Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
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Fecha de recepción: 19 de mayo de 2014 Fecha de aprobación: 16 de julio de 2014
Ing. Fabricio Leiva Villacorta, PhD.
Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales (LanammeUCR) Costa Rica
Ing. Adriana Vargas Nordcbeck, PhD.
Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales (LanammeUCR) Costa Rica
RESUMEN
Los pavimentos de concreto con refuerzo continuo son pavimentos de concreto reforzados longitudinalmente con barras de acero y construidos sin el corte de juntas transversales de contracción. En este pavimento resulta importante controlar el espaciamiento de grietas, ancho de grietas y nivel de esfuerzos en el acero a manera que se mantengan dentro de ciertos límites que garanticen el buen desempeño del pavimento.
La consideración de la variabilidad de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor de la losa mediante un análisis estocástico puede servir al proceso de optimización del diseño y la reducción de la incertidumbre. Los objetivos de este estudio son el de evaluar la metodología de diseño de pavimentos de concreto con refuerzo continuo usando un análisis probabilístico y evaluar la variabilidad de los parámetros de diseño: espaciamiento de las grietas, el acho de las grietas y el esfuerzo en el acero. Para esto, se incorporó la variabilidad de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor de la losa mediante la metodología de simulación de Monte Carlo para un caso de estudio.
PALABRAS CLAVES: análisis estocástico, pavimentos rígidos, refuerzo continuo, simulación de Monte Carlo.
ABSTRACT
Continuously reinforced concrete pavements are rigid pavements that are reinforced with steel bars in the longitudinal direction and are built without transverse joints. In this type of pavements it is important to control crack spacing and width, as well as the stress level in the steel bars so that these parameters remain within a range that will ensure good pavement performance.
Considering variability of material properties and slab thickness through a stochastic analysis may help optimize the design process and reduce
uncertainty. The objectives of this study were to evaluate the design methodology for continuously reinforced concrete pavements using a probabilistic analysis and to evaluate the variability of the design parameters: crack spacing, crack width and steel stress. To accomplish these objectives, the variability of the material properties and slab thickness was included through the Monte Carlo simulation method for a case study.
KEY WORDS: stochastic analysis, rigid pavements, continuous reinforcement, Monte Carlo simulation.
INTRODUCCIÓN
En pavimentos de concreto con refuerzo continuo el refuerzo asume todas las deformaciones y específicamente las de temperatura, con lo cual se eliminan las juntas de contracción. En este tipo de pavimento, se permite que el concreto se agriete en forma aleatoria como resultado de cambios de volumen derivados de variaciones de temperatura y humedad. Sin embargo, el agrietamiento se controla mediante el refuerzo de acero y la restricción de la capa de base a manera de que se mantenga la transferencia de carga y la integridad del pavimento. Las grietas en este tipo de pavimento aparecen típicamente cada 1.1 a 2.4 m (3.5 a 8 pies) (Huang 2004) y se mantienen controladas gracias a una armadura de acero continua en el medio de la calzada, diseñada para garantizar el buen comportamiento de la estructura del pavimento
Las variables que controlan el diseño de pavimentos de concreto con refuerzo continuo son: el espaciamiento de las grietas, el ancho de las grietas y el esfuerzo en el acero. Estas variables deben ser controladas para optimizar los recursos y el desempeño de la estructura de pavimento. La consideración de la variabilidad de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014 / p.p. 25-32
ANÁLISIS ESTOTÁSTICO
DE PAVIMENTOS DE CONCRETO
CON REFUERZO CONTINUO
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
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de la losa mediante un análisis estocástico puede servir al proceso de optimización del diseño y la reducción de la incertidumbre.
Una de las metodologías más comunes para análisis de variabilidad y confiabilidad es la simulación de Monte Carlo (Harr, 1987). Esto implica reproducir artificialmente cada distribución probabilística de la variable de entrada, introduciendo los valores en la función, y la obtención de la distribución de salida. La principal ventaja de este método es que se determina la distribución de probabilidad completa de la variable aleatoria dependiente. En pavimentos, esta metodología ha sido incorporada en la evaluación de la variabilidad en espesores de capa (Laszlo, 2012), en diseño de pavimentos flexibles (Timm y otros, 1999) y desempeño de pavimentos flexibles (Lu y otros, 2003). Una de las más recientes y reconocidas aplicaciones de la metodología Monte Carlo se encuentra en la Guía Mecanística-Empírica MEPDG (ARA Inc., 2004) la cual incorpora el análisis de variabilidad y determina la confiabilidad del diseño y desempeño de la estructura de pavimento.
Objetivo
Los objetivos de este estudio son el de evaluar la metodología de diseño de pavimentos de concreto con refuerzo continuo usando un análisis probabilístico y evaluar la variabilidad de los parámetros de diseño: espaciamiento de las grietas, el ancho de las grietas y el esfuerzo en el acero.
Alcance
Para cumplir con el objetivo de este estudio se consideró una incorporación de la variabilidad de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor de la losa mediante la metodología de simulación de Monte Carlo. Inicialmente se consideró un escenario con datos de entrada para evaluar los parámetros de diseño a nivel determinístico. Finalmente, con el análisis probabilístico se determinó la probabilidad de falla, el nivel de confianza y el ajuste en el espesor de losa para optimizar el diseño de la estructura.
METODOLOGÍA
Simulación de Monte Carlo
La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo-aleatorios y automatizar cálculos (Samik, 2008). Para este caso la metodología se utilizó para simular la variabilidad en las propiedades de varios materiales.
Un generador de números variables fue utilizado para el cálculo de variable aleatorias utilizando la metodología de Box & Muller (1958). Las ecuaciones 1 y 2 definen las variables aleatorias independientes con una distribución normal con desviación típica 1.
(1)
(2)
donde U1 y U2 son números aleatorios
Para variables con distribución normal, se utilizaron las ecuaciones 3 y 4 para generar variables aleatorias normalmente distribuidas.
(3)
(4)
donde
μ = promedio de la variable
σ = desviación estándar de la variable
Para variables con distribución lognormal, el promedio y la desviación estándar fueron convertidos al espacio logarítmico con las ecuaciones 5 y 6.
(5)
(6)
donde
μy = promedio en espacio log
σy = desviación estándar en espacio log
Variables aleatorias independientes S3 y S4 también obtenidas de las ecuaciones 1 y 2 fueron utilizadas para generar variables aleatorias lognormales por medio de las ecuaciones 7 y 8.
(7)
(8)
donde
μy = promedio en espacio log
σy = desviación estándar en espacio log
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
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Estas ecuaciones fueron utilizadas para producir valores que representan la variabilidad de espesor de la losa, módulo de reacción de la subrasante, módulo del concreto y el coeficiente térmico del concreto.
Ecuaciones de análisis
La Figura 1 muestra parte de los parámetros críticos de diseño de pavimentos con refuerzo continuo. Para este tipo de pavimento se espera que se generen grietas de contracción térmica que se controlan y diseñan para que tengan un espaciamiento y un ancho definidos. El espaciamiento entre grietas se controla para minimizar el escalonamiento y el desprendimiento del concreto. Se diseña para que las grietas tengan una separación máxima de 2.4 m (8 pies) y una separación mínima de 1.1 m (3.5 pies).
El ancho de las grietas se controla para minimizar el escalonamiento y evitar la penetración de agua relacionado con el bombeo de finos. El ancho máximo de grieta permisible es de 1.0 mm (0.04 pulg). Finalmente, el esfuerzo en el refuerzo de acero se controla para prevenir deformaciones plásticas (Huang 2004) mediante una limitación del esfuerzo aplicado del 75% del esfuerzo último a tensión del acero. Las ecuaciones 9 a 11 se utilizan para calcular el espaciamiento de grietas, ancho de grietas y el esfuerzo aplicado en el acero.
Espaciamiento de grieta
donde
ft = Esfuerzo a tensión a los 28 días del concreto, psi
αs/αc = razón entre coeficiente térmico del acero y el coeficiente térmico del concreto (5 x 10-6 pulg/pulg/°F)
Φ = diámetro de la barra de acero, pulg
σw = esfuerzo vertical de la carga aplicada, psi
P = cantidad de acero transversal como porcentaje de la sección transversal de la losa, %
Z = Coeficiente de contracción del concreto
ΔT = caída de temperatura (entre temperaturas máximas y mínimas esperadas), °F
El esfuerzo a tensión del concreto fue calculado utilizando el 86% del módulo de ruptura (1). El módulo de ruptura fue calculado utilizando la ecuación 12.
donde
SC = Modulo de ruptura, psi
EC = Módulo del concreto, psi
El esfuerzo aplicado por la carga de tránsito se calculó utilizando la ecuación de Westergaard para cargas internas en la losa (Ecuación 13):
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c 1.15
α
s1 +
1000
5.20α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
Figura 1. Elementos críticos de diseño.(9)
Ancho de Grieta
(10)
Esfuerzo en Acero
(11)
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
28
donde
σw = esfuerzo vertical de la carga aplicada, psi
a = radio de contacto, pulg
h = espesor de la losa, pulg
l = radio de rigidez, pulg
si a < 1.724h, de otra forma b=a
El esfuerzo aplicado en el acero depende de la resistencia a la tensión indirecta del concreto y del tamaño de la barra de refuerzo. La Figura 2 muestra la relación entre esfuerzo permitido para el acero y resultados de tensión indirecta del concreto para una barra Nº 5. Adicionalmente, para calcular el coeficiente de contracción del concreto, se estableció su relación con la tensión indirecta del concreto como se muestra en la Figura 3.
EJEMPLO DE ANÁLISIS
El siguiente escenario (Tabla 1) muestra los resultados de una estructura de pavimento rígido con refuerzo continuo diseñado previamente utilizando la metodología AASHTO 93. El proyecto se diseñó para la carretera Interestatal I-80 en Nebraska. Los datos de temperatura fueron obtenidos del sitio web de “High Plains Regional Climate Center” (HPRCC 2006). Con esta información se determinó que la temperatura alta promedio fue de 87 °F (30.1 °C) y que la temperatura baja promedio fue de 11 °F (11.7 °C), lo cual resulta en una caída de temperatura de 76 °F (24.4 °C).
La metodología de diseño involucra el cálculo del espesor de la losa para resistir las cargas de diseño y el cálculo del contenido de acero longitudinal obtenido de las ecuaciones 9 a 11. El contenido de acero de diseño se obtuvo a partir del valor máximo calculado para las 3 condiciones críticas, que además fuera mayor a 0.4%. En este caso este valor corresponde al parámetro esfuerzo aplicado en el acero por lo que se determinó como parámetro dominante del diseño. Además, el espesor de losa obtenido fue de 8.0 pulgadas (20.3 cm) con un porcentaje de acero longitudinal de 0.535% y se utilizó barras de acero #5 (diámetro de 5/8 pulg).
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El análisis inició con la determinación de la aceptabilidad del diseño aplicando las ecuaciones 9 a 11. La Tabla 2 muestra los valores de entrada y los resultados del análisis determinístico del diseño. Con esta información se verificó que el diseño era adecuado para resistir los esfuerzos aplicados según la metodología de diseño utilizada.
El siguiente paso en el análisis fue la evaluación de la variabilidad en valores de entrada cuantificables como el espesor de la losa, el módulo de reacción de la subrasante, el módulo del concreto y el coeficiente térmico del concreto. La Tabla 3 muestra los coeficientes de variabilidad para estas 4 variables al igual que su respectiva distribución estadística.
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.53
2.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70f
t1 +
2α
c
1.15
α
s1 +
1000
5.20
α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
X
b=
µ
b+
σ
bS
2X
a=
µ
a+
σ
aS
1CW =
0.00932
1000
(
1 +
φ
)
6.532.20
)
(
1 +
P
4.55f
t1 +
1000
4.91
σ
w1 +
X =
1.32
(
1 +
φ
)
2.19)
(
1 +
P
4.60(
1 + 1000
Z
)
1.791000
6.70
f
t1 +
2α
c1.15
α
s1 +
1000
5.20
α
w1 +
b =
1.6
a
2+ h
2-
0.675
h
2
σ
y2µ
y=
ln(
µ
x)
-X
d= e
µy+σyS4X
c= e
µy+σyS3S
2=
- 2ln(
U
1) • sin (2
π
U
2)
S
1=
- 2ln(
U
1) • cos (2
π
U
2)
h
20.316
P
4log
+ 1.069
b
1
σ
w=
2
µ
xσ
x+ 1
σ
y=
ln
)
(
1 +
P
2.74(
1 + 1000
Z
)
0.4941000
4.09
f
t1 +
100
0.425
∆
T
1 +
1000
3.14
σ
w1 +
47300
σ
s=
43.5
E
c10
6+ 488.6
S
C=
(13)68,000
66,000
64,000
62,000
60,000
58,000
56,000
200 300 400
y = 19.143x + 51638 R2 = 0.9891
500 600 700 800 900
0.0009
0.0008
0.0007
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
200 300 400 500 600 700 800
y = -0.0007ln(x) + 0.00487 R2 = 0.99905
Figura 2. Esfuerzo permitido para barras de acero Nº 5. (Huang 2004).
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Tabla 1. Escenario de DiseñoTabla 2. Análisis determinístico del diseño
Tabla 3. Variabilidad de parámetros evaluados
Parámetro Valor promedio Variabilidad, COV% (Distribución)
Ubicación I-80 Kearney, Nebraska
--Espesor de Losa 8 pulg (20.3 cm) 5 % (Normal)
Módulo de reacción subrasante 200 pci 40 % (Lognormal) Carga de diseño 6 000 lb (26.6 kN), 100 psi (690 kPa) --Módulo del Concreto 3 000 000 psi (20.7 GPa) 15 % (Lognormal) Coeficiente térmico del Concreto 6*10-6/ºF 10 % (Normal)
Porcentaje de Acero 0.535 %
--Tamaño de Barra # 5
--Coeficiente térmico del Acero 5*10-6/ºF
--Valores de entrada
Valores Estimados Espaciamiento de
grietas Ancho de grietas Esfuerzo aplicado Esfuerzo permitido
ΔTD h k Carga
q Ec αc
P φ αs
76 8 200 6,000 100 3,000,000 6.0E-06
0.535 0.625 5.0E-06
ºF pulg
pci lb psi psi /ºF % pulg
/ºF
3.98 pies (1.21 m)
0.0346 pulgadas (0.88 mm)
61 402 psi (423.4 MPa)
61 829 psi (426.3 MPa) l
a b σw
28.45 4.37 4.32 128.62
pulg pulg pulg psi S`c
ft
619.0 532.3
psi psi z 0.00041 pulg/pulg
Valores de entrada COV σ σy µy
h k
Ec
αc
8 200 3 000 000 6.0E-06
pulg pci psi /ºF
5% 40% 15% 10%
Normal Lognormal Lognormal Normal
0.4 80 450 000
6E-07 0.39 0.15
5.22 14.90 La metodología de simulación de Monte Carlo con 2 000
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30
Otra forma de verificar la simulación de la variabilidad de las variables de entrada es por medio de su distribución por frecuencia y frecuencia acumulada. La Figura 5 muestra tales distribuciones para la variable espesor de losa. Como se esperaba tiene una distribución normal con valores promedio y media de 8.0 pulg.
Los resultados de la simulación de los parámetros críticos de diseño para 2 000 ciclos y utilizando 0.535% de acero se muestran en la Tabla 5. De aquí se puede obtener lo siguiente:
• Se espera que el espaciamiento promedio sea de 3.99 pies
(1.22 m) y la probabilidad de obtener espaciamientos de grietas dentro del rango establecido (3.5 a 8.0 pies) es de 86.9%.
• Se espera que en promedio las grietas sean de 0.035 pulg
(0.89 mm)de ancho y la probabilidad de obtener anchos de grieta menores a 0.04 pulg es de 100%.
5.0
4.8
4.6
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
0 500 1000 1500 2000
160
140
120
100
80
60
40
20
6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 0
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0% Frecuencia
Acumulada, %
Espesor de Losa (pulg)
Figura 4. Media móvil para 2 000 ciclos de espaciamiento de grietas.
Figura 5. Distribución por frecuencia para la variable Espesor de Losa.
Tabla 4. Resumen de la simulación de las variables de entrada
Valores de diseño h αc k Ec l b σw ft z
Espac. de grietas
Promedio
Des. Est.
8.0
0.40
6.0E-06
6.1E-07
202.0
83.7
299 807
456 805
29.0
3.3
4.33
0.06
130.0
13.1
532.3
17.1
4.1E-04
2.3E-05
Ancho de grietas
Promedio
Des. Est.
8.0
0.40
6.0E-06
6.0 E-07
200.3
80.9
3 003 931
440 799
29.1
3.2
4.33
0.06
129.8
12.8
532.5
16.5
NA
NA
Esfuerzo en Acero
Promedio
Des. Est.
8.0
0.40
6.0E-06
5.8E-07
199.8
79.1
2 986 972
452 891
29.0
3.2
4.33
0.06
130.4
13.1
532.3
16.9
4.1E-04
2.2E-05
• Se espera que en promedio el esfuerzo en el acero sea de 61
213 psi (422.1 MPa) y la probabilidad de exceder el valor permitido promedio 61 828 psi (426.3 MPa) es de 40.7%.
La probabilidad de cumplimiento o de falla fue calculada utilizando distribuciones acumuladas para cada variable respuesta. Por ejemplo, se observa en la Figura 6 la distribución acumulada para el espaciamiento de grietas. Nótese como el 86.9% de los datos se encuentra dentro del rango requerido. Para un 40.7% de probabilidad de falla o excedencia en el acero indica que es más probable que se presenten deterioros asociados a la potencial baja capacidad soportante y transferencia de carga del acero; en este caso deformaciones o ahuellamientos en el pavimento.
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
31
Espaciamiento de Grietas, pies
86.9% Dentro de rango 160%
90%
80%
70%
60% 50%
40%
30%
20%
10%
0%
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0
Figura 6. Frecuencia acumulada para ancho de grietas. Tabla 5. Resultados del análisis
Tabla 6. Ajuste del diseño
Parámetro Espaciamiento de
grietas, pies Ancho de grietas, psi Esfuerzo aplicado, psi Esfuerzo permitido, psi
Promedio 3.988 0.035 61 213 61 828
Desviación Estándar 0.454 0.001 3622 321
COV 11.4% 0.2% 5.9% 0.5%
MAX 6.169 0.048 0.42 0.51
MIN 2.704 0.026 78 421 63 568
% Sobre valor límite 86.9% NA NA NA
% Bajo valor límite 100% 100% 59.3% NA
Espesor (pulg)
% Acero
% Cumplimiento
Esp. Grietas
% Cumplimiento Ancho Grietas
% Cumplimietno
Esfuerzo Acero
8.0 8.5 8.5 8.0
0.60 0.60 0.55 0.55
27.7 46.8 90.1 77.1
100 100 100 100
97.6 92.9 51.8 75.4 de acero produce una disminución en el esfuerzo que recibe el
acero debido a la carga aplicada y por lo tanto disminuye la probabilidad de falla en el parámetro del esfuerzo aplicado en el acero. Sin embargo, a la vez se disminuye el cumplimiento del espaciamiento de grietas al producir grietas más cerca unas de otras. Por esto, no se puede obtener un 100% de cumplimiento para los 3 parámetros simultáneamente.
La Tabla 6 muestra los resultados del proceso iterativo llevado a cabo con la misma metodología de simulación modificando el espesor de la losa y el porcentaje de acero. Para obtener el cumplimiento de los 3 parámetros críticos de diseño fue necesario modificar levemente el espesor y el contenido de acero. Los resultados del análisis para 0.55% de acero y 8.0 pulgadas de espesor de la losa se observan en la Tabla 7.
De la Tabla 7 se encontraron los siguientes resultados:
• Se espera que el espaciamiento promedio sea de 3.84 pies
(1.17 m) y la probabilidad de obtener espaciamientos de grietas dentro del rango establecido (3.5 a 8.0 pies) es de 77.1%.
• Se espera que en promedio las grietas sean de 0.033 pulg
(0.84 mm) de ancho y la probabilidad de obtener anchos de grieta menores a 0.04 pulg es de 100%.
• Se espera que en promedio el esfuerzo en el acero sea de 59
636 psi (411.2 MPa) y la probabilidad de exceder el valor permitido promedio 61 820 psi (426.2 MPa) es de 24.6%.
• Con un pequeño cambio en el contenido de acero (de 0.535
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32
Tabla 7. Resultados finales (0.55% acero y 8.0 pulgadas de espesor)
Parámetro Espaciamiento de
grietas, pies Ancho de grietas, psi Esfuerzo aplicado, psi Esfuerzo permitido, psi
Promedio 3.839 0.033 59 636 61 820
Desviación Estándar 0.452 0.001 3 465 322
COV 11.8% 0.4% 5.8% 0.5%
MAX 6.283 0.047 0.42 0.45
MIN 2.771 0.026 76 138 63 270
% Sobre valor límite 77.1% NA NA NA
% Bajo valor límite 100% 100% 75.4% NA
CONCLUSIONES
Evaluación de la variabilidad de materiales y procesos constructivos en el diseño de pavimentos es una forma útil para entender el porqué a veces el producto final no se desempeña como se esperaba. No se trata simplemente de diseñar para cumplir con los requerimiento establecidos; se vuelve necesario incorporar la probabilidad de falla o cumplimiento de los parámetros críticos de diseño.
Para este caso específico, con la consideración de la variabilidad en variables de diseño se estimó que existe una alta probabilidad de exceder el valor permitido promedio de resistencia del acero (40.7%). Con el uso de la misma metodología usada para estimar esta probabilidad de excedencia se logró reducir significativamente este valor de incumplimiento.
En general, el diseño estocástico produce una mejora significativa ya que se reduce la probabilidad de incumplimiento de las especificaciones de diseño. Este aumento en la confiabilidad del diseño implica también el tener un mejor control sobre los deterioros esperados para este tipo de pavimento. En este caso se espera que los escalonamientos, desprendimientos del concreto y deformaciones plásticas sean los deterioros más probables que se presenten.
Finalmente, se recomienda analizar el diseño de este tipo de pavimento con metodologías que permitan la evaluación de la variabilidad. Además, en caso necesario se recomienda utilizar esta misma metodología de análisis para mejorar el diseño o disminuir la probabilidad de incumplimiento.
REFERENCIAS
1. Applied Research Associates, Inc., ERES Consultants Division (2004). Guide for Mechanistic-Empirical Design of Pavement Structures, NCHRP Project 1-37A, National Cooperative Highway Research Program, Washington, D.C.
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