ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

Asignatura Clave: FIM006 Número de Créditos: 7 Teóricos: 4 Prácticos: 3

INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA:

El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como Posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los periodos de evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu tutor de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de asesorías. Se recomienda al titular (estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura. Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.- Relación de las unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática consistente en información inicial para que desarrolles los temas.

COMPETENCIAS:

• Podrá analizar las variables físicas más importantes dentro de los fenómenos naturales y de los aparatos construidos.

• Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo • Reforzará el pensamiento lógico y simbólico

• Estimulará el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos físicos.

SUMARIO:

Desarrollar el espíritu científico de asombro, observación, búsqueda y entendimiento del comportamiento físico de la naturaleza

ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO:

Unidad I Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Unidad II Soluciones en forma explícita

Unidad III Soluciones en forma implícita y paramétrica Unidad IV Solución general y solución particular

Unidad V Ecuaciones diferenciales de primer orden. Unidad VI El método de variables separables

Unidad VIII Ecuaciones diferenciales lineales.

A C T I V O S

UNIDAD I

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

I.1. - Variable dependiente y variable independiente.

I.2. - Ecuación diferencial.

I.3. - Clasificación de las ecuaciones diferenciales. I.4. - Ejemplos

Actividad: Realizar la clasificación de las ecuaciones diferenciales que se encuentran al final de la unidad según sus características.

UNIDAD II

SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA

. II.5 . - Solución

II.6. - Identidad

II.7. - Formas de representar la solución II.8. - Soluciones en forma explícita

II.9. - Verificación de soluciones explícitas II.10. - Ejemplos

Actividad: Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a las ecuaciones que se encuentran al final de esta unidad en forma explicita.

UNIDAD III

SOLUCIONES EN FORMA IMPLÍCITA Y PARAMÉTRICA.

III.11. - Soluciones en forma implícita.

III.12. - Verificación de soluciones implícitas. III.13. - Ejemplos en forma implícita.

III.14. - Soluciones en forma paramétrica.

III.15. - Verificación de soluciones paramétricas. III.16. - Ejemplos.

Actividad: Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a las ecuaciones que se encuentran al final de esta unidad en forma implícita y paramétrica.

UNIDAD IV

SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR.

IV.17. - Solución general.

IV.18. - Solución particular. IV.19. - Ejemplos

Actividad: Aplicar los métodos de la solución general y la solución particular para solucionar los ejercicios propuestos al final.

UNIDAD V

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

V.20. - Las formas de expresión.

V.21. - Forma general. V.22. - Forma estándar. V.23. - Forma diferencial.

V.24. - Paso de una forma a otra.

V.25. - ¿Siempre se puede pasar de una forma a otra?

UNIDAD VI

EL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES

VI.26 - Método de variables separables.

VI.27. - Ejemplos.

UNIDAD VII

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.

VII.28. - Qué es una ecuación diferencial homogénea

VII.29. - Solución usando y=ux en la forma diferencial. VII.30. - Ejemplos de solución de ecuaciones homogéneas. VII.31. - Ejemplos de la forma diferencial: Mdx + Ndy = 0.

UNIDAD VIII

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.

VIII.32. - Ecuación diferencial lineal.

VIII.33. - Ecuación lineal homogénea y no homogénea. VIII.34. - Estructura de la solución.

ESCENARIOS INFORMATIVOS:

• Asesores Locales

• Asesores Externos • Disposición en Internet • Puntualidad en Intranet • Fuentes Directas e Indirectas • Bibliografía

Disposición en Internet:

BIBLIOGRAFÍA:

GRANVILLE, Smith y Longley

1999 Cálculo diferencial e integral, Editorial Uteha AYRES, frank, jr.

1998 Ecuaciones diferenciales, Editorial Mcgraw hill

PRINCIPIA TEMATICA:

1.1.- Aquí aprenderemos algunas formas con las que se cuenta para clasificar las ecuaciones diferenciales, lo cual será muy importante, porque a lo largo de este curso, saber clasificar una ecuación diferencial, nos permitirá reconocer el método que aplicaremos para “resolverla”. Así que prestemos mucha atención.

Antes de ver que es una ecuación diferencial, necesitamos recordar como reconocer cual es la variable dependiente y cual la variable independiente en una derivada.

En una derivada, la variable dependiente o función es la que aparece “arriba” en el símbolo que indica la derivada, y la variable independiente es la que aparece “abajo” en tal símbolo.

Así en

dx dy

, la variable dependiente es y y la variable independiente es x. En ₂

2

dy x d

, la variable dependiente es x y la variable independiente es y. Mientras que en la derivada parcial

t x z ∂ ∂ ∂2 , la variable dependiente es z y las independientes x y t.

En la mayoría de los problemas que resolveremos en este curso, la variable dependiente será y y la independiente será x.

I.2.- Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones diferenciales:

dy dx = −x y d y dx y x 2 2 3 + = y f y x f ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂2 ′′′ − ′′ = y y 0

Note que las derivadas que aparecen en las ecuaciones diferenciales son las que se estudiaron en los cursos previos de cálculo.

Las ecuaciones diferenciales son, ante todo, ecuaciones. Es decir, llevan el signo de igualdad: =. Por esto: y

dx dy

+ no es una ecuación diferencial. Tampoco lo es: y′′≤ y.

I.3.- Veremos cuatro maneras de clasificar las ecuaciones diferenciales. Éstas son:

De acuerdo al tipo. De acuerdo al orden. De acuerdo al grado. De acuerdo a la linealidad.

Ahora estudiaremos estas formas una por una. De acuerdo al tipo.

De acuerdo con esta modalidad de clasificación, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ordinarias: Si contienen una sola variable independiente. Parciales: Si contienen dos o más variables independientes. Veamos algunos ejemplos:

Las ecuaciones: dy dx = −x y, d y dx y x 2 2 3 + = , y′′′ − ′′ =y 0 son ordinarias. En las dos primeras ecuaciones las variable independiente es

x, en la tercera no se reconoce a la vista cuál es la variable

independiente, pero en el contexto del problema del cual surge esta ecuación se debe entender cual es tal variable.

La ecuación: y f y x f ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂2

es parcial. Las variables independientes son x

La ecuación: ₂ 0 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x w x w

puede considerarse ordinaria, ya que posee solamente una variable independiente. De hecho, puede escribirse:

0 2 2 = + dx dw dx w d . O más simplemente: w′′+w′=0. De acuerdo al orden.

Recuerde que el orden de una derivada es el número que indica las veces que se ha derivado. O sea:

dx dy es de primer orden, ₂ 2 dx y d es de segundo orden, ₃ 3 dx y d es de tercer orden, Etc.

El orden de una ecuación diferencial lo indica la derivada más alta de la ecuación diferencial. Es decir, de todas las derivadas que posea una ecuación diferencial, la de mayor orden es la que indica el orden de la ecuación.

Ejemplos: La ecuación: dy

dx = −x y es de primer orden, porque dx dy

es primera derivada.

De hecho, ésta es la única derivada que existe en la ecuación, por lo tanto, es la que determina el orden.

La ecuación: y x dx dy dx y d = − + 3 2 2

es de segundo orden. Porque de: ₂

2 dx y d y de: dx dy , la más alta es ₂ 2 dx y d

. Note que en tal ecuación aparece la potencia cúbica:

3

y pero la ecuación no es de tercer orden, porque no son las potencias las que determinan el orden sino las derivadas.

y f y x f ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂2 es de segundo orden.

La ecuación: y′′′ − ′′ =y 0 es de tercer orden. De acuerdo al grado:

Antes de ver cómo se clasifica una ecuación diferencial de acuerdo al grado, necesitamos saber que significa que la ecuación está en forma polinomial.

Forma polinomial:

Una ecuación diferencial está en forma polinomial cuando contiene sólo sumas, restas y productos de las variables dependientes y sus derivadas.

Esto implica que puede contener potencias de exponente entero positivo o de exponente cero cuyas bases sean las variables dependientes y sus derivadas.

La mayoría de las veces trataremos con ecuaciones diferenciales cuya variable dependiente sea y. Y por lo tanto, sus derivadas serían: y′,

y′′, etcétera. Entonces, para que una ecuación así esté en forma polinomial, ésta debe contener sólo sumas, restas y productos de y y sus derivadas, como por ejemplo: y+y′,

dx dy dx y d ₋ 3 3 , yy′′′, etcétera. También puede contener potencias cuyo exponente sea positivo o cero y cuya base sea y o sus derivadas, como: 4

y , 3 ) (y′′ , 2       dx dy , etcétera. En estas circunstancias, no importa la operación que esté haciendo la x, ni el exponente que tenga, (no importa como aparezca la x). A las que se debe vigilar es a y y a sus derivadas.

Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones diferenciales escritas en forma polinomial: x y y y′′′− ′+ = . 0 3 ′ = + ′′ yy y . x y y′₊( ′)2 ₌sen _. x e dx dy dx y d = −       2 5 3 3 . 2 3 = − − y x

yiv . Vea que la x tiene exponente negativo, pero no importa, porque es la variable independiente.

0 = − y dx dy x . 4 ) (lnx y′′−y= .

La forma polinomial no contiene potencias de exponente negativo o fraccionario cuyas bases sean variables dependientes o sus derivadas, ni tampoco logaritmos, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones

hiperbólicas, funciones hiperbólicas inversas, etc., que lleven en su argumento a las variables dependientes o a sus derivadas.

Por lo tanto, si la ecuación diferencial posee por variable dependiente a

y y por variable independiente a x, para estar en forma polinomial tal ecuación no debe contener expresiones como las siguientes: _y−3_{, (y}′′₎−1_,

2

1

y (¿Por qué ésta no?),

3 / 1

)

(y′ , y (¿Por qué ésta tampoco?), lny′,

y

e2 ′′, cos(1+ y′), csc−1y, senhy′, tanh−1(3y′′). Etcétera.

Como ejemplo, las siguientes ecuaciones diferenciales no están escritas en forma polinomial. x y y′− −1 = . 0 = ′ − ′′ y y y .

Esta ecuación no está en forma polinomial debido a que si se escribe:

0 ) ( ′ 1 ₌ − ′′ − y y

y , se obtiene una potencia de exponente negativo.

x dx dy dx y d sen 3 2 2 = − . 4 sen = − ′′ ′ y y .

A veces ocurre que una ecuación diferencial que no está escrita en forma polinomial, puede ser puesta en tal forma, si se manipula algebraicamente. Veamos los ejemplos que siguen.

0 = ′ − ′′ y y

y . Vimos que esta ecuación no está en forma polinomial, pero si se multiplica por y′, obtenemos: y′y′′−y =0, la cual sí está en forma polinomial. 1 = − ′′ ′ y

y . No está en forma polinomial debido a la presencia de la raíz, pero si la rescribimos del modo siguiente: y′′′ = y+1, y luego elevamos al cuadrado: 2 2 ) 1 ( ) ( y′′′ = y+ , lo cual da: y′′′= y2+2y+1. Ésta última sí está en forma polinomial.

Clasificación de acuerdo al grado:

El grado de una ecuación diferencial lo indica el exponente a que está elevada la derivada de mayor orden de la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté expresada en forma polinomial. Si la ecuación no se puede expresar en forma polinomial, no tiene grado.

Es decir, el grado lo determina la misma derivada que indica el orden.

Ejemplos:

( )

y′′ −3 5y′ =6. Está en forma polinomial. Es de tercer grado, puesto que la segunda derivada, que es la que indica el orden, está elevada al cubo.

( )

5 x y y′ ′′′ +3 y′′ =4 senx. Está en forma polinomial. Es de primer grado, porque la y′′′ tiene al uno como exponente.

1

= − ′′

′ y

y . Esta ecuación no está en forma polinomial, pero al manipularla algebraicamente ya vimos que se puede escribir:

1 2 2_{+ +} = ′′ ′ y y

y , la cual es de primer grado porque y′′′ tiene al uno como exponente.

( ) ( )

ln xy′ +5 y′′ =3 2. No está en forma polinomial porque ln

( )

xy′ no es producto de y y sus derivadas. Además no se ve cómo pueda manipularse la ecuación para escribirla en forma polinomial. Concluimos que no tiene grado.

De acuerdo a la linealidad:

El concepto de linealidad requiere también del concepto de forma polinomial.

Una ecuación diferencial es lineal si al expresarla en forma polinomial cumple que las variables dependientes y sus derivadas son todas de primer grado; los coeficientes de éstas son funciones de las variables independientes o constantes.

Si la ecuación diferencial no cumple con alguna de las dos condiciones anteriores es no lineal.

Desde luego, si una ecuación diferencial no se puede escribir en forma polinomial se considera no lineal.

Considerando que la ecuación diferencial posee por variable dependiente a la y y por variable independiente a la x, una vez que está escrita en forma polinomial, es lineal si los términos de y, y′, y′′, ..., están “elevados a la uno”; y los coeficientes de éstos términos son funciones de x o constantes.

Ejemplos.

( )

5x y3 ′′′ −2y′′ +3lnx y=9ex. Primero vemos que sí está en forma polinomial.

Luego vemos que es lineal porque cumple con las dos condiciones a) y b) de linealidad.

yy′′′ −5y′ =2. Esta ecuación está en forma polinomial. Pero es no lineal porque y′′′ está multiplicada por y, o sea, no se cumple la condición b) de linealidad.

seny′ +5ex =3y. Es no lineal porque no se puede escribir en forma polinomial.

( )

′′ − ′ =

y 5 y 3 y. Sí está en forma polinomial, pero es no lineal porque y′ es de grado 3, es decir, no se cumple la condición a) de linealidad.

x x y t t y x y = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ 3 3 4 4

. Está en forma polinomial. Las derivadas de y están todas elevadas a la uno, por lo tanto, se cumple la condición a) de linealidad. Las derivadas poseen por coeficientes a 1, −1, y a −t, las cuales son constantes o funciones de las variables independientes, que son

x y t. Por lo tanto, se cumple la condición b). Esto implica que la ecuación es lineal. y w t w w ∂ ∂ = ∂ ∂

. Está escrita en forma polinomial. Pero no cumple la condición b) de linealidad porque el coeficiente de

t w

∂ ∂

es w, que es la variable dependiente. Por lo tanto, es no lineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n y linealsiempre se puede expresar en la forma:

( ) ( ) _{( )} ( ) _{( )} ( ) _{( ) ( ) ( )}

a x y_n n +a_n−1 x y n−1 +a_n−2 x y n−2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a x y₁ ′ +a x y₀ = g x

En esta forma:

( )

a x₀ , a x₁( ), Κ , a x_n( ) y g x( ) son funciones de x definidas en algún intervalo común, pudiendo ser constantes algunas de ellas.

Por ejemplo: x y e y y x 6 3 x tan

5 2 ′′′− ′′+ = . Es ordinaria y lineal de tercer orden. Actividad I.-

Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine cuáles son las variables independientes, cuáles son las variables dependientes, el tipo, el orden, el grado, y si es lineal o no

( )

y′′ −2 3yy′ +xy=0. ( ) x y4 4 +xy′′′ =ex. t s2 ′′ − ′ = −ts 1 sent. ( ) y 4 ₊xy_{′′′ + ′′ −}y x y2 _{′ +sen}y_=0. d r dy y n n = + 2 1. d r dy d r dy y dr dy 2 2 2 ₂ 2 0       + + = . d r dy y x 2 2 3 2       + = / . d b dp p 7 7 =3 . db dp p       = 7 3 . x y t t y x ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 4 0 − = . ∂ ∂ ∂ ∂ u x u y x y       + = 3 2 2 . ′ + = y y x y.

( )

yv 3− ′′′ + ′′ −y y y2 =0. 2 2 2 4 4       = v m kv t m ∂ ∂ ∂ ∂ . yy′′ +x y2 = x.

II.5.- Para empezar veamos qué es una solución y el importante concepto de i dentidad.

SOLUCIÓN

La solución de una ecuación diferencial es cualquier función que no contiene derivadas y que al sustituirla en la ecuación diferencial se obtiene una identidad.

II.6.- IDENTIDAD

Una identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores permitidos de sus letras. Valores permitidos son aquellos para los que están definidos los dos miembros de la ecuación.

Por ejemplo

(

x+y x

)(

− y

)

= x2 −y2 es una identidad, porque cualquier par de valores de x y de y que se sustituyan en ella nos arrojan el mismo

número en el miembro izquierdo de la ecuación y en el miembro derecho. Como ejemplo, tomemos x=1 y y=3, con los que la ecuación nos queda:

(1 3 1 3+ )( − )=12 −32 ⇒

( )( )

4 −2 =1−9 ⇒ − = −8 8 Otros ejemplos de identidades son los siguientes:

x2 = x

x+ =2 x+2

x=x

5=5

Por los últimos tres ejemplos anteriores podemos concluir que toda ecuación que posea la misma expresión algebraica en los dos miembros es obviamente una identidad. En este último sentido manejaremos nosotros el concepto de identidad en este curso.

II.7.- FORMAS DE REPRESENTAR LA SOLUCIÓN

Se verán cuatro maneras de expresar la solución de una ecuación diferencial, son:

en forma explícita. en forma implícita. en forma paramétrica.

y la forma de la solución de una ecuación diferencial parcial.

Ahora nos dedicaremos a estudiar la primera de estas modalidades de expresión de las soluciones.

II.8.- SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA

La solución de la ecuación diferencial está en forma explícita cuando la variable dependiente de la solución se encuentra despejada

II.9.- VERIFICACIÓN DE SOLUCIONES EXPLÍCITAS

Para verificar que una función dada definida en forma explícita es solución de una ecuación diferencial, primero debe derivarse tal función tantas veces como orden tenga la ecuación diferencial.

Posteriormente se sustituyen estas derivadas y la función original en la ecuación diferencial. Si se obtiene una identidad es que la función dada es solución de la ecuación diferencial. Si esto no es así es porque no lo es, o porque nos equivocamos en el proceso de probar.

II.10.- EJEMPLOS Ejemplo 1.

Determine si la función: y=c e₁ −x+c e₂ x+c e₃ −2x+c e₄ 2x es solución de la ecuación diferencial: yiv −5y′′ +4y=0.

En la función dada, c1, c2, c3 y c4 son constantes.

Primero debemos derivar la función 4 veces porque la ecuación diferencial es de 4to. orden:

′ = − − + − − + y c e₁ x c e₂ x 2c e₃ 2x 2c e₄ 2x x x x x e c e c e c e c y′′= ₁ − + ₂ +4 ₃ −2 +4 ₄ 2 ′′′ = − − + − − + y c e₁ x c e₂ x 8c e₃ 2x 8c e₄ 2x yiv =c e₁ −x +c e₂ x +16c e₃ −2x +16c e₄ 2x

Sustituyendo las expresiones de yiv, y′′ y y en la ecuación diferencial:

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 y e c e c e c e c y e c e c e c e c x x x x iv x x x x ′′ + + + − + + + − − − − ) 4 4 ( 5 16 16 ₃ 2 ₄ 2 _{1 2 3} 2 ₄ 2 2 1 0 ) ( 4 ₁ + ₂ + ₃ 2 + ₄ 2 = + − − 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 y e c e c e c e c x x x x Simplificando: x x x x x x x x x x e c e c e c e c e c e c e c e c e c e c₁ − + ₂ +16 ₃ −2 +16 ₄ 2 −5 ₁ − −5 ₂ −20 ₃ −2 −20 ₄ 2 +4 ₁ − +4 ₂ 0 4 4 ₃ 2 + ₄ 2 = + − x x e c e c Obtenemos: 0=0

Debido a que 0=0 es una identidad, concluimos que la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada.

Ejemplo 2.

Determine si y x

x x

= sen , ≠0, es solución de la ecuación diferencial

xy′ + =y cosx.

Derivando la función una vez: ( ) ( ) ′ = _    = − = − y d dx x x x d dx x x d dx x x x x x x

sen sen sen cos sen

2 2

Sustituyendo éste resultado y la expresión de y en la ecuación diferencial:

xx x x

x

x

x x

cos sen sen

cos

−

+ =

Simplificando: x x x x x x x cos sen sen cos − _{+ =} ⇒ x x x x x x

cos sen sen

cos − + = ⇒ x x x x cos cos = ⇒ cosx =cosx

La ecuación cosx =cosx es una identidad; por lo tanto, la expresión dada sí es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3.

Determine si y=e−xcosx

2 es solución de la ecuación diferencial:

′′ + ′ = −

y y e xcosx

2.

Derivamos la función dos veces:

( )

( )

( ) ′ = _ _ = _ _ + = −           + − − − − − − y d dx e x e d dx x x d dx e e x x e x x x x x

cos cos cos sen cos

2 2 2 2 1 2 2 1 ′ = − − − − y 1e x x e x x 2 sen2 cos2 ′′ = −      −       − − y d dx e x d dx e x x x 1 2 sen2 cos2

De las dos expresiones de derivada, que hay en esta última ecuación, la segunda ya la resolvimos (es la misma que la expresión con la que se calculó y′). Por lo tanto: ′′ = − _ _ − − −      − − − y d dx e x e x e x x x x 1 2 2 1 2 2 2

sen sen cos

( )

′′ = − _    +    − − −       − − − − y e d dx x x d dx e e x e x x x x x 1 2 2 2 1 2 2 2

sen sen sen cos

(

)

′′ = −  _ _ + −   − − −       − − − − y 1 e x x x e x e x x e x x 2 2 1 2 2 1 2 2 2

′′ = −  −   − − −       − − − − y 1 e x x e x x e x x e x x 2 1 2 2 2 1 2 2 2

cos sen sen cos

′′ = − − + − + − + − y 1e x x e x x e x x e x x 4 2 1 2 2 1 2 2 2

cos sen sen cos

2 sen 2 cos 4 3_e x _e x y ′′= −x + −x

Ahora sustituimos tanto y′ como y′′ en la ecuación diferencial y obtenemos:

3

4 2 2

1

2 2 2 2

e−xcosx+e−xsenx− e−xsenx−e−xcosx =e−xcosx

−1 − + − = −

4 2

1

2 2 2

e xcosx e xsenx e xcosx

Ahora se trata de saber si esta ecuación es una identidad. Para ello la manipularemos algebraicamente con el fin de simplificarla:

1

2 2 2

1

4 2

e−xsenx =e−xcosx+ e−xcosx ⇒ 1

2 2

4

4 2

1

4 2

e−xsenx = e−xcosx+ e−xcosx

⇒ 1 2 2 5 4 2 e−xsenx = e−xcosx ⇒ ( )4 1 2 2 5 4 2 e−x x = e−x x       sen cos ⇒ 2 cos 5 2 sen 2e−x x = e−x x

Se puede averiguar si esta ecuación es una identidad sustituyendo varios valores de x en ambos miembros:

Por ejemplo, si x=0 se tiene:

2 0

2 5

0 2

0 0

e− sen = e− cos ⇒ 2e0sen0=5e0cos0 ⇒ 2 1 0( )( ) =5 1 1( )( ) ⇒ 0=5

Obviamente 0=5 no es una ecuación verdadera. Por lo tanto, para x=0 la función no es solución. Ahora tomemos x=1: 2 1 2 5 1 2 1 1 e− sen = e− cos ⇒ 0.3527...=1.6142... Entonces, para x=1 la función no es solución.

La tabla siguiente muestra los cálculos obtenidos si tomamos otros valores de x:

x 2 cos 5 2 sen 2e−x x = e−x x 0 0 = 5 1 0.3527 = 1.6142 2 0.2277 = 0.3656 3 0.0993 = 0.0176 4 0.0333 = -0.0381 5 0.0080 = -0.0269 6 0.000699 = -0.01226 7 -0.000639 = -0.004269 8 -0.000507 = -0.001096 9 -0.000241 = -0.00013

Por los cálculos mostrados en la tabla, concluimos que la función dada no es solución de la ecuación diferencial.

Otra forma como podemos proceder en este caso, es la siguiente. Partiremos de la ecuación que tabulamos, o sea de:

2

2 5 2

e−xsenx = e−xcosx. Podemos dividir esta ecuación entre e−x. Esto es posible ya que e−x ≠0 para cualquier valor dex.

Tenemos: 2 2 5 2 senx = cosx ⇒ . sen cos x x 2 2 5 2 =

Y como sabemos que la identidad trigonométrica: x x x tan cos sen ₌ es válida para toda x, podemos concluir que:

2 5 2 tanx =

En virtud de la identidad trigonométrica: tanx=tan

(

x±nπ

)

, en la que n

es un entero positivo o cero, podemos decir que:

2 5 2 tan _=      ±x nπ . De lo que se desprende que:

2 5 arctan 2±nπ = x O bien: π n x _{= ±} 2 5 arctan 2 ⇒      _± = nπ x 2 5 arctan 2 ⇒ x 2nπ 2 5 arctan 2 ± = ⇒ x=2.380579...±2nπ .

Ésta ecuación nos da los valores de x para los que la función nos da una identidad. Los cuales pueden obtenerse dando valores a n: Si n=0 ⇒ x =2.380579...±2

( )

0π ⇒ x=2 380579. ...

Si n=1 ⇒ x =2.380579...±2

( )

1π ⇒ x=2.380579...+2π y x=2.380579...−2π ⇒ x=8 663765. ... y x= −3 902605. ... Si n=2 ⇒ x =2.380579...±2

( )

2π ⇒ x=2.380579...+4π y x=2.380579...−4π ⇒ x=14 946950. ... y x= −10 185790. ... Etc...

Puede verse que los valores de x obtenidos, que son los que hacen que la función nos de una ecuación válida, son aislados; o sea, están separados unos de otros. En otras palabras, no forman un intervalo de valores que contenga a todos los números entre sus extremos.

Cuando se habla de la solución de una ecuación diferencial nos interesa que tal solución sea válida para todo un intervalo de valores de x. Por esto, no podemos decir que la función dada sea solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4.

Determine si _y=ex x_et _dt+cex

∫

₀ 2

es solución de la ecuación diferencial ′ − = +

y y ex x2.

Note que en este caso la función contiene una expresión integral. Esto se debe a que la solución de tal integral no se puede expresar en términos de funciones elementales.

Que en la función se incluya una integral es permitido, en casos como estos, porque recuerde que el requisito de una función para ser solución es que no contenga derivadas (además de cumplir con la ecuación diferencial).

En la función y en la ecuación diferencial dadas, la variable independiente es lax, ya que la t es sólo una variable provisional usada para expresar la integral definida no resuelta. Derivamos una vez la función con respecto a x:

( )

x x t x x x t x _ce dx d dt e e dx d ce dt e e dx d y +      =       ₊ = ′

_∫

_∫

0 0 2 2

( )

x

( )

x x t x t x e dx d c e dx d dt e dt e dx d e y + +      = ′

_∫

_∫

0 0 2 2

Para efectuar      

_∫

_{e dt} dx d x t 0 2

recordemos que la derivación y la integración indefinida son procesos contrarios, es decir:

( ) ( )

d

dx

∫

f x dx f x



  = . En nuestro caso resultaría:

2 2 t t _{dt e} e dx d ₌      

_∫

_.

Pero, en nuestro problema se trata de una integral definida. Supongamos que al efectuar la integral indefinida

∫

e dtt2 , nos resulta una función de t , digamos F t( ) (prescindiendo de la constante de integración). O sea:

∫

e dtt2 = F t( ). De ésta ecuación podemos decir que:

( )

d

dt F t e

t

= 2

. O de otro modo (cambiando la letra por otra): d ( )

dx F x e

x

= 2

. Por lo anterior, nuestra integral definida nos quedaría:

( )

₀ 0 2 x x t t F dt e =

∫

= F x( )−F( )0 .

En esta ecuación es obvio que F

( )

0 es una constante. Si derivamos esta ecuación con respecto a x, tenemos:

( )

( )

0 0 2 F dx d x F dx d dt e dx d x t _{= −}     

_∫

Pero ya se vio que: d ( )

dxF x e

x

= 2

, y como F( )0 es constante, su derivada es cero. Por lo tanto: 2 2 0 2 0 x x x t e e dt e dx d = + =      

_∫

_.

Usando este último resultado, la derivada nos queda:

x x t x x x x x t x x x ce dt e e e ce dt e e e e y′= +

∫

+ = + +

∫

+ 0 0 2 2 2 2

Si sustituimos y y y′ en la ecuación diferencial, resulta:

x x t x x x _{e e dt ce} e + +

∫

+ 0 2 2 2 2 0 x x x x t x _{e dt ce e} e = +      ₊ −

_∫

x x x x t x ce dt e e e + +

∫

+ 0 2 2 2 2 0 x x x x t x e ce dt e e − = + −

_∫

ex x+ 2 ₌ex x+ 2

Como esta ecuación es una identidad, entonces la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada.

La forma implícita es importante porque cuando se resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden, muchas veces la solución se obtiene en forma implícita.

III.11. - Se dice que la solución de una ecuación diferencial está escrita en forma implícita cuando la variable dependiente no se encuentra despejada.

III.12. - Para proceder a comprobar si una relación implícita dada es solución de una ecuación diferencial dada, se tienen los tres procedimientos siguientes:

DESPEJANDO LA VARIABLE DEPENDIENTE.

Este procedimiento consiste en intentar expresar la relación dada en forma explícita, es decir, despejar la variable dependiente y luego proceder a derivar y sustituir en la ecuación diferencial, lo cual ya se explicó en el capítulo 2.

Este método, no puede constituir un procedimiento general porque muchas veces no se puede despejar la variable dependiente o, al menos, es difícil o no práctico hacerlo.

LLEGANDO A LA IDENTIDAD.

Este consiste en derivar implícitamente la relación dada tantas veces como el orden de la ecuación diferencial, despejando en cada caso la derivada, y luego sustituir las expresiones de estas derivadas en la ecuación diferencial. Si con esto se logra una identidad, entonces la función dada es solución.

LLEGANDO A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Este método consiste en derivar la relación dada tantas veces como orden tenga la ecuación diferencial, y luego utilizando la relación implícita original y las derivadas obtenidas, tratar de que se logre la ecuación diferencial dada, en cuyo caso, la función dada es solución de la ecuación diferencial. Note que en este método no se sustituye en la ecuación diferencial, sino que ella es deducida a partir de la solución. Los detalles de la aplicación de estos métodos se muestran con los ejemplos siguientes.

III.13.- A continuación se muestran algunos ejemplos que ilustran el método antes descrito

Ejemplo 1.

Determine si xy−lny=1 es solución de y2 +

(

xy−1

)

y′ =0.

En principio, intentaremos resolveremos este problema por los tres métodos enunciados.

a) Despejando la variable dependiente:

Despejar y de la función implícita xy−lny=1 se ve difícil, si no es imposible, por lo que no aplicaremos en este ejemplo el método a). b) Llegando a la identidad:

Derivamos la función implícita xy−lny=1 una vez ya que la ecuación diferencial es de primer orden. Se derivará implícitamente con respecto a x ya que ésta es la variable independiente en la ecuación diferencial. Resulta: xy y y y ′ + − ′ =0 Ahora despejamos y′:xy y y y ′ − ′ = − ⇒ ′ −      = − y x 1_y y ⇒ ′ = − − y y x _y1 ⇒

( )

( )

′ = − − y y x _y y y 1 ⇒ ′ = − − y y xy 2 1 ⇒ y′ = − − y xy 2 1

Sustituimos esta derivada obtenida en la ecuación diferencial:

(

)

y xy y xy 2 2 1 1 0 + − − −       = ⇒ y2 −y2 =0 ⇒ 0=0

Se obtiene 0=0, lo cual es una identidad. Concluimos que la función implícita dada sí es solución de la ecuación diferencial.

c) Llegando a la ecuación diferencial:

La derivada de la función implícita ya se obtuvo en la aplicación del método b) y es: xy y y

y

′ + − ′ =0. De esta ecuación debemos obtener la ecuación diferencial. Esto lo podemos lograr multiplicándola por y:

xyy′ +y2 − ′ =y 0 ⇒ y2 +xyy′ − ′ =y 0 ⇒ y2 +

(

xy−1

)

y′ =0

La última expresión obtenida es la ecuación diferencial dada, por lo que concluimos que la función implícita proporcionada es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2.

Determine si

(

a+bx e

)

y x/ = x es solución de la ecuación diferencial

(

)

x y3 ′′ = xy′ −y 2.

a) Despejando la variable dependiente:

Despejando y de

(

a+bx e

)

y x/ = x, tenemos primero que ey x/ = +_a x_bx. Ahora, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, resulta: lney x/ =ln_a+x_bx. Luego por la propiedad de logaritmos que dice que: log_a xn =nlog_a x tenemos: _xylne=ln_a+x_bx. Como lne=1, entonces:

y

x =lna+xbx. O bien: y x x

a bx

= ln ₊ . Podemos expresar esta última expresión de una manera más conveniente para ser derivada, usando la propiedad de logaritmos que dice que: log_a x_y =log_a x−log_a y, con lo cual obtenemos: y = x

[

lnx−ln(a+bx)

]

.

Ahora ya tenemos la función expresada en forma explícita. Procedemos a derivarla dos veces:

( )

[

]

_[

( )

_]

( ) ′ = − + + − + y x d dx x a bx x a bx d dx x ln ln ln ln ( )

[

]

( ) ′ = _{ − +} _+ − + _{= − + +} − + y _{x x}1 _a b_bx lnx ln a bx 1 _abx_bx lnx ln a bx ( )( ) ( ) ( ) ( ) ′′ = − + − + + − + = − + − + + − + y a bx b bx b a bx x b a bx ab b x b x a bx x b a bx 0 ₂ 1 1 2 2 2 ( ) ′′ = − + + − + y ab a bx x b a bx 2 1

Sustituiremos las expresiones de y y, ′ y y′′ en la ecuación diferencial: ( ) ( )

[

( )

]

x ab a bx x b a bx x bx a bx x a bx x x a bx 3 2 2 1 1 − + + − +    _ =_ _ − + +ln −ln + _− ln −ln + _ ⇒ ( ) ( ) ( ) − + + − + = − + + − + − + +       abx a bx x bx a bx x bx a bx x x x a bx x x x a bx 3 2 2 3 2 2 ln ln ln ln ⇒ ( ) − + + − + = − +       abx a bx x bx a bx x bx a bx 3 2 2 3 2 2

Desarrollando el binomio al cuadrado del miembro de esta ecuación: ( ) ( ) − + + − + = − + + + abx a bx x bx a bx x bx a bx b x a bx 3 2 2 3 2 3 2 4 2 2

Eliminando el término x2 porque está repetido en los dos miembros:

( ) ( ) − + − + = − + + + abx a bx bx a bx bx a bx b x a bx 3 2 3 3 2 4 2 2

Reacomodando los términos y simplificando:

( ) ( ) 2 3 3 2 4 2 3 2 bx a bx bx a bx b x a bx abx a bx + − + = + + ₊ ⇒ abxbx _{( )} b x abx a bx 3 2 4 3 2 + = ₊+ ⇒ ( ) ( ) bx a bx bx a bx a bx 3 3 2 + = ₊ + ⇒ abxbx bx a bx 3 3 + = +

La última ecuación es una identidad, por lo que se puede concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial. b) Llegando a la identidad:

Derivando implícitamente la función

(

a+bx e

)

y x/ =x, obtenemos:

(a bx e) xy y

x be

y x y x

+ / ′ − + / =

2 1

De aquí debemos despejar y′; pero antes de hacerlo y para simplificar nuestra expresión utilizaremos el hecho, proporcionado por la función implícita dada, de que

(

a+bx e

)

y x/ = x. Por lo tanto, tenemos:

xxy y x be y x ′ − + = 2 1 / _{. Y simplificando:} xy y x be y x ′ − + / = 1. Ahora sí despejaremos y′ de ésta expresión:

xy y x be y x ′ − = −1 / ⇒ xy_{′ − =}y x

(

₁₋bey x/

)

_⇒

(

)

xy′ = x1−bey x/ +y ⇒ xy_{′ =} x

(

₁₋bey x/

)

₊y _{⇒ y′ =} x

(

−be

)

+y _{= − +} x be y x y x y x 1 1 / /

Debemos obtener la segunda derivada, derivando implícitamente esta última expresión: ′′ = − _    + ′ − y be d dx y x xy y x y x 0 / _{2 ⇒}

(

)

′′ = − ′ − + ′ − = ′ − − + y be xy y x xy y x xy y x be y x/ y x/ 2 2 2 1 ⇒ y′′ = xy′ − y

(

−

)

x be y x 2 1 /

Necesitamos desaparecer y′ de ésta ecuación. Esto lo podemos lograr usando el hecho de que y′ = −be + y

x y x 1 / . Hacemos esto:

(

)

(

)

(

)

′′ = − +       − − = − + − − = − − y x be y x y x be x bxe y y x be x bxe x be y x y x y x y x y x y x 1 1 1 1 2 2 2 / / / / / /

(

_{) (}

_{) (}

_{) (}

_{) (}

)

′′ = − − = − − = − y x be x be be x be be x y x y x y x y x y x 1 1 1 1 1 2 2 / / / / /

Sustituyendo ahora las expresiones obtenidas de y′ y y′′ en la ecuación diferencial dada, nos resulta:

(

)

2 / 2 / 3 1 1       ₋       _{− +} = − y x y be x x be x y x x y ⇒

(

)

[

]

x2 1−bey x/ 2 = x−bxey x/ + −y y 2 ⇒ x2

(

₁₋bey x/

)

2 ₌

(

x₋bxey x/

)

2 _⇒

[

(

)

]

(

)

x1−bey x/ 2 = x−bxey x/ 2 ⇒

[

x−bxey x/

]

2 =

(

x−bxey x/

)

2 ⇒

(

x−bxey x/

)

2 =

(

x−bxey x/

)

2

Como obtenemos una identidad, concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

c) Llegando a la ecuación diferencial:

Para obtener la ecuación diferencial a partir de la solución, procedemos a derivar implícitamente

(

a+bx e

)

y x/ = x. Y ya se vio en la aplicación del método b), que al hacer esto nos resulta: xy y

x be

y x

′ −

+ / =_1. Derivaremos implícitamente esta expresión y simplificaremos:

(

) (

)

x xy y y xy y x be xy y x y x ′′ + ′ − ′ − ′ − + ′ − = 2 2 0 / _⇒

( )

x xy xy y x be xy y x y x ′′ − ′ + + ′ − = 2 2 0 / ⇒ x y xy y x be xy y x y x 2 2 2 0 ′′ − ′ + + / ′ − = _⇒

(

)

x y xy y x xy y be x y x 2 2 2 0 ′′ − ′ + + ′ − = / ⇒ x y xy y

(

xy y be

)

x y x 2 2 0 ′′ − ′ + + ′ − = / ...(1)

Trataremos ahora de ver si de esta última expresión se obtiene nuestra ecuación diferencial. Lo primero que notamos es que nuestra expresión posee el término bey x/ y la ecuación diferencial no; por lo que debemos eliminarlo de nuestra expresión. Tal cosa puede hacerse si notamos que ese término está presente en la ecuación que resultó al derivar implícitamente la función dada, o sea en: xy y

x be

y x

′ −

+ / =

1. De aquí podemos despejar el término, resultándonos: be xy y

x

y x/ _{= −} ′ −

1 . Si

usamos ésta expresión en la ecuación (1), tenemos:

(

)

x y xy y xy y xy y x x 2 2 1 0 ′′ − ′ + + ′ − _ − ′ −    = Simplificando:

(

)

x y xy y xy y xy y x x 2 2 2 0 ′′ − ′ + + ′ − − ′ − = ⇒

(

)

x y xy y x x 2 2 2 0 ′′ − ′ − = ⇒

(

)

x y x xy y x x 2 2 2 2 0 ′′ − ′ − = ⇒ y′′ −

(

xy′ −y

)

= x 2 3 0 ⇒

(

)

′′ = ′ − y xy y x 2 3 ⇒ x y3 ′′ =

(

xy′ −y

)

2

Esta última expresión es la ecuación diferencial original. Concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3.

Determine si x2 +

(

y−b

)

2 =r2 es solución de la ecuación xy′′ − ′ − ′ =

( )

y 3 y 0.

b y r son constantes.

Método

a) Despejando la variable dependiente: Despejando y de x2 +

(

y−b

)

2 =r2:

(

y−b

)

2 =r2 −x2 ⇒ y− = ±b r2 −x2 ⇒ y= ±b r2 −x2

Tenemos pues, dos expresiones para y, que son:

y= +b r2 −x2 y y= −b r2 −x2

Primero utilizaremos y= +b r2 −x2 para ver si es solución de la ecuación diferencial. Obteniendo y′:

(

)

[

]

( )

(

)

′ = + − = + − y d dx b r x d dx b d dx r x 2 2 1 2/ 2 2 1 2/

Calcularemos estas dos derivadas por separado (después se entenderá por que):

( ) d dx b =0

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

d dx r x r x x x r x x r x x r x 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 − = − − = − − = − − = − − − − / / / / Por lo tanto:

′ = − − = − − y x r x x r x 0 2 2 2 2 Obteniendo y′′: ′′ = − −       = − −       y d dx x r x d dx x r x 2 2 2 2 Calcularemos d dx x r2 −x2     

 y después le cambiaremos el signo al

resultado para obtener y′′. La razón de esto se entenderá más adelante.

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( ) d dx x r x r x d dx x x d dx r x r x r x x r x x r x 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 −       = − − − − = − −       − − − − / /

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

d dx x r x r x x r x r x r x x r x r x r x r x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 −       = − + ₋ − = − + − − − − −/ / −/ / / /

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

₍

₎

d dx x r x r x x r x r x r x x r x r x x r x r r x 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 −       = − + − − = − + − = − + − = ₋ / / / Por lo tanto:

(

)

′′ = − −       = − − y d dx x r x r r x 2 2 2 2 2 3

Ahora sustituiremos las expresiones obtenidas para y′ y y′′ en la ecuación diferencial:

(

)

x r r x x r x x r x − −        − − ₋       − − −       = 2 2 2 3 2 2 3 2 2 0 ⇒

(

)

( )

(

)

− − − − −         + ₋ = r x r x x r x x r x 2 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 1 0 ⇒

(

)

(

)

− − − − −        + ₋ = r x r x x r x x r x 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 0 ⇒

(

)

(

)

− − + − + − = r x r x x r x x r x 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 0

⇒

(

)

(

)

(

)

− − + − + − = r x r x x r x x r x 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 0 / / /

Multiplicando esta expresión por

(

r2 −x2

)

3 2/ : ⇒

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

− − − + − − + − − = r x r x r x x r x r x x r x r x 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 0 / / / / / / ⇒ −r x2 +x3 +x r

(

2 −x2

)

=0 ⇒ −r x2 +x3 +r x2 −x3 =0 ⇒ 0=0 Concluimos la función y= +b r2 −x2 sí representa una solución de la ecuación diferencial.

Ahora probaremos y= −b r2 −x2 .

Obteniendo la primera derivada:

(

)

[

]

( )

(

)

′ = − − = − − y d dx b r x d dx b d dx r x 2 2 1 2/ 2 2 1 2/

La primera de estas dos derivadas es cero y la otra ya se calculó cuando tratamos con y= +b r2 −x2 , y nos resultó: d

(

)

dx r x x r x 2 2 1 2 2 2 − = − − / . Por lo que: ′ = − − −       = − y x r x x r x 0 2 2 2 2

O sea que ésta y′ es la misma que la anterior y′, sólo que su signo lo tiene cambiado.

Obteniendo la segunda derivada: ′′ = −       y d dx x r2 x2

Note que esta derivada ya se calculó anteriormente cuando se trabajó con y= +b r2 −x2 y el resultado fue:

(

)

d dx x r x r r x 2 2 2 2 2 3 −       = − . Por lo que: ′′ = y

(

)

r r x 2 2 ₋ 2 3

Igualmente, esta y′′ es la misma que la anterior y′′, excepto por su signo.

Ahora sustituiremos estas nuevas expresiones obtenidas para y′ y y′′ en la ecuación diferencial:

(

)

x r r x x r x x r x 2 2 2 3 2 2 3 2 2 0 −        − ₋       − − =

⇒

(

)

(

)

r x r x x r x x r x 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 0 − − − − − = ⇒

(

)

(

)

(

)

r x r x x r x x r x 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 0 − / − − / − − / =

Multiplicando esta expresión por

(

r2 −x2

)

3 2/ : ⇒

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

r x r x r x x r x r x x r x r x 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 0 − − − − − − − − = / / / / / / ⇒ r x2 −x3−x r

(

2 −x2

)

=0 ⇒ r x2 −x3 −r x2 +x3 =0 ⇒ 0=0 Concluimos la función y= −b r2 −x2 también representa una solución de la ecuación diferencial.

Podemos decir, entonces, que la expresión completa y= ±b r2 −x2 es solución de la ecuación diferencial. En consecuencia, la función implícita dada también lo es.

b) Llegando a la identidad:

Derivamos implícitamente la función dada: x2 +

(

y−b

)

2 =r2, obteniendo:

(

)

2x+2 y−b y′ =0 Dividiendo entre 2:

(

)

x+ y−b y′ =0 Despejando y′:

(

y−b y

)

′ = −x ⇒

(

)

′ = − − = − − = − + = − y x y b x y b x y b x b y

Derivamos implícitamente esta última expresión para obtener y′′:

(

)

( )

( )

(

)

(

)

′′ = − − − ′ − = − + ′ − y b y x y b y b y xy b y 1 2 2

Debemos eliminar y′ de esta expresión. Logramos esto usando ′ = ₋

y x

b y con lo que nuestra expresión queda:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

′′ = − + − − = − + − − = − − + − − = − + − y b y x x b y b y b y x b y b y b y b y x b y b y b y x b y 2 2 2 2 2 2 2 3 1

Ahora sustituimos los resultados obtenidos para y′ y y′′ en la ecuación diferencial:

(

)

x b y x b y x b y x b y 1 0 2 3 3 − + ₋        − −       − ₋ = ⇒

(

) (

)

x b y x b y x b y x b y − + ₋ − ₋ − − = 3 3 3 3 0 ⇒ 0=0

Concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

De la aplicación del método b), la primera derivada implícita de

(

)

x2 + y−b 2 =r2 resultó:

(

)

x+ y−b y′ =0 ...(2)

Derivando implícitamente ésta expresión, obtenemos:

(

)

1+ y−b y′′ + ′ ′ =y y 0. O bien:

(

)

( )

1+ y−b y′′ + ′ =y 2 0

Queremos saber si esta expresión es la misma que la ecuación diferencial.

Como la ecuación diferencial posee un término

( )

y′ 3, podemos hacer que nuestra expresión también lo tenga multiplicándola por y′:

(

)

( )

′ + − ′ ′′ + ′ =

y y b y y y 3 0 ...(3) Además, la ecuación diferencial dada no contiene la expresión y−b. Para eliminar ésta expresión de nuestra ecuación (3), podemos usar la ecuación (2), de la que podemos despejar, de una vez

(

y−b y

)

′,

resultando:

(

y−b y

)

′ = −x.

Éste resultado lo sustituimos en nuestra ecuación (3), y obtenemos:

( )

′ − ′′ + ′ =

y xy y 3 0

Multiplicando por −1 ésta expresión:

( )

− ′ +y xy′′ − ′ =y 3 0

Reacomodando los términos:

( )

xy′′ − ′ − ′ =y 3 y 0

Ésta última es la ecuación diferencial por lo que podemos decir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4. Determinar si dt y y t t x x ln sen 0 =

∫

es solución de xy′ +xy′lny= xsenx+ ylny. Método

a) Despejando la variable dependiente: Despejar y de dt y y t t x x ln sen 0 =

∫

se ve difícil, si no es imposible. Por esto optamos por no aplicar este método.

Derivando dt y y t t x x ln sen 0 =

∫

implícitamente (con respecto de x, ya que x es la variable independiente):

( )

y

( )

y y y y x dx d dt t t dt t t dx d x x x ′ + ′ =       +      

∫

∫

sen sen ln 0 0

Recordemos que en el ejemplo cuatro de las soluciones expresadas en forma explícita se vio que 2 2

0 x x t e dt e dx d =     



_∫

_{. En general podemos decir}

que

( )

     

_∫

x dt t f dx d

0 = f x( ). Por lo que en nuestro caso podemos decir

que _     

∫

x dt t t dx d 0 sen = senx

x . Así que nuestra expresión queda: y y y dt t t x x x x ln sen sen 0 = ′+ ′ +

_∫

O bien: y y y dt t t x x ln sen sen 0 = ′+ ′ +

_∫

Despejando y′:

(

y

)

y dt t t x x ln 1 sen sen 0 = ′ + +

_∫

⇒ y y dt t t x x ′ = + +

_∫

ln 1 sen sen 0 ⇒ y dt t t x y x ln 1 sen sen 0 + + = ′

∫

Ahora sustituimos este resultado en la ecuación diferencial, en la que previamente factorizamos y′:

(

)

′ + = + y x xlny xsenx ylny ⇒

(

x x y

)

x x y y y dt t t x x ln sen ln ln 1 sen sen 0 _{+ = +} + +

_∫

⇒ x

(

y

)

x x y y y dt t t x x ln sen ln 1 ln 1 sen sen 0 _{+ = +} + +

_∫

⇒ dt x x x y y t t x x ln sen sen sen 0  = +     ₊

∫

⇒ dt x x y y t t x x x x ln sen sen sen 0 = + +

_∫

Como la función implícita original nos dice que dt y y t t x x ln sen 0 =

∫

, entonces: ⇒ xsenx+ylny= xsenx+ylny

Esta última expresión es una identidad, por lo que podemos concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

La derivada implícita de la función dt y y t t x x ln sen 0 =

∫

ya la obtuvimos

en la aplicación del método b) y nos resultó:

y y y dt t t x x ln sen sen 0 = ′+ ′ +

_∫

De ésta expresión debemos obtener la ecuación diferencial dada. Tal ecuación diferencial no posee término con integral y por lo tanto debemos eliminarlo de nuestra expresión. Esto podemos lograrlo usando la función implícita dada, o sea:

∫

x dt t t x 0 sen

= ylny, despejando de ésta a tal integral, quedándonos:

x y y dt t t x _{sen ln} 0 =

∫

. Y luego sustituimos este resultado en nuestra expresión:

senx ylny ln

x y y y

+ = ′ + ′

Si ahora multiplicamos por x esta expresión, obtenemos:

xsenx+ylny=xy′ +xy′lny

O si ponemos esta ecuación al revés, nos queda:

xy′ +xy′lny= xsenx+ylny

Obtenemos la ecuación diferencial, por lo que podemos concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

III.14.- Veremos el mecanismo para verificar si un conjunto dado de expresiones paramétricas es solución de una ecuación diferencial.

Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria cuyas variables son x y y, la solución de tal ecuación también poseerá tales variables. O sea, será una función de x y y.

Se dice que una solución está expresada en forma paramétrica si está representada por medio de un par de ecuaciones en las que tanto la x

como la y están escritas en función de una tercera letra, usualmente t, llamada parámetro.

En forma general, tal conjunto de ecuaciones paramétricas se puede representar del modo siguiente:

( )

x= f t y y= g t( )

En donde, se entiende que f y g son ciertas funciones de t.

III.15.- Para verificar si un conjunto dado de ecuaciones paramétricas es solución de una ecuación diferencial de orden n se dispone de dos procedimientos, a escoger. Estos se describen a continuación.

Derivando las ecuaciones paramétricas.

Este método consiste en calcular primero las n derivadas:

dy dx d y dx d y dx n n , , , 2 2 Κ

Luego se sustituyen estas derivadas junto con las ecuaciones paramétricas en la ecuación diferencial.

Si al sustituir se obtiene una identidad, es que la función definida por las ecuaciones paramétricas es solución de la ecuación diferencial.

Convirtiendo la solución a ecuación cartesiana.

Una manera alternativa de proceder para verificar soluciones dadas en forma paramétrica es convertirlas en cartesianas, es decir, eliminar el parámetro, lo cual no siempre es fácil de hacer, y luego proceder como se indicó en el capítulo 2 para las soluciones dadas en forma explícita (si la ecuación cartesiana obtenida está en forma explícita); o proceder como se indicó en el capítulo 3 para las soluciones dadas en forma implícita (si la ecuación cartesiana que se obtiene es implícita).

III.16. - Ejemplo 1. Verifique si x t y t = =    cos sen 2 es solución de yy′ +4x=0.

Aplicaremos los dos métodos descritos. Método

I):

Debemos obtener y′ a partir de las ecuaciones paramétricas dadas.

Sabemos que para el caso de las ecuaciones paramétricas

( )

x= f t y y= g t( ), la regla de la cadena establece que

dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy y′= = = De x=cost tenemos: dx

dt = −sent y de y=2 sent tenemos: dy

dt =2 cost. Por lo tanto:

t t t t dt dx dt dy y sen cos 2 sen cos 2 − = − = = ′

Sustituyendo este resultado de y′ en la ecuación diferencial, junto con las expresiones dadas que definen x y y en función de t , en la ecuación diferencial, y simplificando:

2sen 2cos 4 0 sen cos t t t t −       + = ⇒ −4cost+4cost =0 ⇒ 0=0

Obtenemos una identidad, por lo que concluimos que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial.

Método ii):

Para eliminar el parámetro t de las ecuaciones x=cost y

y=2 sent, dividimos entre 2 la ecuación y=2 sent, obteniendo:

y

t 2 =sen .

Ahora elevamos al cuadrado las ecuaciones: x=cost y ₂y =sent, resultándonos:

x2 =cos2t y y t

2

2

4 =sen .

Ahora sumamos estas dos ecuaciones: x2 y t t

2

2 2

4

+ =cos +sen

Sabemos que existe una identidad trigonométrica que dice que el segundo miembro de esta ecuación es igual a 1. Aplicando esto último llegamos a:

x2 y

2

4 1

+ =

Esta ecuación no contiene t , por lo que es la ecuación cartesiana buscada.

Multiplicándola por 4: 4x2 +y2 =4

Podemos probar si esta ecuación cartesiana implícita es solución de la ecuación diferencial aplicando cualquiera de los tres métodos que vimos en el capítulo 3 para verificar tales soluciones.

Vamos a aplicar el método

b) de ese capítulo, o sea el de llevar a la identidad.

Para ello derivamos implícitamente la ecuación: 4x2 +y2 =4, y llegamos a: 8x+2yy′ =0. Despejando y′: 2yy′ = −8x ⇒ y′ = − x = − y x y . 8 2 4

Si este resultado de y′ lo sustituimos en la ecuación diferencial dada llegamos a: y x y x −       + = 4 4 0 ⇒ −4x+4x=0 ⇒ 0=0

Llegamos a una identidad y por lo tanto concluimos que la ecuación cartesiana implícita 4x2 +y2 =4 y por lo tanto también las ecuaciones paramétricas dadas son solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2. Determine si x t y et = =    cos es solución de ′ + − = y y x 1 2 0.

Método i): Para aplicar dt dx dt dy

y′= necesitamos derivar x=cost y y=et.

dy

dt e

t

= y dx

dt = −sent. Por lo tanto: y′ = − = − e t e t t t sen sen .

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

( ) − + − = e t e t t t sen _{1 cos} 2 0 ⇒ − + ₋ = e t e t t t sen _{1 cos}2 0

Sabemos que existe una identidad trigonométrica que dice que: sen2_t+cos2_{t =1. Esta identidad puede escribirse: sen}2_{t = −1 cos}2_t.

Usando este resultado en nuestra expresión:

− e + = t e t t t sen _sen2 0 ⇒ − + = e t e t t t sen sen 0 ⇒ 0=0

Como obtenemos una identidad concluimos que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial.

Método ii):

Debemos eliminar t del conjunto .

Para ello podemos despejar t de una de estas ecuaciones y sustituir en la otra.

Tomemos la ecuación y=et. Si le aplicamos logaritmo natural a ambos miembros nos queda: lny=lnet. Ahora recordemos que según la propiedad de logaritmos: log_a xn =nlog_a x, puede ser bajado el exponente t de nuestra ecuación a multiplicar a ln, quedándonos: lny=tlne. Y como lne=1, nos queda: lny=t. O bien: t =lny.

Sustituyendo este último resultado en x=cost obtenemos: x=cos(lny). Esta es la ecuación cartesiana buscada. Se trata de una ecuación

implícita.

La convertiremos en explícita, despejando y, para luego aplicar el método de las soluciones dadas en forma explícita que ya se estudió en el capítulo 2.

Le aplicamos arccos a ambos miembros y obtenemos:

[

cos(ln )

]

arccos

arccosx = y

Como se sabe que: arccos(cosu)=u, entonces, el segundo miembro de nuestra ecuación se transforma y la ecuación queda:

arccosx=lny

Si ahora aplicamos la exponencial e a ambos miembros, obtenemos:

earccosx =elny

Pero sabemos que alogax = x_{, entonces e}lny = _{y por lo que nuestra}

ecuación llega a ser:

O bien:

y₌earccosx

Esta ecuación ya es explícita. Ahora la derivaremos:

(

)

( ) ′ = = = − −       = − − y d dx e e d dx x e _x e x x x x x arccos arccos arccos

arccos

arccos 1

1 2 1 2

Sustituyendo este resultado de y′ y la expresión de y en la ecuación diferencial: − − + − = e x e x x x arccos arccos 1 2 1 2 0 ⇒ 0=0

Concluimos que la ecuación explícita y=earccosx y por lo tanto también las ecuaciones paramétricas dadas son solución de la ecuación diferencial. Ejemplo 3. Determine si x t t y t t = + = +      1 2 3 4 1 4 3 4 2 3 ln t >0

es solución de la ecuación diferencial

( )

y′′ −2 2y y′ ′′ + =3 0.

Método i):

En este problema necesitamos obtener y′ y y′′. Tenemos que dt dx dt dy y′= . Y como: dx

(

)

dt d dt t t t t t t = _1 + − _ = _ _ + − − = − 2 3 4 1 2 1 3 4 2 1 2 3 2 2 3 3 ln y dy ( )

(

)

dt d dt t t t t = _1 + − _ = + − − = − 4 3 4 1 4 1 3 4 3 1 4 9 4 3 4 4 Entonces:

( )

( )

4 4 3 4 3 4 4 4 2 3 2 1 4 9 4 1 2 3 2 1 4 9 4 1 t t t t t t t t y − − = − − = ′

(

)(

)

(

)

= − − = + − − = + t t t t t t t t t 4 3 2 2 2 2 9 2 6 3 3 2 3 3 2

Para obtener y′′ aplicaremos también la regla de la cadena del modo siguiente:

( )

(

)

( )

( )

3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 4 6 2 4 2 3 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 t t t t t t t t t t t t t t t dt d dt dx dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d y − − − = − + − = −       + =       =       =       = ′′

( )

( )

3 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 3 2 1 4 6 2 2 3 2 1 4 6 2 t t t t t t t t t t y − − = − − = ′′

(

)

t t t t ₌ − − = 6 2 6 2 2 2

Ahora sustituimos estos resultados en la ecuación diferencial:

t t t t 2 2 2 3 2 3 0 − + + = ⇒ t2 −

(

t2 +3

)

+ =3 0 ⇒ t2 −t2 − + =3 3 0 ⇒ 0=0

Obtenemos una identidad; así que podemos decir que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial.

Método ii):

Eliminar t de las ecuaciones paramétricas

x t t y t t = + = +      1 2 3 4 1 4 3 4 2 3 ln t >0

presenta obstáculos algebraicos. No aplicaremos este método. Ejemplo 4. Determine si x t y a b t ct = = + +    ln

ln es solución de la ecuación diferencial

′′′ − ′′ =

y 2y 0.

a, b y c son constantes.

Método i):

En este problema necesitamos obtener hasta la tercera derivada. Para calcular la primera derivada con

dt dx dt dy y′= necesitamos obtener: dy dt y dx dt, que son:

(

)

(

)

( ) dx dt d dt t d dt t d dt t d dt t t t = = = _    = = _    = ln ln 1 2/ 1ln ln 2 1 2 1 2 1 1 2

(

)

( )

( )

( )

c t b c t b t dt d c dt dx t dt d b a dt d ct t b a dt d dt dy _{+ = +}       + = + + = + + = 2 2 1 0 es Esta ln ln 43 4 2 1

Por lo tanto:

( )

( )

t t t c t b t c t b y 2 2 2 1 2 2 1 2 + ₌ + = ′ b ct b 2ct 1 2 + = + =

La segunda derivada puede calcularse con la fórmula:

dt dx dx dy dt d y       = ′′ Y resulta:

(

)

ct t c t c t ct b dt d y 4 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 = = = + = ′′

Para calcular la tercera derivada, la fórmula también puede deducirse de la regla de la cadena y es:

dt dx dx y d dt d dx dt dx y d dt d dx y d dx d y       =       =       = ′′ ′ 2 2 2 2 2 2

Por lo tanto tenemos:

( )

ct t c t c t ct dt d y 8 2 1 1 4 2 1 4 2 1 4 = = = = ′′ ′

Sustituyendo los resultados de y′′ y y′′′ en la ecuación diferencial:

( )

8ct−2 4ct =0 ⇒ 8ct−8ct =0 ⇒ 0=0

Concluimos que las ecuaciones paramétricas definen una solución de la ecuación diferencial.

Método ii):

Debemos eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas dadas, y esto parece más fácil de hacer despejando de la ecuación que define x.

Haciendo esto tenemos:

x=ln t ⇒ ex =eln t ⇒ ex = t ⇒

( )

ex 2 =t ⇒ e2x =t ⇒ t=e2x

Ahora sustituimos este resultado y la expresión x=ln t en la ecuación que define y, o sea en y= +a bln t +ct, quedando la siguiente ecuación cartesiana:

y= +a bx+ce2x

Esta ecuación está en forma explícita. Podemos verificar si es solución de la ecuación diferencial derivándola tres veces: