ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1136
USODELACALCULADORABÁSICAENLARESOLUCIÓNDEPROBLEMASADITIVOS
EduardoBasurtoHidalgo
CentrodeInvestigaciónyEstudiosAvanzados México basurtomat@hotmail.com
Campodeinvestigación: Resolucióndeproblemas Nivel: básico
Resumen. Este artículo reporta los resultados obtenidos en un estudio realizado con estudiantesentre13y15años,loscualestrabajaronenlaresolucióneinvenciónde problemasdenúmerosconsignoutilizandounacalculadoranoprogramable,estoconel propósitodeextendereldominionuméricodelosnaturalesalosenteros.Algunosdelos resultadosobtenidosindicanquecuandolosestudiantesresuelvenoperacionesaditivasde númerosenteros,conlacalculadoralapresenciadeunasintaxisdistintaaladellenguaje matemáticoescrito,evolucionanlasemánticadelconceptodeenteroyqueademásalvariar loscontextosdedichosproblemasseinvolucranenestructurasdeproblemaspococomunes conloqueenriquecenlossentidosdeusosdelosnúmerosnegativos.
Palabrasclave:calculadorabásica,problemasaditivos,númerosconsigno
Introducciónyobjetivo
Losnúmerosenterosysusoperacionesocupanunlugarimportanteenlaenseñanzadel algebra.SemencionaenelYearbookNCTM(1992)“Yasoncercade20añosdesdequelas primerascalculadorasdemanofueronofrecidasalaventacomoproductosdeconsumo cotidiano.”Comoconsecuenciadeestovinosuinserciónenelámbitoeducativo.De manerainstitucionalenelPlandeEstudios2006(SEP2006,P.24)sediceque“Es necesarioelaprovechamientodelastecnologíasdelainformaciónylacomunicación(TIC) enlaenseñanza…”.Ellibroparaelmaestrodeeducaciónsecundariaconrespectoala calculadoraenoperacionesaditivasdenúmerosconsignoafirmaque,“atravésdelusode lasteclas Ͳ,M+,MͲy+/Ͳlosestudiantescomprenderánlosdiversossignificadosdel símboloͲcuandoapareceenunaexpresión”(SEP1994,P.131).
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1137 Problemadeinvestigación
Estainvestigaciónpretendeindagarlamaneraenquelosalumnosutilizanlacalculadora básicaalresolverproblemasaditivos.Surgenpreguntastalescomo:¿Puedeelmanejode reglasdeescrituradistintaalaescrituranaturalinhibirobeneficiarlaextensióndel dominionuméricodelosnaturalesalosenteros?,¿Puedelacalculadora,ayudara construirlosconceptosnecesariosparalaresolucióndesituacionesaditivas?
Marcoteórico
Losproblemasqueseutilizaronpertenecenalaclasificacióndeproblemasaditivosde BrunoyMartinón(1997),lacualseenfocaenlaestructurayenlaformasemánticadelos problemasycuyaextensiónesde11clasesdeproblemascomosemuestraenlaTabla1. ESTRUCTURAFUNCIONAL FORMASEMÁNTICA a(t)+b(t)=u(t) Combinacióndeestados(1)[COMBINACIÓN] e(i)+v=e(f) Variacióndeunestado(2)[CAMBIO] e+c=d Comparacióndeestados.(3)[COMPARACIÓN] v(i,m)+v(m,f)=v(i,f) Combinacióndevariacionessucesivas.(4) Va(i,f)+Vb(i,f)=Ve(i,f) Combinacióndevariaciones(5) Ve(i,f)+c=Vd(i´,f´) Comparacióndevariaciones(6)
V(i,f)+c=ve(i’,f’) Variacióndevariaciones.(7)[DOSCAMBIOS] Ced+Cdg=Ceg Combinacióndecomparacionesadyacentes(8) Cag+Cbh=Ced Combinacióndecomparaciones(9)
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1138 C(i)+v=C(f) Variacióndeunacomparación(10) Ced+C=Cgh Comparacióndecomparaciones(11) Tabla1
Conelfindeubicarlasrespuestasdelosestudiantesenalgúnpuntoespecíficodela transiciónentrelosnaturalesylosenterosseutilizaronlosNivelesdeconceptualización deNegativosdeGallardo(2002).Estosnivelessonlossiguientes:
ͲSustraendo.Enestecasolanocióndelnúmerosiempreobedecealamagnitud.Estoes enlarestadedoscantidadesa–b,siemprebserámenorquea,dondea,bsonnúmeros naturales,esdecir,enestenivelelsigno“–“solotieneuncarácterbinarioanivelde sustracción.
ͲNúmerorelativo.Esteniveldeaceptaciónsehacepresentecuandounestudiantepuede concebirlaideadeopuestos,estoensituacionesdiscretasasímismoesunnivelque aparececuandolaideadesimétricossemanifiestaensituacionescontinuas.
ͲNúmeroaislado.Estesepresentacuandounestudianteescapazdeaceptarunnúmero negativocomolasolucióndeunaoperación,deunproblemaounaecuación.
ͲNegativoformal.Aparececuandoelestudiantereconocealnúmeronegativocomoparte deunconjuntonuméricoendondequedanincluidostantolospositivosylosnegativosasí comosuspropiedades,elcualseconocecomoelconjuntodelosenteros.
Eltercerelementoparaanalizareldesempeñodelosestudiantes,fueelprocesode
“GénesisInstrumental”elcualsegúnArtigue(2002)consisteenlamaneraenqueun
artefacto(calculadora)seconvierteenuninstrumento,atravésdelreconocimientodelas potencialidadesylimitacionesdelmismo.
Uninstrumentosediferenciadelartefactoenelcualsebasaensentidodequeelprimero “esunaentidadmixta,parteartefactoyparteproyectoscognitivosloscualeslohacenun
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instrumento”Artigue (2002). Es decir,esta conversión delartefacto(calculadora)a instrumentoinvolucraunaevoluciónenlosrolesdeaplicacióndelasdiferentesusosdela calculadora(artefacto).
ElprocesodegénesisinstrumentalsegúnArtigue(2002)sedesarrollaendosdirecciones:
x La primera se enfoca hacia el artefacto, tomando en cuenta y asimilando progresivamentesuspotencialidadesylimitaciones,utilizandootransformando éstasparausosespecíficos.Estaparteesconocidacomo:INSTRUMENTALIZACIÓN
DELARTEFACTO
x Lasegundasedirigealsujeto,principalmentealdesarrollooapropiacióndeplanes deaccióninstrumentadaloscualeseventualmentetomaránformacomotécnicas instrumentadas que permitan dar respuestas efectivas a tareas otorgadas.
INSTRUMENTACIÓN.
Estastécnicasinstrumentadasdebenirdelamanoconeldiscursoteóricoparano
convertirseenunarutinadememoria.
Diseñolainvestigación
Lainvestigaciónsedesarrollóendosfases,primeroseaplicóuncuestionarioa16
estudiantesdesegundodesecundariadeentre12y13años,apartirdeesecuestionario seseleccionarondosestudiantesyaqueeranquinesobtuvieronlosmejoresresultadosen elcuestionario.Adichosestudiantesselesrealizóunaentrevistadidácticayexploratoria queconteníacuestionamientosmuysimilaresalospresentadosenelcuestionariopero conpreguntasenlasquesetratarallevaralosalumnosasulímitedeconocimiento. Protocolobásicodeentrevista(ítems)
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1140 1.¿Quéquieredecir“Tengo60pesos”? 2.¿Quéquieredecir“Unbuzoseencuentraa10mbajoelniveldelmar”? 3.¿Cómoresolveríaslasiguienteoperaciónenlacalculadora?(+5)+(Ͳ3)= 4.¿Cómoresolveríaslasiguienteoperaciónenlacalculadora?(Ͳ5)+(Ͳ3)= 5.¿Cómoresolveríaslasiguienteoperaciónenlacalculadora?(+5)Ͳ(+3)= 6.¿Cómoresolveríaslasiguienteoperaciónenlacalculadora?(+3)Ͳ(+5)= 7.¿Cómoresolveríaslasiguienteoperaciónenlacalculadora?(+5)Ͳ(Ͳ3)= 8.EscribeunasituaciónenlauseselnúmeroͲ9 9.Inventaunproblemaquecorrespondaalaoperaciónplanteada.(Ͳ4)+(Ͳ3)= 10.Inventaunproblemaquecorrespondaalaoperaciónplanteada.(Ͳ5)Ͳ(Ͳ2)= 12.Oprimelasiguientesecuenciadeteclaenlacalculadora,¿Cuáleselresultado? Estasdeacuerdo.Despuésinventaunproblemaquecorrespondaalasituación. ParteB No Problema 1 Karlacompro70boletosdeloteríadeloscuales38notienenpremio¿Cuántosdelosboletossi tuvieronpremio? 2 UndíaenlaciudaddeAcapulco,latemperaturafuede15ºCporlamañanayporlatardeaumentó 17ºC¿Cuálfuelatemperaturaporlatarde? 3 Elascensordeunedificioseencuentraenelpiso2delsótanosisube18pisos ¿Enquépisoseencuentra? 4 Pacodebe$10pesos.SisuamigoAlanlepresta$8pesos.¿CuántodebePaco? 5 Carlostiene$15.Juantiene$4menosqueCarlos ¿CuántodinerotieneJuan? 6 Laprimerasemanadelmesrealicéunacomprade$40conmitarjetadecrédito.Latercerasemana realicéunpagode$30¿Cuálesmisituaciónafindemes? 7 APedroledieron$7dedomingo,encasadesuabuelos,mástardeencasadesustíosperdió$5en voladosconsuprimoLuís¿CómoquedósucantidaddedinerodePedro? 8 Ayer,delamadrugadaalmediodía,latemperaturaaumentó10ºyhoyaumentó3ºmenosqueayer ¿Cuántoaumentóhoy? 9 ElmiércolesDianaperdió$5.EljuevesDianaperdió$8menosqueelmiércoles.¿Cuántoperdióo
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1141 ganóDiana?
10 Alejandrotiene3canicasmenosqueMaria,Dianatiene7másqueAlejandro,¿Cuántascanicasmás tieneDianaqueMaría?
11 EllunesJuantenía$3másqueMarcos,elmartesMarcosganó$5másqueJuan¿Cuántomástieneel martesMarcosqueJuan?
12 Danieltiene2pesosmenosqueErnesto.LoqueHéctortienemásqueGabrieles5pesosmásdelo quetieneErnestoqueDaniel¿CuántodinerotieneHéctormásqueGabriel?
Análisisdedatos
Elcambioenlasintaxisalresolveroperacionesaditivasdenúmerosconsignoenla calculadoraademásdevíapapelylápiz,parecenoalterarlosprocedimientosdesolución delosestudiantesyaquealnotenerconocimientodelfuncionamientodelamismaenel dominiodelosenteros,trabajaneneldominiodelosnaturalesgraciasalasequivalencias
sintácticas que conocen, esto es, resolvíanlas operacionesde forma mental y las
cambiabanentérminosdenúmerosnaturalesparapoderingresarlasalacalculadora. Cuandosesolicitaexplícitamentequeutilicenlacalculadoraingresandonúmerossignados escuandorealmentelosestudiantescomienzanadarsecuentadelasdiferenciasdela sintaxisdelacalculadoraconrespectoalaescrituraenpapelylápiz.
Conformealorevisadoenloscuestionariosylasentrevistasprincipalmente,sepuede decirqueesteenfrentamientoconlaslimitacionesypotencialidadesdelacalculadora básicaencuantoalasoperacionesaditivasdenúmerosconsigno,ayudaarefirmarlos conceptosqueelestudiantetienesobrelasoperacionesaditivasdenúmerosconsigno. Estasituaciónpormomentospuedepromoverlaextensióndeldominionumérico,esto,al
tiempo de que los estudiantes comienzan a predecir resultados incorrectos en la
calculadoraprovocadospordichaslimitaciones,esdecir,lacalculadorasipuedeseruna
ventanadesignificadosperotrabajandomediantesituacionesqueponenenconflictoal
estudiantealtenerlanecesidaddeexplicarselasaccionesdemisma.
Lamaneraenqueselespresentaronlosproblemasalosestudiantessebasóensolicitar
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1142 realizabantrabajandoconnúmerosNaturales,despuésselessugeríaqueutilizaranla
calculadora,yalconfrontarlasintaxisdellenguajematemáticoenlápizypapelconendel lacalculadoraeraqueemergíalosenteros.
Esdecir,lacalculadoraayudabaatravésdesuscambiosdesintaxispormomentoseraútil alresolverlosproblemasyaquellegabanaunainterpretacióncorrectadelasemánticade losmismos,yaquecuandolosestudiantesresolvíanenelterrenodelosnaturalesaunque
llegaran a soluciones correctas, debido a algunas equivalencia sintáctica entre los
NaturalesylosEnteros,sealterabaelsignificadoysentidodelasolución.
Valelapenamencionarquelaintroduccióndelartefactodeberáservíaactividadesquele permitanalestudiantegenerarsupropioprocesodegénesisinstrumentalprevioala enseñanza.Estemomentodecarácterespontáneopermitiráalosestudiantesademásde
iniciarlaincorporacióndelartefactoyacomouninstrumentoenlarealizacióndetareas,
podráhacerevolucionarlosconceptosqueintervenganendichoproceso.
Conclusiones
Enestetrabajoseconcluyóquelasintaxisdistintadelacalculadoraayudóalacorrecta
conceptualizacíondelosnúmerosconsignoensituacionesaditivas.
Amaneradeorientación,esimportanteelhechodeque,comoyasemencionóal
principiodeestainvestigación,setieneunaampliaconfianzaenelusoderecursos
tecnológicoscomorecursosqueayudaránalmejoramientodelprocesodeenseñanza–
aprendizaje,locual,comopudimosveralolargodeestetrabajopuedeserposibleen ciertascondiciones.
Enloquesedebehacerconcienciaesnopensarqueporelsimplehechodeintroducirlos recursostecnológicosenlasaulaseincorporarlosalastareasdelosestudiantes,habrá unatransferenciaautomáticaoinstantánea(falaciadidáctica)delosconocimientosdelos
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1143 conocimiento,asícomoellograrempatarlosdistintoslenguajes,formanpartedeun
procesoquetomatiempoalosestudiantesyquesólosepuedelograrconintervenciones didácticasdirigidasydiseñadasespecíficamenteparatalesfines.
Referenciasbibliográficas
Alarcón,J.Arriaga,A.Barrón,H.Rosas,R.(1994).Libroparaelmaestro.Educación
secundaria.SEP.México.
Artigue, M (2002). Learning Mathematics in a CAS environment: The genesis of a
reflectionaboutinstrumentationandthedialecticsbetweentechnicalandconceptual work.InternationalJournalofComputersforMathematicalLearning7(3),245–274. Bruno,A.yMartinón,A.(1997).Clasificaciónfuncionalysemánticadeproblemasaditivos. Educaciónmatemática,9(1).33Ͳ46.Mexico:EditorialIberoamérica.
Gallardo,A.(2002),“Qualitativeanalysisinthestudyofnegativenumbers”,Proccedingsof the20thInternationalConferenceofPME,Valencia,(2),377Ͳ384.
NationalCouncilofTeachersofMathematics.(1992).Yearbook.Reston,USA.VA:Autor.
SEP(2006).PlandeEstudios.Educaciónsecundaria.México.
