Núcleo temático: Espacios vectoriales con producto escalar

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GUÍA DE ESTUDIO

Núcleo temático: Espacios vectoriales con producto escalar

Objetivo general

Que los estudiantes comprendan el concepto de producto escalar en un Espacio vectorial y sean capaces de aplicar el concepto para las construcciones de bases ortonormales.

Sumario

 Espacios vectoriales con producto escalar.

 Base ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

 Formas cuadráticas reales, aplicaciones a la Geometría Analítica

Objetivos específicos

 Interpretar los conceptos de producto escalar, bases ortogonales y ortonormales de espacios y subespacios vectoriales con producto escalar.

 Construir bases ortonormales, utilizando el proceso de Gram-Schmidt.

 Diagonalizar endomorfismos en un espacio con producto escalar mediante transformaciones ortogonales en casos sencillos y utilizando asistentes matemáticos.

 Interpretar el concepto de forma cuadrática.

 Reducir las formas cuadráticas reales a la forma canónica mediante transformaciones ortogonales en casos sencillos y utilizando asistentes matemáticos.

 Simplificar las ecuaciones de las cónicas rotadas mediante la reducción a la forma canónica de la forma cuadrática correspondiente.

Requisitos previos

Los estudiantes deben dominar los contenidos que se refieren al Álgebra Lineal y que fueron estudiados, como son: sistemas de ecuaciones lineales, determinantes, matrices, operaciones fundamentales, propiedades; matriz inversa, rango de una matriz, Espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo ( ó C), subespacio vectorial, caracterización, dependencia e independencia lineal, generador, base y dimensión y matriz de cambio de base.

El estudiante puede remitirse a los materiales complementarios que se encuentran en los Núcleos Temáticos de Matemática Básica, Funciones, y de Álgebra Lineal para que refuercen sus conocimientos al respecto.

Bibliografía

Básica

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Complementaria

Lipschutz S, “Álgebra Lineal”, Editorial McGraw-Hill Book, México, 1988, 334 páginas. Noriega T. y De Arazoza H. “Álgebra” (Tomo I), Editorial Pueblo y Educación, 1986.

Introducción

Se han estudiado en el nivel universitario diferentes propiedades de los vectores (combinación lineal, dependencia lineal, etc.), pero no se ha tratado ninguna propiedad relativa al módulo de un vector, que es una propiedad básica de los vectores cuando se estudian en Física.

Ya se conoce el concepto de módulo de un vector y de producto escalar en 3

,

además que si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces los vectores son perpendiculares. Es objetivo de este núcleo temático estudiar el concepto de producto escalar de vectores que generaliza el producto escalar en 3 y con él poder medir la magnitud o norma de un vector en cualquier Espacio Vectorial, además de estudiar la ortogonalidad que generaliza el concepto de perpendicularidad que ya se conoce en 3. Por otra parte se relacionarán estos conceptos con la independencia lineal y las bases.

Desarrollo de las orientaciones

El concepto de espacio vectorial surgió como una generalización del espacio de los vectores geométricos tomando como punto de partida las propiedades de dichos vectores geométricos, que provenían de la suma y el producto por un escalar. Así se definieron: subespacio vectoriales, dependencia e independencia lineal, transformaciones lineales, etc. Para los vectores geométricos hay otros conceptos como los de longitud o norma, ángulo de dos vectores, etc., que no se contemplan al hacer la anterior abstracción y que, por tanto, hasta ahora no tienen significado alguno en un espacio vectorial abstracto.

Se trata ahora de superponer a una estructura de espacio vectorial una nueva estructura que nos permita hablar de ángulos y distancias y conviene tener en cuenta que a partir de este momento el cuerpo base del espacio vectorial, que antes era un cuerpo K cualquiera, será el cuerpo

de los números reales o de los números complejos.

Formas bilineales

.

Sea E un espacio vectorial real. Una forma bilineal b sobre E es una aplicación, b : E × E →  (x, y) → b(x, y) ∈  cumpliendo: a) b(x1 + x2, y) = b(x1, y) + b(x2, y). b) b(x, y1 + y2) = b(x, y1) + b(x, y2) c) b(αx, y) = b(x, αy) = α · b(x, y)

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3 Cualesquiera que sean x, y, x1, y1, x2, y2∈ E y para cualquiera que sea α ∈

Matriz asociada a una forma bilineal.

Sea B = {u1, u2,. . ., un} una base de E y b: E × E →  una forma bilineal. Para todos x, y ∈ V se pueden escribir en la forma:

x =

n i 1 xiui y=

n j 1 yjuj b(x, y) = b(

n i 1 xiui,

n i 1 yjuj) =

n j i, 1 xi yjb(ui, yj) y en forma matricial b(x, y) = ( x1 x2 · · · xn )









4 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1

)

,

(

...

)

,

(

)

,

(

...

...

...

...

)

,

(

...

)

,

(

)

,

(

)

,

(

...

)

,

(

)

,

(

y

y

y

y

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

u

u

b

n n n n n n

.o bien b(x, y) = xt Aby siendo Ab = [b(ui, uj)]1≤i,j≤n.

A esta matriz Ab se le denomina matriz asociada a la forma bilineal b respecto a la base B.

Este resultado tiene el correspondiente recíproco.

Sea E un espacio vectorial real y b una forma bilineal sobre E. • Se dice que b es simétrica si ∀ x, y ∈ E b(x, y) = b(y, x)

Si b es simétrica b(ui, uj) = b(uj , ui) y por tanto, la matriz asociada Ab es una matriz

simétrica.

• Se dice que b es definida positiva si b(x, x) > 0 si x  0 y b(x, x) = 0 ⇔ x = 0

Producto escalar

.

Sea E un espacio vectorial real. En el producto cartesiano EE se define una función que a cada par de vectores x e y de E, se le asigna un elemento de K denotado por <x, y>, que se lee “producto escalar de x por y”.

Definición

Se llama producto escalar a una función real, denotada por <, > y definida en EE, tal que si x, y, z son vectores de E y  es un número real, verifica:

A1. <x, y>= <y, x>

A2 <x+y, z> = <x, z> + <y, z> A3 <x, y> = <x, y>

A4 <x, y> 0

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4 La condición A1 establece que el producto escalar es conmutativo o simétrico. Las condiciones A2 y A3 indican que el producto escalar es lineal en la primera componente mientras que las condiciones A4 y A5 manifiestan que el producto escalar de un vector por sí mismo debe ser siempre no negativo, pudiendo ser cero solo si el vector es el nulo esta propiedad se indica diciendo que el producto escalar es definido positivo.

Por todo lo anterior se dice que se define producto escalar sobre un espacio vectorial real E como una forma bilineal, simétrica y definida positiva.

El producto escalar no es único pues pueden definirse numerosas formas bilineales simétricas y definidas positivas sobre un mismo espacio vectorial.

Un espacio vectorial con un producto escalar se dice que es un espacio vectorial euclídeo, o como usualmente se denomina: espacio euclídeo.

Un espacio vectorial euclídeo es un par (E, b) en el que E es un -espacio vectorial y b un

producto escalar sobre E.

Designando el producto escalar por b(x, y) =< x, y > respecto de una base B de E, su expresión viene dada por:

< x, y >= xt Ay siendo A la matriz asociada a b respecto de la base B :

A = [< ui, uj >]1≤i,j≤n

Ejemplo Los productos definidos a continuación son productos escalares en 2 respecto de

la base B = {u1, u2} a) < x, y >= 2x1y1 + 3x2y2 = (x1 x2)             2 1 3 0 0 2 y y b) < x, y >= 8 x1y1 + 3x1y2 + 3x2y1 + 8x2y2 = (x1 x2)









2 1

8

3

3

8

y

y

c) < x, y >= x1y1 + x2y2 = (x1 x2)









2 1

1

0

0

1

y

y

Este último ejemplo en el que la matriz asociada es la matriz unidad recibe el nombre de

producto escalar canónico.

Nótese que este producto escalar se puede calcular utilizando la expresión: xT y

Como la expresión matricial de un producto escalar depende de la base utilizada, cabe preguntarse si para cualquier producto escalar existirá siempre una base respecto de la cual su matriz asociada sea la matriz unidad. El propósito del tema consiste en encontrar dicha base, que da lugar a la expresión canónica del producto escalar.

Teorema La matriz asociada a un producto escalar, respecto de cualquier base, es simétrica

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5 El recíproco no es cierto.

Demostración.

a) Es simétrica por ser el producto escalar una forma bilineal simétrica

b) Sea x ∈ E y consideremos < x, y >= 0 para todo y ∈ E entonces x = 0 ya que de lo contrario se tendría < x, x >= 0 con x 0 lo que contradice la hipótesis de ser definida positiva. Es decir, el único vector x ∈ V tal que: < x, y >= 0 para todo y ∈ E es x = 0.

Consideremos el sistema A.x = 0 y veamos que la única solución que posee es la trivial, lo que equivale a que det A  0, es decir, a que A es regular.

Supongamos que existe algún vector no nulo z ∈ V tal que Az = 0. Entonces, ∀ y ∈ V (Az)t y = 0 ⇔ ztAy = <z, y>= 0.

Como < z, y >= 0 para todo y ∈ V ⇒ z = 0 lo que contradice la hipótesis de ser z0 y por tanto, no existe ningún vector no nulo z ∈ V tal que Az = 0 es decir, Ax= 0 sólo admite la solución trivial.

c) El recíproco no es cierto ya que A =





1

3

3

1

no es la matriz de un producto escalar a pesar de ser simétrica y regular, pues

(1 − 1)









1

1

1

3

3

1

= (−2 2)





1

1

= −4 < 0

y por tanto A no representa a una forma bilineal definida positiva.

• Sea (V, <,>) un espacio vectorial euclídeo. Se denomina norma del vector x ∈ E al número real positivo

 x  = +

x

,

x

que tiene sentido ya que < x, x >≥ 0 para todo x ∈ E . Propiedades:

a)  x  = 0 ⇔ x = 0 b)  αx  = α x 

c) Ley del paralelogramo:  x + y 2+ x - y 2 = 2( x 2+ y 2) d) Desigualdad de Cauchy-Schwartz: < x, y> 

 x  y  e) Desigualdad de Minkowski:  x + y 

 x + y 

f)  x  -  y 

 x – y 

Cuales quiera que sean x, y que pertenecen a E, α de 

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6 -  x  .  y 

< x, y >  x  y , Y como  x  0  y 0, entonces, -1

||

y

||

.

||

x

||

,

x

y

1 Al número

||

y

||

.

||

x

||

,

x

y

se le define como cos  y  es el ángulo que forman los vectores x e y.

< x, y >=  x  .  y . cos(x,y)

Teorema: Para determinar el producto escalar de dos vectores cualesquiera es necesario y

suficiente conocer los productos escalares de los vectores de una base. Demostración que pueden ver en el texto: Apuntes de Álgebra Lineal

Ortogonalidad en Espacios con producto escalar

Principales conceptos

Definición: Dado un espacio E con producto escalar, se dice que los vectores x e y son

ortogonales si y solo si <x, y> = 0 Notas:

 Se puede afirmar que x e y son ortogonales sin tener que decir el orden.

 0 es el único vector ortogonal a todos los vectores del espacio.

Definición: Dado un espacio E con producto escalar, se dice que un sistema de vectores S

es ortogonal si y solo si <x, y> = 0 para todo x ≠ y de S. Se asume que el sistema formado por un solo vector es ortogonal.

Ejemplos:

1. Los vectores x= (1,1,1) e y = (2,-1,-1) de 3 con el producto escalar canónico son ortogonales ya que,

<x, y> = 1.2+1(-1)+1.(-1)= 0

2. En el espacio P2 de los polinomios de coeficientes reales y de grado menor o igual a 2, se define el producto escalar:

<p(x), q(x) > =

p(x).q(x) dx. Probar que el conjunto {1, x, ⅓(3x2-1)} es ortogonal.

Definición: Dado un espacio E con producto escalar, se dice que un sistema de vectores S

es ortonormal si y solo si S es un sistema ortogonal y || x ||= 1 para todo x de S.

 Los vectores de norma 1 se llaman unitarios.

 A partir de todo vector no nulo, se puede encontrar un múltiplo unitario del mismo, el vector .

(7)

7

Teorema

En un espacio E con producto escalar, todo sistema ortogonal de vectores no nulos S es linealmente independiente.

Demostración.

Sea S= { x1, x2, x3,…, xn} un sistema ortogonal de vectores no nulos y supongamos que: α1 x1+ α2x2+ α3x3+…+ αnxn= 0

Si calculamos el producto escalar por x1 obtenemos:

0 = <0 , x1>= <α1 x1+ α2x2+ α3x3+…+ αnxn, x1> = α1< x1, x1> + α2 <x2, x1> + α3 <x3 x1>+…+ αn < xn, x1>,

Teniendo en cuenta que S es un sistema ortogonal de vectores, se deduce que, 0 = α1< x1, x1>y como x1≠ 0 , entonces α1= 0 .

Realizando la misma operación con los vectores x2, x3,…, xn, obtenemos que, α2 = α3 = …= αn = 0 y por lo tanto la combinación lineal nula,

α1 x1+ α2x2+ α3x3+…+ αnxn= 0 sólo se cumple si todos los coeficientes son nulos. Así pues S es un sistema de vectores linealmente independiente.

El recíproco del teorema anterior no es cierto. Por ejemplo los vectores (1, 1, 1) y (2, 0, 1) de R3, con el producto escalar canónico, son linealmente independientes y no son ortogonales como se compruebe sin ninguna dificultad.

Teorema

Si S= { x1, x2, x3,…, xn} es una base ortogonal de vectores de un espacio E con producto escalar y x es un vector cualquiera de E, entonces,

Demostración.

Sea S= { x1, x2, x3,…, xn} una base ortogonal escribamos x como combinación lineal de los vectores de la base

Calculamos el producto escalar de de los vectores x y x1

Como la base es ortogonal obtenemos,

y como , resulta

,

repitiendo es te proceso con los vectores , x2, x3,…, xn se obtiene el resultado.

 El teorema anterior dice que las componentes de un vector x respecto de una base ortogonal se pueden obtener de los productos escalares de x y cada uno de los vectores de dicha base.

 Si la base es ortonormal, el vector x se expresa como:

(8)

8 1. En 3 con el producto escalar canónico se consideran los vectores :

x = (2,1,-3) , u1=(1,1,0), u2=(-1,1,2) y u3=(-1,1,-1). Probar que U={ u1, u2, u3 } es una base ortogonal de 3 y obtener las coordenadas del vector x en esta base.

Solución

Claramente , <u1, u2>= <u1, u3 >= < u2 , u3 >= 0

Por lo tanto U es un sistema ortogonal de vectores, entonces es linealmente independiente y por lo tanto una base de 3

. Por teorema anterior se cumple que:

Como <x, u1 > = 3, <x, , u2 >= -7, < x, u3 > = 2

y , las coordenadas del vector en esta base es

(

Definición: Dado un espacio E con producto escalar, se dice que un sistema de vectores S

es una base ortogonal (ortonormal), si y solo si S es un sistema ortogonal (ortonormal) y una base del espacio vectorial E.

Nota:

 Si la base es ortogonal multiplicando cada vector de esta por el recíproco de su norma, obtenemos una base ortonormal.

Resulta ahora necesario establecer la existencia de bases ortogonales.

Teorema

En todo espacio E con producto escalar de dimensión finita existe una base ortonormal.

Demostración

Demostraremos solo la existencia de una base ortogonal, pues de esta es posible obtener una ortonormal.

Siempre es posible afirmar la existencia de un sistema ortogonal de vectores no nulos. Ya que el sistema formado por un solo vector no nulo es ortogonal. Partiremos de un sistema de vectores ortogonales no nulos se puede encontrar una base ortogonal.

Sea el espacio vectorial E con producto escalar de dimensión n y un sistema de vectores ortogonales no nulos de E luego .

Si , como es linealmente independiente, es una base de E y queda demostrado el teorema.

Sea , el problema consiste en añadir elementos a hasta encontrar una base de E, de manera que los nuevos sistemas de vectores sean ortogonales.

Sea un vector y cualquiera del espacio E, verifiquemos que:

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9 Como el sistema es ortogonal, tenemos que:

Como el número de vectores de un sistema ortogonal está acotado por la dimensión del espacio, en un número finito de pasos llegamos a un sistema ortogonal que no puede estar contenido de manera estricta en otro sistema ortogonal.

Formas Cuadráticas

1) Forma cuadrática en el n

es toda expresión de la forma

a

x

x

j i n 1 j i, i,j F

donde los

coeficientes

aij

y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que

aij

=

aji

Los coeficientes determinan una Matriz simétrica de orden n

M =

n , n 2 , n 1 , n n , 2 2 , 2 1 , 2 n , 1 2 , 1 1 , 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Recíprocamente cada Matriz cuadrada, simétrica de orden n está asociada a una forma cuadrática de orden n

2) Una forma cuadrática F se llama definida positiva , si F > 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

3) Una forma cuadrática F se llama definida negativa , si F < 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

4) Una forma cuadrática F se llama semidefinida positiva , si F  0 es decir se conserva positiva, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

5) Una forma cuadrática F se llama semidefinida negativa , si F  0 es decir se conserva negativa, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

6) Una forma cuadrática F se llama indefinida , si F toma valores positivos, nulos o negativos, para distintos sistemas de valores de las variables xi , xj.

Llamaremos H al determinante de la Matriz M de los coeficientes de la forma cuadrática H = n , n 2 , n 1 , n n , 2 2 , 2 1 , 2 n , 1 2 , 1 1 , 1 a a a a a a a a a

donde

aij

=

aji

Al menor complementario de orden k < n extraído de H lo llamaremos Hk Hk= k , k 2 , k 1 , k k , 2 2 , 2 1 , 2 k , 1 2 , 1 1 , 1 a a a a a a a a a

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TEOREMA 1 Sea

a

x

x

j i n 1 j i, i,j

F

donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que aij = aji

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida positiva es que: Hk > 0 para k = 1..n

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida negativa es que: (-1)k Hk > 0 para k = 1..n En esta última expresión, para k = 1 (impar), Hk debe ser negativo, de lo contrario no se puede asegurar nada.

DEMOSTRACIÓN

Nos limitaremos a efectuar la demostración en el espacio 2

2 2 2 , 2 2 1 2 , 1 2 1 1 , 1 2 2 2 , 2 1 2 1 , 2 2 1 2 , 1 1 1 1 , 1 x x a x x a x x a x x a .x 2.a .x .x a .x a x j xi 1 j i, a ji, F2       

ya que a 1,2 = a 2,1 multiplicamos y dividimos la expresión por a 1,1 y en los dos primeros términos completamos el binomio cuadrado haciendo el siguiente artificio 2 2 2 , 2 2 2 1 , 1 2 2 , 1 2 2 1 , 1 2 2 , 1 2 1 2 , 1 1 , 1 1 , 1 2 1 1 , 1 1 , 1 2 x . a x . a a x . a a x . x . a a a . 2 x . a a F     

2 2 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 1 , 1 2 2 2 , 1 1 1 , 1 1 , 1 x . a a . a a 1 x . a x . a a 1 F    En el espacio 2, H 2 = (a .a a ) a a a a 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , 1 1 , 1   y H1= a 1,1 y reemplazamos en F

H

.x F(x ,x ) H 1 x . a x . a H 1 F 1 2 2 2 2 1 2 2 2 , 1 1 1 , 1 1     Entonces si

0

H

0

H

2 1 F es definida positiva        0 H ) 1 ( 0 H 2 2 1 F es definida negativa

(11)

2

Ejercicios propuestos

1. Se considera, en el espacio vectorial euclídeo

3, la base B ={e1, e2, e3}, tal que:

e1 e1=2, e1 e2=0, e1 e3=1, e2 e2= 1, e2 e3= -1 y e3 e3 =2

a) Hallar la matriz de dicho producto escalar respecto de la base B.

b) A partir de B’= {(1, 1, 1), (0, 1,−1), (0, 2, 0)} de 3, hallar una base ortonormal. 2. Dado, en el espacio vectorial euclídeo

3, el producto escalar cuya matriz asociada con respecto a la base canónica es,

3

1

1

1

1

0

1

0

1

Utilizando el método de Gram-Schmidt, obtener una base ortonormal asociada a la base {e1 + e2, e2, e1 + e3}.

3. En el espacio vectorial euclídeo 4, con el producto escalar: x y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + 2x4y4

Se considera el subespacio L engendrado por los vectores (1, 0, −1, 0) y (0, 2, 3, 1). Determinar un subespacio suplementario y ortogonal de L.

4. Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión tres y consideremos la base B = {u1, u2, u3} en la que:

 u1 =1,  u2 = 1,  u3 = 5

u1 u2 = 0, el vector 2u1 − u3 es ortogonal a los vectores u1 y u2. Calcular:

a) La matriz del producto escalar, respecto de la base B. b) Una base ortonormal de V, asociada a la base B.

Figure

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Referencias

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