REGLAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 4Un evento compuesto
es cualquier evento que
combina 2 o más eventos simples.
Ejemplo:
Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es
la probabilidad de obtener un 2 o un 5?
Evento Compuesto
Notación
P(A ó B) = probabilidad de que , en una sóla
repetición de un experimento, ocurre el evento
A o el evento B o ambos eventos.
(o inclusivo,
Dos eventos son
disjuntos
o
mutuamente excluyentes
si no tienen resultados en común.
Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no
pueden ocurrir a la misma vez.
Ejemplo:
Eventos mutuamente excluyentes
Se realiza un experimento en el cual el espacio
muestral:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}
¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?
1. Se dos dados.
A = “que la suma de las caras sea par.”
B = “que la suma de las caras sea un número
divisible entre 3”
2. Se tiene una paquete de barajas americanas
( 52 cartas).
A = “sacar una Reina”
B = “sacar una A”
3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate
M&M que contiene dulces de color rojo, azul,
amarillo, verde, anaranjado y marrón.
A = “sacar un dulce rojo”
B = “sacar un dulce azul”
Los Diagramas de Venn son
utilizados para representar
eventos como circulos
encerrados en un rectángulo.
El rectángulo representa el
espacio muestral y cada círculo
representa un evento.
Los Diagramas de Venn
Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
E = “elegir una chapa que tiene un número menor o igual a 2”
F = “elegir una chapa que tiene un un número mayor o igual a 8”.
Determinar la probabilidad de cada evento.
Eventos mutuamente excluyentes
Eventos A y B are
disyuntos
(o
mutuamente excluyentes
) si la
intersección de su diagrama de Venn está
vacía.
Ejemplo Diagrama de Venn
En una población de una escuela superior ABC, el evento A representa elegir al azar un estudiante que tiene un trabajo a tiempo parcial. El evento B representa elegir al azar unestudiante que está en el cuadro de honor. Dibuje un diagrama de Venn para representar este ejemplo.
Solución: Sabemos que:
S = {los estudiantes de la escuela secundaria ABC}
A = {los alumnos de la escuela ABC con un trabajo a tiempo parcial}
Ejemplo Diagrama de Venn
Se tira un dado. El evento A es favorable si se obtiene 1, 2 o 3. El evento B es favorable si se obiene 3, 4 ó 5. Dibuje un
diagrama de Venn para representar este ejemplo. ¿Qué es A∩B?
Solución: Sabemos que:
S= {1,2,3,4,5,6}
A = {1,2,3}
Regla de suma para eventos mutuamente
excluyentes
Si E y F son eventos
mutuamente excluyentes
, entonces
𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)
.
Esto también se puede escribir:
𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)
La regla de suma para eventos disyuntos se puede
extender para más de dos eventos. En general, si
E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes,
entonces
Número de
habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079
9 o más 0.080
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad de vivienda seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones?
EJEMPLO
Regla de suma para eventos disyuntos
El modelo de probabilidad de la derecha muestra la
distribución del número de habitaciones en unidades de vivienda en los Estados
(b)
¿Cuál es la
probabilidad de que una
unidad de vivienda
seleccionada al azar
tenga uno ó dos ó tres
habitaciones?
EJEMPLO
Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)
Número de
habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079
(c)
¿Cuál es la
probabilidad de que una
unidad de vivienda
seleccionada al azar
tenga al menos 6
habitaciones?
EJEMPLO
Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)
Número de
habitaciones en una unidad de vivienda Probabilidad Una 0.010 Dos 0.032 Tres 0.093 Cuartro 0.176 Cinco 0.219 Seis 0.189 Siete 0.122 Ocho 0.079
(a) Si una persona es seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es del grupo A o B.
EJEMPLO (continuación)
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos
y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.
(b) Si una persona es seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de elegir a alguien que es de tipo Rh-.
EJEMPLO (continuación)
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en
Complemento de un evento
Sea S el espacio muestral de un experimento
probabilístico. Sea E un evento.
•
El
complemento de E
, que se denota
𝐸
𝑐o
𝐸
, es el
evento que contiene todos los elementos que no
están en E.
•
El evento
𝐸
ocurre si E no ocurre.
•
La unión de dos eventos complementarios da el
espacio muestral completo.
•
El evento
𝐸
y el evento E son
mutuamente
excluyentes.
Regla de los Complementos
Si E representa un evento y E
Crepresenta el complemento de
E, entonces
P(E
C) = 1 – P(E) y
EJEMPLO Construya el complemento de E
(a)
E: “Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo
de 6 caras "
(b) E: “Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que
contiene canicas azules, verdes y rojos."
¿Cuál es la
probabilidad de
elegir el color verde
o elegir el color azul
al girar esta ruleta?
P(E o F)
= P(E) + P(F)
EJEMPLO
Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el
31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.
¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al
azar no es propietaria de un perro?
Si una persona es seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de elegir a alguien que No es del tipo O con Rh+.
EJEMPLO
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos
Dos eventos
E
y
F
son
independientes
si la
ocurrencia del evento
E
en un experimento de
probabilidad no afecta a la probabilidad de que
ocurra el evento
F
.
Dos sucesos son
dependientes
si la ocurrencia
del evento
E
en un experimento de probabilidad
afecta a la probabilidad de que ocurra el evento
F
.
EJEMPLO ¿Independiente o No?
(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se
tira un dado.
E: “Elegir un corazón"
F: “Tirar un número par"
(b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que
viven en Puerto Rico.
E: “El individuo 1 sobrevive al año"
F: "El individuo 2 sobrevive al año"
(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se
remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza.
Se remueve una segunda canica.
Regla de multiplicación para eventos
independientes
Si E y F son eventos
independientes
, entonces
𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)
.
Esto también se puede escribir:
𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)
La regla de suma para eventos disyuntos se puede
extender para n eventos. En general, si E,F,G … son
eventos independientes, entonces
Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10%
de sus productos son defectuosos. También sabe que,
en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el
equipo en el primer año después de su adquisición. Si
hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿qué
proporción de los clientes harán un reclamación
válida?
EJEMPLO
Computar Probabilidad para Eventos Independientes
E: Equipo sale defectuoso.
F: El equipo se usa durante del año de comprado.
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se
selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según el
Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es
la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad
seleccionadas al azar sobrevivan el año?
EJEMPLO
Computar Probabilidad para Eventos Independientes
Solución:
La sobrevivencia de la primera mujer es independiente de la
segunda por lo tanto.
P(sobrevivencia) = 0.99186 en cada caso.
E: Sobrevive la primera mujer
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad
seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%,
según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47,
N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro mujeres
de 60 años de edad, seleccionadas al azar, ninguna
sobrevivan al año?
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe
Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año?
Regla general de suma
La probabilidad de que ocurra un evento E ó un
evento F
𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)
– P( E y F)
Esto también se puede escribir:
𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∪ 𝑃(𝐹) ∩
P( E y F)
Una carta es elegida al azar de un juego de baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una J ó un
diamante?
Solución:
¿P(“J” ó “
♦
” ) ?
Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior
del primer dado es 2” y F = “ la suma de las caras de los dados es
menor o igual a 5”
Determinar P(E o F)
Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior
del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de
los dados es menor o igual a 5”
Determinar P(E ó F)
Una carta es elegida al azar de un juego de baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una J y luego un diamante?
Solución:
¿P(“J” y “
♦
” ) ?
Los eventos son independientes.
EJEMPLO
Computar probabilidades que contienen la frase
“al menos”
Si se selecciona al azar una muerte de peatón, aproximar la probabilidad de
que el conductor estaba ebrio o el peatón no estaba ebrio, a dos lugares decimales .
EJEMPLO
La siguiente tabla resume los resultados de 985 muertes de peatones que fueron causadas por accidentes (basado en datos de la National Highway Traffic Safety Administration)
La probabilidad condicional :
•
se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad
de un evento F dado el evento E”.
•
Es la probabilidad de que un event F ocurra
dado que el evento E haya ocurrido.
EJEMPLO Probabilidad Condicional
•
Si E y F son dos eventos
Regla para calcular probabilidad condicional
𝑃 𝐹 𝐸 =
𝑁(𝐸𝑦𝐹)
𝑁(𝐸)
=
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Los registros de la policía muestran que la probabilidad de que un ladrón sea arrestado es 0.35. La probabilidad de un arresto por robo y una convicción es 0.14. ¿Cuál es la probabilidad que una persona arrestada por robo sea convicta?
Solución:
Sea A el evento de que un ladrón sea arrestado. Sea B el evento de que ocurra una convicción.
P(B │A) = 𝑃(𝐵 𝑦 𝐴)
Ejemplo:
En una muestra de 1000 personas, 120 son
zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y
sin reemplazo.
(a) Encuentre la probabilidad de que ambas personas
seleccionadas sean zurdas.
Solución:
Sea E= La primer persona seleccionada es zurda.
Sea F = La segunda persona seleccionada es zurda.
Los eventos NO son independientes.
P(E y F) = P(E) P(F|E)
Ejemplo:
En una muestra de 1000 personas, 120 son
zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y
sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al menos
una de las dos personas sea zurda.
Solución:
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres
afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.
Cree en Dios
Cree en un espíritu universal
No cree en Dios ni en un espíritu
universal
Este 204 36 15
Norte Central
212 29 13
Sur 219 26 9
Oeste 152 76 26
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto
estadounidense seleccionado
aleatoriamente, cree en Dios y vive en el Este?
𝑷(𝑭 𝒚 𝑬) = 𝑷(𝑭) ∙ 𝑷(𝑬|𝑭)
Sea E= Adulto que vive en el este. Sea F = Adulto que cree en Dios
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres
afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.
Cree en Dios
Cree en un espíritu universal
No cree en Dios ni en un espíritu
universal
Este 204 36 15
Norte Central
212 29 13
Sur 219 26 9
Oeste 152 76 26
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto
estadounidense seleccionado aleatoriamente, cree en Dios vive en el Este?
𝑷 𝑭 𝑬 = 𝑵(𝑬𝒚𝑭)
𝑵(𝑬) =
𝑷(𝑬𝒚𝑭) 𝑷(𝑬)
Sea E= Adulto que vive en el este. Sea F = Adulto que cree en Dios
𝑃 𝑐𝑟𝑒𝑒 𝑒𝑛 𝐷𝑖𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑒 = 𝑁(𝐸𝑦𝐹)
