Desigualdad entre las medias Aritmética y
Geométrica
JorgeTipe Villanueva
Dados nreales positivos a1,a2, . . . ,an, definimos lamedia aritméticadea1,a2, . . . ,an como el número
a1+a2+. . .+an n
y la media geométricacomo el número
n
√
a1a2. . .an.
Al siguiente resultado se le llama “Desigualdad entre las medias aritmética y geométrica" o simplemente “Desigualdad entre las medias":
Teorema: La media aritmética de n números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir, si a1,a2, . . . ,an son reales positivos, entonces se cumple que:
a1+a2+· · ·+an
n ≥
n
√
a1a2. . .an
además, se da la igualdad únicamente cuando a1 =a2 =· · · =an.
Observación: Al aplicar este teorema es muy importante tener en cuenta cuándo se da la igualdad, sobre todo si queremos encontrar un máximo o mínimo.
Algunos casos particulares y primera demostración
Veamos la demostración clásica del teorema para el caso n = 2, que es la versión del teorema más usada en la solución de problemas.
Demostración del Teorema para n=2.
Dados los números reales positivos ay b, tenemos que:
a+b
2 −
√
ab= (
√
a−√b)2
2 ≥0
pues el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual que cero, entonces se cumple que:
a+b
2 ≥
Notemos que la igualdad se da únicamente cuando √a=√b, esto es, únicamente cuan-do a=b.
Problema 1. Six >0, pruebe que x+1
x ≥2.
Solución. Aplicando la desigualdad de las medias para x y 1
x obtenemos la desigualdad que nos piden. Note que la igualdad ocurre solamente cuando x=1.
Problema 2. Sia yb son reales positivos entonces 1 a+
1 b ≥
4 a+b.
Solución. La desigualdad es equivalente a (a+b)2 ≥ 4ab, que a su vez es equivalente a a2+b2
2 ≥ ab, que es la desigualdad de las medias aplicada a los númerosa2y b2.
Problema 3. Sia yb son reales positivos, pruebe quea3+b3≥ ab(a+b).
Problema 4. Sia,b,c son reales positivos entonces a2+b2+c2 ≥ab+bc+ca.
Solución.Sumamos las siguientes desigualdades, y obtenemos lo que queremos: a2+b2 ≥2ab
b2+c2 ≥2bc c2+a2 ≥2ca Note que la igualdad ocurre si y sólo si a=b =c.
Problema 5. Sean x y y números reales positivos tales que xy+x+y = 31, demuestre que x+2y≥13.
Solución.Al sumar 1 a la condición del problema obtenemos (x+1)(y+1) = 32, aplica-mos entonces la desigualdad de las medias a los números positivos (x+1) y 2(y+1), entonces:
(x+1) +2(y+1)
2 ≥
q
2(x+1)(y+1) =8, con lo cual obtenemos que:
x+2y+3≥16 ⇐⇒ x+2y≥13.
Note que la igualdad se puede dar solamente cuando (x+1) = 2(y+1) y como sabe-mos que (x+1)(y+1) =32, obtenemos que x=7 y y=3.
Demostración del Teorema para n=4
Sean a,b,c,d reales positivos, sabemos que:
(a+b) + (c+d)
2 ≥
q
pero
(a+b)≥2√ab y (c+d)≥2√cd, (2) entonces:
(a+b) + (c+d)
2 ≥
q
(a+b)(c+d)≥ q
2√ab·2√cd=2√4 abcd,
de donde obtenemos:
a+b+c+d
4 ≥
4
√
abcd. (3)
Note que para que se dé la igualdad en (3), debe darse la igualdad en (2) y en (1), es de-cir, se debe cumplir quea =b,c =dya+b=c+d, lo cual implica quea=b =c =d.
Siguiendo la misma idea podemos demostrar que si el Teorema es válido para n, en-tonces también es válido para 2n. En particular, podemos demostrar que el Teorema es válido para cualquier potencia de 2.
Problema 6. Sean ayb números reales, demuestre que a4+b4+8≥8ab.
Solución.Aplicando la desigualdad de las medias a los númerosa4,b4, 4, 4 obtenemos: a4+b4+4+4
4 ≥
4
√
a4·b4·4·4 =2|ab|,
con lo cual obtenemos a4+b4+8 ≥8|ab|, pero es claro que|ab| ≥ ab, y esto es suficiente para terminar la solución.
Demostración del Teorema para n=3
Sean a,b,c reales positivos. Como ya demostramos el teorema para n =4, lo aplicamos a los números a,b,c,d, donde d=√3 abc (note que abc =d3):
a+b+c+d
4 ≥
4
√
abcd= 4
√
d3·d=d =⇒ a+b+c
3 ≥d=
3
√ abc.
Note que para que se dé la igualdad, debe cumplirse que a =b=c =d.
Problema 7. Sea x un real positivo, pruebe que x5+x4−3x3+1≥0.
Solución.Aplicando la desigualdad de las medias a los númerosx5,x4, 1 obtenemos: x5+x4+1
3 ≥
3
√
la cual es equivalente a la desigualdad que nos piden.
Así como demostramos el Teorema para n = 3 a partir de n = 4, podemos demostrar que si el Teorema es válido para n entonces también lo es para n−1. Especifiquemos este resultado:
Si el teorema es válido para n, vamos a demostrar que es válido para n−1. Sean a1,a2, . . . ,an−1 reales positivos, aplicamos el teorema a los n números a1,a2, . . . ,an−1,g,
donde g= n−√1 a
1a2· · ·an−1:
a1+a2+· · ·+an−1+g
n ≥
n
√
a1a2· · ·an−1·g = n
q
gn−1·g =g,
de donde obtenemos:
a1+a2+· · ·+an−1
n−1 ≥g=
n−√1 a
1a2· · ·an−1.
Hasta ahora tenemos lo siguiente:
Demostramos que el Teorema es válido para n=2.
Suponiendo que el Teorema es válido para n, demostramos que también es válido para 2n.
Suponiendo que el Teorema es válido para n, demostramos que también es válido para n−1.
Es fácil notar que con el proceso anterior podemos llegamos a cualquier n empezando desde el 2, por ejemplo, para demostrar el teorema para n=12 seguimos la secuencia:
2→4→8→16→15→14→13→12.
Para ser más precisos, dado cualquier n, tomamos un k tal que 2k ≥ n, luego, como el Teorema es válido para 2k a partir de ahí vamos bajando de 1 en 1 hasta llegar a n, con lo cual quedaría demostrado el Teorema para n.
De esta forma queda demostrado que el teorema es válido para cualquier n.
Segunda demostración
Vamos a demostrar el siguiente Lema (que en realidad es un caso particular del Teorema que queremos demostrar).
Lema. Sean x1,x2, . . . ,xn reales positivos tales quex1x2· · ·xn =1, entonces
además, la igualdad se da solamente cuando x1 =x2 =· · · =xn =1.
Demostración. Vamos a usar inducción matemática. Es claro que para n = 1 el resultado es cierto. Supongamos que el resultado es cierto paran, vamos a demostrarlo paran+1. Es decir, consideremos los n+1 números x1,x2, . . . ,xn+1 cuyo producto es 1, tenemos
que demostrar que su suma es al menos n+1.
Si todos los números xison iguales a 1 es claro quex1+x2+· · ·+xn+1=n+1, es decir,
se da la igualdad. Si no todos son 1, entonces habrá uno de ellos que es menor que 1 y otro que es mayor que 1. Sin pérdida de generalidad suponemos que xn <1 yxn+1>1.
Apliquemos la hipótesis a los nnúmeros x1,x2, . . . ,xn−1,xnxn+1, como su producto es 1
se cumple que:
x1+x2+· · ·+xn−1+xnxn+1 ≥n,
y para demostrar que x1+x2+· · ·+xn +xn+1 ≥ n+1 sólo necesitaríamos que se
cumpla:
xn+xn+1−xnxn+1 ≥1,
pero esta última desigualdad es equivalente a:
(xn+1−1)(1−xn) ≥0,
la cual es verdadera porque ambos factores son positivos. Es más, podemos notar que no se puede dar la igualdad cuando no todos los números son iguales a 1.
Sean a1,a2, . . . ,an reales positivos, definimos P = a1a2· · ·an y para cada i entre 1 y n definimos:
xi = ai
n
√ P,
entonces x1,x2, . . . ,xn son reales positivos cuyo producto es 1, por el Lema:
x1+x2+· · ·+xn ≥n ⇐⇒ a1+a2+· · ·+an ≥n
n
√ P
⇐⇒ a1+a2+· · ·+an
n ≥
n
√
a1a2· · ·an,
que es la desigualdad de las medias.
Algunas aplicaciones al cálculo de máximos y mínimos
Problema 8. Un rectángulo tiene perímetro 20, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar su área?
Solución. Sean a y b las dimensiones del rectángulo, luego, a+b = 10 y su área es ab ; ahora, por (MA-MG):
5= a+b
2 ≥
√ ab
Problema 9. La suma de dos números naturales distintos es 30, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar su producto?
Problema 10. Todas las caras de una caja son rectangulares, además, la distancia entre dos vértices opuestos (que no estén en la misma cara) es 9√3 cm. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el volumen de la caja?
Solución.Seana,byc las dimensiones de la caja. Como la diagonal mide 9√3 cm. enton-ces se cumple que:
p
a2+b2+c2=9√3 cm. (3)
Apliquemos ahora la desigualdad de las medias a los números a2, b2y c2: a2+b2+c2
3 ≥
3
√
a2b2c2,
reemplazamos (3) en la desigualdad anterior, y luego simplificamos para obtener: abc ≤93cm3 =729 cm3
además, notamos que se puede dar la igualdad cuando a = b =c =9 cm. Por lo tanto, el mayor valor que puede tomar el volumen es 729 cm3.
En el problema 1, vimos que si x >0 se cumple que x+1x ≥2, esto se podría formular así: el mínimo valor que toma la función f(x) = x+1x, cuando x > 0, es 2 . Note que para asegurar esto no es suficiente demostrar que f(x) ≥ 2, sino que tenemos que en-contrar un x0 para el cual f(x0) = 2, para nuestro caso podemos tomar x0 = 1 ya que
f(1) = 2.
Problema 11. Hallar el mínimo de la función g(x) = x+4x, cuandox >0.
Problema 12. Hallar el mínimo de la funciónh(x) = x+ x−12, cuandox >2.
Solución. Notemos que h(x) = [(x−2) + x−12] +2, con lo cual h(x) ≥2+2= 4 y como h(3) = 3+1 = 4, concluimos que el mínimo valor de h(x) es 4 (y se consigue cuando x =3).
Problema 13. Hallar el mínimo de la función j(x) = x2+ 4x, cuandox >0.
Solución. Este es el primer problema que vamos a ver en el que hay que aplicar la de-sigualdad de las medias de forma especial. Para que al aplicar esta dede-sigualdad nos resulte un número en el lado derecho hacemos la separación:
x2+ 4
x =x
2+2
x+ 2 x, con lo cual tenemos:
x2+2
x + 2 x ≥3
3
r x2· 2
x · 2 x =3
3
es decir, el mínimo sería 3√3 4, y se consigue cuandox2 = 2x = 2x, es decir, cuandox =√3 2.
Problema 14. Hallar el máximo de la funciónk(x) = x(1−x3), cuando 0≤x ≤1.
Solución.Aplicamos la desigualdad de las medias a los números (positivos):
x3,1−x
3
3 ,
1−x3 3 ,
1−x3 3 , con lo cual obtenemos:
x3+1−3x3 +1−3x3 +1−3x3
4 ≥
4
r
x3(1−x3)3
33 ,
que equivale a:
1 4
4
≥ [x(1−x
3)]3
33 =⇒ 3
1 4
4/3
≥x(1−x3) =⇒ 3
4√3 4 ≥ x(1−x
3),
con lo cual el valor máximo de k(x) es 3
4√34 y se consigue cuando x
3 = 1−x3
3 , es decir,
cuando x = √31 4.
Problema 15. Hallar el máximo de la función`(x) = x2(1−x5), cuando 0≤x ≤1.
Problemas resueltos
Problema 16. (M. aritmética - M. geométrica - M. armónica) Sean a1,a2, . . . ,an reales positivos, pruebe que:
a1+a2+· · ·+an
n ≥
n
√
a1a2· · ·an ≥ 1 n
a1 + 1
a2 +· · ·+ 1
an
.
Solución. Ya sabemos que la primera desigualdad se cumple. Para la segunda desigual-dad, aplicamos la desigualdad de las medias a los números a1
1, 1
a2, 1
a3, . . . , 1
an para obtener: 1
a1 + 1
a2 +· · ·+ 1 an n ≥ n s 1 a1a2· · ·an, que es equivalente a la desigualdad que queremos probar.
Problema 17. Sea kun entero positivo, pruebe que:
11·22·33· · ·kk ≥
k+1 2
Solución.Vamos a aplicar la desigualdad M. geométrica - M. armónica a los números: 1, 2, 2, 3, 3, 3, . . . ,k,k, . . . ,k
| {z } kveces
,
podemos notar que la cantidad de números es k(k+21), entonces:
k(k+1)
2 √11·22·33· · ·kk ≥
k(k+1)
2
1+12+12 +13+13+13+· · ·+1
k +· · ·+
1 k
| {z }
kveces
= k+1
2 ,
de donde se obtiene lo que queremos.
Problema 18. Sia,b,c son reales positivos tales queabc =1, pruebe que 1+ab
1+a +
1+bc 1+b +
1+ca 1+c ≥3.
Solución.En el primer término vamos multipicar al numerador y denominador por c: 1+ab
1+a =
c+abc c(1+a) =
1+c c(1+a),
y si hacemos lo mismo con los otros términos obtendríamos: 1+c
c(1+a) +
1+a a(1+b) +
1+b
b(1+c) ≥3,
la cual se prueba con la desigualdad de las medias porque el producto de los tres térmi-nos de la izquierda es 1.
Problema 19. Sia,b,c son reales positivos, pruebe que:
2(a+b+c)(a2+b2+c2) ≥a3+b3+c3+15abc
Solución. Desarrollamos el producto de la izquierda y pasamos a restar a3+b3+c3, y obtenemos:
a3+b3+c3+2(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b) ≥15abc,
pero esta desigualdad se puede ver como la desigualdad de las medias aplicada a los 15 números
a3,b3,c3,a2b,a2b,a2c,a2c, . . . ,c2b,c2b.
Problema 20. Sean x,y,znúmeros reales positivos tales quex+y+z =3, pruebe que: √
Solución.Como x+y+z =3, entoncesx2+y2+z2+2(xy+yz+zx) = 9 con lo cual la desigualdad pedida es equivalente a:
2√x+2√y+2√z≥2(xy+yz+zx)
2√x+2√y+2√z≥9−(x2+y2+z2)
x2+y2+z2+2√x+2√y+2√z≥9
Pero por la desigualdad de las medias x2+√x+√x ≥ 3x, y si sumamos esas tres expresiones análogas obtenemos:
x2+y2+z2+2√x+2√y+2√z≥3(x+y+z) = 9, que es lo que queremos.
Problemas propuestos
1. Si 0<b <a son números reales, pruebe que
a+ 1
(a−b)b ≥3.
2. Demuestre las siguientes desigualdades, donde x,y,zson reales positivos:
a) x y +
y x ≥2.
b) (x+y)(y+z)(z+x) ≥8xyz.
c) xy+yz+zx≥ x√yz+y√zx+z√xy. d) xy
z + yz
x + zx
y ≥x+y+z.
e) x2(y+z) +y2(z+x) +z2(x+y) ≥6xyz. f) x4+2x3y+2xy3+y4 ≥6x2y2.
g) (x2y+y2z+z2x)(xy2+yz2+zx2)≥9x2y2z2. h) x
3+y6
2 ≥3xy
2−4.
3. Sean a,b,c,d reales positivos, pruebe que
ab2c3d4 ≤
a+2b+3c+4d 10
10 .
5. Seaa un real positivo, pruebe que
a4+9 10a >
4 5.
6. Seaa un real positivo, pruebe que (1−a)5(1+a)(1+2a)2<1.
7. Sean un número entero mayor que 1, pruebe que 1·3·5· · ·(2n−1)<nn.
8. Sean myn enteros positivos, pruebe que:
mn·nm ≤
2mn m+n
m+n
9. Sean ay breales positivos, pruebe que 27a2b≤4(a+b)3.
10. Determine el mínimo valor de la función f(x) = x+ x2−x5, cuando x>5.
11. Determine el mínimo valor de la función f(x) = x3+1x, cuandox >0.
12. Sia ybson reales positivos, determine el máximo valor que puede tomar la expre-sión 6ab−(a3+b3).
13. Considere todos los triángulos isósceles que tienen perímetro 12, ¿cuál de ellos tie-ne mayor área?
14. Sean a,b,c reales positivos, pruebe que 1
a3+b3+abc +
1
b3+c3+abc +
1
c3+a3+abc ≤
1 abc
15. Si a,b,cson reales positivos tales que a+b+c =1, pruebe que
1+1
a 1+ 1
b 1+ 1 c
≥64
16. Sean a,b,c reales positivos, pruebe que
3
√
ab+√3 bc+√3 ca−1≤ 2(a+b+c)
17. En cierto país se desea emitir monedas cuyos valores sean tres cantidades enteras positivas distintas, de tal manera que una persona que lleva k monedas conve-nientemente elegidas, pueda pagar exactamente cualquier cantidad entera desde 1 hasta 99 (sin recibir vuelto). ¿Cuál es el menor valor que puede tener k?
18. Sean x,y,zreales positivos tales que xyz=1, pruebe que: x3
(1+y)(1+z) +
y3
(1+z)(1+x) +
z3
(1+x)(1+y) ≥
