Controle adaptativo com desacoplamento aplicado a um sistema de tanques acoplados MIMO

Texto completo

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE T ECNOLOGIA P ROGRAMA DE P ÓS -G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA E LÉTRICA. Controle Adaptativo com Desacoplamento Aplicado a um Sistema de Tanques Acoplados MIMO. Thiago Ferreira Paulo. Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.. Número de Ordem do PPgEEC: M454 Natal, RN, julho de 2015.

(2) UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte. Paulo, Thiago Ferreira. Controle adaptativo com desacoplamento aplicado a um sistema de tanques acoplados MIMO / Thiago Ferreira Paulo - Natal, RN, 2015 65 f. : il. Orientador: André Laurindo Maitelli Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. 1. Controle adaptativo – Dissertação. 2. Sistemas MIMO – Dissertação. 3. Desacoplamento de sistemas – Dissertação. 4. Tanques acoplados – Dissertação. 5. Controlador MRAC – Dissertação. 6. Controlador GMV – Dissertação. I. Maitelli, André Laurindo. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título. RN/UF/BCZM. CDU 681.51.

(3) Controle Adaptativo com Desacoplamento Aplicado a um Sistema de Tanques Acoplados MIMO. Thiago Ferreira Paulo. Dissertação de Mestrado aprovada em 31 de julho de 2015 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:.

(4)

(5) Agradecimentos. Agradeço a Deus, por iluminar minha trajetória. À minha mãe Elizabeth Ferreira Pires Paulo (in memoriam), em quem busco forças sempre. Ao meu pai, pela extrema dedicação, incentivo e orientação em todos os momentos da minha vida. Aos meus irmãos e minha namorada pela união e companheirismo. Ao professor André Maitelli pela orientação e apoio. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN pelo conhecimento transmitido. Aos meus amigos do Laboratório de Automação em Petróleo pela ajuda e suporte. Aos meus colegas de curso que foram de fundamental importância na minha formação acadêmica e pessoal. Aos meus amigos e familiares que estão sempre presentes. Ao PRH-PB 20 pelo apoio financeiro Ao Laboratório de Automação em Petróleo pelo espaço cedido para o desenvolvimento deste trabalho..

(6)

(7) Resumo O controle de sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) é muitas vezes realizado por vários controladores monovariáveis clássicos que operam com limitações e apresentam baixo desempenho. Técnicas de controle adaptativo são uma alternativa interessante para aumentar o desempenho desses sistemas, como por exemplo os controladores MRAC (Model Reference Adaptive Control), que quando bem projetados, permitem que a dinâmica da planta seja alterada de maneira a seguir um modelo de referência. O presente trabalho apresenta uma estratégia de desacoplamento para um sistema MIMO de três tanques acoplados e o projeto de dois controladores adaptativos aplicados ao processo, sendo o primeiro um controlador MRAC, e o segundo um controlador autoajustável GMV (Generalized Minimum Variance). Os resultados foram obtidos através de simulações, nas quais o desacoplamento do sistema se mostrou uma alternativa interessante para facilitar o projeto de sistemas do tipo MIMO. Ambos os controladores implementados apresentaram o desempenho esperado, visto que o controlador MRAC tende a atingir a dinâmica imposta por seu modelo de referência, enquanto o controlador GMV rastreia a referência aplicada calculando o sinal de controle ideal em cada intervalo de amostragem. Palavras-chave: Controle Adaptativo, Sistemas MIMO, Desacoplamento de Sistemas, Tanques Acoplados, Controlador MRAC, Controlador GMV..

(8)

(9) Sumário. Sumário. i. Lista de Figuras. iii. Lista de Tabelas. v. Lista de Abreviaturas e Símbolos. vii. 1. Introdução. 1. 2. Revisão Bibliográfica. 3. 3. Referencial Teórico. 7. 3.1. Controle Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3.1.1. Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3.1.2. Estrutura do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 3.1.3. Controle Adaptativo Direto/Indireto . . . . . . . . . . . . .. 9. Desacoplamento de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 3.2.1. Desacoplador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 3.2.2. Desacoplador Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 3.2.3. Desacoplador Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 3.3. MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 3.4. Controlador auto-ajustável GMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.4.1. Método dos Mínimos Quadrados Recursivo . . . . . . . . .. 17. 3.4.2. Implementação do controlador GMV . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.2. 4. Metodologia. 23. 4.1. Sistema de Tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 4.2. Desacoplador Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 4.2.1. 29. Desacoplador Invertido Chaveado . . . . . . . . . . . . . . . i.

(10) 5. 6. Resultados 5.1 Sistema Desacoplado . . . . . . 5.2 Controlador MRAC . . . . . . . 5.3 Controlador GMV . . . . . . . . 5.4 Saturação do Sinal de Controle. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Conclusões. 33 33 36 43 49 61. Referências Bibliográficas. 62. A Matriz de Transferência do Sistema Desacoplado. 65. B Funções de Transferência do Desacoplador Chaveado B.1 Elemento D21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Elemento D32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Elemento D31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 67 69 71.

(11) Lista de Figuras. 3.1. Estrutura de um Controlador Adaptativo (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. Estrutura de um Controlador Adaptativo Direto (IOANNOU; SUN, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. Estrutura de um Controlador Adaptativo Indireto (IOANNOU; SUN, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. Estrutura de um Desacoplador para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 3.6. Arquitetura do controlador MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3.7. Arquitetura do controlador GMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 4.1. Sistema de Tanques Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 4.2. Representação de D(s) pelas matrizes Dd (s) e Do (s) (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 4.3. Disposição final dos elementos do desacoplador . . . . . . . . . . .. 29. 4.4. Divisão do tanque em diferentes pontos de operação . . . . . . . .. 30. 4.5. Esquema exemplo do elemento D21 do desacoplador chaveado . .. 31. 5.1. Comparativo para o sistema em malha aberta com desacoplador e sem desacoplador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. Comparativo para o sistema em malha aberta entre o desacoplador PO 15 e o desacoplador chaveado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 5.3. Resposta do sistema com o controlador MRAC . . . . . . . . . . . .. 39. 5.4. Estimativas dos parâmetros do controlador MRAC . . . . . . . . .. 40. 5.5. Resposta do sistema com o controlador MRAC . . . . . . . . . . . .. 41. 5.6. Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 5.7. Resposta do sistema com o controlador GMV para diferentes períodos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.2 3.3 3.4 3.5. 5.2. iii.

(12) 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21. Resposta do sistema com o controlador GMV . . . . . . . . . . . . Resposta do sistema para os instantes iniciais da simulação . . . . Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta do sistema com desacoplador amenizando o acoplamento entre as variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamento das estimativas dos parâmetros do sistema (método dos mínimos quadrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desempenho do sistema para os controladores com saturação no sinal de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta do sistema para o controlador MRAC anti-windup . . . . Comparativo entre os controladores GMV e MRAC anti-windup . . Sinal de controle para o controlador GMV . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle para o controlador MRAC anti-windup . . . . . . Comparativo entre os controladores GMV e MRAC . . . . . . . . . Comparativo entre os controladores GMV e MRAC . . . . . . . . . Sinal de controle para o controlador MRAC . . . . . . . . . . . . . . Sinal de controle para o controlador GMV . . . . . . . . . . . . . .. 45 46 47 47 49 50 52 54 55 55 57 58 59 60.

(13) Lista de Tabelas. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11. Índices de desempenho Tanque 3 Índices de desempenho Tanque 2 Índices de desempenho Tanque 3 Índices de desempenho Tanque 2 Índices de desempenho Tanque 3 Índices de desempenho Tanque 1 Índices de desempenho Tanque 2 Índices de desempenho Tanque 3 Índices de desempenho Tanque 1 Índices de desempenho Tanque 2 Índices de desempenho Tanque 3. v. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 35 42 42 48 48 53 53 53 58 59 59.

(14)

(15) Lista de Abreviaturas e Símbolos. MIMO - Multiple Input Multiple Output MRAC - Model Reference Adaptive Control GMV - Generalized Minimum Variance SISO - Single Input Single Output ANFIS - Adaptive Neural Fuzzy Inference System M.I.T - Massachusetts Institute of Technology ISE - Integrated Square Error IAE - Integrated Absolute Error ITAE - Integrated of the Time multiplied by Absolute Error G (s) - Matriz de transferência do sistema D (s) - Matriz de desacoplamento do sistema Q(s) - Matriz do sistema desacoplado (processo aparente) C (s) - Matriz de controladores Do (s) - Matriz auxiliar do desacoplador invertido Dd (s) - Matriz auxiliar do desacoplador invertido I - Matriz identidade r - Referência aplicada ao sistema y - Saída do sistema qit - Vazão de entrada do tanque qot - Vazão de saída do tanque Kmt - Constante da bomba at - Área do orifício de saída dos tanque At - Área do tanque Lt - Nível dos tanque Vpt - Tensão aplicada a bomba g - Aceleração da gravidade Lot - Ponto de operação do tanque u - Sinal de controle a - Parâmetro do sistema.

(16) b - Parâmetro do sistema um - Sinal de controle do modelo de referência am - Parâmetro do modelo de referência bm - Parâmetro do modelo de referência θ - Vetor de estimativas e - Erro de estimação J - Função objetivo γ - Vetor de ganhos adaptativos p - Operador diferencial x - Vetor de regressores yre f - Referência aplicada ao sistema ρ - Fator de ponderação do sinal de controle e - Vetor erro.

(17) Capítulo 1 Introdução. Estratégias de controle adaptativo vêm ganhando destaque nos últimos anos em aplicações que envolvem não-linearidades significativas, variações paramétricas, ou pouco conhecimento a respeito das plantas tratadas. A necessidade de desenvolver sistemas com capacidade de aprendizagem e tomada de decisão em situações de incerteza, principalmente nas áreas de controle de processos e aviação foi, segundo (ÅSTRöM, 1996), o que motivou os primeiros estudos sobre o tema no final da década de 1950. O MRAC (Model Reference Adaptive Control) é um exemplo de controlador adaptativo em que o desempenho desejado do sistema é expresso através de um modelo de referência, tendo como finalidade fazer com que o comportamento da planta seja similar ao do modelo para um determinado sinal de entrada. Para isso, é necessário um mecanismo de ajuste (ou lei adaptativa) que visa estimar os parâmetros do controlador, sendo esse mecanismo usado para ajustar os parâmetros do controlador com base no erro entre a saída da planta e a do modelo de referência. A proposta apresentada nesse trabalho é projetar e aplicar duas técnicas de controle adaptativo em um sistema de três tanques acoplados, tendo como objetivo controlar seus respectivos níveis. Além do controlador MRAC, um controlador auto-ajustável de mínima variância generalizado é implementado (Self tuning Generalized Minimum Variance Control - GMV). De acordo com (GOSMANN, 2002) “ O processo de tanques acoplados é bastante adequado para ser utilizado neste tipo de estudo, basicamente por dois motivos: primeiro, porque é bastante comum em escala industrial, principalmente nos ramos químico, petroquímico, de celulose e de alimentos; e segundo, porque é de fácil construção e de modelagem relativamente simples, permitindo que diferentes controladores possam ser projetados, implementados e testados de forma rápida e eficiente.” Por se tratar de uma planta que possui não-linearidades, os compensadores.

(18) 2. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. adaptativos foram selecionados por apresentar bom desempenho em sistemas dessa natureza. Optou-se também pelo uso de uma estratégia de desacoplamento, visto que o processo é multivariável e as variáveis envolvidas possuem certo acoplamento. Com isso, a influência de uma variável nas outras é minimizada e o problema em questão pode ser visualizado como três problemas de controle para o caso SISO (Single Input Single Output), sendo cada um referente a um tanque. A combinação das estratégias de desacoplamento e controle adaptativo permite simplificar a abordagem do problema, visto que o projeto de um controlador adaptativo MIMO é uma tarefa mais complexa do que a implementação realizada, composta por três controladores SISO. A presença do desacoplador também tende a aumentar a eficiência do controle, rejeitando as perturbações e otimizando a convergência das estimativas envolvidas. Para a obtenção dos resultados via simulação, a modelagem do sistema foi baseada em uma planta didática da Quanser para controle de nível. A estrutura desse documento encontra-se organizada por capítulos. O capítulo 1 traz um conteúdo introdutório dos temas que serão tratados, assim como o objetivo do trabalho. O capítulo 2 apresenta o estado da arte, com a revisão de alguns trabalhos mais recentes na literatura relacionados ao controle adaptativo de sistemas MIMO. O referencial teórico compõe o capítulo 3, contendo os principais conceitos envolvidos nos temas de Controle Adaptativo, Desacoplamento de Sistemas, MRAC e GMV. O capítulo 4 expõe a modelagem fenomenológica do sistema de tanques e a metodologia utilizada na implementação do desacoplador. Os resultados das simulações realizadas são expostos no capítulo 5 e as considerações finais estão contidas no capítulo 6..

(19) Capítulo 2 Revisão Bibliográfica. Este capítulo apresenta a revisão de alguns trabalhos recentes na literatura relacionados a estratégias de controle adaptativo em sistemas do tipo MIMO, visto que esse é o tema central do trabalho. Em (SHAH; RASMUSSEN; ALLEYNE, 2004) é utilizada uma estratégia de controle adaptativo multivariável para um sistema de ar condicionado automotivo. Sistemas desse tipo possuem uma dinâmica altamente não-linear devido às propriedades do fluído e às relações termodinâmicas envolvidas. Inicialmente, um modelo físico do sistema validado experimentalmente é exposto, e sua identificação é realizada de maneira recursiva através de um algoritmo de estimação de parâmetros para o caso MIMO. O algoritmo é baseado no método dos mínimos quadrados estendido. No seu estudo, um Regulador Linear Quadrático é projetado com a finalidade de tratar problemas do tipo servo (seguidor de referência) e de rejeição a perturbações. As variáveis de interesse são a pressão do evaporador e temperatura do sistema, sendo essas variáveis controladas de maneira coordenada através da válvula de expansão e do fluxo de ar no evaporador respectivamente. As perturbações são representadas por variações na rotação do compressor, e no fluxo de ar no condensador, no intuito de simular condições diferentes de dirigibilidade. Segundo o autor, a aproximação MIMO adaptativa demonstrada com sucesso provê condições favoráveis no que diz respeito a qualquer futura validação do método utilizado em hardware. (CARVALHO; HEMERLY, 2008) aplica e compara duas técnicas de controle adaptativo não-linear em um modelo de helicóptero com três graus de liberdade, incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas. As técnicas utilizadas são a realimentação de saída e a realimentação de estados, ambas em conjunto com um modelo de referência e redes neurais artificiais linearmente parametrizadas. De acordo com o autor, o uso de redes neurais na área de controle adaptativo não-.

(20) 4. CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. linear tem recebido grande atenção especialmente nas últimas duas décadas. Esse tipo de estrutura apresenta uma arquitetura de controle simples de implementar, sendo capaz de utilizar informações conhecidas do sistema, mas ao mesmo tempo não depender fortemente dessas informações para apresentar um desempenho aceitável. Um comparativo entre as metodologias adaptativas e os controladores clássicos é exposto, sendo as estratégias de controle clássicas insuficientes para atingir as especificações de desempenho associadas ao modelo de referência. Em relação as técnicas adaptativas, elas se mostraram bem eficientes na compensação das dinâmicas não-lineares, principalmente quando o sistema é submetido a variações nos parâmetros durante os testes. Em (CARVALHO; HEMERLY; RIBEIRO, 2008), o método de realimentação de saída em conjunto com redes neurais é aplicado em um modelo de helicóptero com dois graus de liberdade. O objetivo do trabalho é a validação de uma das estratégias de controle apresentadas por (CARVALHO; HEMERLY, 2008) com dados experimentais reais. O controle do sistema MIMO é simplificado em uma estrutura composta por dois sistemas SISO para os dois eixos de movimento da planta. Um modelo de referência é utilizado em conjunto com a técnica de linearização entrada-saída. Sendo essa uma estratégia voltada para sistemas SISO, e por se tratar de um problema MIMO, o uso de um elemento adaptativo (rede neural multicamadas) faz com que os efeitos das dinâmicas não-lineares de cada canal sejam compensados, assim como o acoplamento entre as variáveis. Os resultados experimentais obtidos foram satisfatórios para a validação da estratégia de controle. (COLóN; ROSA, 2012) traz a aplicação de um controlador do tipo self-tuning regulator (STR) em uma planta didática de três tanques comunicantes, sendo o objetivo controlar o nível de dois desses tanques. Trata-se de um sistema multivariável com a presença de não-linearidades do tipo não suave, onde a configuração do sistema pode ser modificada por meio de válvulas, alterando a dinâmica do sistema quando desejado. O método de estimação utilizado foi o de mínimos quadrados recursivo normalizado e com fator de esquecimento. O autor optou por não realizar uma análise multivariável do sistema, e sim considerar cada um dos tanques de interesse como um sistema SISO, deixando a cargo do controlador adaptativo compensar as alterações na dinâmica do sistema. Uma série de resultados é apresentada, verificando o comportamento da saída da planta com alterações no fator de esquecimento, na taxa de aprendizagem e com a adição de distúrbios..

(21) 5 (FREITAS; BAUCHSPIESS, 2007) utiliza uma estratégia adaptativa neurofuzzy (ANFIS - adaptive neural fuzzy inference system) em um processo de controle de nível de um sistema de três tanques acoplados. O sistema apresenta características não lineares, é de terceira ordem, e uma análise multivariável do problema é realizada considerando duas entradas (bombas) e duas saídas (nível dos tanques). A lógica fuzzy normalmente faz uso de um conhecimento prévio do sistema ou de um especialista para determinar o seu conjunto de regras, o que pode ser muito complexo em processos desse tipo para se obter um bom desempenho. A ideia do ANFIS é utilizar redes neurais artificiais para o treinamento das estruturas fuzzy a partir de um conjunto de dados do processo, facilitando o projeto do controlador. Os resultados apresentados foram satisfatórios, sendo o desempenho do controlador adaptativo neuro-fuzzy comparado a um controlador adaptativo por alocação de pólos. Além disso, foi realizada uma análise de sua robustez em relação a alterações nos parâmetros do processo e nas constantes das válvulas. (SILVA et al., 2015) projeta um controlador GMV para um sistema de distribuição de água. O controle atua na variação de velocidade de rotação de um conjunto motor-bomba e a na variação da abertura de válvulas de controle. Seu objetivo é racionalizar o uso da água e energia elétrica, na tentativa de aumentar a eficiência energética dos conjuntos motor-bomba, e reduzir as perdas de água envolvidas no processo. Segundo o autor, a variação da demanda de água ao passar do tempo gera contínuas alterações nas condições de operação das redes hidráulicas. Além disso, o controle simultâneo de pressão em diversos pontos de medição da rede, utilizando equipamentos com características diferentes torna o sistema complexo, justificando assim o fato de uma técnica adaptativa ser adotada. O projeto da estratégia GMV com estimação dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados recursivo é apresentado, assim como sua aplicação em uma planta experimental de distribuição de água. Os experimentos realizados mostram a eficácia do controlador adaptativo para o sistema em diversas condições de operação, enfatizando a economia de energia e água, que obteve redução de até 19,2% para o sistema atuando na condição mais desfavorável. Os estudos citados nesse capítulo tem como ponto em comum o controle de processos multivariáveis que apresentam não-linearidades significativas. A aplicação de estratégias de controle adaptativo em sistemas que possuem tais características vem sendo bem aceita nas últimas décadas, apresentando bons resultados experimentais em diversas áreas, tais como indústria automotiva, aviação, processos químicos e hidráulicos. É interessante destacar que novas.

(22) 6. CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. abordagens vem sendo desenvolvidas combinando técnicas adaptativas com outros elementos como redes neurais e lógica f uzzy, intensificando ainda mais os estudos na área. O capítulo a seguir introduz um breve histórico e os principais conceitos envolvidos no tema de Controle Adaptativo..

(23) Capítulo 3 Referencial Teórico 3.1. Controle Adaptativo. De acordo com (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995) um controlador adaptativo é um controlador que pode modificar seu comportamento em função das alterações na dinâmica do processo e de suas perturbações. Dessa maneira, os parâmetros do controlador são ajustáveis e existe um mecanismo de estrutura não linear responsável pelo ajuste desses parâmetros. (HASSAN, 2002) recomenda o uso desse tipo de controle para sistemas que apresentam dinâmicas com variações ao longo do tempo, processos conhecidos com incerteza, ou até mesmo desconhecidos. Além de sistemas com a presença de atuadores não-lineares, e sistemas que sofram alterações nas suas condições de operação, ou na natureza de suas perturbações.. 3.1.1. Histórico. Pesquisas na área de controle adaptativo tiveram início na década de cinquenta, tendo como motivação o projeto de pilotos automáticos para aeronaves que operavam em diversas velocidades e altitudes. Concluiu-se que um controlador de ganhos constantes não era suficiente para resolver o problema em questão, e foi adotada como primeira solução o controle por escalonamento de ganho (Gain Scheduling). Em seguida, as primeiras tentativas com esquemas por modelo de referência e métodos de auto-sintonia (Self Tunning) dos parâmetros dos controladores foram propostos. Assim como as regras de sensibilidade e a regra do "M.I.T", que apresentavam um bom desempenho sobre certas restrições. Em 1958, Kalman apresentou o conceito de um controlador auto-ajustável com a identificação dos parâmetros de uma planta linear (SASTRY; BODSON, 1989). Nos anos 60, haviam mais pesquisas na área de controle que contribuíram.

(24) 8. CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. para o desenvolvimento do controle adaptativo. Teorias de espaço de estados e estabilidade foram introduzidas. Havia também resultados importantes na teoria de controle estocástico. A programação dinâmica, introduzida por Bellman, aumentou a compreensão dos processos adaptativos. No final dos anos 70 e inicio dos anos 80, provas de estabilidade de sistemas adaptativos apareceram, embora sob várias suposições restritivas. O esforço de juntar ideias de controle robusto e identificação de sistemas tinha uma relevância particular. A investigação da necessidade dessas suposições geraram novas e interessantes pesquisas na robustez do controle adaptativo, assim como em controladores universalmente estabilizáveis. Pesquisas no final da década de 80 e inicio da década de 90 deram maior percepção de robustez aos controladores adaptativos. Os avanços nos estudos de sistemas não lineares levaram também a um aumento significante da compreensão do tema. Surgiram muitos experimentos em controle adaptativo tanto em laboratórios, como na indústria. O rápido progresso em microeletrônica foi de grande importância e a interação entre teoria e prática resultou em um vigoroso desenvolvimento em campo. Como resultado, controladores adaptativos começaram a aparecer comercialmente no começo dos anos oitenta. Esse desenvolvimento teve forte aceleração e técnicas adaptativas são aplicadas de diversas maneiras em grande parte dos controladores comercializados hoje em dia. (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995). 3.1.2. Estrutura do Controlador. A saída de um processo contém informações sobre seus estados e parâmetros. Um controlador adaptativo deve ser capaz de aprender sobre as variações que ocorrerem na dinâmica da planta, processando sua saída e utilizando os ganhos apropriados para acomodar essas variações. A maneira como os ganhos do controlador se adaptam em resposta às mudanças de dinâmica da planta e de suas pertrubações distingue cada um dos esquemas de controle adaptativo (IOANNOU; SUN, 1996). De maneira geral, um sistema adaptativo é composto por duas malhas realimentadas. A primeira contém o processo e o controlador. Já a segunda, possui um mecanismo de ajuste dos parâmetros do controlador. Essa estrutura pode ser observada na figura 3.1..

(25) 3.1. CONTROLE ADAPTATIVO. 9. Figura 3.1: Estrutura de um Controlador Adaptativo (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995). 3.1.3. Controle Adaptativo Direto/Indireto. Um sistema de controle adaptativo pode ser classificado como direto ou indireto. Para uma estrutura direta, os parâmetros do controlador são estimados diretamente. Para isso se faz necessária uma etapa de parametrização das variáveis do controlador em função dos parâmetros da planta, sendo o mecanismo de ajuste o único elemento responsável pela atualização do controlador. A estrutura de um controlador adaptativo direto é demonstrada na figura 3.2. Para o caso indireto, o processo é composto por duas etapas. A primeira responsável apenas pela estimação dos parâmetros da planta, e a segunda responsável pelo cálculo dos parâmetros do controlador através das estimativas, apresentando assim um elemento intermediário quando comparado com o caso direto. A figura 3.3 apresenta o modelo de um sistema indireto.. Figura 3.2: Estrutura de um Controlador Adaptativo Direto (IOANNOU; SUN, 1996).

(26) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 10. Figura 3.3: Estrutura de um Controlador Adaptativo Indireto (IOANNOU; SUN, 1996). 3.2. Desacoplamento de Sistemas. Grande parte dos sistemas multivariáveis apresentam interações entre suas entradas e saídas. O controle eficiente desses sistemas é um problema complexo no contexto de controle de processos, visto que métodos de controle já consolidados para casos de sistemas SISO nem sempre podem ser estendidos diretamente para o caso MIMO (CHEN; ZHANG, 2006). Uma das maneiras de tratar o acoplamento entre as variáveis presentes em um sistema MIMO é através de métodos de desacoplamento. Tais métodos tendem a minimizar os efeitos que uma variável do sistema exerce sobre a outra, tornando possível realizar um estudo mais simples do problema para cada conjunto de entradas e saídas. Podemos por exemplo desenvolver controladores específicos para cada par de entrada e saída, ao invés de uma análise centralizada utilizando técnicas de controle MIMO mais avançadas. Um sistema de controle descentralizado com uma matriz de desacoplamento pode ser projetado combinando um controlador C (s) com um bloco compensador D (s), de tal maneira que o controlador visualize o processo aparente Q(s) como um conjunto de processos completamente independentes. A essência desse método é introduzir dinâmicas que cancelem as interações existentes entre as variáveis do processo, permitindo que seja feito um controle independente para cada uma das malhas do sistema (GARRIDO;.

(27) 3.2. DESACOPLAMENTO DE SISTEMAS. 11. VáZQUEZ; MORILLA, 2011). A figura 3.4 apresenta a estrutura convencional de um desacoplador para um sistema TITO (Two Inputs and Two Outputs), sendo d11 , d12 , d21 , d22 os elementos de D (s), c1 , c2 os elementos de C (s) e g11 , g12 , g21 , g22 os elementos da matriz de transferência G (s) - Equação (3.1). A matriz D (s) deve ser projetada de maneira que G (s) D (s) resulte na matriz de transferência diagonal Q(s) - Equação (3.2). ! d11 d12 D (s) = G (s) = d21 d22 ! q11 0 Q(s) = C (s) = 0 q22 Q(s) = G (s).D (s). ! g11 g12 g21 g22 ! c11 0 0 c22. (3.1). (3.2). Figura 3.4: Estrutura de um Desacoplador para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011). De maneira geral, as técnicas de desacoplamento convencionais são classificadas em três tipos: desacoplador ideal (ideal decoupling), desacoplador simplificado (simplified decoupling) e desacoplador invertido (inverted decoupling). (GAGNON; POMERLEAU; DESBIENS, 1998) apresenta um estudo comparativo entre os três métodos, onde a estabilidade, robustez e implementação dos modelos são estudadas. Para o autor, a escolha do método de desacoplamento é uma tarefa relativamente complexa, visto que cada técnica apresenta suas vantagens e limitações.. 3.2.1. Desacoplador Ideal. Substituindo (3.1) em (3.2), temos:.

(28) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 12. Q(s) = G (s).D (s) D ( s ) = G ( s ) −1 Q ( s ) =. g22 q11 − g12 q22 − g21 q11 g11 q22. !. (3.3). A equação (3.3) define o desacoplador ideal (Ideal Decoupling) proposto por (LUYBEN, 1970). Tal método permite que os elementos do controlador c11 e c22 sejam sintonizados de acordo com os elementos atribuídos à matriz aparente do processo Q(s). Apesar de seu esquema refletir em uma maior facilidade no projeto e sintonia do controlador, sua estrutura na maioria das vezes pode levar a expressões complexas de D (s), de difícil realização.. 3.2.2. Desacoplador Simplificado. Um segundo método denominado simplified decoupling (LUYBEN, 1970) é vastamente utilizado na literatura, tendo como sua maior vantagem a simplicidade dos elementos envolvidos. Sua matriz de desacoplamento é descrita por:. D (s) =. − gg12 11. 1 21 − gg22. ! (3.4). 1. Resultando na seguinte matriz de transferência Q(s):. Q(s) = G (s).D (s) =. g11 − 0. g12 g21 g22. !. 0 g22 −. g12 g21 g11. (3.5). O desacoplador simplificado permite uma maior facilidade no projeto da matriz de desacoplamento D (s), porém os elementos de Q(s) tornam-se mais complexos visto que são compostos por somas de funções de transferência. Tal característica muitas vezes dificulta a sintonia dos controladores.. 3.2.3. Desacoplador Invertido. Na tentativa de evitar complexidade dos elementos de Q(s) na implementação do desacoplador simplificado, a seguinte estrutura foi proposta (SHINSKEY, 1988) na disposição dos elementos do desacoplador (Figura 3.5), modificando aquela apresentada na Figura 3.4:.

(29) 3.3. MRAC. 13. Figura 3.5: Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011). A partir desta estrutura, (WADE, 1997) desenvolveu uma nova estratégia de desacoplamento denominada inverted decoupling que apresenta as mesmas funções de transferência da matriz D (s) utilizadas no desacoplador simplificado (3.4) e uma matriz aparente do sistema mais simples, assim como o desacoplador ideal (3.6). Diante do exposto, este método foi utilizado no presente trabalho pois oferece os benefícios de ambos os desacopladores citados anteriormente e uma implementação mais simples e direta. Uma descrição matemática mais detalhada do desacoplador invertido é apresentada na seção 4.2 para um processo 3x3. D ( s ) −1 = Q ( s ) −1 G ( s ) =. − gg12 11. 1. − gg21 22. !. =. 1. Q ( s ) −1 G ( s ) =. 3.3. − gg21 22. − gg12 11. 12 − gq11. !. g22 q22. (3.6). Para q11 = g11 e q22 = g22 : 1. g11 q11 g21 q22. !. 1. MRAC. Inicialmente apresentado no trabalho de (WHITAKER; YAMRON; KEZER, 1958), em estudos no campo da aviação. Os controladores MRAC tratam problemas do tipo servo através de um modelo de referência que especifica o comportamento a ser seguido pela planta. Tal comportamento pode ser atingido através.

(30) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 14. de um mecanismo de ajuste (lei adaptativa) dos parâmetros do controlador. De acordo com (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995), esse mecanismo é baseado no erro entre a saída da planta e a saída do modelo de referência, e pode ser obtido de diversas maneiras: utilizando o método do gradiente, a regra do MIT ou aplicando a teoria da estabilidade. No presente trabalho a regra do MIT é utilizada. A figura 3.6 apresenta a arquitetura de um controlador MRAC.. Figura 3.6: Arquitetura do controlador MRAC. Seja uma planta genérica de primeira ordem (3.7) : ẏ = − ay + bu. (3.7). y˙m = − am ym + bm um. (3.8). O modelo de referência (3.8) :. E o controlador descrito por: u = θ1 r − θ2 y. (3.9). Sendo r a referência aplicada ao sistema. Substituindo (3.9) em (3.7): ẏ = − ay + b(θ1 r − θ2 y) ẏ = −( a + bθ2 )y + bθ1 r. (3.10).

(31) 3.3. MRAC. 15. Comparando (3.10) e (3.8) e considerando que a planta deve se comportar como o modelo de referência, temos que y = ym e um = r, logo: bm b. (3.11). am − a b. (3.12). θ1 = θ2 =. Para aplicar a regra do MIT, definimos o erro de estimação e e a seguinte função objetivo J: e = y − ym (3.13) 1 J ( θ1 , θ2 ) = e2 2. (3.14). A fim de realizarmos a estimação dos parâmetros do controlador, devemos minimizar a função objetivo na direção negativa de seu gradiente. Sendo γ o ganho adaptativo e θ o vetor de parâmetros do controlador, temos: θ̇ = −γ. ∂J ∂e = −γe ∂θ ∂θ. (3.15). A equação (3.15) apresenta a regra do MIT. A taxa de convergência das estimativas dos parâmetros do controlador está diretamente relacionada ao ganho adaptativo γ. Quanto maior o valor de γ, maior a velocidade que as estimativas convergem, porém para valores muito elevados o comportamento das estimativas ∂e torna-se imprevisível. A derivada parcial ∂θ é denomida derivada de sensibilidade do sistema. Tal derivada expressa como o erro e é influenciado pelo vetor θ. Decorre da equação (3.10) que a saída do sistema em malha fechada é dada por: y=. bθ1 r p + a + bθ2. (3.16). sendo p = d/dt o operador diferencial. As equações de sensibilidade (3.17) e (3.18) são obtidas através das derivadas parciais do erro de estimação em relação aos parâmetros do controlador θ1 e θ2 : ∂e b b = r≈ r ∂θ1 p + a + bθ2 p + am. (3.17). ∂e b2 θ1 b b =− r = − y ≈ − y ∂θ2 p + a + bθ2 p + am ( p + a + bθ2 )2. (3.18).

(32) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 16. Essas equações não podem ser aplicadas diretamente pois os parâmetros da planta a e b são desconhecidos. Por isso devemos utilizar aproximações, das quais uma das possíveis é a seguinte: p + a + bθ2 ≈ p + am . Isso decorre da equação (3.12) quando consideramos que à medida que as estimativas dos parâmetros tendem a convergir, o comportamento do sistema deve acompanhar o modelo de referência. Levando em consideração a aproximação citada e a equação das estimativas dos parâmetros do controlador (3.15) temos : ∂J ∂e θ˙1 = −γ = −γe = −γ ∂θ1 ∂θ1 ∂J ∂e θ˙2 = −γ = −γe =γ ∂θ2 ∂θ2. . . b r e p + am. b y e p + am. (3.19). (3.20). Combinando os parâmetros b, am e γ (3.21), podemos normalizar os filtros para apresentarem ganho unitário, resultando em: γ0 = θ˙1 = −γ0 θ˙2 = γ0. 3.4. . . γb am. am r e p + am. am y e p + am. (3.21). (3.22). (3.23). Controlador auto-ajustável GMV. Apresentado por (CLARKE; GAWTHROP, 1975), o controlador GMV é uma estratégia de controle adaptativo auto-ajustável para sistemas que apresentam parâmetros constantes porém desconhecidos. O controle é realizado em duas etapas, a primeira consiste na estimação dos parâmetros do sistema que é feita através do método do mínimos quadrados recursivo, e a segunda por uma lei de controle baseada na minimização de uma função de custo que incorpora as variações da saída, entrada e referência do sistema. O método em questão possui várias vantagens sobre as primeiras estratégias auto-ajustáveis (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995): é permitida a ponderação do sinal de controle; a referência pode ser perfeitamente seguida; não apresenta como requisito a escolha de um parâmetro relacionado ao sistema que assegure a convergência das estimações..

(33) 3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV. 3.4.1. 17. Método dos Mínimos Quadrados Recursivo. A identificação do sistema é uma etapa fundamental em estratégias de controle adaptativo indiretos. Métodos de identificação têm como objetivo desenvolver ou aprimorar uma representação matemática de um sistema físico utilizando dados experimentais, como por exemplo suas entradas e saídas. Tais técnicas são largamente utilizadas para casos em que os parâmetros da planta sejam pouco conhecidos, desconhecidos ou sofram variações ao longo do tempo. No presente trabalho o método dos mínimos quadrados recursivo é utilizado para estimar os parâmetros do sistema desacoplado. A estimação é feita em tempo real enquanto o processo se encontrar operando, sendo assim considerado um método "on-line"de estimação. Considerando o seguinte conjunto de entradas e saídas medidas:. n. u(0) u(1) ... u( N ). on. y(0) y(1) ... y( N ). o. (3.24). Definimos as seguintes matrizes: .  a1    a2     ..       .    y (1) e1  an         y (2)   e2       θ = · · · y =   ..  e =  ..    .   .  b1    y( N ) en    b2   .   .   .  bm  . −y(1 − n) .. u (0) ... u(1 − m)   ..  − y (1) ... −y(2 − n) . u (1) ... u(2 − m)    x=  . . . . .   .. .. .. .. ..   .. −y( N − 1) ... −y( N − n) . u( N − 1) ... u( N − m) . − y (0). .... (3.25).

(34) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 18 Temos que:. y = xθ + e. (3.26). O problema consiste em encontrar o vetor θ que contém os parâmetros do sistema, dados os vetores x e y. Para isso, devemos escolher os valores de θ que minimizam a seguinte função erro: N. J=. ∑ e2 (k) = eT e = (y − xθ )T (y − xθ ). (3.27). k =1. Minimizamos J igualando a zero o seu gradiente em função de θ: ∂J =0 ∂θ θ =θ̂ ∂(y T y − y T xθ − θ T x T y + θ T x T xθ ) ∂θ Resultando em:. (3.28) θ =θ̂. =0. −2x T y + 2x T x θ̂ = 0. (3.29). θ̂ = ( x T x )−1 x T y. A equação (3.29) apresenta o cálculo das estimativas para o método os mínimos quadrados. Para a versão recursiva do estimador, ajustamos as equações (3.26) e (3.29) considerando N+1 amostras, resultando em (3.30) e (3.31) :. . − y (0)      − y (1)    ..    .     =     y ( N )   − y ( N − 1)     ...  y ( N + 1) −y( N )  . y (1) y (2) .. .. .  . .. ... − y (1 − n ) . u (0) .. ... − y (2 − n ) . u (1) .. .. .. . . . .. ... −y( N − n) . u ( N − 1) .. ... ... . ... . ... −y( N + 1 − n) .. u( N + 1)     Y( N ) X(N)     ... ... = θ +  y ( N + 1). x T ( N + 1). .... u (1 − m ). .    e (1)  ... u (2 − m )      e (2)  ..    .    .. θ +   .   ... u( N − m)    e( N )      ... ...  e ( N + 1) ... u( N + 1 − m)  E( N )  ...  y ( N + 1) (3.30).

(35) 3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV. T −1 T θ̂ N +1 = ( X N +1 X N +1 ) X N +1 YN +1   YN   T −1 T θ̂ N +1 = ( X N +1 X N +1 ) X N +1  ...  y N +1     −1   X Y N N h i h i  T ..     T ... x θ̂ N +1 =  X N . x N +1  ...  XN N +1  ...  x TN +1 y N +1. 19. (3.31). T T θ̂ N +1 = ( X N X N + x N +1 x TN +1 )−1 [ X N YN + x N +1 y N +1 ]. Definimos a matriz de covariância: T PN +1 = ( X N X N + x N +1 x TN +1 )−1. (3.32). Utilizando o lema da inversão de matrizes, temos: PN +1 = [ I − (1 + x TN +1 PN x N +1 )−1 PN x N +1 x TN +1 ] PN. (3.33). Substituindo (3.33) em (3.31) obtemos as equações do estimador: K N = (1 + x TN +1 PN x N +1 )−1 PN x N +1 θ̂ N +1 = θ̂ N + K N (y N +1 − x TN +1 θ̂ N ). (3.34). PN +1 = [ I − K N x TN +1 ] PN. 3.4.2. Implementação do controlador GMV. Dado um sistema discreto de primeira ordem descrito por: y(k + 1) = − ay(k ) + bu(k ). (3.35). Podemos escrever y(k + 1) em função da variação do sinal de controle ∆u(k) subtraindo a equação (3.36) de (3.35): y(k) = − ay(k − 1) + bu(k − 1). (3.36).

(36) CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO. 20 Resultando em:. y(k + 1) − y(k ) = − a[y(k ) − y(k − 1)] + b[u(k ) − u(k − 1)] y(k + 1) = − ay(k ) + y(k ) − ay(k − 1) + b∆u(k ). (3.37). y(k + 1) = (1 − a)y(k ) + ay(k − 1) + b∆u(k ) O sinal de controle pode ser calculado minimizando a função de custo J (3.38) em relação a variação do sinal de controle ∆u(k), sendo yre f a referência aplicada ao sistema e ρ o fator de ponderação de ∆u(k): J = [y(k + 1) − yre f (k + 1)]2 + ρ∆u(k )2. (3.38). Substituindo (3.37) em (3.38): J = [(1 − a)y(k ) + ay(k − 1) + b∆u(k ) − yre f (k + 1)]2 + ρ∆u(k )2. (3.39). Minimizando J (3.39):. ∂J =0 ∂∆u(k ) ∂J = 2[(1 − a)y(k) + ay(k − 1) + b∆u(k) − yre f (k + 1)] + 2ρ∆u(k) = 0 ∂∆u(k) ∆u(k )(b2 + ρ) = b[( ay(k ) − y(k) − ay(k − 1) + yre f (k + 1)] ∆u(k) =. ( b2. b [( ay(k) − y(k) − ay(k − 1) + yre f (k + 1)] + ρ) (3.40). Como ∆u(k ) = u(k ) − u(k − 1), chegamos a expressão do sinal de controle aplicado a cada intervalo de tempo, onde os parâmetros do sistema a e b pelo princípio de equivalência a certeza (SIMON, 1956) (THEIL, 1957) devem ser substituidos pelas estimativas obtidas através do método dos mínimos quadrados:. 1 u(k) = 1+. " ρ b. # ( ay(k) − y(k) − ay(k − 1) + yre f (k + 1) + u ( k − 1) b. A figura 3.7 apresenta a arquitetura do controlador em questão:. (3.41).

(37) 3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV. Figura 3.7: Arquitetura do controlador GMV. 21.

(38) 22. CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO.

(39) Capítulo 4 Metodologia. Este capítulo apresenta a metodologia utilizada neste trabalho, incluindo alguns conceitos e a fundamentação matemática dos temas envolvidos. Na seção 4.1 é feita uma descrição do sistema de tanques e sua modelagem fenomenológica. A seção 4.2 traz o equacionamento do desacoplador invertido para um sistema 3x3 e sua aplicação no processo.. 4.1. Sistema de Tanques. O sistema é composto por três tanques e três bombas (entradas), organizados de maneira que a vazão de saída de um tanque seja despejada no segundo e assim por diante (Figura 4.1). Cada tanque possui uma altura de 30 cm e suas vazões são provenientes de um tanque de base para onde escoa o fluido do 3o tanque. Durante o processo consideramos que pode-se tanto adicionar como remover fluido de cada tanque, o que matematicamente pode ser representado por um sinal de controle positivo ou negativo..

(40) CAPÍTULO 4. METODOLOGIA. 24. Figura 4.1: Sistema de Tanques Acoplados. Realizando uma modelagem fenomenológica do processo, a dinâmica da planta pode ser representada da seguinte maneira: • Tanque 1 qi1 = Km1 Vp1 p qo1 = a1 2gL1 q − qo1 a p K L˙1 = i1 = − 1 2gL1 + m1 Vp1 A1 A1 A1. (4.1) (4.2) (4.3). • Tanque 2 p qi2 = Km2 Vp2 + a1 2gL1 p qo2 = a2 2gL2 a p a2 p Km2 L˙2 = 1 2gL1 − 2gL2 + Vp2 A2 A2 A2. (4.4) (4.5) (4.6).

(41) 4.1. SISTEMA DE TANQUES. 25. • Tanque 3 p qi3 = Km3 Vp3 + a2 2gL2 p qo3 = a3 2gL3 a2 p a3 p Km3 L˙3 = 2gL2 − 2gL3 + Vp3 A3 A3 A3. (4.7) (4.8) (4.9). Sendo, qit - vazão de entrada qot - vazão de saída Kmt - constante da bomba at - área do orifício de saída At - área do tanque Lt - nível Vpt - tensão aplicada a bomba g − aceleração da gravidade Para t = 1, 2, 3 referente a cada tanque.. Linearizando as equações (4.3), (4.6) e (4.9) por expansão em série de Taylor, considerando os pontos de operação Lo1 ,Lo2 , Lo3 e as variáveis ∆L1 = L1 − Lo1 , ∆L2 = L2 − Lo2 e ∆L3 = L3 − Lo3 , temos: a ∆ L˙1 = − 1 A1 a ∆ L˙2 = 1 A2. r. a2 ∆ L˙3 = A3. r. r. g K ∆L1 + m1 ∆Vp1 2Lo1 A1. g a2 ∆L1 − 2Lo1 A2. r. g a3 ∆L2 − 2Lo2 A3. r. (4.10). g Km2 ∆L2 + ∆Vp2 2Lo2 A2. (4.11). g Km3 ∆L3 + ∆Vp3 2Lo3 A3. (4.12). Atribuindo valores às constantes do sistema de acordo com o manual de referência dos tanques (QUANSER, ) para t=1,2,3 :.

(42) CAPÍTULO 4. METODOLOGIA. 26. Kmt = 16.5cm3 /s at = 0.1781cm2 At = 60cm2 g = 978.07cm/s2 Lo1 = Lo2 = Lo3 = 15cm. A partir das equações linearizadas, considerando Lt as saídas do sistema e V pt as entradas, obtemos a seguinte matriz de transferência da planta: .    L1 Vp1     Lt =  L2  Vpt = Vp2  L3 Vp3. .   G11 (s) G12 (s) G13 (s) Vp1    Lt = G (s)Vpt =  G21 (s) G22 (s) G23 (s)  Vp2  G31 (s) G32 (s) G33 (s) Vp3.     G (s) =    . 0.275 s+0.01695. 0. (4.13). 0.        . 0.004662 s2 +0.0339s+0.0002874. 0.275 s+0.01695. 0. 7.903 10−5 s3 +0.05s2 +0.0008s+4.872∗10− 6. 0.004662 s2 +0.0339s+0.0002874. 0.275 s+0.01695. A matriz de transferência é composta de maneira que cada elemento Gij corresponde a função de transferência da saída i do sistema em relação a sua entrada j. Podemos observar claramente o acoplamento entre as variáveis envolvidas, pois a entrada do tanque 1 influencia as saídas dos tanques 2 e 3, e a entrada do tanque 2 influencia a saída do tanque 3..

(43) 4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO. 4.2. 27. Desacoplador Invertido. (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) apresentam em seu trabalho as expressões de um desacoplador invertido de uma maneira generalizada para processos n×n, e suas condições para que seja realizável. Um desacoplador ideal é dado pela equação (4.14), e tem como objetivo tornar a análise do sistema MIMO tão simples como uma matriz de transferência diagonal (não possue acoplamento entre suas variáveis): D ( s ) = G −1 ( s ) Q ( s ) (4.14) Sendo D (s) uma matriz nxn com os elementos do desacoplador e Q(s) uma matriz nxn com as funções de transferência do sistema desacoplado. Dada a complexidade do cálculo de D (s), o método do desacoplador invertido propõe que a estrutura dessa matriz seja representada pela equação (4.15). Desse modo, D (s) é escrita em função das matrizes Do (s) e Dd(s) que compõem uma malha com realimentação positiva, ilustrada na figura 4.2.. Figura 4.2: Representação de D(s) pelas matrizes Dd (s) e Do (s) (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011). D (s) = Dd(s).( I − Do (s).Dd(s))−1. (4.15).

(44) CAPÍTULO 4. METODOLOGIA. 28. Considerando a inversa da matriz D (s) para simplificar a análise, temos: D (s)−1 = ( I − Do (s).Dd(s)) Dd(s)−1. (4.16). = Dd(s)−1 − Do (s) Invertendo a equação (4.14) e substituindo-a em (4.16), obtemos: Dd(s)−1 − Do (s) = Q(s)−1 G (s). (4.17). A equação (4.17) pode ser utilizada para calcular os elementos do desacoplador. A matriz Dd(s) deve ser não singular e pode ser escolhida de maneira que seja uma matriz diagonal. Já a matriz Do (s) possui elementos nulos em sua diagonal visto que uma determinada saída do desacoplador não influencia sua respectiva entrada. Dessa maneira as expressões (4.18) e (4.19) definem o desacoplador para um sistema 3x3:. . 1 dd11.   −do21  −do31.   −do12 −do13   1 = − do 23 dd22   −do32 dd133. g11 q1 g21 q2 g31 q3. g12 q1 g22 q2 g32 q3. g13 q1 g23 q2 g33 q3.    . (4.18). Escolhendo os elementos da diagonal principal da matriz Dd unitários e considerando que a matriz Q(s) deve apresentar os mesmos valores da diagonal principal de G (s): dd11 = dd22 = dd33 = 1. (4.19). q1 = g11 q2 = g22 q3 = g33 . . . 1 −do12 −do13    1 −do23  =   −do21  −do31 −do32 1. 1 g21 g22 g31 g33. g12 g11. 1 g32 g33. g13 g11 g23 g22. 1.    . (4.20). Substituindo os valores da matriz G (s) (4.13) na equação (4.20) temos os seguintes termos: do12 = 0. (4.21). do13 = 0. (4.22).

(45) 4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO. do21 =. −0.0046s − 7.9 10−5 0.275s2 + 0.0093s + 7.9 10−5 do23 = 0. do31 =. 29. (4.23) (4.24). −7.9 10−5 s − 1.34 10−6 0.275s3 + 0.013s2 + 0.00023s + 1.34 10−6. (4.25). −0.0046s − 7.9 10−5 0.275s2 + 0.0093s + 7.9 10−5. (4.26). do32 =. A disposição final dos elementos do desacoplador incorporados ao sistema pode ser observada na figura 4.3.. Figura 4.3: Disposição final dos elementos do desacoplador. A matriz de transferência final do sistema desacoplado Q(s) está exposta no Apêndice A. Como esperado os elementos da diagonal principal de Q(s) correspondem aos mesmos elementos da diagonal principal da matriz G (s), enquanto seus demais elementos apresentam funções de transferência com coeficientes de valores muito próximos a zero.. 4.2.1. Desacoplador Invertido Chaveado. As equações (4.21) a (4.26) descrevem uma solução de desacoplamento em torno do ponto de operação de 15cm. Para valores de referências afastadas deste ponto de operação, o desacoplador apresenta uma perda de desempenho, resultando em um maior acoplamento entre as variáveis. A estratégia utilizada para minimizar esse problema foi implementar desacopladores em diferentes.

(46) 30. CAPÍTULO 4. METODOLOGIA. pontos de operação e realizar o chaveamento destes de acordo com a situação em que o sistema se encontrar. Considerando que os sinais de referência do sistema excursionem na faixa de 0 a 20cm, foram definidos para cada um dos tanques quatro pontos de operação. Para os intervalos entre 0-5cm, 5-10cm, 10-15cm, 15-20cm temos respectivamente os seguintes médios de operação 2,5cm, 7,5cm, 12,5cm e 17,5cm (Figura 4.4).. Figura 4.4: Divisão do tanque em diferentes pontos de operação. Os elementos da matriz de desacoplamento foram então calculados levando em conta as diversas possibilidades em que os níveis dos tanques possam se encontrar. Por exemplo, para o elemento D21 que compensa a influência da entrada 1 no tanque 2, consideramos 16 funções de transferências distintas, visto que tanto o tanque 1 como o tanque 2 podem operar em quatro pontos de operação diferentes. O mesmo ocorre para os elementos D31 e D32 que apresentam 16 possibilidades cada (no caso de D31 , foram considerados os diferentes pontos de operação para os tanques 1 e 3, enquanto a condição de operação do tanque 2 foi fixada em 15cm). O sistema foi linearizado para cada um dos casos citados com os devidos pontos de operação, e o cálculo dos elementos do desacoplador foi realizado da mesma maneira apresentada na seção 4.2, totalizando 48 elementos que são chaveados de acordo com os níveis em que os tanques se encontram em cada instante de tempo. O chaveamento é realizado.

(47) 4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO. 31. através de um multiplexador que possui como entrada um mecanismo de seleção. Este mecanismo é responsável por verificar o ponto de operação de cada tanque em determinado instante de tempo, permitindo que a função de transferência adequada seja utilizada. A figura 4.5 mostra um esquema exemplo do elemento D21 do desacoplador chaveado. Todas as funções de transferência calculadas estão presentes no Apêndice B .. Figura 4.5: Esquema exemplo do elemento D21 do desacoplador chaveado.

(48) 32. CAPÍTULO 4. METODOLOGIA.

(49) Capítulo 5 Resultados. Algumas simulações no Matlab/Simulink foram realizadas para verificarmos o comportamento do sistema desacoplado e o desempenho dos controladores implementados.. 5.1. Sistema Desacoplado. Considerando que o acoplamento entre as variáveis da planta deve ser minimizado com a presença do desacoplador, aplicamos uma entrada no sistema em malha aberta que mantenha o nível do tanque 1 no ponto de operação em que o desacoplador (4.21-26) foi projetado (15 cm). A tensão aplicada foi de 1.85V. A figura 5.1 apresenta os resultados obtidos realizando um comparativo entre o sistema com desacoplamento e sem desacoplamento. Para o caso em que o sistema não possui desacoplamento, os níveis dos tanques 2 e 3 não permaneceram no estado inicial (0 cm), apresentando valores que tendem a 15 cm em regime permanente. Isto ocorre devido ao acoplamento das variáveis envolvidas, onde a saída de um tanque influencia diretamente os níveis daqueles que estão abaixo. Para o sistema desacoplado, a presença do desacoplador minimiza esse efeito e permite que os vasos 2 e 3 permaneçam em 0 cm..

(50) 34. CAPÍTULO 5. RESULTADOS. Figura 5.1: Comparativo para o sistema em malha aberta com desacoplador e sem desacoplador. A fim de verificarmos a eficácia do método do desacoplador chaveado (seção 4.2.1), aplicamos diferentes sinais de entrada em cada um dos tanques para o sistema em malha aberta. O nível do tanque 1 é mantido em 2.5 cm, enquanto uma entrada oscilatória é aplicada ao tanque 2. Em relação ao tanque 3, o sinal aplicado faz com que os valores de referência excurcionem entre os pontos de operação escolhidos no projeto do desacoplador chaveado. O comportamento da planta para o desacoplador projetado para o ponto de operação de 15 cm e para o desacoplador chaveado pode ser observado na figura 5.2. O tanque 3 apresenta melhor desempenho com a atuação do desacoplador chaveado, acompanhando de maneira mais eficiente as mudanças de referência, além de minimizar o efeito das perturbações geradas pelo sinal oscilatório do tanque 2. O mesmo ocorre para o tanque 2 nos instantes iniciais da simulação, enquanto o tanque 1 ainda se encontra em regime transitório.. Na tentativa de quantificar o desempenho dos experimentos exibidos neste capítulo, foram utilizados três índices de desempenho baseados na integral do erro. Os índices ISE-Integrated Square Error (Integral do erro quadrático), IAE Integrated Absolute Error (Integral absoluta do erro) e ITAE -Integrated of the Time multiplied by Absolute Error (Integral do tempo multiplicado pelo erro quadrático) são definidos pelas seguintes equações:.

(51) 5.1. SISTEMA DESACOPLADO. ISE = I AE = ITAE =. 35. Z ∞ 0. Z ∞ 0. Z ∞ 0. e(t)2 dt. |e(t)| dt. (5.1). t|e(t)| dt. A tabela 5.1 exibe os valores das métricas do erro de rastreamento no tanque 3 para o sistema com o desacoplador chaveado e para o sistema com o desacoplador no ponto de operação 15cm. O desacoplador chaveado, como esperado, proporciona um melhor desempenho ao sistema, visto que os índices devem ser minimizados. Sendo assim, esta será a estratégia utilizada para as simulações apresentadas nas próximas seções. Tabela 5.1: Índices de desempenho Tanque 3. Índices ISE IAE ITAE. Desacoplador Chaveado 453.4 298.6 3.144 104. Desacoplador PO15 1371 520.8 5.636 104. O sistema desacoplado nos permite tratar um sistema MIMO de três entradas e três saídas como três sistemas SISO, tornando possível projetar e aplicar um controlador SISO para cada um desses. A seguir, o projeto dos controladores adaptativos é detalhado nas seções 5.2 e 5.3..

(52) CAPÍTULO 5. RESULTADOS. 36. Figura 5.2: Comparativo para o sistema em malha aberta entre o desacoplador PO 15 e o desacoplador chaveado. 5.2. Controlador MRAC. O projeto do controlador MRAC se resume a obter um modelo de referência com o comportamento desejado, atribuir valores iniciais para as estimativas,.

(53) 5.2. CONTROLADOR MRAC. 37. e valores para os ganhos adaptativos. Em relação ao modelo de referência, considerando uma planta de primeira ordem, para um sistema com constante de tempo τ = 1s e ganho unitário temos a seguinte função de transferência: Gm (s) =. 1 s+1. (5.2). A constante de tempo deve ser um valor não muito alto, pois consequentemente tornaria lento o desempenho do controlador. Assim como não pode ser um valor muito pequeno, pois tende a gerar um sinal de controle elevado. Após a realização de alguns testes, a constante de tempo τ = 1s foi atribuída. Tal constante resulta em um tempo de estabilização do sistema de aproximadamente 4τ = 4s para um critério de erro de 2%. Por tratarmos de uma planta cujos parâmetros são conhecidos, podemos calcular os parâmetros do controlador a partir dos da planta: bm 1 = = 3.6364 b 0.275 am − a 1 − 0.01695 θ2 = = = 3.5793 b 0.275 θ1 =. (5.3) (5.4). Foram considerados os seguintes valores iniciais das estimativas θ1 e θ2 : θ1inicial = 1, 5. (5.5). θ2inicial = 1, 5. (5.6). Os ganhos adaptativos foram atribuídos empiricamente para cada um dos tanques. Ganhos altos apesar de diminuir em tempo necessário para as estimativas convergirem, podem levar o sistema a oscilar e não seguir o modelo de referência. Já valores pequenos de ganhos tendem a tornar a convergencia das estimativas muito lenta: γ10 tanque1 = 0.01 (5.7) γ20 tanque1 = 0.01. (5.8). γ10 tanque2 = 0.05. (5.9). γ20 tanque2 = 0.05. (5.10).

(54) CAPÍTULO 5. RESULTADOS. 38. γ10 tanque3 = 0.5. (5.11). γ20 tanque3 = 0.5. (5.12). Aplicando a mesma configuração do modelo de referência e estimativas iniciais nos três controladores, para valores de referência não constantes temos o comportamento apresentado na figura 5.3. A análise é feita para o sistema sem desacoplador (legenda: MRAC) e com o desacoplador chaveado (legenda: MRAC Desacoplador). Observamos que o desempenho dos controladores melhora com o passar do tempo, sendo esse o tempo necessário para que as estimativas comecem a convergir..

(55) 5.2. CONTROLADOR MRAC. 39. Figura 5.3: Resposta do sistema com o controlador MRAC. A mesma referência apresentada na figura 5.3 é aplicada a cada intervalo de 500 segundos a fim de verificarmos o comportamento das estimativas para ambos os casos (figura 5.4)..

(56) 40. CAPÍTULO 5. RESULTADOS. Figura 5.4: Estimativas dos parâmetros do controlador MRAC. O sistema desacoplado possui estimativas que se aproximam bastante dos valores reais dos parâmetros do controlador θ1 e θ2 . No caso do sistema acoplado, as estimativas não convergiram para os valores reais, visto que estamos projetando controladores de primeira ordem para plantas de segunda ordem com acoplamento (tanques 2 e 3). Apesar das estimativas não convergirem para o sistema sem a presença do desacoplador, este permaneceu estável durante a simulação. Porém, muitas vezes a trajetória do modelo de referência não foi seguida. Podemos observar um exemplo deste fato na figura 5.5, onde o controle do tanque 3 sem desacoplador não consegue acompanhar bem o modelo de referência..

(57) 5.2. CONTROLADOR MRAC. 41. Figura 5.5: Resposta do sistema com o controlador MRAC. As tabelas 5.2 e 5.3 exibem as métricas de desempenho dos controladores MRAC sem desacoplamento, com o desacoplador projetado no ponto de operação 15cm e no desacoplador chaveado. O erro de estimação (4.33) foi levado em consideração no cálculo dos índices visto que o objetivo do controlador MRAC é fazer com que a planta acompanhe o modelo de referência. Apenas os resultados dos tanques 2 e 3 são apresentados, visto que o tanque 1 apresenta o mesmo comportamento para os 3 casos pois não possui acoplamento. A simulação para obtenção dos índices teve duração de 10.000s. Os índices indicam que o Desacoplador Chaveado introduz uma grande melhoria no MRAC, quando comparado ao mesmo aplicado no sistema acoplado. Para o tanque 2 o erro é reduzido cerca de 3-4 vezes e para o tanque 3 cerca de 10.

(58) CAPÍTULO 5. RESULTADOS. 42. Tabela 5.2: Índices de desempenho Tanque 2. Índices ISE IAE ITAE. MRAC 230.50 798.8 40.71 105. MRAC Desacoplador PO15 88.43 346.4 14.04 105. MRAC Desacoplador Chaveado 67.43 276.4 9.66 105. Tabela 5.3: Índices de desempenho Tanque 3. Índices ISE IAE ITAE. MRAC 330.6 742.9 37.43 105. MRAC Desacoplador PO15 9.596 74.94 3.288 105. MRAC Desacoplador Chaveado 8.351 72.22 3.171 105. vezes para os critérios IAE e ITAE e 40 vezes para o critério ISE. Uma comparação entre o desacoplador projetado no ponto de operação 15cm e o desacoplador chaveado pode ser realizada, mostrando que o segundo minimiza os índices principalmente em relação ao segundo tanque. A figura 5.6 apresenta o sinal de controle no teste realizado para o sistema com desacoplamento.. Figura 5.6: Sinal de Controle.

(59) 5.3. CONTROLADOR GMV. 5.3. 43. Controlador GMV. O projeto do controlador GMV consiste em definir o valor inicial para a matriz de covariância P (3.32), o fator de ponderação do sinal de controle(ρ) e período de amostragem para a discretização do sistema. Usualmente, a matriz de covariância deve ser inicializada com valores elevados. Portanto, após alguns testes o seguinte valor foi escolhido:. Pinicial = 1015 I. (5.13). O comportamento do sistema com ponderação do sinal de controle não apresentou resultados satisfatórios, logo o controlador foi projetado com fator de ponderação nulo:. ρ=0. (5.14). Em relação ao período de amostragem, alguns testes foram realizados para definirmos o valor em questão. De acordo com (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995), as propriedades do sinal de controle quando um controlador por mínima variância é utilizado depende criticamente do intervalo de amostragem do sistema. Intervalos pequenos resultam em grandes variações no sinal de controle que tornam a saída da planta oscilatória, enquanto intervalos grandes na maioria das vezes geram sinais de controle insuficientes para levar o sistema à saída desejada em um tempo hábil. A figura 5.7 apresenta o comportamento do tanques com o controlador GMV para intervalos de amostragem de 0, 1s, 1s e 6s..

(60) 44. CAPÍTULO 5. RESULTADOS. Figura 5.7: Resposta do sistema com o controlador GMV para diferentes períodos de amostragem. Para um intervalo de amostragem de 6s o controlador não consegue seguir a referência, levando o sistema para a instabilidade nos tanques 1 e 2. Já os períodos de 1s e 0.1s apresentam resultados similares, porém uma taxa de amostragem muito pequena representa um esforço maior nos atuadores resultando em sinais de controle elevados, além de exigir um esforço computacional maior. Com base nessas considerações, podemos concluir que o período de amostragem de 1s é um valor interessante a ser atribuído para um bom desempenho do controlador. Os sinais aplicados ao sistema foram discretizados através método do segurador de ordem zero (Zero Order Hold). A figura 5.8 mostra o desempenho da planta com os controladores atuando para diferentes valores de referência aplicados a cada um dos tanques..

(61) 5.3. CONTROLADOR GMV. 45. Figura 5.8: Resposta do sistema com o controlador GMV. Nos instantes iniciais o sistema apresenta um comportamento oscilatório para os três tanques. Isso ocorre pois as estimativas dos parâmetros da planta ainda não convergiram (Figura 5.9). Passado o período transitório da convergência das estimativas, observamos que as referências são seguidas a cada intervalo de amostragem. Os controladores calculam e aplicam no sistema os sinais de controle que levam as saídas dos tanques para os valores desejados de set-points a cada 1s. Uma consequência disto é que podem ser gerados sinais de controle elevados (Figura 5.10), sendo esse um aspecto importante a considerado na implementação do controle no processo real. Por exemplo, podemos observar ainda na figura 5.9 que o nível do tanque 2 ultrapassa o valor limite de 30cm, o que na prática significa o transbordamento do tanque. Esse efeito pode ser compensado introduzindo.