de Fourier para obtermos a transformada discreta de Fourier. Generalizamos a transformada discreta de Fourier para a transformada Z e discutiremos ainda as propriedades desta transformada e várias abordagens desenvolvidas para o cálculo de amostras da transformada Z de uma sequência de comprimento finito de localização específica no plano z, e pontos fora de seus limites.. 2.1 Transformada de Fourier Primeiro vamos considerar a definição da transformada de Fourier no domínio contínuo. Seja ( ) um sinal de tempo. contínuo. A transformada de Fourier de domínio. contínuo ( ) pode ser definida como ( ) em que. ∫. é a frequência angular, com. ( ). (1). a frequência temporal em hertz, e. √. a. unidade imaginária. Para que ( ) convirja é necessário que ( ) seja integrável em módulo, que tenha um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito, que tenha um número finito de descontinuidades e que cada uma das descontinuidades seja finita (HSU, 2004). O sinal original é recuperado pela transformada de Fourier inversa de domínio contínuo, dada por ( ). ∫. ( ). (2). Existe também a versão de tempo discreto, obtida a partir da série de Fourier, chamada de transformada de Fourier de tempo discreto, dada por ( ) em que. , -. (3). é o tempo discreto. A inversa da transforma de Fourier de tempo discreto é , -. em que 2010).. ∑. foi obtida de. ∫. ( ). , com período. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. (4) (OPPENHEIM e WILLSKY,. 6.

(21) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes. 2.2 Transformada de Fourier discreta – DFT Nesta seção, desenvolvemos um caso especial da transformada de Fourier contínua que é passível de cálculo por máquina que denominamos DFT. Enfatizamos, sinteticamente, as modificações da teoria da transformada de Fourier contínua que são necessárias para definir um par de transformadas orientadas a computador, desenvolvidas em BRIGHAM (1974). ( ) e sua transformada de Fourier. Considere a função. ( ). Para determinar a. transformada de Fourier de ( ) por meio de técnicas de análise digital, é necessário amostrar ( ) multiplicando-a pela função de amostragem. ( ). ∑. (. ), constituída de. funções delta de Dirac que formam um ―trem de impulsos‖, em que o intervalo de amostragem é . Obtemos ( ). ( ). ∑. (. ) (. ). (5). Para o cálculo de máquina é necessário truncar a função amostrada ( ). ( ) de modo. que apenas um número finito de pontos seja considerado. O produto da sequência infinita de pontos ( ). ( ) e a função de truncamento. em. ( ) no domínio do tempo, em que. , e 0, caso contrário, com. ( ) é 1,. sendo a duração da função de. truncamento, produz a função de tempo de comprimento finito que vamos representar por ( ). ( ) ( ). ∑ (. ) (. ). (6). Esse resultado modificado ainda não é aceitável para o computador porque a transformação de frequência é uma função contínua. Com isso, é necessário modificar a transformação ( ). ∑. de. frequência (. pela. função. ), com. de. amostragem. de. frequência. em que o intervalo de amostragem é. e o. número de funções impulso equidistantes encontrando-se dentro do intervalo de truncamento é. . No domínio do tempo este produto é equivalente à convoluir a forma da onda amostrada. (6) e a função de tempo. ( ). Obtemos ̃( ). em que ̃( ). , ( ). ( ) ( )-. ∑ [∑ (. ) (. )]. (7). ( ), representada com um til para indicar que se trata de. uma aproximação da função ( ).. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 7.

(22) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes Desenvolvendo a transformada de Fourier de (7), usamos que: (7) é periódica com período. ; a transformada de Fourier de uma função periódica. ( ) é uma sequência de. impulsos equidistantes; a integração é apenas sobre um período e ̃(. ). (. ∑. . E obtemos. ). (8). Assim, após a amostragem no domínio do tempo e a amostragem no domínio da frequência, fazemos ̃ .. , - e (. /. ). , -, por conveniência de notação, então a. relação matemática que resulta de cada modificação para desenvolver a transformadas de Fourier é denotada por , -. ∑ , -. (. ). (9). que é definida como a transformada discreta de Fourier – DFT e que aproxima de forma satisfatória a transformada de Fourier de domínio contínuo (BRIGHAM, 1974). Usando a notação mais comum ( ) é o resto da divisão de. que. ( ). , em que por. , lembrando. , a expressão da DFT na equação (9) pode. ser reescrita como , -. ∑ , -. (10). A DFT inversa (IDFT – inverse discrete Fourier transform) é dada por , -. ∑ , -. (11). Na forma matricial, a DFT pode ser expressa como (12) , , , -. (. [ ,. ) (. , -]. [. em que a matriz , de ordem. (. ). (. ). (. , , , ). ). , ][ ,. -]. , é chamada de matriz DFT.. A DFT é amplamente usada para calcular de forma muito eficiente os algoritmos da transformada rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) (COOLEY e TUKEY, 1965) que veremos no Capítulo 4. O número de operações aritméticas envolvidas no cálculo direto Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 8.

(23) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes de (12) é (. ). O algoritmo FFT reduz este número para (. de , ou ( ∑. ) com. inteiros sendo fatores de. ) se. é uma potência. .. 2.3 Transformada de Laplace A transformada de Fourier de tempo contínuo oferece-nos uma representação dos sinais como combinações lineares de exponenciais complexas na forma. com. .. Contudo, em sua propriedade de autofunção e em muitas de suas consequências também se aplicam a valores arbitrários de. e não apenas para aqueles valores que são puramente. imaginários. Essa observação leva à generalização da transformada de Fourier de tempo contínuo, conhecida como transformada de Laplace (OPPENHEIM e WILLSKY, 2010). A transformada de Laplace de um sinal qualquer ( ) é definida como ( ) com variável sendo. e. complexa. A variável. ∫. ( ). (13). pode ser escrita na forma algébrica como. as partes real e imaginária, respectivamente. Quando. ,. , a Equação (13). reduz-se à transformada de Fourier de ( ). A transformada de Laplace inversa é dada por ( ). ∫. ( ). (14). 2.4 Transformada Z Na seção anterior apresentamos a transformada de Laplace como uma extensão da transformada de Fourier de tempo contínuo. Essa extensão foi motivada, em parte, pelo fato de que a transformada de Laplace pode ser aplicada a uma classe mais ampla de sinais do que a transformada de Fourier, pois existem muitos sinais para os quais a transformada de Fourier não converge, mas a transformada de Laplace converge. Agora usamos a mesma abordagem para o tempo discreto à medida que desenvolvemos a transformada Z, que é o equivalente de tempo discreto da transformada de Laplace (OPPENHEIM e WILLSKY, 2010), e adequamos a abordagem para permitir o cálculo por máquina. Para uma sequência genérica de tempo discreto , -, a transformada Z é dada por ( ) que é uma função de variável complexa. ∑. , -. (15). (HSU, 1973).. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 9.

(24) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes Para. , com. real, a equação (15) reduz-se à transformada de Fourier de. tempo discreto de , -. A transformada Z inversa é dada por , em que. ∳ ( ). é um contorno anti-horário de integração que envolve a origem. Note que a sequência , - em (15) é infinita, então devemos realizar uma alteração. para que a transformada seja orientada a computado. É necessário truncar a função amostrada , - de forma análoga ao que fizemos para a transformada de Fourier de tempo contínuo, ou, de forma equivalente, considerar sequências com apenas um número finito. de pontos não. nulos. Portanto, doravante, consideraremos, sem perda de generalidade, a sequência de comprimento finito , -, com. , de comprimento. como a Transformada Z de. tempo finito dada por ( ). ∑ , -. (16). que é uma função de variável complexa , que geralmente é expressa em forma polar como , em que. é a magnitude de. e. é o ângulo de .. Como , - é uma sequência causal (isto é, sua saída em um tempo arbitrário depende apenas da entrada. , - para. ) de comprimento finito, a região de. convergência de ( ) é todo o plano excluindo a origem (BAGCHI e MITRA, 1967). Comparativamente, apesar das vantagens computacionais do uso da FFT, a DFT dá apenas amostras igualmente espaçadas em um círculo unitário. Em uma tentativa de obter uma amostragem mais geral da DFT no círculo unitário, introduziu-se a transformada Z CHIRP, que discorreremos no Capítulo 4. Este algoritmo calcula rapidamente amostras da transformada Z em. pontos que estão no contorno circular ou espiral começando em. qualquer ponto arbitrário do plano . O espaçamento angular desses pontos é uma constante arbitrária. Fazendo a magnitude. e o ângulo. , na forma polar de. em. (16), os pontos que estão no contorno circular ou espiral começando em qualquer ponto arbitrário do plano , onde o espaçamento angular desses pontos é uma constante arbitrária, são dados por complexos. , com e. em que. e. são os números. .. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 10.

(25) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes O contorno do plano à origem e Se se. começa com o ponto. , em que. é a distância. o ângulo dessa posição. , o contorno é uma arco de um círculo, se espiralará para dentro. O espaçamento angular das amostras é. , espiralará para fora, .. Figura 2.1: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma DFT de 20 pontos no plano .. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 11.

(26) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes. Figura 2.2: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma transformada Z CHIRP de 60 pontos no plano com , , e .. Figura 2.3: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma transformada Z CHIRP de 60 pontos no plano com , , e .. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 12.

(27) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes. Os valores da transformada Z geralmente são calculados ao longo da trajetória do eixo do círculo unitário. Note que o caso. ,. e. corresponde à DFT no. plano z e tem muitas aplicações incluindo a estimativa do espectro, filtragem, interpolação e correlação (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969). As aplicações do cálculo da transformada Z fora do círculo unitário são poucas, uma delas é o aprimoramento de ressonância espectral em sistemas para os quais se tem alguma previsão das localizações dos polos e zeros (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969). Substituímos. em (16) e obtemos ( ). ∑ , -(. ). (17). Na forma matricial, a transformada pode ser expressa como (18) (. , , , [ , que requer. ( ( -]. [. (. ) ) (. ( ( ). ). (. ). ) ) (. (. ). (. ). ). ). (. , , , ). ][ ,. -]. multiplicações e adições complexas para o cálculo direto.. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 13.

(28) Capítulo 3 Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes.

(29) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes. 3. Transformada. Discreta. de. Fourier. e. Generalizações em Grades Não Uniformes Neste capítulo desenvolvemos o conceito de transformada discreta de Fourier não uniforme (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform) e de transformada Z não uniforme (NZT – nonuniform Z transform). Ademais, investigamos a existência e unicidade, o cálculo da inversa e as propriedades da NDFT no círculo unitário complexo.. 3.1 Transformada de Fourier Discreta não uniforme – NDFT Agora queremos generalizar a definição e o cálculo da transformada de Fourier da amostragem regular para o domínio de amostragem irregular. No caso geral, a definição de transformada de Fourier discreta não uniforme (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform) é a mesma que a dada em (9), levando em consideração que as amostras podem ser tomadas em intervalos irregulares no tempo ( ) e/ou na frequência ( Os índices. e. de (9) são substituídos por. e. ).. , respectivamente, se a. transformada de Fourier de dados desigualmente espaçados ( ) é avaliada em pontos de grade desigualmente espaçados. A NDFT é uma extensão da DFT uniforme, ou seja, a última é um caso especial da primeira. Assumindo as localizações de amostragem temporais *. + +. ,. ,. ) e as localizações de amostragem de frequência *. ), a sequência complexa. * , -. função exponencial correspondente para obter seu espectro. , * ,. -+ é convoluída com a -. ,. -+, então. temos três tipos diferentes de NDFT generalizada como dado abaixo (RAO, KIM e HWONG, 2010). NDFT-1: pontos de amostragem de tempo não uniforme e pontos de amostragem de frequência uniforme, é definida como , -. √. ∑ , -. (19). que é obtida por uma função de amostragem no tempo constituída de um ―trem de impulsos‖ não uniformemente espaçado. NDFT-2: pontos de amostragem de tempo uniforme e pontos de amostragem de frequência não uniforme, é definida como ,. -. √. ∑ , -. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. (20). 15.

(30) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes que é obtida por uma função de amostragem na frequência constituída de um ―trem de impulsos‖ não uniformemente espaçado. NDFT-3: pontos de amostragem de tempo não uniforme e pontos de amostragem de frequência não uniforme, é definida como ,. -. √. ∑ , -. (21). que é obtida pelas duas amostragens não uniformes anteriores, no tempo e na frequência. A transformada de Fourier de dados igualmente espaçados ( ) avaliada em pontos de grade não igualmente espaçados. ,. (NDFT-2) é mostrado na Figura 3.1.. Figura 3.1: exemplo ilustrativo de dez pontos de frequência ao longo do círculo unitário no plano para a DFT e NDFT.. Em certas aplicações tais como análise espectral, é preferível amostrar a transformada dada por ( ) em. pontos distribuídos não igualmente sobre o círculo unitário no plano ,. dependendo do espectro de frequências. Devem ser atribuídos os espectros mais concentrados no domínio da frequência e o maior número de amostras (RAO, KIM e HWONG, 2010).. 3.2 Transformada Z não uniforme – NZT Mais uma vez fazemos uma generalização. Generalizaremos o caso da transformada de Fourier discreta não uniforme para a transformada Z não uniforme (NZT – nonuniform ztransform) de tempo finito. A transformada Z não uniforme de uma sequência , - de comprimento. é definida. como. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 16.

(31) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes. ( ) em que. ∑ , -. (22). são pontos distintos localizados arbitrariamente no plano . Note que quando os pontos. estão localizados apenas em pontos igualmente. espaçados no círculo unitário do plano , isto corresponde à transformada discreta de Fourier (DFT), bastando, para tanto, escrever. . E quando os pontos. estão localizados. apenas em pontos não igualmente espaçados no círculo unitário do plano , isto corresponde à transformada discreta de Fourier não uniforme (NDFT), fazendo. .. Podemos expressar a equação (22), na forma matricial como (23) ( ) ( ). [ (. ] ). [. (. ). (. ). (. ). , , -. [ ,. ]. ] -. Para calcular cada amostra da transformada Z não uniforme precisamos de multiplicações complexas e ( (. ) adições complexas, isto é,. multiplicações reais e. ) adições reais. Portanto, a quantidade de cálculo necessário para avaliar. da transformada Z não uniforme é aproximadamente proporcional a. amostras. . Note que é o mesmo. necessário para o cálculo direto da transformada Z uniforme.. 3.2.1 Existência e unicidade da INDFT Vamos mostrar que a inversa da transformada de Fourier não uniforme (INDFT – inverse nonuniform discrete Fourier transform), no círculo unitário complexo, existe e é única. Primeiramente, definiremos a matriz de Vandermonde.. A matriz. da forma. , em que [. são. ]. números complexos, é definida como a matriz de Vandermonde complexa. Alguns autores usam como definição de matriz de Vandermonde a transposta da matriz , mas, para o nosso objetivo, a escolha de uma em detrimento da outra não causará nenhum prejuízo. Note que a matriz. em (23) é uma matriz de Vandermonde complexa com. . Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 17.

(32) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes Mostramos abaixo que o determinante de ( ). ∏. (. Teorema 1: dados. pode ser expresso na forma fatorada como. ), a partir de DAVIS (1975). pontos complexos distintos. Vandermonde complexa. , o determinante da matriz de. é dado por (. ). ∏ (. ). Demonstração: Usando o princípio da indução finita, para (. ). [. temos. ], então. , que satisfaz a condição.. Suponhamos que a propriedade vale para matrizes de ordem provar que vale para matrizes de ordem. . Agora vamos. , ou seja, que vale para. [. ]. Com algumas operações elementares da propriedade de Jacobi para matrizes, que não alteram o determinante, vem ( ( (. [. ( (. ) ) ). (. ) ) )]. Pelo teorema do determinante de Laplace e pela propriedade da multiplicação de uma fila por uma constante, temos (. ). (. )|. (. ). (. ). Por hipótese de indução, temos que. |. é o determinante de Vandermonde de ordem. , assim temos (. ). ∏ (. ). Portanto, a propriedade é válida para toda matriz de ordem Por HOFFMAN e KUNZE (1976), temos o seguinte Teorema. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 18.

(33) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes Teorema 2: seja somente se, (. uma matriz. sobre um corpo. é inversível em. Quando. Então,. é inversível sobre. é inversível a única inversa de. se, e. é. ) O conjunto dos números complexos é um corpo, então, em particular, uma matriz sobre um corpo é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.. Assim, para a inversa existir e ser única, devemos ter amostragem. . Dado que os. são distintos, do Teorema 1, temos que. pontos de . Portanto, a. NDFT inversa existe e é única, e é dada por. 3.2.2 Cálculo da INDFT Já vimos que o problema no cálculo da INDFT é equivalente a resolver o sistema de Vandermonde na equação. . Isso pode ser colocado alternativamente como um. problema de interpolação polinomial (BAGCHI e MITRA, 1967). Embora a solução deste problema seja única, existem vários métodos de resolução do problema. Isso leva a diferentes modos de calcular a INDFT. Vejamos alguns métodos baseados em RAO, KIM e HWONG (2010) e BAGCHI e MITRA (1967). 3.2.2.1 Eliminação de Gauss Dada a NDFT,. , e a matriz NDFT,. resolvendo o sistema linear na equação (. , a INDFT,. , é encontrada diretamente. , usando a eliminação Gaussiana. Isso envolve. ) operações. O mesmo problema pode ser resolvido mais eficientemente usando. interpolação polinomial. 3.2.2.2 Interpolação polinomial Nesta abordagem, a transformada , ( ), é determinada diretamente em termos dos coeficientes NDFT, ̂ , -. ( ), com. usando métodos de interpolação. polinomial. A INDFT , - pode então ser identificada com os coeficientes desta interpolação polinomial. Esta abordagem é usada em dois métodos de interpolação distintos, a interpolação de Lagrange e de Newton. Interpolação de Lagrange: ordem. ( ) é expresso como o polinômio de Lagrange de. , ( ). ∑. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. ( ) ̂, ( ). (24). 19.

(34) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes com ̂ , -. ( ), em que. ( ). ( ). ( ) são polinômios fundamentais, definidos. como ( ). ). ∏(. (25). Interpolação de Newton: ( ) é expresso na forma ( ). (. ). em que o coeficiente de ̂ , - ̂ , -. (. )(. ). é chamado a diferença dividida da. ̂ , - com relação a. ). ∏(. -ésima ordem. . As diferenças divididas são calculadas. recursivamente como segue: ̂, ̂, ̂, (. Note que cada ̂, - ̂, -. ( )(. ) ). é uma combinação linear dos ̂ , - e, ademais,. ̂, - e. depende apenas de. . Na representação de Lagrange, se incluirmos um ponto. adicional e aumentarmos a ordem da interpolação polinomial, todos os polinômios fundamentais mudam e, consequentemente, devem ser recalculados. Na representação de Newton, isso pode ser realizado pela simples adição de um ou mais termos. Assim, ele tem uma propriedade permanente que é uma característica das séries de Fourier e outras expansões ortogonais e biortogonais. Como os coeficientes. são calculados resolvendo o sistema de equações triangular. superior, (26) ( (. [ isso envolve ( de. (. ̂, ̂, ̂, -. ) ) ). ∏(. ) [ ]. ]. [ ̂,. -]. ) operações. A sequência , - pode agora ser facilmente calculada a partir. . Assim, a interpolação de Newton fornece um método mais eficiente de resolver a. INDFT (BAGCHI e MITRA, 1967). Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 20.

(35) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes 3.2.2.3 Método da Pseudoinversa de Moore-Penrose Dados os valores complexos espaçados. , com. , em pontos não igualmente. , o objetivo é reconstruir um polinômio trigonométrico , - que está próximo. da amostra original. como , -. ∑ , -. (. ). ou. em que. representa a forma matricial da transformada de Fourier inversa. Um método padrão é usar a solução pseudoinversa de Moore-Penrose que resolve o. problema geral dos mínimos quadrados lineares ‖ ‖. ‖. ‖. que minimiza a norma residual ‖ ‖ . O cálculo do problema da pseudoinversa por uma decomposição de valor singular é muito cara computacionalmente e não existe nenhum modo prático. Para um modo mais prático, pode-se reduzir o erro aproximado. , usando o. problema ponderado aproximado ‖. ‖. com ‖ em que. ‖. (∑. |. , -| ). denota uma matriz ponderada diagonal (RAO, KIM e HWONG, 2010).. 3.2.3 Propriedades da NDFT Estudamos agora algumas propriedades relevantes da NDFT nesta seção. Muitas dessas propriedades são análogas às da transformada. e da transformada de Fourier. Por. conveniência notacional, denotamos um par de transformadas como. ↔. colocando na posição superior à seta dupla a sigla da transformada. Primeiramente vamos fazer algumas considerações sobre as propriedades que não valem para a NDFT comparando com as propriedades da DFT. A propriedade do deslocamento circular da DFT é análoga à propriedade do deslocamento no tempo da transformada de Fourier de tempo discreto, mas com uma diferença sutil. Vamos considerar a sequência de comprimento Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. definida para o intervalo 21.

(36) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes . Tal sequência tem valores amostrados iguais a zero para , - é tal sequência, então, para qualquer inteiro arbitrário , -. ,. e. . Se. , a sequência deslocada. - não está mais definida para o intervalo. . Precisamos,. portanto, definir outro tipo de deslocamento que sempre manterá a sequência deslocada no intervalo. . Isso é atingido definindo um novo tipo de deslocamento, chamado. deslocamento circular, usando uma operação de módulo de acordo com , módulo. , -. , tal que. ,. -. (MITRA, 2001). ,. -. , -. ↔. Já na NDFT, ao contrário da DFT, não existe periodicidade implícita na representação geral da sequência de comprimento finito. Como resultado, não vale a propriedade do deslocamento circular para a NDFT. A propriedade da dualidade para a DFT diz o seguinte , -↔. ,. -. Mas, pela mesma razão apresentada para a propriedade do deslocamento circular, a dualidade não vale para a NDFT. As propriedades a seguir estão baseadas em BAGCHI e MITRA (1967) e RAO, KIM e HWONG (2010). ( ) e. Proposição (linearidade): sejam , -. respectivamente. Então,. ( ) as NDFTs das sequências. , -↔. ( ). ( ), em que. e. , - e. , -,. são constantes.. Demonstração: (. , -. , -). ∑(. , -. , -). ∑ , ( ) Corolário: se , - tem comprimento combinada linearmente (. , -. e. , -. ∑ , ( ). , - tem comprimento. , - terá um comprimento máximo de. ).. Proposição (deslocamento no domínio do tempo): suponha que intervalo ,. , então a sequência. . Então,. , -↔. ( ) em que. , - é zero fora do. é um inteiro, e , -. -, com Demonstração:. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 22.

(37) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes A NDFT de , - é dada por ( ). ,. ∑. Substituindo temos. -. na equação acima Note que quando. , e quando. , temos ( ). ,. , então ∑ , ( ). Assim, um deslocamento no domínio do tempo corresponde a uma multiplicação da NDFT ( ) por um fator complexo de. .. Proposição (escalonamento e deslocamento no domínio sequência , -. Então,. , -↔. (. ( ) a NDFT da. ): seja. ).. Demonstração: Considere a sequência, , -. , -, com. . A NDFT de , - é. dada por ( ). , -. ∑. ∑ , -( ) (. ). Proposição (conjugação): seja ( ) a NDFT da sequência , -. Então,. , -↔. ( ).. Demonstração: Seja , -. , -, com. . A NDFT de , - é dada por ( ). ∑. , -. {∑ , -( ). }. * ( )+ ( ) Assim, a conjugação da sequência original leva à conjugação de sua NDFT, que foi avaliada na localização da amostra conjugada no plano . Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 23.

(38) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes ( ) a NDFT da sequência. Proposição (parte real da sequência): seja * , -+ ↔. * ( ). , -. Então,. ( )+.. Demonstração: A parte real de , - pode ser expressa como , -. * , -. ( , -). , -+. ( * , -. , -+). Pela linearidade, temos ( , -). *. ( , -). ( , -)+. A NDFT de , - pode ser obtida aplicando o resultado da propriedade da conjugação anterior. , -↔. ( ), daí ( ). * , -. , -+. Proposição (parte imaginária da sequência): seja ( ) a NDFT da sequência , -. Então, * , -+ ↔. * ( ). ( )+.. Demonstração: A parte imaginária de , - pode ser expressa como , -. * , -. ( , -). (. , -+ * , -. , -+). Pela linearidade, temos ( , -) A NDFT de conjugação anterior. *. ( , -). ( , -)+. , - pode ser obtida aplicando-se o resultado da propriedade da , -↔. ( ), daí ( ). * ( ). ( )+. ( ). * ( ). ( )+. Proposição (simetrias): se ( ) é real, então i) ( ). ( );. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 24.

(39) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes ii). * ( )+. iii). * ( )+. * ( )+. iv) | ( )| v). * ( )+. | ( )|. * ( )+. * ( )+. Demonstração: i) Como , - é real, , -. , -, então ( , -). ( , -) , -↔. Aplicando a propriedade da conjugação ( ). ( ), obtemos. ( ). ii) Vamos expressar. ( ) com um número complexo,. , em que , -. * ( )+. , -. ( ). , -. , -,. * ( )+. Conjugando ambos os lados da equação da propriedade (i) anterior. ( ). ( ),. temos ( ) Mas, da equação ( ). , -. ( ). (27). , -, temos. ( ). , -. , -. (28). Comparando as equações (27) e (28), obtemos ( ) Daí, como , -. , -. , -. * ( )+, então * ( )+. * ( )+. iii) Comparando as equações. ( ). , -. , - e. ( ). , -. , - do item. anterior, obtemos , -. * ( )+. * ( )+. (29). iv) Da propriedade de simetria (i) anterior, temos. ( ). ( ). Então, aplicando o. ( ). ( ) Então, aplicando o. módulo em ambos os membros, temos | ( )|. | ( )|. v) Da propriedade de simetria (i) anterior, temos argumento em ambos os membros, temos * ( )+ Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. *. ( )+ 25.

(40) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes * ( )+. * ( )+. Proposição (reversão no tempo): seja ( ) a NDFT da sequência , -. i) ,. -↔. (. );. ii) Se , - é real, então, ,. -↔. ( ). Demonstração: i) Seja. , -. ,. intervalo. -, com. e. , - é zero fora do. . A NDFT de , - é dada por ( ). Substituindo. ,. ∑. -. acima, obtemos ( ). ∑ , -. ∑ , -( ) (. ). Assim, a inversão no tempo da sequência resulta na inversão da localização da amostra no plano . ii) Se , - é real e. , então temos (. ). ( ). Como , - é real, podemos aplicar o resultado da propriedade simétrica (i) anterior, para obter (. ). ( ). -↔. ( ). Portanto, obtemos o par NDFT ,. Neste caso, a inversão no tempo da sequência simplesmente corresponde ao conjugado da NDFT. Na proposição a seguir usamos. para indicar a multiplicação componente a. componente de dois vetores. Proposição (convolução linear): sejam. e. sequências com. e. elementos,. respectivamente. A convolução linear das duas sequências usando a NDFT é dada por Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 26.

(41) Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes ,. -, em que. comprimento. e. , com. e. os vetores de. preenchidos com zeros.. Demonstração: Vamos aumentar as sequências. e. que têm comprimentos. com zeros ao final para obter sequências. ,. . , , -. , , ,. -. [. , ]. Então, se tomarmos as NDFTs em com. e. -. [. ]. pontos de. e , em que. é uma matriz NDFT. pontos de amostragem, obtemos. Se multiplicarmos agora as NDFTs. e. (componente a componente) e tomarmos a. NDFT inversa do resultado, temos a sequência ,. -. Para ver como esta sequência está relacionada a ambos os lados da equação. em. , avaliamos a transformada. em. para obter. Assim, , As equações convolução linear. ,. -e. ,. - mostram que. é igual à. . Portanto, a convolução linear de duas sequências pode ser calculada. preenchendo-a com zeros, multiplicando as NDFTs e tomando a NDFT inversa do resultado.. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 27.

(42) Capítulo 4 Algoritmos para os Cálculos das Transformadas.

(43) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas. 4. Algoritmos para os Cálculos das Transformadas Para o estudo dos algoritmos rápidos para o cálculo da transformada de Fourier e da transformada Z, dividimos este capítulo em duas partes: para grades uniformes e para grades não uniformes.. 4.1 Para grades uniformes Nesta seção vamos estudar dois algoritmos rápidos para o cálculo da transformada de Fourier e da transformada Z em pontos de amostra igualmente espaçados. Começaremos estudando a Transformada Rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) e depois veremos um caso mais geral que é o da transformada Z CHIRP (CZT – chirp z-transform).. 4.1.1 Transformada Rápida de Fourier – FFT A transformada rápida de Fourier (FFT) é um conjunto de algoritmos que pode calcular a transformada discreta de Fourier (DFT) muito mais rapidamente do que o cálculo direto. Por esta razão, nossa discussão da FFT é endereçada apenas ao aspecto computacional do algoritmo. Vamos nos restringir à versão de COOLEY E TUKEY (1965) do algoritmo em BRIGHAM (1974). Nesta subseção, primeiro construímos o algoritmo FFT para qualquer avaliado nos inteiros, e depois fazemos uma generalização para. , com em que. é um. inteiro. Veremos que esses algoritmos resultam em uma enorme economia do tempo de computação. 4.1.1.1 Para valores de Vimos que a transformada discreta de Fourier é dada por (9). Em representar os inteiros. e. , podemos. como números binários da seguinte forma (30). em que. e. podem assumir os valores. e. apenas.. Usando esta representação, podemos reescrever (9) como (. ). ∑ ∑. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. ∑. (. ). (31). 29.

(44) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas (. em que. )(. formulação (9) foi substituída por. ), e a. somas a fim de enumerar todos os bits da representação. binária de . Como. , escrevemos (. como. )( (. ). (. )(. ). ). (32). Agora considere o primeiro termo de (32), (. )(. ). (. 0. ) (. 0. ). (. [. pois. ]. (. (. 10. ). (. 1. 1. ). ). (33). . Analogamente, o segundo termo de (32) resulta )(. ). (. 0. ) (. (. (. 10. ). ). (. 1. ). ). (34). Note que à medida que progredimos pelos termos de (32), adicionamos outro fator que não se cancela pela condição. . Esse processo continua até atingirmos o último termo. que não tenha cancelamento. (. ). ∑ ∑ (. ∑ ). (. (. ) (. ). ). (35). Realizando cada um dos somatórios separadamente e rotulando os resultados intermediários, obtemos (. ). ∑. (. (. ). ∑. (. (. ). ∑. (. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. (. ) (. ). ). (. ). ). ). 30.

(45) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas (. ). (. ). (36). (. Ou seja, os bits do resultado final. ), da forma como foram obtidos,. estão invertidos com relação aos valores desejados (. ).. Esse conjunto de equações recursivas representa a formulação Cooley-Tukey da FFT, . Relembre que a avaliação direta da transformação de um ponto aproximadamente. multiplicações complexas. Agora considere o número de multiplicações. necessárias para calcular as relações (36). Existem representa. requer. equações somatórias em que cada um. equações. Cada um das últimas equações contém duas multiplicações. complexas; entretanto a primeira multiplicação de cada equação é na verdade uma multiplicação por unidade. Isso segue do fato de que a primeira multiplicação é sempre da forma. , em que. . Assim, apenas. multiplicações complexas são. necessárias (BRIGHAM, 1974). 4.1.1.2 Para fatores arbitrários O algoritmo FFT para qualquer. , com. avaliado nos inteiros resultou em uma. enorme economia do tempo de computação, mas a condição. é muito restritiva. Então,. nesta seção desenvolvemos o algoritmo FFT que remove esta condição. Mostraremos que significante economia de tempo pode ser obtida desde que seja,. em que. seja altamente composto; ou. é um inteiro.. Assuma que o número de pontos a ser transformado discretamente satisfaz , em que. são valores inteiros. Expressamos primeiro o índice de. e. na. representação da variável radix (BRIGHAM, 1974) ( (. ). (. ). em que. ). (. (37). ). , com. ,. , e com. . Podemos, agora, escrever a Equação (9) como ( em que ∑. ). ∑. (. ∑. ). representa um somatório sobre. (38). , com. .. Note que ,. (. ). -. (39). e o primeiro termo do somatório expande para (. ). ,. (. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. ). -. (. ). 31.

(46) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas -,. ,. (. Uma vez que. ). (. -. ). (40). , então a Equação (40) pode ser escrita como (. ). (. ). (41). e, assim, a Equação (39) torna-se (. ). ,. (. ). -. (42). A equação (38) agora pode ser reescrita como (. ). ∑∑. (. Note que a soma interna é sobre. (. ,∑ ). ) ,. 1. (. ). -. e é apenas uma função de. (43) variáveis e. . Assim, definimos uma nova matriz como (. ). (. ∑. (. ). ). (44). A Equação (43) agora pode ser reescrita como (. ). ∑∑. (. ∑. ,. (. ). ). -. (45). Por argumentos análogos aos que levam à Equação (41), obtemos (. ). (. ). (. ). (46). A identidade (46) permite a soma interna de (45) a ser escrita como (. ). ∑. (. ). (. ). (. ). (47). Podemos agora reescrever (45) na forma (. ). ∑∑ ,. ∑ (. ( ). ) -. (48). Se continuarmos reduzindo (48) desta maneira, obtemos um conjunto de equações recursivas da forma (. ) (. ∑ ,. (. Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. ) ). -. (. ). 32.

(47) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas (49) A expressão (49) é válida quando definimos (. ). para. e. . Os resultados finais são dados por (. ). (. ). (50). A expressão (49) é uma extensão devida a BERGLAND (1968) do algoritmo original de COOLEY e TUKEY (1965). Notemos que existem requerendo total de de. elementos na matriz. , cada um. operações (uma multiplicação complexa e uma soma complexa), dando um operações para obter. . Assim, o cálculo de. . Analogamente, se gasta. requer. (. operações para calcular. ) operações. Este limite não leva. em conta as simetrias da exponencial complexa que podem ser exploradas. Essas simetrias são discutidas em pormenor em BRIGHAM (1974).. 4.1.2 Transformada Z CHIRP – CZT Para o cálculo rápido da transformada Z em. pontos que estão no contorno circular. ou espiral, começando em qualquer ponto arbitrário do plano , com espaçamento angular constante, introduziu-se a transformada Z CHIRP. Usamos em (17) a substituição devida a (. BLUESTEIN (1970),. ). para o expoente de. . Isso produz uma expressão. aparentemente mais pesada (BAGCHI e MITRA, 1967) ( ). (. ∑ , -. ). (51). A Equação (51) pode ser expressa como uma convolução discreta da forma ( ). [( , -. ). ]. (52). chamada transformada Z CHIRP (CZT – chirp z-transform). Por MARTIN (2005), temos ( ). [. O cálculo de , -. ( , -. requer. ). (. )]. multiplicações. Técnicas de convolução de alta. velocidade usando a FFT podem ser usadas para avaliar a CZT de forma eficiente com ((. ). (. )) operações, para valores muito grandes de. resultado da convolução por. requer. Como o número de amostras de. e. . O produto do. multiplicações. ou. cresce muito, o cálculo do tempo para a CZT. crescer assintoticamente como algo proporcional a ( Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. ). (. ). Este é o mesmo 33.

(48) Algoritmos para os Cálculos das Transformadas tipo de dependência assintótica da FFT, mas a constante de proporcionalidade é maior para a CZT porque duas ou três FFT‘s são necessárias ao invés de uma, e porque que. ou. é maior do. . Ainda, a CZT é mais rápida do que o cálculo direto de (18) mesmo para valores. relativamente modestos de. e. , da ordem de 50 (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969).. 4.2 Para grades não uniformes Estudamos primeiro nessa seção um caso particular da NZT que é a transforma da Fourier discreta warped (WDFT – warped discrete Fourier transform). Além disso, três métodos para o cálculo da NDFT são discutidos, quais sejam, o algoritmo de Horner e depois o algoritmo de Goertzel em duas formulações. Estudamos ainda o algoritmo NFFT que faz o cálculo rápido da NDFT.. 4.2.1 Transformada Discreta de Fourier Warped – WDFT Agora consideramos uma estrutura alternativa para a localização dos pontos de frequência. aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência,. baseada em MAKUR e MITRA (2001). Lembrando que uma função sistema é a razão da transformada da sequência de saída , - e a transformada da sequência de entrada , -; uma função sistema de resposta infinita ( ) com resposta de magnitude unitária para todas as frequências, isto é, | ( para todo. )|. ,. , é chamada uma função de transferência passa-tudo (MITRA, 2001).. Aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência, os pontos uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência deformado são equivalentes aos pontos de frequência uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência original. Isso levou ao conceito de transforma da Fourier discreta warped (WDFT – Warped discrete Fourier transform) que avalia as amostras de frequência de ( ) em pontos desigualmente espaçados sobre o círculo unitário. Escolhendo os parâmetros de deformação podemos espaçar algumas amostras de frequência mais próximas umas das outras fornecendo uma melhor resolução em um intervalo de frequência selecionado sem aumentar o comprimento da DFT. MAKUR e MITRA (2001) propuseram, então, uma realização eficiente da WDFT que é exata e mais fácil de implementar do que o cálculo direto da WDFT. A WDFT é um caso especial da NZT. Mais especificamente, a WDFT de ̂ , - de uma sequência. , - de comprimento. é dada por. pontos. amostras de frequência. igualmente espaçadas de uma transformada Z, ( ̂ ), modificada a partir de ( ) aplicando-se a transformação Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016.. 34.