APLICACIONES DE LA DERIVADA
Aproximaciones usando Diferenciales.-
1.- En el caso de hallar raíces de números; donde necesariamente hacemos uso de una calculadora.
Calcular √
Trabajamos con la raíz exacta es decir 36 y hacemos √ ; formamos una función
como F(x) =√ , donde se aprecia que si x = 1, tenemos la pregunta inicial.
F(0) = √ ; F(1) =√ se sabe que
√
√ √
La derivada es en el punto x = 0 entonces; √
√ √
√ con calculadora es 6.08267
Calcular √
Trabajamos con la raíz exacta es decir 25 y hacemos √
Sea F(x) =√ se debe entender a (x = – 0.7) como decremento
F(0) = √ ; F(1) =√ se sabe que
F(1) - F(0) =
√
√ √
La derivada es en el punto x = 0 entonces; √
√ √
√ con calculadora es 4.9295.
Ud. Puede encontrar cualquier raíz, con una gran aproximación, sin necesidad de una calculadora.
Resolver:
Por Descartes hay 3 soluciones:{ la combinación {
Por el teorema del cero:
X= -2 X= -1 X=0 X=1 X=2
negativo negativo negativo negativo positivo
El cambio de signo asegura que existe una solución entre 1 y 2, pero al tratar de encontrar la solución negativa no es posible que se produzca un cambio de signo por lo tanto de las combinaciones la segunda es la correcta.
¿Cómo encontramos este racional?
Newton encontró aproximadamente este valor mediante su formula.
Una primera aproximación del número es tomando el mayor de los números.
Este tiene el 70% de error.
Una segunda aproximación es con el número (1.63).
Este valor es del 5% de error.
Una tercera aproximación es nuevamente con este último número (1.53)
Este valor tiene solo el 0.3% de error.
Tome en cuenta que no existía calculadora y se hallaba respuestas con gran exactitud.
Otro uso es relativo a medir los cambios de una variable respecto a otra.
Hallar el cambio en el radio de un globo esférico, si ingresa aire a razón de 15 cc/seg. Cuando el radio es de 2cm y cuando es de 4cm.
Cuando r = 2cm
Cuando r = 4cm
2.- En la fabricación de pelotas de jebe, estas tienen un diámetro de 30cm. Y un espesor de jebe de 2mm.
Si por error en la maquinaria las pelotas salen con un espesor de 2.5 mm ¿Cuál es la perdida de la empresa sabiendo que se fabricaron 1000 pelotas y por cada litro de jebe se pago 18 soles?
El volumen de la pelota es de .
Se sabe que
El incremento del volumen es la derivada del volumen por el incremento del radio
Pero el radio es de 15cm convertido a mm = 150 mm.
Convertido a cc = 141.372cc ò 0.141372 lt. Por pelota.
Al fabricarse 1000 pelotas se gastó 141.372 lt. que representan $2,544.69
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Se llama así a las siguientes derivadas de una función, es decir derivar sucesivamente.
Por ejemplo Hallar la segunda derivada de F(x) =
es la primera derivada. “si volvemos a derivar este resultado, estaremos hallando la segunda derivada de F(x).
También denota: .
Si queremos la tercera o cuarta derivada se escribirá ;
De manera lógica solo podemos hallar las sucesivas derivadas mientras esto sea posible.
Hallar
, si F(x) = Sen(x-3)
Solución:
= Cos(x-3) ; = - Sen(x-3) ; = - Cos(x-3) ; = Sen(x-3) Rpta.
Nota: la primera y segunda derivada tienen una interpretación o significado, las siguientes derivadas aún carecen de interpretación, solo podemos decir que teóricamente son posibles de hallar.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÌCITAS
Hasta ahora podemos derivar funciones que siempre se han presentado de una forma llamada Explícita.
Me explico; F(x) = 3x-7; es la representación explícita de la función.
Pero podemos hacer F(x) - 3x + 7 = 0 ; que es lo mismo que: y - 3x +7 = 0.
Esta forma de expresar la función se llama su forma Implícita.
Ejemplo: Derive la función implícita 3y- 2x2 - 8 = 0
Ud. Primero halla F(x), para poder derivarlo, en realidad la función expresada de
manera implícita lo reescribe de manera explícita 3y = 2x2+8; luego ò
F(x) .
Finalmente:
Hasta aquí no hay ningún problema con las funciones implícitas, pero si esta fuera:
√
Ya es complicado, porque no podría despejar la variable “y”, es decir “no podría hacerlo”
DERIVADAS PARCIALES:
Cuando la función tiene varias variables, se trata de una función real de variable vectorial, en este caso cuando se quiere derivar se tiene que preguntar con respecto a que variable, por ejemplo: la secuencia es indicada por la notación.
En este caso asumimos que Z = F(x, y) = ; es decir es una función de 2 variables “x” e “y”; recuerde que pueden ser mas variables.
{
(1) Se ha derivado parcialmente respecto a “x”, considerando que la variable “y” es una constante.
(2) Se ha derivado parcialmente respecto a “y”, considerando que la variable “x” es una constante.
Recuerde que al derivar Ud. Encuentra la pendiente de una recta tangente a una curva, en este caso es igual, solo que la curva ahora es una superficie.
Cada derivada parcial es una recta tangente paralela al plano XZ y la otra al plano YZ
Indica que la primera derivada es respect a “x” c sidera d a rest de variables como Constantes.
I dica que a primera derivada es respect a “y” c sidera d al resto de variables como Constantes
x
y z
superficie
Derivada Parcial respecto a x
Regresando al primer ejemplo de función implícita; al igualar a cero, consideremos igual a Z, luego le hallamos las derivadas parciales y reemplazamos en la siguiente fórmula:
Recuerde que hacemos uso de las derivadas parciales para poder derivar una función implícita.
Otra manera sin aplicar las derivadas parciales:
1.- Derive pero considerando que hay 2 variables a derivar “x” e “y”; es decir ambas son derivables = { } Despejando ;
Que es la misma respuesta anterior.
Ahora no solo podemos derivar las funciones en su manera explícita, sino de manera implícita, pero ¿podemos derivar cualquier función?, teóricamente sí, pero la interpretación es referente a saber si ¿siempre existirá una recta tangente?
DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÒN EN UN PUNTO
Como sinónimo, podemos entender que al hallar la derivada de una función y la evaluamos en un punto esta debe existir (diferenciable), sino no existe (no diferenciable) no podemos aplicarla, así podemos decir cuando una función es diferenciable o no en un punto.
Otra forma se da al hallar la derivada, primero encuentra el dominio de esta derivada, si el punto en el que se quiere saber si es diferenciable, no pertenece a este dominio se concluye que no es diferenciable.
Si la función es presentada con varios comportamientos en su dominio, es decir con varias reglas de correspondencia, al querer saber si la función es diferenciable en un punto se debe averiguar primero si la función es continua en el punto.
RELACIÒN ENTRE DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD.-
Teorema.- Si una función es diferenciable, entonces ya es continua, pero si la función es continua no podemos asegurar que sea diferenciable.
Como un corolario a este teorema; si la función no es continua de ninguna manera puede ser diferenciable.
Cuando se ha probado la continuidad en el punto recién se prueba si la función es diferenciable, pero como tiene varias reglas de correspondencia se debe hallar la derivada por la derecha del punto y por la izquierda del punto, si ambas son iguales entonces existe la derivada en el punto y por lo tanto es diferenciable en el punto.
Ejemplos:
1. Es la función F(x) = ; diferenciable x=1
Hacemos por lo tanto es diferenciable al existir la evaluación.
Si se hubiera preguntado es diferenciable en x= 0
Note que ahora no existe ; también debe darse cuenta que el Dom es R-{0}, luego el punto no pertenece al dominio por lo que no puede evaluarse la derivada.
2. Es la función F(x) ={
[
Solución: como la función tiene varias reglas de correspondencia, la diferenciabilidad implica hallar la derivada por la izquierda y por la derecha del punto.
En x = 0 {
luego como
En x = 3 {
luego como y sería
diferenciable.
En el primer punto es correcto, pero en el segundo NO; porque en este tipo de funciones es necesario saber primero si la función es continua.
Al analizar la continuidad en x = 3, observamos que F(3), es decir no está definida y no es continua; por lo tanto con toda seguridad no es diferenciable “Corolario”
DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO:
Al igual que en la continuidad, el intervalo puede ser cerrado, abierto o semicerrado.
Decir que es diferenciable en el intervalo, es afirmar que es diferenciable en todos los puntos del intervalo < a,b >.
[ ] ; Además existe la derivada por la derecha de “a” y por la izquierda de “b”.
[ ; Además existe la derivada por la derecha de “a”
] ; Además existe la derivada por la izquierda de “b”.
Al igual que el caso de la continuidad es suficiente demostrar que no sea diferenciable en un punto, para afirmar que no es diferenciable en el intervalo.
Puede y es conveniente ayudarse de toda la teoría de la continuidad de una función para responder sobre la diferenciabilidad.
Sea F(x) = { [ es la función diferenciable en x= < 0, ]
Si analizamos la continuidad de la función en x= 2
1.- im ; im im
2.- F(2) = -1.
3.- im la función es continua en todo su intervalo.
Ahora podemos reescribir F(x) = { [ ={
Será la función diferenciable en x=2, ya que este punto pertenece al intervalo.
Al encontrarse que es continua, debe probarse la derivada por la derecha y por la izquierda de 2.
{
Luego como
Decimos que la función no es diferenciable en x = 2.
Geométricamente esto se observa en su grafica al presentarse una punta en el punto donde no es diferenciable la función.
A modo de conclusión, si observamos la grafica de una función continua en un intervalo cerrado [ ], esta puede tener el siguiente comportamiento:
a - 4 - 3 4 6 9 11 16 b
Donde en cada punto de la grafica existe la derivada, menos cuando x = 6 y x = 9, esto se reconoce por las puntas en la grafica.
-2 2
Pero también podemos observar por tramos cuando la función es creciente y cuando es decreciente, pero antes debemos tener claro este concepto de función.
Función estrictamente Creciente.-
Es la función en la cual conforme el valor de x aumenta entonces el F(x) también aumenta. La derivada o pendiente de cualquier recta en cada punto siempre es positiva
Función estrictamente Decreciente.-
Es la función en la cual conforme el valor de x aumenta entonces el F(x) disminuye. La derivada o pendiente de la recta tangente en cada punto siempre es menor que cero.
La grafica anterior muestra una función que no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente, es decir que solo es creciente y decreciente por intervalos, este comportamiento origina un nombre “Valores extremos” ò “Máximos y Mínimos” de una función.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
Cuando traza la grafica de la función, en ella se puede apreciar que no es estrictamente creciente ni decreciente, sino tiene un comportamiento por intervalos donde la función se eleva (crece) y luego cae (decrece); los puntos donde se dan estos cambios son llamados Puntos Críticos, bajo ciertas características este punto crítico se llamará Máximo relativo o Mínimo relativo.
Rectas tangentes
Pueden ocurrir varios Máximos y varios Mínimos relativos, otro concepto importante es el llamado Máximo absoluto y Mínimo absoluto que a diferencia de los relativos son únicos.
Cuando encuentra un punto crítico “c”, en su vecindad observara que F(c) F(x) donde “x” es cualquier punto de su vecindad, entonces “c” es llamado Máximo relativo.
F(c)
c - c c +
Si por el contrario F(c) F(x) donde “x” es cualquier punto de su vecindad, entonces “c” es llamado Mínimo relativo.
F(c)
c - c c +
Si no suceden estos casos simplemente no hay máximo, ni mínimo relativo, solamente encontró un punto crítico.
MÁXIMO Y MÍNIMO ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN
En un intervalo de la función, siempre existirá un punto donde el F(x) sea el mayor de todos los F(x) y siempre habrá un punto del intervalo donde el F(x) es el menor de todos los F(x).
a b
Punto crítico
Punto crítico
F(x)
F(x)
El mayor de todos los F(x) Máximo Absoluto
El menor de todos los F(x) Mínimo Absoluto Máximo Relativo
Puede suceder que los Máximos o Mínimos absolutos recaigan en los puntos críticos; en este caso el mayor de todos los máximos relativos es el máximo absoluto y el menor de todos los mínimos relativos es el mínimo absoluto.
Una manera muy práctica de encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los puntos críticos y determinar si son máximos o mínimos relativos, es mediante el criterio de la primera derivada de la función.
Criterio de la Primera derivada:
Este criterio permite en un primer análisis encontrar los valores críticos que luego identifican los intervalos de crecimiento y decrecimiento; luego se convierten en puntos críticos; para luego determinar si son Máximos y Mínimos.
Algoritmo del Criterio.
1.- Se debe derivar la función e igualar a cero. (Primera derivada)
2.- Se factoriza o pone la ecuación como factores.
3.- Se iguala cada factor a cero y se hallan valores que se conocen como valores críticos. Estos valores al reemplazarse en la función forman los Puntos críticos.
4.- Se ordenan los valores críticos en la recta numérica y se forman los intervalos por separado.
5.- Se analiza la ecuación factorizada en cada intervalo formando valores positivos o negativos.
6.- Un signo positivo indica que en dicho intervalo la función es creciente.
7.- Un signo negativo indicará que en dicho intervalo la función es decreciente.
8.- Cuando se analiza el paso de intervalo a intervalo, puede ocurrir un cambio de signo:
De positivo a negativo; indica que hay un Máximo relativo.
De negativo a positivo; indica que hay un Mínimo relativo.
De positivo a positivo ó de negativo a negativo, no es ni Máximo, ni Mínimo.
Ejemplo: Dada la función: F(x)= x3- 2x2+ 9x + 4; en el intervalo [ ] encuentre:
a.- Valores críticos.
b.- Intervalos donde la función es creciente y/o decreciente. c.- Máximos y Mínimos relativos si los hubiera.
d.- Máximo y Mínimo absoluto. e.- Grafique la función.
2.- Resolviendo la ecuación: - + 3
(x-3)(x-1) = 0; luego los valores críticos son x = 3; x= 1
3.- En la función: F (3) = 4; F (1) = 8. Los puntos críticos son: (3,4) (1,8)
Son los puntos por donde necesariamente pasará la grafica.
4.- ordenando en una recta
5.- Los intervalos donde analiza la derivada: <
6.- Analizando los signos de los factores en cada intervalo.
(x-3) (x-1) (Ley de signos)
< - - positivo indica que F(x) es creciente
< 1 , 3 > - + negativo indica que F(x) es decreciente
< 3, + + positivo indica que F(x) es creciente
7.- El cambio de signos indica la existencia de Máximos y Mínimos Relativos.
En este caso, 1 es un Máximo relativo y 3 es Mínimo relativo.
8.- Analizando los extremos del intervalo
F(-1) = -12 ; F(6) = 58
Si compara estos valores con los máximos y mínimos relativos, no coinciden por lo tanto el máximo absoluto es (6,58) y el mínimo absoluto (-1,-12).
8.- Graficando: Y
F(x)
8 (1,8)
4 (3,4)
-1 1 3 6 X
Se puede concluir observando la grafica donde la función es creciente y decreciente y además donde hay máximos y mínimos (relativos y absolutos). Son referentes para graficar la función.
Nota: En general es el procedimiento del criterio de la primera derivada lo que permite graficar la curva y encontrar los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
Pero en el análisis aún falta considerar que los valores críticos no solo son los valores en los cuales la ecuación de la primera derivada se hace cero, sino además todos los valores en los cuales la derivada no exista.
Ejemplo: Sea F(x) = √
en el intervalo [ ]
1.-Derivando √ √
√
2.- Igualando a cero y hallando la ecuación: se hace cero si x = 0 y no existe si x= -1
Ambos puntos deben considerarse como valores críticos
3.- Los valores en la función: F(-1) = 0 ; F(0) =
Los puntos a considerar es (0,-2) y (-1,0) como puntos críticos.
4.- analizando los intervalos en:
<
<-1,0
<0,
5.- La función tiene un Mínimo relativo en x = 0
¿Qué paso en el punto x = -1?
La función no cambia de signo, solo es un punto crítico, además no es derivable que significa que hay una punta en la grafica, porque esta es continua.
Graficando: Y
-1 8 X
PUNTOS DE INFLEXION
También llamados puntos de ensilladura si es que la función es de varias variables, son los puntos en los cuales la curva de la función inicia el cambio en su curvatura, es decir
la recta tangente se eleva produciendo una curva convexa ò cae produciendo una
curva cóncava.
Note en la figura que la curva esta debajo de la tangente, esa es una
Curva cóncava, algunos autores le llaman cóncava hacia abajo.
También puede apreciar como la recta tangente cae
En este caso la curva se encuentra sobre la recta tangente y la
curva se llama convexa, también se le dice cóncava hacia abajo.
Puede apreciar como la recta tangente se eleva.
En este caso en un momento la tangente “B” se encuentra bajo la
curva y en otro “A” sobre la curva es decir, es convexa y luego
cóncava.
En un punto”C” sucede este cambio de curvatura, este punto se
llama punto de inflexión. Fíjese que la curva hace la forma de una “S”
Los puntos de inflexión y los intervalos donde la curvatura es cóncava y convexa se hallan mediante el criterio de la segunda derivada, cuyo procedimiento es el mismo que el criterio de la primera derivada.
Ejemplo: Sea F(x) = 2x4-4x3; encuentre los puntos de inflexión y los intervalos donde la función es cóncava y convexa.
Solución:
Vamos aplicar el criterio de la primera derivada para hallar los máximos y mínimos y los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
1.- Derivando F(x) = 8x3 – 12x2
2.- la solución de la ecuación 4x2(2x-3) = 0 x = 0; x = 3/2 “valores críticos” A
C
3.- El siguiente cuadro muestra los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los Máximos y Mínimos.
4x2 (2x-3)
< Decrece
< 0 , Decrece
<3/2, Crece
Para encontrar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad, se hace lo mismo
1.- Derivando por segunda vez F(x) = 24x2 -24x
2.- La solución de la ecuación 24x(x-1) = 0 x = 0 ; x = 1 ¿puntos de inflexión?
3.- el siguiente cuadro muestra los intervalos de concavidad o convexidad así como indica si los puntos hallados son de inflexión.
24x (x-1)
< Convexo
< Cóncavo
Convexo
Nota: si no cambia el signo simplemente no hay punto de inflexión.
Grafico: Y
0 1 3/2 X
Observe ahora que la misma respuesta se puede dar tomando como datos solamente los valores a los cuales la primera y la segunda derivada se hacen cero.
F(x) = 2x4-4x3 Observe que se ha derivado 3 veces.
Igualando a cero la primera x = 0 y x = 3/2; al reemplazar en la segunda derivada:
{ se puede a irmar ada
se puede a irmar que es u im No hay cambio de signo, ni Mínimo ni Máximo
El cambio de signo indica Mínimo
El cambio de signo indica punto de inflexión
El cambio de signo indica punto de inflexión
Punto de inflexión
Mínimo
Igualando a cero la Segunda x = 0 y x =1; al reemplazar en la tercera derivada:
{
Luego los valores hallados fueron: 0 , 3/2, 1
Puntos: (0,0) (3/2,-1.7) (1,-2)
Del análisis: (3/2,-1.7) es un Mínimo; y (0,0); (1,-2) puntos de inflexión; luego con lógica hacer el trazo de la curva.
Ejercicios: Encuentre los puntos Máximos y Mínimos relativos y absolutos si es que existen; así como encuentre los intervalos donde la función es creciente y/o decreciente, además grafique la función.
1. - F(x) = 5x2 +10x – 9 2.- F(x) =8x2 – 8x + 1
3. - F(x) = 2x3+ 9x2+12x+24 4. - F(x) = 2x3+15x2- 84x -18
5.-F(x) = 4x3- 7x2- 6x +2 6. - F(x) = 7x2 +14x -9
7. - F(x) = 6x2-24x – 9 8. - F(x) = x3-3x2+45x+3
9. - F(x) = 4x3-27x2+24x +30 10. - F(x) = 8x3-17x2 +12x+ 14
Nota: para todas las funciones el intervalo es [ ]
Ejercicios: Represente las graficas y encuentre puntos Máximos, Mínimos, inflexión así como los intervalos de concavidad, convexidad, crecimiento y decrecimiento.
1. - F(x) = 2. - F(x) = 3. - F(x) = 4. - F(x) =
5. - F(x) = 2x3 – 21x2 +60x – 32 6. - F(x) = 7. - F(x) =
8. - F(x) = x + 9. - F(x) = 10. - F(x) = 3x4- 20x3-6x2+60x-
Nota: no olvide que al calcular los valores críticos siempre son aquellos que no solo hacen la ecuación cero, sino además aquellos que hacen que la ecuación no exista.
