Deniión1. Diremosquedosfuniones
f1, f2
: [a, b]
→
R
sonortogonales en elintervalo[a, b]
si:h
f1, f2
i
=
Z
b
a
f1(x)
·
f2(x)
dx
= 0.
Unonjuntodefuniones
{
f
i
: [a, b]
→
R
, i
= 1,
2, . . .
}
sellamaonjunto or-togonal defuniones en[a, b]
siadaintegralh
f
n
, f
mi
=
Z
b
a
f
n
(x)
·
f
m
(x)
dx
= 0,
para
n
6
=
m
yh
f
n
, f
ni 6
= 0
.Denimoslanormadelafunión
f
n
(x)
,quedenotamospork
f
nk
,mediante:k
f
n
k
=
p
h
f
n
, f
n
i
=
Z
b
a
f
2
n
(x)
dx
!
1
/
2
.
Un onjunto ortogonaldefuniones
{
f
n
(x)
}
sellamaonjunto ortonormal, en un intervalo[a, b]
, sik
f
nk
= 1,
∀
n
∈
N
. Así, si{
f
n
(x)
}
es un onjunto ortonormaldefuniones,entonesh
f
n
, f
mi
=
Z
b
a
f
n
(x)
·
f
m
(x)
dx
=
0
sin
6
=
m
1
sin
=
m
Ejemplo 1. El onjunto de las funiones
f
n
(x) = sen
nx
onn
∈
N
, es un onjuntoortogonalen[
−
π, π]
.En efeto:h
f
n
, f
mi
=
Z
π
−
π
sen
nx
sen
mx dx
=
1
2
Z
π
−
π
(cos(n
−
m)
x
−
cos(n
+
m)
x)
dx
=
1
2
Z
π
−
π
cos(n
−
m)
x dx
−
Z
π
−
π
cos(n
+
m)
x dx
,
sin
6
=
m
:
=
1
2
sen(n
−
m)x
n
−
m
π
−
π
−
sen(n
n
+
+
m
m)x
π
−
π
!
=
1
Ahora,si
n
=
m
:h
f
n
, f
ni
=
1
2
Z
π
−
π
(1
−
cos 2nx)
dx
=
1
2
2π
−
sen 2nx
2n
π
−
π
!
=
π
∴
k
f
nk
=
√
π
Ejemplo 2. El onjunto de las funiones
f
n
(x) = cos
nx
onn
∈
N
, son ortogonalesen[
−
π, π]
.Análogamentealejemploanterior,onsideramoslosasosn
6
=
m
yn
=
m
:n
6
=
m
:
h
f
n
, f
m
i
=
Z
π
−
π
cos
nx
·
cos
mx dx
=
1
2
Z
π
−
π
(cos(n
+
m)
x
+ cos(n
−
m)
x)
dx
= 0
n
=
m
:
h
f
n
, f
ni
=
1
2
Z
π
−
π
cos 2nx
+ 2π
=
π
=
⇒ k
f
nk
=
√
π
Ejemplo 3. El onjunto
{
1,
sen
nx,
cos
nx;
n
∈
N
}
es ortogonalen[
−
π, π]
. Es deir,laintegraldelprodutodeualquierpardeesasfunioneses0:Z
π
−
π
sen
nx
·
cos
nx dx
=
1
2
Z
π
−
π
sen(n
+
m)
x
+ sen(n
−
m)
dx
dx
=
1
2
−
cos(n
+
m)x
n
+
m
π
−
π
−
cos(n
−
m)x
π
−
π
!
=
1
2
(0
−
0) = 0.
Losonjuntosortogonalesdefunionesproporionandesarrollosenseriemuy
últiles.
Sea
{
f
n
(x)
}
un onjunto ortogonal de funiones en[a, b]
y suponga qu la funiónf
(x)
puede representarseen términos de lasfunionesf
n
(x)
por una serieonvergente,i.e.,f
(x) =
∞
X
n
=1
c
n
f
n
(x) =
c1f1(x) +
c2f2(x) +
· · ·
f
(x)
·
f
m
(x) =
∞
X
n
=1
c
n
f
n
(x)f
m
(x)
Z
b
a
f
(x)
·
f
m
(x) =
∞
X
n
=1
c
n
Z
b
a
f
m
(x)
·
f
m
(x)
dx
=
⇒ h
f, f
mi
=
∞
X
n
=1
c
n
h
f
n
, f
mi
Comopara
n
6
=
m
setieneh
f
n
, f
mi
= 0
,setieneh
f, f
mi
=
c
m
k
f
mk
2
=
⇒
c
m
=
h
f, f
mi
k
f
mk
2
=
1
k
f
mk
2
Z
b
a
f
(x)
·
f
m
(x)
dx;
m
= 1,
2, . . .
Fourierobservóqueunafunión
f
ontinuaporpartesyperiódiadeperiodo2π
,puederepresentarsemedianteunaserietrigonométriadelaforma:f
(x) =
a0
2
+
∞
X
n
=1
(a
n
cos
nx
+
b
n
sen
nx)
Por loanteriortenemos
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
·
cos
nx dx,
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
·
sen
nx dx.
Noteque:
a0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
·
dx
Deniión2. Sea
f
unafuniónontinuapor partesde periodo2π
.Laserie deFourier delafuniónf
eslaserie:a0
2
+
∞
X
n
=1
dondelosoeientesdeFourier
a
n
,b
n
estándadospor:a0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
dx
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x) cos
nx dx,
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x) sen
nx dx,
n
= 1,
2, . . .
Ejemplo4. EnontrareldesarrolloenseriedeFourierdelafunión
f
(x) =
−
1,
−
π < x <
0
1,
0
< x < π
,
f
(x
+ 2π) =
f
(x).
a0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
dx
=
1
π
Z
0
−
π
−
dx
+
Z
π
0
dx
=
1
π
−
x
0
−
π
+
x
π
0
!
=
1
π
(
−
π
+
π) = 0,
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
·
cos
nx dx
=
1
π
Z
0
−
π
−
cos
nx dx
+
Z
π
0
cos
nx dx
= 0,
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
·
sen
nx dx
=
1
π
Z
0
−
π
−
sen
nx dx
+
Z
π
0
sen
nx dx
=
1
π
cos
nx
n
0
−
π
−
cos
nx
n
π
0
=
1
π
1
n
−
cos
nπ
n
−
cos
nπ
n
+
1
n
b
n
=
2
nπ
(1
−
cos
nπ) =
0,
sin
= 2,
4,
6, . . .
4
nπ
,
sin
= 1,
3,
5, . . .
∴
f
(x) =
∞
X
n
=1
2
nπ
(1
−
cos
nπ)
·
sen
nx
=
4
π
sen
x
+
sen 3x
3
+
sen 5x
5
+
sen 7x
7
+
· · ·
Geométriamente,notamosqueenlamedidaenqueseonsiderenmás
tér-minosdelaserie trigonométria,mejorseaproximalafuniónoriginal.
4
π
sen
x
+
sen 3
x
3
4
π
sen
x
+
sen 3
x
3
+
sen 5
x
Ejemplo5. CalularlaseriedeFourierde
f
(x) =
|
x
|
,
−
π < x < π,
f
(x
+ 2π) =
f
(x)
.a0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
dx
=
1
π
Z
0
−
π
−
x dx
+
Z
π
0
x dx
=
1
π
−
x
2
2
0
−
π
+
x
2
2
π
0
!
=
1
π
−
0
−
π
2
2
+
π
2
2
=
π
a
n
=
1
π
Z
0
−
π
−
x
cos
nx dx
+
Z
π
0
x
cos
nx dx
=
1
π
−
n
1
2
(cos
nx
+
nx
sen
nx)
0
−
π
+
1
n
2
(cos
nx
+
nx
sen
nx)
π
0
=
1
π
−
n
1
2
(1
−
cos
nπ) +
1
n
2
(cos
nπ
−
1)
=
1
n
2
π
(
−
2 + 2 cos
nπ)
=
2
n
2
π
(cos
nπ
−
1)
b
n
=
1
π
−
Z
0
−
π
x
sen
nx dx
+
Z
π
0
x
sen
nx dx
=
1
π
−
1
n
2
sen
nx
−
nx
cos
nx
0
−
π
!
+
−
1
n
2
sen
nx
−
nx
cos
nx
π
0
!
=
1
π
−
n
1
2
nπ
cos
nπ
−
1
n
2
nπ
cos
nπ
= 0
∴
|
x
|
=
π
2
+
∞
X
n
=1
2
n
2
π
(cos
nπ
−
1) cos
nx
|
x
|
=
π
2
−
4
π
cos
x
−
4
π
cos 3x
3
2
−
4
π
cos 5x
5
2
− · · ·
|
x
|
=
π
2
−
4
π
cos
x
+
cos 3x
3
2
+
cos 5x
5
2
+
· · ·
HastaahorahemosvistoseriesdeFourierdefunionesperiódiasdeperiodo
2π
.Considereahoraunafunión
f
(x)
,periódiadeperíodo2L, L >
0, L
6
=
π
. Hagamoselsiguiente ambiodevariableparax
∈
[
−
L, L]
:t
=
πx
L
dedondex
=
Lt
π
,
t
∈
[
−
π, π].
Denimoslafunión
g(t) =
f
Lt
π
;
−
π
≤
t
≤
π
:g(t
+ 2π) =
f
L
π
(t
+ 2π)
=
f
Lt
π
+ 2L
=
f
Lt
π
=
g(t)
∴
g
esperiódia de periodo2π
. Podemos representar ag
por la serie de Fourier:g(t) =
a0
2
+
∞
X
n
=1
a
n
cos
nt
+
b
n
sen
nt
donde
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
g(t) cos
nt dt
y
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
g(t) sen
nt dt
Ahorarepresentamosalafunión
f
,onvariablex
, enserie deFourierf
(x) =
g
πx
L
=
a0
2
+
∞
X
n
=1
a
n
cos
nπx
L
+
b
n
sen
nπx
L
donde
a
n
=
1
L
Z
L
−
L
g
πx
L
·
cos
nπx
L
dx
=
1
L
Z
L
−
L
f
(x)
·
cos
nπx
L
dx
Análogamente,
b
n
=
1
L
Z
L
−
L
f
(x) sen
nπx
L
Deniión3. Sea
f
:
R
→
R
seionalmenteontinuadeperiodo2L
.Laserie deFourierdef
(x)
estádadapora0
2
+
∞
X
n
=1
a
n
cos
nπx
L
+
b
n
sen
nπx
L
dondelosoeientesdeFourierestándadospor
a
n
=
1
L
Z
L
−
L
f
(x)
·
cos
nπx
L
dx
b
n
=
1
L
Z
L
−
L
f
(x)
·
sen
nπx
L
dx
Noteque
a0
=
1
L
Z
L
−
L
f
(x)
dx
Ejemplo6. CalularlaseriedeFourierde:
f
(x) =
−
x,
−
1
≤
x <
0
x,
0
≤
x
≤
1,
,
f
(x
+ 2) =
f
(x).
Enesteaso,lafuniónesperiódiadeperíodo2,porloque
L
= 1
.Luego:a0
=
Z
1
−1
f
(x)
dx
=
Z
0
−1
−
x dx
+
Z
1
0
x dx
=
−
x
2
2
0
−1
+
x
2
2
1
0
= 1
a
n
=
Z
1
−1
f
(x) cos(nπx)
dx
=
Z
0
−1
−
x
cos(nπx)
dx
+
Z
1
0
x
cos(nπx)
dx
=
= 2
Z
1
0
x
cos(nπx)
dx
=
2
n
2
π
2
(cos
nπx)
1
0
=
2
n
2
π
2
(1
−
cos
nπ) =
=
4
n
2
π
2
,
n
impar0,
n
parb
n
=
Z
1
−1
f
(x) sen(nπx)
dx
= 0
∴
f
(x) =
1
2
−
4
π
2
cos
πx
+
cos 3πx
3
2
+
cos 5πx
5
2
+
· · ·
Deniión4. Unafunión
f
sellamaparsiparaadax
ensu dominiof
(x) =
f
(
−
x)
eimparsi paraada
x
ensudominiof
(
−
x) =
−
f
(x).
Observaión 1. Paraelproduto,lasfunionespareimparseomportanasí:
par
·
par = parpar
·
impar = imparimpar
·
impar = parTeorema1. Sea
f
(x)
unafuniónperiódiadeperíodo2π
,integrableen[
−
π, π]
. Sif
(x)
es par, su serie de Fourier tiene sólo términos en oseno y sus oe-ientesestándados por:a
n
=
2
π
Z
π
0
f
(x) cos
nx dx,
b
n
= 0.
Si
f
(x)
esimpar,suseriedeFouriersólotienetérminosenseno,susoeientes dados por:b
n
=
2
π
Z
π
0
f
(x) sen
nx dx,
a
n
= 0.
Conseuenias interesantes:
1. Siunafuniónespar,paraenontrarunaaproximaiónenseries
trigonométri-as, sólo se requiere alular los términos
a
i
,
i
= 0,
1,
2,
· · ·
Análoga-mente para funiones impares, en las que sólo se requiere alular lostérminos
b
i
,
i
= 1,
2,
3,
· · ·
2. La mejor aproximaión en series de Fourier para una funión seno ó
oseno, esla misma funión. Por ejemplo, la serie de Fourierde la
fun-i'on
f
(x) = 3 cos
x
es la misma funión, es deir,una expansión nita. Lo mismo suede en otros asos,en quelas identidades trigonométriaspermitendeterminarsinmayordiultadlosorrespondientesoeientes
deFourier.Porejemplo,paraobtenerlaexpansiónenseriesdeFourierde
f
(x) = sen
2
(x)
, basta reordarque
cos 2x
= 1
−
2 sen
2
(x)
, de donde la
expansiónenseriesdeFourierde
f
es1
2
−
delafunión
f
(x) =
x,
0
≤
x <
1.
Comolafuniónnoesperiodia,onstruimosunaextensiónperiodiade
f
,demodoquealrestringirla,éstaoinidaonf
.Gráamente, vemos que es posible onstruir innitas extensiones. Por
ejemplo:
(a)Primeraextensión (b)Segundaextensión
() Tereraextensión (d)Cuartaextensión
Notarquelasdosprimerasextensionesnosatisfaenondiionesde
pari-dad, enambiola tererafunión esuna extensiónperiodiaparde
f
y lauartaesunaextensiónperiodiaimpardef
.Claramente,en estosdosúltimosasos,eltrabajodedeterminarlos
Lafunión
f
esrepresentadapor laserief
(x)
∼
a0
2
+
∞
X
n
=1
a
n
cos
nx
+
b
n
sen
nx
(1)uandolaserieesonvergente.
Observamosqueadatérminodelaserietiene periodo
2π
y por lotantosi lafuniónf
(x)
serepresentaporlaserie,lafunióndebedetenerperíodo2π
.Siempre que onsideremosla serie (1) supondremos que
f
(x)
está denida enelintervalo[
−
π, π)
ó(
−
π, π]
yqueparaualquierotrovalordex
,f
(x)
está denidaporlaondiióndeperiodiidad:f
(x
+ 2π) =
f
(x).
Para que
f
(x)
tenga una representaión en serie (1),f
(x)
debe satisfaer las siguientesondiiones:1.
f
debeserontinuaporpartes,esdeir,f
debetenerunnúmeronitode puntos dedisontinuidad.2. En ada punto
x0
en elquef
esdisontinua,ladisontinuidaddebe ser detiposalto nito,esdeir,sidenotamosporf
(x
−
0
) = l´ım
x
→
x
−
0
f
(x)
yf
(x
+
0
) = l´ım
x
→
x
+
0
f
(x)
aunque
f
(x
−
0
)
6
=
f
(x
+
0
)
,tantof
(x
−
0
)
omof
(x
+
0
)
sonnúmerosreales. Teorema2. Seaf
: [
−
π, π)
→
R
ontinuaporpartesyaotada,onunnúmero nito de máximos y mínimos en ese intervalo y periódia de período2π
. En-tonesla seriede Fourier (1) onvergea:(i)
f
(x)
entodopunto enelquef
es ontinua (ii)1
2
(f
(x
+
) +
f
(x
−
))
en adapuntoen elquef
esdisontinua. Ejemplo7. Comovimosenelejemplo4,sif
(x) =
−
1,
−
π < x <
0
1,
0
< x < π
,
f
(x
+ 2π) =
f
(x).
larepresentaiónenseriedeFourierde
f
vienedadaporf
(x) =
∞
X
n
=1
2
nπ
(1
−
cos
nπ) sen
nx
=
4
π
sen
x
+
sen 3x
3
+
sen 5x
5
+
· · ·
f
(0
−
) =
−
1,
f
(0
+
) = 1
=
⇒
1
2
(f
(0
−
) +
f
(0
+
)) = 0
f
(π
−
) = 1,
f
(π
+
) =
−
1
=
⇒
1
2
(f
(π
−
) +
f
(π
+
)) = 0
yluego delaseriede
f
onvergealafuniónuyográoes:Ejemplo 8. Consideremos
f
(x) =
x
2
,
0
< x <
2
, on
f
(x
+ 2) =
f
(x)
, es deir,f
tiene período2.CalulemoslosoeientesdeFourierdeestafunión:a0
=
Z
2
0
x
2
dx
=
x
3
3
2
0
=
8
3
a
n
=
Z
2
0
x
2
cos(nπx)
dx,
u
=
nπx
=
⇒
du
=
nπdx
a
n
=
Z
2
nπ
0
u
nπ
2
cos
u
du
nπ
=
1
(nπ)
3
Z
2
nπ
0
u
2
cos
u du
=
4
(nπ)
2
b
n
=
Z
2
0
x
2
sen(nπx)
dx
=
1
(nπ)
3
Z
2
nπ
0
u
2
sen
u du
=
−
nπ
4
=
⇒
f
(x) =
4
3
+
∞
X
n
=1
1
(nπ)
2
cos(nπx)
−
4
nπ
sen(nπx)
f
(0
−
) = 4,
f
(0
+
) = 0
=
⇒
f
(0) =
1
2
·
4 = 2
f
(2
−
) = 4,
f
(2
+
Conseueniainteresante: Comovimos,laseriedeFourierde
f
onverge a2enx
= 0
,esdeir,evaluandoenx
= 0
obtenemos:f
(0) = 2 =
4
3
+
∞
X
n
=1
4
(nπ)
2
,
dedonde2 =
4
3
+
4
π
2
∞
X
n
=1
1
n
2
=
⇒
∞
X
n
=1
1
n
2
=
π
2
4
2
−
4
3
=
π
2
6
Ejemplo9. CalularlaseriedeFourierdelafunióndeperíodo
2π
talquef
(x) =
0
si−
π
≤
x <
0
∨
x
=
π
π
si0
≤
x < π
a0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x)
dx
=
1
π
Z
0
−
π
0
dx
+
1
π
Z
π
0
π dx
=
π
a
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x) cos(mx)
dx
=
sen(nπ)
n
π
0
= 0
b
n
=
1
π
Z
π
−
π
f
(x) sen(nx)
dx
=
−
cos(nx)
n
π
0
=
−
cos(nπ) + 1
n
=
1
−
(
−
1)
n
n
Luego,laseriedeFourierdelafuniónes:
f
(x) =
π
2
+
∞
X
n
=1
1
−
(
−
1)
n
n
sen(nx)
En esta serie, sólo los oeientes impares son no nulos. Luego, podemos
reesribirlaenlaforma:
f
(x) =
π
2
+
∞
X
k
=0
2
2k
+ 1
sen((2k
+ 1)x)
Evaluandoen
π/2
:f
π
2
=
π
2
+
∞
X
k
=0
2
2k
+ 1
(
−
1)
k
dedonde
π
−
π
2
= 2
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
2k
+ 1
yluego∞
X
k
=0
(
−
1)
k
1. Series de Fourier 1
2. Extensión a intervalosarbitrarios 6
3. Funiones Par eImpar 8
