Límites infinitos, y límites en el infinito (1)

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(1)

L´ımites infinitos, y l´ımites en el infinito (1)

Se tratar´an l´ımites de la forma:

lim

x7→af(x) =±∞ x7→±∞lim f(x) =L x7→±∞lim f(x) =±∞

Nota.

El s´ımbolo∞se lee infinito, es de car´acter posicional, no representa ning´un n´umero real.

Si una variable independientexest´a creciendo indefinidamente a trav´es de valores positivos, se escribex−→+∞

(se lee: xtiende a m´as infinito), y sixdecrece a trav´es de valores negativos, se denota comox−→ −∞(se lee: xtiende a menos infinito).

De manera similar, cuando f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f(x)−→+∞, y si decrece tomando valores negativos escribimosf(x)−→ −∞.

En general se usa el s´ımbolo∞para representar al +∞o al−∞.

(I) L´ımites infinitos

En primer lugar, se examinar´an l´ımites de funciones de la forma c

0 dondec6= 0.

Ejemplo 1.

Considerar la funci´onf(x) = 1

x−2. Notar que 26∈Dom(f). Se estudiar´a el comportamiento de la funci´onf(x) = 1

x−2 cuandox−→2, usando tabla de valores. x f(x) =x−12 2.2 5 2.1 10 2.05 20 2.03 33.33 2.01 100 2.001 1000 2.0001 10000 ↓ ↓ 2+ ???

La tabla muestra que, cuando x −→ 2+, la funci´on f(x) = x−12 tiende a tomar valores positivos cada vez mayores.

Es decir, lim

x7→2+ 1

x−2 NO existe(no es un n´umero real), pero la tendencia de hacerse cada vez m´as grande el valor def(x) se expresa:

lim

x7→2+ 1

(2)

Ahora, se completar´a una tabla de valores cuandox−→2−: x f(x) = x−12 1 −1 1.5,−2 1.6,−2.5 1.8,−5 1.9,−10 1.99,−100 1.999,−1000 1.9999,−10000 ↓ ↓ 2− ???

Se observa que, cuando x toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la funci´on f(x) tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,f(x)−→ −∞cuando x−→2−, o sea

lim x7→2− 1 x−2 =−∞ La gr´afica def(x) = 1 x−2 es:

Nota. Se puede denotar: lim

x7→0 1

x−2 =∞, lo que significa que 1

x crece (o decrece) ilimitadamente, cuando x

tiende a 2.

Ejemplo 2.

• Completar tablas de valores en torno al 0, y verificar, que: (a) lim x7→0+ 1 x2 = +∞, (b) limx7→0− 1 x2 = +∞ Como por ambos lados de 0 la funci´onf(x) = 1

x2 tiene un comportamiento de hacerse muy positivo, esto se puede expresar: lim x7→0 1 x2 =∞ • Trace la grafica def(x) = 1 x2.

(3)

Ejercicio 1. Graficar la funci´onf(x) = 1

x, verificar, completando tablas de valores: lim x7→0+ 1 x = +∞ x7→lim0− 1 x =−∞

Observaci´on. Las expresiones lim

x7→af(x) = +∞, x7→alimf(x) =−∞, x7→alimf(x) =∞

se˜nalan que el l´ımite de f(x) cuando xtiende a a, no existe. Sin embargo, expresan el comportamiento de f(x), cuando x−→a, de hacerseinfinita.

Esto se aplica tambi´en cuandox−→a+, o cuandox−→a.

Nota. En el ejercicio 1, se puede denotar: lim

x7→0 1

x =∞, lo que significa que 1

x crece (o decrece) ilimitadamente,

cuandoxtiende a 0. Ejercicio 2. Determinar: a) lim x7→−3 1 x+ 3 b) limx7→2 x+ 2 x24 Nota. .c6=0 c 0 lim x7→af(x) =∞ o +∞, −∞

(II) L´ımites al infinito

Ejemplo 1. Examinar lim

x7→+∞ 1 x−2 yx7→−∞lim x x−2 Soluci´on

• Completar una tabla de valores para observar el comportamiento de f(x) = 1

x−2, cuando x crece ilimitadamente, y, cuandoxdecrece ilimitadamente.

x7→+∞ x f(x) 10 20 50 100 1000 10000 x7→ −∞ x f(x) −10 −20 −50 −100 −1000 −10000

• Esto se expresa: lim

x7→+∞

1

x−2 = 0 y x7→−∞lim

1 x−2 = 0.

Ejemplo 2. Verificar que: (a) lim x7→∞ 1 x2 = 0 (b)x7→lim+ 1 x = 0 (c)x7→−∞lim 1 x= 0 (d) limx7→∞ 5 (x−1)2 = 0

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Propiedades de los l´ımites al infinito

(a) Sic es una constante, entonces: lim

x7→∞c=c (b) Sip >0, entonces: lim x7→∞x p= ∞ (c) Sip >0, entonces: lim x7→∞ 1 xp = 0 Sip >0, yc6= 0, entonces: x7→∞lim c xp = 0 (d) Sia >1, entonces: lim x7→+∞a x= Sia >1, entonces: lim x7→+∞ 1 ax = 0

Ejemplos (a) lim

x7→∞x −3= lim x7→∞ 1 x3 = 0 (b) limx7→∞ 3 √ x= 0

Observaci´on. Una manera abreviada de ciertosl´ımites particulares. Seac6= 0: c 0 =∞ c· ∞=∞ ∞ c =∞ c ∞ = 0

L´ımites al infinito de funciones polinomiales

Seaf(x) =anxn+. . .+a1x+a0 una funci´on polinomial. Se tiene que: lim

x7→∞(anx

n+. . .+a1x+a0) = lim x7→∞anx

n=

Ejemplos. a) lim

x7→+∞(3x

3x+ 5) = Con calculadora, verificar: lim

x7→+∞(3x 3x+ 5) = + b) lim x7→−∞(3x 3 −x+ 5) =∞, lim x7→−∞(3x 3 −x+ 5) =−∞ c) lim x7→+∞(3−5x−2x 2) = ∞ lim x7→+∞(3−5x−2x 2) = −∞

L´ımite de funciones racionales, cuando

x

tiende a

.

Ejemplo 1: ∞ ∞ lim x7→∞ 6x3−2x+ 4 7−3x2+ 2x3 = x7→∞lim 6− 2 x2 + 4 x3 7 x3 − 3 x2 + 2 =6 2 = 3 Ejemplo 2: ∞ ∞ ∞ 3 lim x7→∞ 4x2+ 2x−1 3x+ 5 = x7→∞lim 4x+ 2−1 x 3 +x5 = ∞ Ejemplo 3: ∞ ∞ 0 3 lim x7→∞ 4x33x2+ 41 3x5+ 7 = x7→∞lim 4 x2 − 3 x3 + 41 x5 3 + x75 = 0

(5)

L´ımites en el infinito de funciones racionales ∞ ∞ lim x7→∞ anxn+. . .+a1x+a0 bmxm+. . .+b1x+b0 = lim x7→∞ anxn bmxm =              an bm si n=m 0 si n < m ∞, si n > m Ejemplo 1: ∞ ∞ lim x7→∞ 5x x−2 = x7→∞lim 5x x = limx7→∞ 5 1 = 5 Ejemplo 2: ∞ ∞ lim x7→∞ 6x32x+ 4 7−3x2+ 2x3 = x7→∞lim 6x3 2x3 = limx7→∞ 6 2 = 3 Ejemplo 3: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 lim x7→∞ 4x2+ 2x−1 3x+ 5 = x7→∞lim 4x2 3x = x7→∞lim 4x 3 =∞

Ejemplo 4. Este m´etodo se puede extender a otros casos, por ejemplo:

∞ ∞ ∞ ∞ lim x7→∞ √ 4x2+ 2x1 3x+ 5 = x7→∞lim √ 4x2 3x = limx7→∞ 2x 3x = = 2 3

(6)

Ejercicios

C´alcularlos siguientes l´ımites, si es que existan (en caso que no exista, y si la tendencia es crecer o decrecer, anotar∞, +∞,−∞) 1. a) lim x→3− √ 3−x b) lim x→−∞ √ 3−x c) lim x→3+ x−3 √ x−3 d) limx→1 √ x−1 x−1 2. lim x→10+ x+ 1 √ x−10 x→lim+∞ x2+ 1 √ x3+ 5x1 3. a) lim x7→∞ 9−x2 3x−9 b) limx7→3 9−x2 3x−9 c) limx7→−3 9−x2 3x−9 d) limx7→3 9−x2 3x29x 4. a) lim x7→∞ √ 3x2+ 2x1 2x+ 3 b) limx7→∞ 3x4+ 2x1 (2x+ 3)(x−2)x2 5. Seaf(x) =              9 x <−3 x2 3< x <0 x−2 x x >0 Hallar: lim x7→2f(x) x7→−lim5f(x) lim x7→0−f(x), x7→lim0+f(x), x7→lim0f(x) lim x7→−3−f(x), x7→−lim3+f(x), x7→−lim3f(x) lim x7→+∞f(x), x7→−∞lim f(x) 6. Calcular: a) lim x7→2( √ x+ 2−√2x) b) lim x7→0( √ x+ 2−√2x) c) lim x7→+∞( √ x+ 2−√2x) 7. Hallar el valor decsi es que existe tal que:

(a) lim x7→∞ cx2+x+ 7 5x+ 6−7x2 = 91 (b) lim x7→3 x2+x+c

x25x+ 6 existe (es un n´umero real) 8. Calcular a) lim

x7→∞(1− e

−x) b) lim x7→+∞x e

Figure

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