Funciones continuas. Capítulo Continuidad. Figura Figura 11.2

Capítulo 11

Funciones continuas

11.1 Continuidad

Las funciones continuas constituyen una clase fundamental para las operaciones del análisis matemá-tico. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfico es continuo, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, como en la figura 11.1 y no como en la figura 11.2 .

Función continua

Figura 11.1

Función discontinua

Una función continua provee la expresión matemática de la situación muy frecuente de que a «in-crementos pequeños» de la variable independiente corresponden «in«in-crementos pequeños» de la varia-ble dependiente. Ejemplos de esta situación vienen dados por las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos, leyes que a menudo están dadas por fórmulas del tipo

s

=

f

(

t

)

(que expresan la dis-tancia

s

dependiente del tiempo

t

). Debido a que el tiempo y la distancia «son continuos», una ley de movimiento,

s

=

f

(

t

)

, establece entre ellos una relación continua caracterizada por el hecho que a un incremento pequeño del tiempo corresponde, como mencionamos antes y reiteramos aquí, un incremento pequeño de la distancia.

Si consideramos una función arbitraria

y

=

f

(

x

)

y un valor particular

c

de la variable indepen-diente, entonces la función refleja un «proceso continuo en el punto

c

» siempre y cuando a valores

x

que difieren poco de

c

correspondan valores de la función

f

(

x

)

que difieren poco del valor

f

(

c

)

. En otras palabras, si el incremento

x c

de la variable independiente tiende a

0

, entonces el incremento

f

(

x

)

f

(

c

)

de la función también tiende a cero. Podemos formular lo anterior expresando que

f

(

x

)

f

(

c

)

!

0

cuando

x c

!

0

o bien escribiendo que

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

Esta relación constituye la definición matemática decontinuidad de la función en el punto

c

. Es decir,

Definición: La función

f

(

x

)

es continua en

c

si y sólo si

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

:

11.2 Observaciones sobre el concepto de continuidad

Si analizamos la definición de continuidad vemos que para que la función

f

(

x

)

sea continua en el punto

c

se requiere que las siguientes tres condiciones sean satisfechas:

(i) La función debe estar definida en el punto, i.e.,

c

debe pertenecer al dominio de

f

, de lo contrario la expresión «

f

(

c

)

» carece de sentido;

(ii) El límite de la función

f

(

x

)

cuando

x

tiende a

c

debe existir, i.e., debe existir un número real

L

tal que

_x

lim

!

c

f

(

x

) =

L

, en caso contrario, la expresión «

_x

lim

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

» no tiene ningún sentido; (iii) El límite

L

debe ser igual al valor de la función en el punto

c

, i.e., debe ser

L

=

f

(

c

)

, de modo

que, si en la definición de límite ponemos

L

=

f

(

c

)

, tenemos que, dado

" >

0

existe

>

0

tal que sij

x c

j

<

entoncesj

f

(

x

)

f

(

c

)

j

< "

(la restricción

x

6

=

c

impuesta en la definición de límite deja de ser necesaria puesto que la desi-gualdadj

f

(

x

)

f

(

c

)

j

< "

es automáticamente satisfecha para

x

=

c

).

Como ejemplo, analizaremos la continuidad de la función

f

(

x

) =

x

2

en un punto fijo

c

. Para verificar que

lim

x

!

c

x

2

₌

_c

2

_{o equivalentemente}

_lim

x

!

c

x

2

_c

2

_{= 0}

basta observar que

j

x

2

c

2

j

=

j

x

+

c

jj

x c

j o, si se prefiere, que

lim

x

!

c

x

2

_c

2

_{= lim}

x

!

c

(

x c

)(

x

+

c

) = (lim

_x

!

c

x c

)

(lim

x

!

c

x

+

c

) = 0

2

c

= 0

:

En este ejemplo, el valor particular del punto

c

parece no tener relevancia, en el sentido que

f

(

x

) =

x

2

_{es continua en cada punto}

_c

_{de la recta real.}

11.3 Tipos de discontinuidad 167

Definición: Decimos que la función

f

(

x

)

es continua en un conjunto

C

de números reales si y sólo si es continua en cada punto de dicho conjunto.

Si

C

es un intervalo abierto de la forma

(

a;b

)

o

C

=

R, la definición anterior se interpreta fácilmen-te. Si

C

es un intervalo que contiene a alguno de sus extremos, i.e.,

C

es de la forma

[

a;b

)

,

(

a;b

]

o

[

a;b

]

, entonces definimos la continuidad de

f

en

C

pidiendo que

f

sea continua en cada

c

2

(

a;b

)

y además que en cada extremo (incluido) en el intervalo

C

se cumple que el límite lateral correspondiente existe y ese límite lateral es igual al valor de

f

en el extremo en cuestión:

lim

x

!

a

+

f

(

x

) =

f

(

a

)

;

x

lim

!

b

f

(

x

) =

f

(

b

)

;

respectivamente

:

Como ejemplos de funciones continuas podemos considerar las funciones elementales

x

n

con

n

2 N,

sen

x

,

cos

x

,

arcsen

x

,

arccos

x

: funciones estas que son continuas en los conjuntos donde están definidas (¡Convénzase usted mismo!). Sus gráficos están presentados en las seis figuras desde 11.3 en la página 168 hasta 11.8 en la página 169 .

Si nos referimos al gráfico de la función

y

=

f

(

x

)

, podemos dar la definición de función continua de la manera geométrica siguiente. Elegimos un número

" >

0

cualquiera y trazamos dos rectas paralelas al eje

x

a distancia

f

(

c

)

"

y

f

(

c

) +

"

de modo de obtener una banda horizontal de ancho

2

"

centrada en

f

(

c

)

. Si

f

(

x

)

es continua en

c

, entonces siempre es posible hallar un número

>

0

tal que toda la parte del gráfico que está comprendida en la banda vertical de ancho

2

y centrada en

c

esté contenida en la banda horizontal de ancho

2

"

y centrada en

f

(

c

)

. Nos remitimos a la figura 11.9 en la página 170 .

11.3 Tipos de discontinuidad

La función

f

(

x

) = 1

_x

provee un ejemplo de función discontinua en el punto

0

. En este caso observamos que la función está definida en toda la recta real salvo en

0

, de modo que la función está definida en cualquier intervalo que contiene al punto

0

excepto en el punto

0

mismo. Aquí la condición que falla es que

0

pertenezca al dominio de la función. En cualquier otro punto

c

6

= 0

tenemos que

lim

x

!

c

1

x

= 1

c

En efecto, si

c

6

= 0

entoncesj

c

j

>

0

, i.e., la distancia de

c

a

0

es la cantidad positivaj

c

j, y podemos restringir la atención a aquellos puntos

x

en el intervalo

c

j

c

j

2

;c

+

j

c

j

2

:

Este intervalo es de la forma

c

2

;

3

2

c

o

3

c

2

; c

2

, según sea

c >

0

o

c <

0

, respectivamente, así que la distancia de cualquiera de sus puntos al punto

0

es mayor que j

c

j

2

, ver figura 11.10 en la página 170 . Luego, para

x

en el intervalo, es

1

x

1

c

=

j

x c

j j

x

jj

c

j

<

_c

2

₂

j

x c

j

:

Por tanto, dado cualquier

" >

0

, basta elegir

= min

j

c

j

2

; c

2

2

"

para garantizar que sij

x c

j

<

entonces

1

x

1

c

< "

. De la discusión anterior sigue que

f

(

x

) = 1

x

es continua en Rnf

0

g. La función

g

(

x

) =

j

x

j

x

sirve como otro ejemplo de función discontinua en el punto

0

. Nuevamente, la condición que falla es que

0

pertenezca al dominio de la función. Sin embargo, hay «cierta» diferencia entre el comportamiento de la función

f

(

x

)

y el de la función

g

(

x

)

(ver figura 11.11 en la página 171 ). Mientras que

lim

x

!

0

+

1

x

=

1

;

y

lim

x

!

0

1

x

=

1

;

tenemos que

lim

x

!

0

+ j

x

j

x

= 1

;

y

_x

lim

!

0

j

x

j

x

= 1

y

=

x

n

_{; n}

_par Figura 11.3

y

=

x

n

_{; n}

_impar Figura 11.4

y

= sen

x

Figura 11.5

11.3 Tipos de discontinuidad 169

y

= cos

x

Figura 11.6

y

= arcsen

x

Figura 11.7

y

= arccos

x

Figura 11.8

-6

c

f

(

c

)

2

"

6 ?

2

x

y

0

c

c

+

f

(

c

) +

"

f

(

c

)

"

Figura 11.9función continua en

c

-0

_c

jcj 2

cc

+

jcj 2

-0

c

jcj 2

cc

+

jcj 2 j

c

j j

c

j jcj 2 jcj 2

(

)

(

)

Figura 11.10 El intervalo

c

j

c

j

2

;c

+

j

c

j

2

, con

c

6

= 0

Si la función tiende a1o 1cuando

x

!

c

o cuando

x

!

c

, decimos que la función tiene una discontinuidad infinita en el punto

c

. Si los límites laterales de la función cuando

x

!

c

existen pero son distintos, decimos que la función tiene una discontinuidad de salto (finito) en el punto

c

.

Así, en los ejemplos que nos ocupan, tenemos que

f

(

x

) = 1

_x

tiene una discontinuidad infinita en

0

mientras que

g

(

x

) =

j

x

j

x

tiene una discontinuidad de salto en

0

.

Las funciones

h

(

x

) = sen1

_x

y

k

(

x

) =

x

sen1

_x

, proveen otros ejemplos de funciones discontinuas en

0

. Nuevamente lo que falla en ambos casos es que

0

pertenezca al dominio de la función. En el primer caso la discontinuidad en

0

no es infinita y tampoco de salto ya que los límites laterales simplemente no existen. En el segundo caso tenemos que

_x

lim

!

0

x

sen1

_x

= 0

. Si

_x

lim

!

c

f

(

x

)

existe y es igual a

L

pero, o bien

f

(

x

)

no está definida en

c

o bien

L

6

=

f

(

c

)

, decimos que la función

f

(

x

)

tiene una discontinuidad removible o evitable en el punto

c

.

Si

f

(

x

)

tiene una discontinuidad removible en el punto

c

entonces podemos definir una nueva fun-ción, que llamaremos

F

(

x

)

(como en la figura 11.12 en la página 171 ) con las siguientes propiedades:

(i)

F

(

x

) =

f

(

x

)

si

x

6

=

c

. (ii)

F

es continua en

c

.

La elección de

F

(

x

)

no puede ser otra que

F

(

x

) =

8 < :

f

(

x

)

si

x

6

=

c

L

si

x

=

c

11.3 Tipos de discontinuidad 171 6

-x

y

y

=

1 x discontinuidad infinita 6

-x

y

y

=

j

x

j discontinuidad de salto e

1

e

1

u

0

Figura 11.11los gráficos

y

=

1

_x

y

y

=

j

x

j

x

discontinuidad removible

Figura 11.12

Dejamos al lector la comprobación de que

F

(

x

)

tiene las propiedades requeridas. Así en el caso de la función

k

(

x

) =

x

sen1

_x

, tenemos una discontinuidad removible en

0

y

K

(

x

) =

(

x

sen1

_x

si

x

6

= 0

0

si

x

= 0

es una función que coincide con

k

(

x

)

en los puntos

x

= 0

6 y que es continua en

0

. De hecho,

K

(

x

)

es continua en toda la recta real. La comprobación de este hecho resultará más fácil una vez que hayamos estudiado ciertas propiedades de las funciones continuas, por lo que la posponemos para más adelante. Hasta aquí hemos estudiado distintas funciones con distintos tipos de discontinuidad en un solo punto. En todos los ejemplos falla la condición que el punto pertenezca al dominio de la función. La tabla 11.1 en la página 172 ilustra diversas situaciones que pueden presentarse.

En los puntos

2

;

0

;

1

y

5

₂

vemos que la función no está definida (pero sí lo está en cualquier otro punto de

(

1

;

5]

; al tender a los puntos

1

;

2

y

3

no existe el límite de la función, más precisamen-te,

_x

lim

!

1

f

(

x

) = 1

6

= 1 = lim

x

!

1

+

f

(

x

)

(salto),

_x

lim

!

2

f

(

x

) = 1

y

_x

lim

!

2

+

f

(

x

) =

1(discontinuidad infinita por la derecha),

_x

lim

!

3

f

(

x

) =

1y

lim

x

!

3

+

f

izquier-discontinuidad infinita discontinuidad de salto discontinuidad removible ninguna de las anteriores ¿Pertenece

c

al dominio de

f

(

x

)

? NO ) SI+

c

= 2

c

= 1

c

_{= 52}

c

= 0

¿Existe

lim

x!c

f

(

x

)

? NO ) SI+

c

= 2

(por la dere-cha)

c

= 3

(por la izquier-da)

c

= 1

NO TIENE SENTIDO PLANTEAR ESTA POSIBILI -DAD

c

= 3

(por la dere-cha) ¿Es

lim

x!c

f

(

x

)

=

f

(

c

)

? NO )

c

= 5

Tabla 11.1tipos de discontinuidad

da); en el punto

5

tenemos que la función está definida,

f

(5) = 2

,

_x

lim

!

5

f

(

x

) = 1

pero, claramente,

lim

x

!

5

f

(

x

)

6

=

f

(5)

(discontinuidad removible).

Antes de terminar esta discusión acerca de los distintos tipos de discontinuidad, queremos analizar un ejemplo más complejo de función discontinua.

La función de Riemann

El ejemplo con el que queremos finalizar está dado por la llamada función de Riemann. Esta función, que debe su nombre al matemático alemán Georg Friedrick Bernard Riemann (Bresclenz 1.826-Selasca 1866), se define en

(0

;

1)

por

f

(

x

) =

8 < :

0

si

x

es irracional

1

q

si

x

=

p

_q

fracción irreducible

Para cualquier número

c

, con

0

< c <

1

, la función

f

(

x

)

tiende a

0

al tender

x

a

c

. Uno puede asumir este hecho a manera de «acto de fe» y deducir entonces que

f

(

x

)

es discontinua en todos los puntos

11.4 Operaciones con funciones continuas 173 racionales de

(0

;

1)

y continua en los puntos irracionales de

(0

;

1)

. La función de Riemann provee

pues un ejemplo de función discontinua con un número infinito de puntos de discontinuidad (más aún, los puntos de discontinuidad forman un conjunto denso en

(0

;

1)

, en el sentido que todo punto de

(0

;

1)

puede aproximarse por puntos de dicho conjunto). Para el lector interesado en la prueba de que

lim

x

!

c

f

(

x

) = 0

, para cada

0

< c <

1

, incluimos a continuación una breve discusión de este hecho. La función de Riemann,

lim

x!c

f

(

x

) = 0

Consideremos un número cualquiera

" >

0

y sea

N

2 N suficientemente grande como para que sea

" >

_N

1

pero

"

1

N

1

. Observamos que los únicos números

x

para los cuales es falso que j

f

(

x

) 0

j

< "

son

x

=

:

1

2;

1

3;

2

3;

1

4;

3

4;

5;

1

2

5;

3

5;

4

5;

; 1

N

1;

;

N

2

N

1

:

Si

c

es irracional, entonces

c

no es ninguno de esos números. Si

c

es racional, entonces puede pasar que

c

sea precisamente uno de esos números. En cualquier caso sólo hay un número finito de tales números y podemos elegir entre ellos el que está más próximo a

c

y no es el propio

c

, i.e., elegimos

p

_q

tal que

0

<

p

q c

j

x c

j

para todo

x

tal quej

f

(

x

) 0

j

"

. Podemos tomar

como esta distancia mínima. Así si

0

<

j

x c

j

<

entonces

x

no es ninguno de los números para los cualesj

f

(

x

) 0

j

"

y por lo tanto se cumple j

f

(

x

) 0

j

< "

.

11.4 Operaciones con funciones continuas

En las páginas anteriores dimos algunos ejemplos de funciones continuas. Podemos dar otros muchos ejemplos una vez que hayamos demostrado los siguientes dos teoremas.

Teorema 21 Si

f

(

x

)

y

g

(

x

)

son funciones continuas en

c

entonces (a)

f

(

x

) +

g

(

x

)

(b)

f

(

x

)

g

(

x

)

(c)

_f

₍

1

_x

₎

;

siempre y cuando sea

f

(

c

)

6

= 0

. son funciones continuas en

c

.

En particular:

(d)

kf

(

x

)

, para toda constante

k

2R, (e)

f

(

x

)

g

(

x

)

,

(f)

f

_g

(

₍

_x

x

₎

)

, siempre y cuando sea

g

(

c

)

6

= 0

, son funciones continuas en

c

.

Prueba: Puesto que

f

(

x

)

y

g

(

x

)

son continuas en

c

,

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

y

_x

lim

!

c

g

(

x

) =

g

(

c

)

:

Por el Teorema 13 en la página 134 , esto implica que

lim

x

!

c

f

(

x

) +

g

(

x

) =

f

(

c

) +

g

(

c

)

;

lo cual es precisamente la afirmación de que la función

f

(

x

)+

g

(

x

)

es continua en

c

. Las demostraciones

Partiendo de la función constante,

f

(

x

) =

k

, y de la función identidad,

g

(

x

) =

x

, podemos aplicar el Teorema 21 para concluir que las funciones (monomios)

k x

n

_;

con

k

2 Rconstante y

n

2 N, y los polinomios

p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

;

con

a

0

;a

1

;

;a

n

2R constantes y

n

2N, son funciones continuas en todoR. Que la función

x

n

; n

2 N, es continua enR ya lo habíamos mencionado; que la función

p

(

x

)

sea continua dice que todas las funciones polinómicas son continuas.

También, a partir del Teorema 21 en la página 173 , podemos concluir que las funciones racionales

p

(

x

)

q

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

b

m

x

m

+

b

m

1

x

m

1

+

+

b

1

x

+

b

0

son continuas en todos los puntos

x

tales que

q

(

x

)

6

= 0

. En particular, la función

1

x

es continua para todo

x

6

= 0

, como ya habíamos apuntado.

Funciones más complicadas, como por ejemplo, la función

h

(

x

) = sen

_sen

₃₀

2

_x

x

_{+ 4}

+

x

_x

4

₂

cos

_sen

x

_x;

puede demostrarse ahora que son continuas en los conjuntos donde están definidas.

El Teorema 21 en la página 173 , sin embargo, no parece ser útil para demostrar la continuidad de funciones tales como

sen1

_x

y

x

sen1

_x

para

x

6

= 0

. Necesitamos un resultado referente a la composición de funciones continuas y la continuidad de las funciones trigonométricas.

Teorema 22 Si f(x) es continua en

c

y

g

(

y

)

es continua en

f

(

c

)

, entonces la composición

g

f

(

x

)

es continua en

c

.

Prueba:

Puesto que

g

(

y

)

es continua en

f

(

c

)

, dado

" >

0

, existe

>

0

tal que 1. sij

y f

(

c

)

j

<

entoncesj

g

(

y

)

g

(

f

(

c

))

j

< "

.

Puesto que

f

(

x

)

es continua en

c

, a ese

>

0

corresponde un número

’

>

0

tal que 2. sij

x c

j

<

’ entoncesj

f

(

x

)

f

(

c

)

j

<

.

Nos remitimos a la la figura 11.13 en la página 175 .

La relación 1 puede interpretarse como que cualquier número y a distancia menor que

de

f

(

c

)

satisface que su imagen por

g

, a saber,

g

(

y

)

, está a distancia menor que

"

de

g

(

f

(

c

))

.

La relación 11.4 dice que si un número

x

está a distancia menor que

’ de

c

entonces el número

y

=

f

(

x

)

está a distancia menor que

de

f

(

c

)

. Por tanto, deducimos que

si j

x c

j

<

0

entonces j

g

(

f

(

x

))

g

(

f

(

c

))

j

< ";

lo que prueba que

g

f

(

x

)

es continua en

c

.

Podemos ahora volver a considerar las funciones

sen 1

_x

y

x

sen1

_x

. Aplicando los Teoremas 21 en la página 173 y 22 y usando la continuidad de la función seno se concluye que dichas funciones son continuas en

x

6

= 0

. Por ejemplo, la función

x

sen1

x

es el resultado de multiplicar el monomio

x

con la función compuesta

f

g

donde

g

(

x

) =

1

x

y

f

(

x

) = sen

x

, siendo todas estas funciones continuas en

x

6

= 0

.

Note que del teorema 22 la continuidad de la función compuesta

g

f

(

x

)

en

c

depende de la continuidad de

f

(

x

)

en

c

y de

g

(

y

)

en

f

(

c

)

. Por ejemplo, si

f

(

x

)

es continua en

c

entoncesj

f

(

x

)

jes continua en c (¿por qué?). Sin embargo el hecho que

f

(

x

)

no sea continua en

c

no implicaquej

f

(

x

)

j no sea continua en

c

. Por ejemplo, la función

f

(

x

) =

1

si

x

0

1

si

x <

0

no es continua en

0

mientras que la funciónj

f

(

x

)

jes continua en todoR puesto que es la función constante igual a

1

como en la figura 11.14 en la página 175 .

11.4 Operaciones con funciones continuas 175 j

g

(

f

(

x

))

g

(

f

(

c

))

j

< "

( j

y f

(

c

)

j

<

j

g

(

f

(

x

))

g

(

f

(

c

))

j

< "

( j

f

(

x

)

f

(

c

)

j

<

( j

x c

j

<

0 -6 -6

f

(

c

)

g

(

f

(

c

))

2

"

6 ?

2

-

c

f

(

c

)

2

6 ?

2

0

y

=

f

(

x

)

z

=

g

(

y

)

x

y

y

z

0

0

Figura 11.13composición de funciones continuas

-6 @ @ @ @

1

1

1

y

=

j

x

j -6

y

=

f

(

x

)

r b

1

1

-6

y

=

j

f

(

x

)

j

0

1

x

x

x

Figura 11.14los gráficos

y

=

j

x

j

; y

=

f

(

x

)

y

y

=

j

f

(

x

)

j

Ejercicios

1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a)

f

(

x

) =

p

x

1

x

2

₁

(b)

f

(

x

) =

_x

₂

x

_{+ 1}

(c)

f

(

x

) =

x

3 p

x

4

(d)

f

(

x

) =

x

_x

2

₃

9

(e)

f

(

x

) =

p

9

x

p

x

6

(f)

f

(

x

) =

p

x

1

x

2

(g)

f

(

x

) =

8 < : j

x

3

j

x

3 si

x

6

= 3

1

si

x

= 3

(h)

f

(

x

) =

8 < :

1

x

2

1 +

x

si

x

6

= 1

1

si

x

= 1

:

2. Determinar cuáles de las siguientes funciones son continuas en los intervalos que se indican:

(a)

f

(

x

) =

_x

x

₂

;

(

1

;

0]

;

[0

;

1

)

;

(0

;

2)

;

(0

;

2]

;

[2

;

1

)

;

(2

;

1

)

. (b)

f

(

x

) =

_x

₂

x

₁

;

(0

;

1)

;

( 1

;

1)

;

[0

;

1]

;

( 1

;

0]

;

(

1

;

1]

;

(1

;

1

)

. (c)

f

(

x

) = [[

x

]]

;

( 12

;

1

₂₎

;

(14

;

1

₂₎

;

(1

;

2)

;

[1

;

2)

;

(1

;

2]

.

(a)

f

(

x

) =

cx

2

_{3 si}

_x

2

cx

+ 2 si

x >

2

(b)

f

(

x

) =

c

2

_x

_si

_{x <}

₁

3

cx

2 si

x

1

(c)

f

(

x

) =

8 < :

x

+ 2

c

si

x <

2

3

cx

+

k

si

2

x

1

3

x

2

k

si

1

< x

(d)

f

(

x

) =

8 < :

4

x

si

x

1

cx

+

d

si

1

< x <

2

5

x

si

x

2

:

4. Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y determinar el tipo de disconti-nuidad de cada uno.

(a)

f

(

x

) =

j

x

2

16

j

x

2

₁₆

(b)

f

(

x

) = 1

_x

₂

₁₆

(c)

f

(

x

) =

_x

₂

x

_x

3

₆

(d)

f

(

x

) =

_x

₃

₊

x

_x

₂

2

₆

_x

(e)

f

(

x

) =

_x

x

₃

+ 2

₈

(f)

f

(

x

) =

x

_x

2

₂

₊

x

_x

2

₆

11.5 Dos teoremas fundamentales sobre las funciones

conti-nuas

Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga 1.781–1.848) fue un sacerdote que hizo significa-tivas y muy importantes contribuciones a la matemática. En su trabajo sobre las paradojas del infinito Paradoxien des Unendlichen, Bolzano apuntó, por vez primera, que muchas de las afirmaciones, apa-rentemente obvias, referentes a las funciones continuas, deben ser rigurosamente demostradas para garantizar que pueden ser usadas en toda su generalidad. Una de tales afirmaciones es la que hoy se conoce bajo el nombre de «Teorema de Bolzano». El teorema corresponde perfectamente a nuestra idea intuitiva de curva continua, que, para pasar de un punto por debajo del eje

x

a otro punto por arriba del eje

x

, debe cortar el eje

x

en algún punto (ver figura 11.15 ).

-s s s [ ]

a

b

f

(

b

)

f

(

a

)

6

x

Figura 11.15el Teorema de Bolzano

Teorema 23 (Bolzano) Si

f

(

x

)

es una función continua en el intervalo cerrado

[

a;b

]

, y

f

(

a

)

y

f

(

b

)

tienen signos opuestos, entonces existe al menos un punto

c

2

(

a;b

)

tal que

f

(

c

) = 0

.

Si

f

(

a

)

y

f

(

b

)

tienen signos opuestos entonces o bien

f

(

a

)

<

0

< f

(

b

)

(como en la figura 11.15 ) o bien

f

(

a

)

>

0

> f

(

b

)

(como en la figura 11.16 en la página 177 ). La conclusión del teorema es que hay, al menos, un punto donde la función se anula pero puede haber más de un punto con esa propiedad.

11.5 Dos teoremas fundamentales sobre las funciones continuas 177 [ ]

a

b

-6 s s s s s

f

(

a

)

f

(

b

)

x

Figura 11.16el Teorema de Bolzano (2)

Las figuras 11.15 y 11.16 en la página 177 parecen indicar que la conclusión del Teorema de Bolzano, tal como lo hemos enunciado, puede hacerse «más fuerte», al darnos cuenta que, más aún, la función continua

f

(

x

)

en el intervalo

[

a;b

]

toma todos los valores comprendidos entre

f

(

a

)

y

f

(

b

)

, en el sentido que si

f

(

a

)

< d < f

(

b

)

o

f

(

a

)

> d > f

(

b

)

entonces existe al menos un punto

c

2

(

a;b

)

tal que

f

(

c

) =

d

y, en ese contexto, la restricción de que

f

(

a

)

y

f

(

b

)

tengan signos opuestos no parece tener ninguna relevancia (figura 11.17 en la página 177 ). El hecho de que una función continua

f

(

x

)

en un intervalo cerrado

[

a;b

]

tome todos los valores comprendidos entre

f

(

a

)

y

f

(

b

)

, suele llamarse el Teorema del Valor Intermedio y parece ser resultado más general que el Teorema de Bolzano pero, como veremos ambos teoremas son equivalentes.

-6

x

y

0

s s s s s

y

=

d

d

f

(

b

)

f

(

a

)

a

b

Figura 11.17el Teorema de Bolzano (3)

En efecto, sea

g

(

x

)

la función definida en

[

a;b

]

por

g

(

x

) =

f

(

x

)

d

. Entonces

g

(

x

)

es continua y

g

(

a

)

<

0

< g

(

b

)

o

g

(

a

)

>

0

> g

(

b

)

, según sea

f

(

a

)

< d < f

(

b

)

o

f

(

a

)

> d > f

(

b

)

, respectivamente. Aplicamos el Teorema de Bolzano y obtenemos que existe

c

2

(

a;b

)

tal que

g

(

c

) = 0

. Pero que sea

g

(

c

) = 0

es equivalente a que sea

f

(

c

) =

d

.

Podemos resumir la discusión anterior bajo la forma de teorema.

Teorema 24 Si

f

(

x

)

es una función continua en el intervalo

[

a;b

]

entonces

f

(

x

)

toma todos los valores com-prendidos entre

f

(

a

)

y

f

(

b

)

.

Las hipótesis del Teorema de Bolzano (y de su corolario, el Teorema 24 ) son restrictivas y esen-ciales. Consideremos, por ejemplo, la función

f

(

x

) =

j

x

j

x

en el intervalo cerrado

[ 2

;

2]

(ver la fi-gura 11.18 en la página 178 ). Entonces

f

(

x

)

es continua en todo punto de

[ 2

;

2]

salvo en

0

, y

-6 s c s c s

1

2

2

0

1

x

y

Figura 11.18la continuidad en las hipótesis del Teorema de Bolzano es esencial

f

( 2) = 1

<

0

<

1 =

f

(2)

, pero no existe ningún punto

c

2

( 2

;

2)

tal que

f

(

c

) = 0

; la dis-continuidad en el solo punto

0

es suficiente para «destruir» la conclusión del Teorema de Bolzano.

Daremos una demostración formal del Teorema de Bolzano pero dejamos a juicio del lector el aceptarlo y aplicarlo sin demostrarlo con todo rigor.

Prueba:Vamos a recurrir a argumentos que ya hemos empleado antes en algunas de las demos-traciones del Capítulo 11 en la página 165 sobre límites. Repetiremos los argumentos para lograr una demostración autocontenida. La idea de la demostración que proponemos es «localizar» el punto

c

2

(

a;b

)

como el menor punto donde se anula la función.

Supongamos que

f

(

a

)

<

0

< f

(

b

)

. Como

f

(

x

)

es continua en

[

a;b

]

, entonces, en particular,

f

(

x

)

es continua en

a

, por lo que

_x

lim

!

a

+

f

(

x

) =

f

(

a

)

. Luego, dado

"

=

f

(

₂

a

)

>

0

, existe

>

0

tal que si

a

x < a

+

entonces

3

f

(

a

)

2

< f

(

x

)

< f

(

2

a

)

<

0

. Sea

a < < a

+

fijo. Entonces

f

(

x

)

<

0

para todo

x

2

[

a;

]

(ver la figura 11.19 ).

-6

x

y

s s

a

f

(

a

)

f(a) 2 3f(a) 2

b

Figura 11.19existe

> a

tal que

f

(

x

)

<

0

, para todo

x

2

[

a;

]

Lo anterior prueba que existe

> a

tal que

f

(

x

)

<

0

, para todo

x

2

[

a;

]

. Por consiguiente, el conjunto A dado por

A

=

f

a <

b

:

f

(

x

)

<

0

en

[

a;

]

g

es no vacío. El punto

b

(que, claramente, no pertenece a A) es una cota superior para

A

. Por el axioma del supremo, existe

a < c

b

tal que

c

= sup

A

.

11.5 Dos teoremas fundamentales sobre las funciones continuas 179 Nos planteamos demostrar que

f

(

c

) = 0

. Si asumimos por un momento que

f

(

x

)

efectivamente se

anula en

c

, sigue de manera inmediata que

c < b

(

c

no puede ser

b

ya que

f

(

b

)

>

0

).

Para verificar que

f

(

c

) = 0

recurrimos a una demostración por reducción al absurdo. Supongamos pues que

f

(

c

)

6

= 0

. Es o bien

f

(

c

)

<

0

o bien

f

(

c

)

>

0

.

Si

f

(

c

)

<

0

entonces

c < b

(no puede ser

c

=

b

debido a que

f

(

b

)

>

0

). Como f(x) es continua en

c

y

c

2

(

a;b

)

, entonces

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

, de modo que, dado

"

=

f

(

₂

c

)

>

0

, existe

>

0

tal que si

c < x < c

+

entonces

3

f

₂

(

c

)

< f

(

x

)

< f

(

₂

c

)

<

0

. Esto dice que

f

(

x

)

<

0

en

(

c ;c

+

)

. Sea

c < < c

+

fijo y sea

2

A

tal que

c < < c

. La existencia de

está garantizada por ser

c

=

supA

, ya que si fuera

c

, para todo

2

A

, entonces

c

sería cota superior de A y tendría que ser

c

c

, lo cual es absurdo. Tenemos, pues, que

f

(

x

)

<

0

tanto en

[

a;

]

como en

(

c ;

)

. Por consiguiente (ver la figura 11.20 )

f

(

x

)

<

0

en

[

a;

]

o, lo que es equivalente,

2

A

.

-a

s s c s

c

c

c

+

Figura 11.20

f

(

x

)

<

0

, en

[

a;

]

Pero, entonces, debe ser

c

, lo cual es claramente imposible ya que se eligió

c <

. La contradicción viene de asumir que

f

(

c

)

<

0

. Por tanto, la suposición

f

(

c

)

<

0

es falsa.

Si

f

(

c

)

>

0

entonces puede ser

c

=

b

. En cualquier caso, puesto que

f

(

x

)

es continua en

c

; es

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

. Luego, dado

"

=

f

(

₂

c

)

>

0

, existe

>

0

tal que si

c < x

c

entonces

0

< f

(

₂

c

)

< f

(

x

)

<

3

f

₂

(

c

)

. Esto dice que

f

(

x

)

>

0

en

(

c ;c

]

. De nuevo podemos afirmar que existe

2

A

tal que

c <

. Tenemos entonces que

f

(

)

<

0

, ya que

f

(

x

)

<

0

en

[

a;

]

y también que

f

(

)

>

0

, puesto que

f

(

x

)

>

0

en

(

c ;c

]

y

2

(

c ;c

)

. Esto es absurdo, de modo que la suposición

f

(

c

)

>

0

conduce de igual manera a una contradicción (ver la figura 11.21 ).

-a

_{c c}

Figura 11.21

f

(

)

<

0

, pero

f

(

x

)

>

0

en

(

c ;c

]

No pudiendo ser ni

f

(

c

)

<

0

ni

f

(

c

)

>

0

, queda

f

(

c

) = 0

como única posibilidad. La demostración para el caso

f

(

a

)

>

0

> f

(

b

)

sigue de la discusión anterior tomando

f

(

x

)

en lugar de

f

(

x

)

. De hecho,

f

(

x

)

es una función continua en

[

a;b

]

y

f

(

a

)

>

0

> f

(

b

)

, luego, en vista de lo ya demostrado,

existe

c

2

(

a;b

)

tal que

f

(

c

) = 0

, i.e., tal que

f

(

c

) = 0

.

Otra propiedad importante de las funciones continuas fue formulada por Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (Ostenfelde 1.815-Berlín 1.897), matemático alemán a quien, más quizás que a ningún otro, se debe la tendencia moderna de rigor y precisión en el análisis matemático. De manera intuitiva, la propiedad expresa que el gráfico de una función continua en un intervalo cerrado debe tener un punto más alto que cualquier otro y un punto más bajo que cualquier otro (ver la figura 11.22 en la página 180 ).

Teorema 25 (Weierstrass) Sea

f

(

x

)

una función continua en el intervalo cerrado

[

a;b

]

. Entonces existen un punto

x

0

2

[

a;b

]

donde

f

(

x

)

alcanza su máximo valor y un punto

x

0

2

[

a;b

]

donde

f

(

x

)

alcanza su mínimo valor.

-6

a

_b

s s s

x

y

s

Figura 11.22el teorema de Weierstrass

Que

f

(

x

)

alcance su máximo valor en

x

0

significa que

f

(

x

)

f

(

x

0

)

, para todo

x

2

[

a;b

]

, y que

f

(

x

)

alcance su mínimo valor en

x

0

significa que

f

(

x

0

)

f

(

x

)

, para todo

x

2

[

a;b

]

. Por tanto, de la conclusión del Teorema de Weierstrass se desprende que toda función continua en el intervalo cerrado

[

a;b

]

es acotada, i.e., existen

m;M

2 Rtales que

m

f

(

x

)

M

, para todo

x

2

[

a;b

]

.

Lo que afirma el Teorema de Weierstrass es que toda función continua en un intervalo cerrado es acotada y, más aún, alcanza allí sus valores máximo y mínimo.

Conviene observar que una función (discontinua) en un intervalo cerrado, aunque acotada, no necesariamente tiene un máximo o mínimo valor. Consideremos, por ejemplo, la función

f

(

x

)

definida en

[0

;

1]

por

f

(

x

) =

8 > < > :

x

si

x

es irracional

1

2

si

x

es racional

Como estamos trabajando en el intervalo cerrado

[0

;

1]

, podemos asegurar que la función

f

(

x

)

toma valores comprendidos entre

0

y

1

, i.e.,

0

f

(

x

)

1

;

para todo

x

2

[0

;

1]

.

Más aún, podemos afirmar que la función

f

(

x

)

toma valores próximos a

0

y a

1

tanto como se quiera, si se elige

x

irracional suficientemente próximo a

0

o a

1

, respectivamente. Sin embargo, f(x) no es nunca igual a

0

o a

1

, puesto que, para

x

racional,

f

(

x

) = 12

, y para

x

irracional,

f

(

x

) =

x

. Por tanto, los valores

0

y

1

no pueden ser alcanzados. Llegamos a la misma conclusión si reemplazamos el intervalo cerrado

[0

;

1]

por cualquiera de los intervalos

(0

;

1)

;

[0

;

1)

o

(0

;

1]

.

Las hipótesis del Teorema de Weierstrass son esenciales, en el sentido que la conclusión del teorema puede ser falsa si omitimos alguna de las suposiciones como:

que

f

(

x

)

está definida en un intervalo cerrado que

f

(

x

)

, es continua allí (intervalo cerrado). Por ejemplo, la función

f

(

x

)

definida en

[ 1

;

1]

por

f

(

x

) =

(

1

x

si

x

6

= 0

0

si

x

= 0

es, por un lado, continua en

(0

;

1]

, pero no admite un valor máximo allí, i.e., no existe ningún número real

M

tal que

_x

1

M

, para todo

x

2

(0

;

1]

, y, por otra parte, la función no es continua en todo el intervalo cerrado

[ 1

;

1]

, puesto que tiene una discontinuidad infinita en

0

y no es tampoco acotada en

[ 1

;

1]

(ver la figura 11.23 en la página 181 ).

En resumen, los ejemplos dados muestran que una función discontinua en un intervalo cualquiera, no necesariamente cerrado, puede ser acotada pero no tener valor máximo o mínimo, que una función

11.5 Dos teoremas fundamentales sobre las funciones continuas 181 -6

x

y

0

s

1

M

1

Figura 11.23no existe

M

2Rtal que

1

x

M

, para todo

x

2

(0

;

1]

continua en un intervalo que no es cerrado puede ser no acotada y que una función discontinua en un intervalo cerrado puede ser no acotada.

A continuación incluimos la demostración del Teorema de Weierstrass. Como para la demostración del Teorema de Bolzano, dejamos al lector la elección de estudiarla u omitirla.

Prueba:La demostración que proponemos sigue el mismo método empleado para la demostración del Teorema de Bolzano.

Sabemos que

_x

lim

!

a

+

f

(

x

) =

f

(

a

)

. Luego, dado

"

= 1

, existe

>

0

tal que si

a

x < a

+

entonces

f

(

a

) 1

< f

(

x

)

< f

(

a

)+1

. Por tanto, si fijamos

a < < a

+

, podemos concluir que

f

(

x

)

es acotada en

[

a;

]

, más aún, podemos decir que

f

(

a

) 1

f

(

x

)

f

(

a

) + 1

, para todo

x

2

[

a;

]

.

Esto prueba que el conjunto

A

dado por

A

=

f

a <

b

:

f

(

x

)

es acotada en

[

a;

]

g

es no vacío. El punto

b

es, por la manera en que hemos definido

A

, una cota superior para

A

. De acuerdo con el axioma del supremo, existe

a < c

b

tal que

c

= sup

A

.

Si demostramos que

c

=

b

entonces quedaría establecido que

f

(

x

)

es acotada en

[

a;b

]

.

Supongamos, por el contrario, que

c < b

. Puesto que

f

(

x

)

es continua en

c

y

c

2

(

a;b

)

, entonces

lim

x

!

c

f

(

x

) =

f

(

c

)

. Así que, dado

"

= 1

, existe

>

0

tal que si

c < x < c

+

entonces

f

(

c

) 1

<

f

(

x

)

< f

(

c

) + 1

. Sigue de aquí que

f

(

x

)

es acotada en

(

c ;c

+

)

. Sabemos que existe

2

A

tal que

c <

, de modo que si

es un punto fijo (pero cualquiera) con

c < < c

+

, resulta que

f

(

x

)

es acotada tanto en

[

a;

]

como en

(

c ;

]

y, por tanto en

[

a;

]

. Luego

2

A

(ver la figura 11.24 ) y debe

-a

s s c s

c

c

c

+

Figura 11.24

f

(

x

)

es acotada en

[

a;

]

ser

c

. Pero esto es claramente imposible ya que

se eligió tal que

c <

. La contradicción viene de suponer que

c < b

. Por tanto, la única posibilidad es que sea

c

=

b

.

Tenemos entonces que

f

(

x

)

es acotada en

[

a;b

]

, i.e., el conjunto f

f

(

x

) :

x

2

[

a;b

]

g

es acotado. Sean m y M el ínfimo y el supremo de ese conjunto. Queremos demostrar que existen

x

0

;x

0

2

[

a;b

]

tales que

f

(

x

0

) =

m

y

f

(

x

0

) =

M

.

Supongamos, por el contrario, que

f

(

x

)

> m

, para todo

x

2

[

a;b

]

. Entonces la función

g

(

x

)

definida en

[

a;b

]

por

g

(

x

) =

_f

₍

_x

₎

1

_m;

es continua en

[

a;b

]

. Por lo que ya hemos establecido,

g

(

x

)

es acotada en

[

a;b

]

. Así, si

M

1

= sup

f

g

(

x

) :

x

2

[

a;b

]

g

;

entonces

0

< g

(

x

)

M

1

, para todo

x

2

[

a;b

]

. Resulta de aquí que:

f

(

x

)

m

+ 1

M

1

> m;

para todo

x

2

[

a;b

]

. Esto dice que

m

+ 1

_M

1

es cota inferior de

f

(

x

)

, pero esto es claramente imposible puesto que

m

es la

mayor de las cotas inferiores. La contradicción viene de suponer que

f

(

x

)

> m

, para todo

x

2

[

a;b

]

. Por tanto, lo que vale es que existe

x

0

2

[

a;b

]

tal que

f

(

x

0

) =

m

.

De manera similar se demuestra que existe

x

0

2

[

a;b

]

tal que

f

(

x

0

) =

M

. Las demostraciones de los teoremas de Bolzano y Weierstrass tienen un carácter no constructivo puesto que no proveen un método para hallar la posición exacta de un cero o del máximo o del mínimo de una función continua en un intervalo cerrado. Hemos demostrado únicamente la existencia de los valores destacados.

Los teoremas son, sin embargo, muy útiles y son usados para demostrar muchas propiedades, algunas de las cuales no son del todo obvias a simple vista.

De algunas de las aplicaciones del Teorema de Bolzano nos ocuparemos a continuación.

11.6 Ceros de funciones

Dada la función

f

(

x

)

, decimos que

c

es raíz o cero de

f

(

x

)

si y sólo si

f

(

c

) = 0

.

Así, por ejemplo, los puntos de la forma

k

, con

k

2Z, son todos ceros de la función

sen

x

, y

c

es cero de la función polinómica

p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

si, y sólo si

a

n

c

n

+

a

n

1

c

n

1

+

+

a

1

c

+

a

0

= 0

:

No toda función tiene necesariamente un cero: la función

f

(

x

) = sen

x

2

no tiene ningún cero puesto que

1

sen

x

1

, para todo

x

2R, y la función cuadrática

g

(

x

) =

x

2

+1

tampoco tiene ningún cero (real) ya que

x

2

0

, para todo

x

2R.

Por otra parte, la función algo más compleja,

h

(

x

) = sen

2

x x

3

+ 2

tiene un cero en el intervalo

[0

;

]

. La afirmación, que no parece obvia, sigue de aplicar el Teorema de Bolzano, puesto que

h

(

x

)

es continua en

[0

;

]

,

h

(0) = 2

>

0

y

h

(

) =

3

+ 2

<

0

. También la función polinómica

q

(

x

) =

x

375

_{+ 624}

_x

210

₃₂₅

_{tiene un cero en el intervalo}

_[0

_;

_1]

_{, ya que}

_q

_{(0) = 325}

_<

₀

_y

_q

_{(1) = 300}

_>

₀

_.

En el caso que estemos tratando con funciones polinómicas de la forma:

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

;

con

n

impar, tenemos, a partir del Teorema de Bolzano, un resultado general que incluye en particular, el caso de la función

q

(

x

)

dada arriba. Más precisamente:

Teorema 26 Si

n

es impar, entonces cualquier ecuación

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

= 0

tiene al menos una raíz (real).

Prueba: Consideremos la función polinómica

p

(

x

) =

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

:

11.6 Ceros de funciones 183 Sabemos que

p

(

x

)

es una función continua (toda función polinómica lo es). Si hallamos dos puntos

a

y

b

tales que

p

(

a

)

y

p

(

b

)

tienen signos opuestos, entonces, de aplicar el Teorema de Bolzano, sigue el resultado deseado.

Tenemos que

p

(0) =

a

0

; si

a

0

= 0

, no queda nada por demostrar:

0

es raíz de la ecuación. Si

a

0

6

= 0

entonces

0

puede ser uno de los puntos

a

y

b

que estamos buscando.

Nuestra intuición nos dice que para números

x

conj

x

jgrande, el signo de

p

(

x

)

depende del sig-no de

x

n

, en el sentido que sij

x

jes grande y

x >

0

, entonces

x

n

es positivo y mucho mayor que

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

, tanto como para que sea

p

(

x

)

>

0

, y sij

x

jes grande y

x <

0

, entonces

x

n

es negativo y mucho menor que

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

tanto como para que resulte

p

(

x

)

<

0

.

Así, si

a

₀

>

0

podemos elegir

b <

0

tal que

p

(

b

)

<

0

y aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo cerrado

[

b;

0]

, y si

a

0

<

0

elegimos

b >

0

con

p

(

b

)

>

0

y aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo cerrado

[0

;b

]

.

De acuerdo con todo lo anteriormente expuesto, para demostrar el resultado basta verificar que, paraj

x

jgrande, el signo de

p

(

x

)

depende del signo de

x

n

.

Tomemos la función

p

_x

(

x

_n

)

. Es

p

(

x

)

x

n

= 1 +

a

n

_x

1

+

+

a

1

x

n

1

+

_x

a

n

0

:

Como

lim

j

x

j!1

1

x

k

= 0

, para todo

k

2 N, sigue que

lim

j

x

j!1

p

(

x

)

x

n

= 1

:

Luego, dado

"

= 1

, existe

N >

0

tal que sij

x

j

> N

entonces

p

(

x

)

x

n

1

<

1

2

:

Así, sij

x

j

> N

entonces

p

(

x

)

x

n

>

1

₂

;

de modo que, si

x > N

entonces

p

(

x

)

> x

₂

n

>

0

y si

x < N

entonces

p

(

x

)

< x

₂

n

<

0

En el enunciado del Teorema 6 consideramos la ecuación

a

n

x

n

+

a

n

1

x

n

1

+

+

a

1

x

+

a

0

= 0

con

a

n

= 1

y

n

impar. La condición de ser

a

n

= 1

no es restrictiva ya que si

a

n

6

= 0

entonces, al dividir por

a

n

, conseguimos la ecuación:

x

n

₊

a

n

1

a

n

x

n

1

+

+

a

1

a

n

x

+

a

a

n

0

= 0

que es obviamente equivalente a la ecuación original. Que

n

sea impar es, en cambio, una condición esencial, puesto que, para

n

par, no siempre podemos garantizar la existencia de raíces reales. Por ejemplo, la ecuación

x

2

+ 1 = 0

no tiene raíces reales, la ecuación

x

2

+ 2

x

+ 1 = 0

tiene una raíz real doble

x

0

= 1

y la ecuación

x

2

+ 2

x

3 = 0

tiene dos raíces reales

x

1

= 3

y

x

2

= 1

.

Ejercicios

1. Determine si el teorema del valor intermedio es válido para el valor de

k

dado. Si el teorema se cumple, halle

c

tal que

f

(

c

) =

k

. Si el teorema no es aplicable, dé la razón.

(a)

f

(

x

) =

x

3

2

x

2

+ 3

;

[ 1

;

2]

; k

= 2

. (b)

f

(

x

) =

x

3

2

x;

[ 3

;

0]

; k

= 3

. (c)

f

(

x

) = 4

_x

_{+ 2}

;

[ 3

;

1]

; k

= 12

.

(d)

f

(

x

) =

1 +

x

si

4

x

2

2

x

si

2

< x

1

;

[ 4

;

1]

; k

_{= 12}

.

2. Demuestre que las siguientes ecuaciones tiene una raíz entre los puntos indicados: (a)

x

5

3

x

4

2

x

3

x

+ 1 = 0

entre

0

y

1

.

(b)

x

3

4

x

2

+

x

+ 3 = 0

entre

1

y

2

. (c)

x

3

+

x

+ 3 = 0

entre

2

y

1

.

11.7 Ejercicios adicionales

Se proponen como ejercicios los dados en

R. Giudici y R. Silva de Giudici, Guía de Problemas Matemáticas I, Segunda Edición (1995), Equinoc-cio.

pp. 62-64, Nos. 1-15

Además se proponen los siguientes ejercicios.

1. Considere las funciones cuyos gráficos se dan en las figuras 11.25 , 11.26 , 11.27 en la página 185 , y diga dónde son continuas.

Figura 11.25

Figura 11.26

2. Dibuje aproximadamente el gráfico de las funciones siguientes y diga dónde son continuas (a)

f

(

x

) =

j

x

2

2

x

j

(b)

f

(

x

) = 2

h

x

2

11.7 Ejercicios adicionales 185 Figura 11.27 (c)

f

(

x

) =

8 > < > :

sen

x

sij

x

j

6

1

2

sij

x

j

<

6

(d)

f

(

x

) =

8 > < > :

x

2

₄

x

2

si

x

6

= 2

3

si

x

= 2

(e)

f

(

x

) =

8 > < > :

x

3

₃

_x

2

_{+ 5}

_x

₃

x

1

si

x

6

= 1

2

si

x

= 1

3. Estudie la continuidad de las funciones siguientes en los puntos indicados. (a)

f

(

x

) =

j

x

3

2

x

jen

0

y

1

(b)

f

(

x

) =

8 > > < > > :

x

2

p

x

+

p

2

si

x

6

=

p

2

4

p

2

si

x

=

p

2

en 0 y p

2

(c)

f

(

x

) =

8 < : j

x

j

1

p

x

1

si

x

6

= 1

2

si

x

= 1

en 1 y p

2

4. Dé ejemplos (mediante gráficos y, si es posible, fórmulas) de funciones que satisfagan lo siguiente. (a)

f

: [0

;

2]

!Rcontinua excepto en

0

y

1

.

(b)

f

:

R !Rdiscontinua en exactamente tres puntos.

(c)

f

:

R !Rdiscontinua en

x

= 0

, pero tal que

g

(

x

) = (

f

(

x

))

2

sea continua. (d)

f;g

:

R !Rdiscontinuas en

x

= 1

, pero tales que

f

(

x

)

g

(

x

)

sea continua.

(e)

f

:

R !Rtal que

f

(

x

) =

x

2

para

x

2

, es continua pero

f

(2)

6

= 4

.

5. A partir de la definición probar que las funciones siguientes son continuas en los puntos indica-dos. (a)

f

(

x

) =

x

; todo

x

0

2 R (b)

f

(

x

) =

j

x

j; todo

x

0

2 R (c)

f

(

x

) =

p

x

; en 0. (d)

f

(

x

) =

a

; todo

x

0

2 R. (e)

f

(

x

) = 1

_x

; en 2.

6. Sea f una función continua en [-2,7] y supongamos que f no se anula en ningún punto de ese intervalo. Pruebe que

f

_f

(

₍

x

_y

)

₎

es positivo si

x;y

2

[ 2

;

7]

.