Resistencia al flujo y transporte de carga de fondo en ríos de montaña

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(1)RESISTENCIA AL FLUJO Y TRANSPORTE DE CARGA DE FONDO EN RÍOS DE MONTAÑA. CÉSAR AUGUSTO URREGO GAONA. Universidad de los Andes. Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Maestría en Ingeniería Civil. Bogotá 2010.

(2) RESISTENCIA AL FLUJO Y TRANSPORTE DE CARGA DE FONDO EN RÍOS DE MONTAÑA. CÉSAR AUGUSTO URREGO GAONA. Director MARIO DIAZ–GRANADOS ORTIZ Profesor Titular. Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental.. Universidad de los Andes. Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Maestría en Ingeniería Civil. Bogotá 2010.

(3) MIC 2010-I-47. CONTENIDO 1. JUSTIFIC ACIÓN Y ANTECEDENTES. ................................................................................ 1 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE FLUJO TURBULENTO. ....................................................... 3 2.1. FLUCTUACIONES TURBULENTAS. ............................................................................ 3 2.2. ESFUERZO DE REYNOLDS TURBULENTO.............................................................. 4 2.3. VELOCID AD DE CORTE................................................................................................. 6 2.4. TEORIA DE LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL................................................ 7 2.5. DETERMIN ACIÓN DE L A CONSTANTE DE INTEGR ACIÓN y0 ........................... 12 3. ECUACIONES DE FLUJO UNIFORME.............................................................................. 17 4. ECUACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO EN RÍOS DE MONTAÑA ..................... 21 ECUACIÓN LOGARÍTMICA.................................................................................................. 21 MODIFIC ACIONES DE L A LEY LOGARÍTMIC A PAR A FLUJO MACRORUGOSO ... 21 ECUACIÓN POTENCIAL ...................................................................................................... 21 ECUACIÓN DE CONCENTRACIÓN DE RUGOSIDAD. ECUACIÓN DE BATHURST (1978, 1982-b)......................................................................................................................... 21 4.1. Determination of the Manning Coefficient From Measured Bed Roughness in Natural Channels. (Limerinos, 1970)................................................................................... 22 4.2. Estimating Average Velocity in Gra vel-Bed Rivers. (Bray, September 1979)....... 24 4.3. Flow Resistance in Coarse Gravel Bed Rivers. (Griffiths, July 1981) .................... 37 4.4. Resistencia al Flujo en Ríos de Montaña. (Ugarte S & Méndez J, 1994).............. 47 4.5. Flow Resistance in Gravel Bed Rivers. (Hey, April 1979) ........................................ 49 4.6. Flow Resistance Estimation in Mountain Rivers. (Bathurst J. , April 1985.).......... 53 4.7. Experimental Study of Flow Resistance in Gravel Bed Rivers. (V. Ferro, October 1991.)........................................................................................................................................ 62 4.8. Resistencia al Flujo en Ríos de Montaña. (García Flores, 1996.) .......................... 65 4.9. Roughness of Loose Rock RipRap on Steep Slopes. (Rice, Kadavy, & M., February 1998.)....................................................................................................................... 76 4.10. The Influence of Roughness Structure on Flow Resistance. (Aberle J., (2003)) 82 4.11. Expresiones para la determinación del factor de fricción en ríos de fuerte pendiente. (López Alonso & Barragán Fernández, 2003.)............................................... 89 4.12. Flow Resistance of RipRap. (Maynord, June 1991)................................................ 94 4.13. Hydraulics of a Large Channel Paved with Boulders. (Thompson & Campbell, 1979)....................................................................................................................................... 101 4.14. Resistance to Flow in Steep Rough Streams. (Aguirre - Pe & Fuentes, November 1990).................................................................................................................... 104 i.

(4) MIC 2010-I-47. 4.15. A mixing layer theory for flow resistance in shallow streams. (KATUL, WIBERG, ALBERTSON, & HORNBERGER, 2002, vol. 38, no 11)................................................ 109 4.16. At a site variation and minimun flow resistance for mountain rivers. (Bathurst J. , December 2002.) .................................................................................................................. 117 4.17. Flow Resistance in Coarse Gravel Bed Rivers Discussion (Jacques Bruschin). ................................................................................................................................................. 125 4.18. Flow Resistance of Large Scale Roughness. (Bathurst J. C., December 1978) ................................................................................................................................................. 127 4.19. Resistance Equation For Large Scale Roughness. (Bathurst, Simons, & Li, December 1981).................................................................................................................... 139 5. TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EN RÍOS DE MONTAÑ A ...................................... 147 5.1. CARGA DE FONDO Y DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE GRAVA EN EL LECHO DE CORRIENTES. (Parker, Klingeman, & McLean, April 1982.) .................. 147 5.2. TRANSPORTE DE CARGA DE FONDO EN CORRIENTES DE LECHO DE GRAVA. (Diplas, March 1987.)........................................................................................... 156 6. PROGRAMA COMPUTACION AL. .................................................................................... 165 6.1. ECUACIÓN LOGARÍTMIC A........................................................................................ 165 6.2. ECUACIÓN POTENCIAL............................................................................................. 168 6.3. MODIFIC ACIONES DE LA LEY LOGARÍTMIC A PARA FLUJO MACRORUGOSO................................................................................................................. 171 6.4. ECUACIÓN DE CONCENTRACIÓN DE RUGOSID AD. ECUACIÓN DE BATHURST (1978, 1982-b). ............................................................................................... 172 6.5. TRANSPORTE .............................................................................................................. 172 6.6. MANU AL PROGR AMA COMPUTACION AL. ........................................................... 173 7. Bibliografía............................................................................................................................. 194. ii.

(5) MIC 2010-I-47. LISTA DE TABLAS Tabla 1. Características Hidráulicas de Ríos. California (EUA). (Fuente: (Limerinos, 1970))............................................................................................................................................ 24 Tabla 2. Características Hidráulicas de Ríos. Alberta (Canadá). (Fuente: (Bray, September 1979))....................................................................................................................... 26 Tabla 3. Características Hidráulicas de Ríos. Nueva Zelanda. Contorno Rígido (Fuente: (Griffiths, July 1981)) .................................................................................................................. 39 Tabla 4. Características Hidráulicas de Ríos. Nueva Zelanda. Contorno Móvil. (Fuente: (Griffiths, July 1981)) .................................................................................................................. 40 Tabla 5. Constantes Modelo Alfonso Ugarte S. y Rodolfo Méndez J. (Fuente: (Ugarte S & Méndez J, 1994)) .................................................................................................................... 48 Tabla 6. Coeficientes Ecuación de Resistencia. Diferentes Formas de Canal (Fuente: (Hey, April 1979))........................................................................................................................ 50 Tabla 7. Características Hidráulicas de Ríos. Reino Unido. RÁPIDAS (Fuente: (Hey, April 1979))................................................................................................................................... 52 Tabla 8. Características Hidráulicas de Ríos. Reino Unido. POZAS (Fuente: (Hey, April 1979))............................................................................................................................................ 52 Tabla 9. Características Hidráulicas de Ríos. Gran Bretaña. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.))........................................................................................................................................... 55 Tabla 10. Parámetros Sección Transversal. Gran Bretaña. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.))........................................................................................................................................... 56 Tabla 11. Número de Elementos Gruesos y Concentración en Área de Referencia. Canal de Laboratorio. (Fuente: (V. Ferro, October 1991.))................................................. 63 Tabla 12. Concentración de Rugosidad y Coeficientes C 1 y C2. Ecuación 4-94. (Fuente: (V. Ferro, October 1991.)) ......................................................................................................... 64 Tabla 13. Valores del parámetro A de la ecuación de Keulegan según (García Flores, 1996.). (Fuente: (García Flores, 1996.)) ................................................................................. 73 Tabla 14. Tabla Resumen. (Rice, Kadavy, & M., February 1998.) (Fuente: (Rice, Kadavy, & M., February 1998.) ................................................................................................. 80 Tabla 15. Resistencia al Flujo. (8/f)1/2. (Fuente: (Rice, Kadavy, & M., February 1998.).. 81 Tabla 16. Características Hidráulicas Canales de Laboratorio. (Fuente: (Ma ynord, June 1991))............................................................................................................................................ 96 Tabla 17. Valores ks = C2D. Ecuación 4-201. (Fuente: (Maynord, June 1991))............... 97 Tabla 18. Valores de C4. Ecuación 6-6. (Fuente: (Maynord, June 1991))......................... 99 Tabla 19. Datos de Campo. Resistencia al Flujo. (Fuente: (Thompson & Campbell, 1979)).......................................................................................................................................... 103 Tabla 20. Valores α y β. Rugosidad Artificial y Natural. (Fuente: (Aguirre - Pe & Fuentes, November 1990)) ...................................................................................................................... 108 Tabla 21. Valores α y β. Rugosidad Artificial y Natural. (Fuente: (Aguirre - Pe & Fuentes, November 1990)) ...................................................................................................................... 108 Tabla 22. Tamaño Eje Medio de Sedimentos. (Fuente: (Bathurst J. C., December 1978)) ..................................................................................................................................................... 133 Tabla 23. Parámetros de Geometría del Canal y Concentración de Rugosidad. (Fuente: (Bathurst J. C., December 1978)) .......................................................................................... 134 iii.

(6) MIC 2010-I-47. Tabla 24. Parámetros Ecuación 4-280. (Fuente: (Bathurst, Simons, & Li, December 1981)).......................................................................................................................................... 143 Tabla 25. Parámetros Ecuación 4-284. (Fuente: (Bathurst, Simons, & Li, December 1981)).......................................................................................................................................... 144 Tabla 26. Rangos Tamaño de Grano Oak Creek. (Fuente: (Parker, Klingeman, & McLean, April 1982.)) ............................................................................................................... 149 Tabla 27. Valores de m i y r2. (Fuente: (Parker, Klingeman, & McLean, April 1982.)).... 151 Tabla 28. Valores de m i y r2. (Fuente: (Diplas, March 1987.))........................................... 158 Tabla 29. Ecuación Logarítmica. (Fuente: (LÓPEZ ALONSO, 2005.))............................ 168 Tabla 30. Ecuación Potencial. (Fuente: (LÓPEZ ALONSO, 2005.)) ................................ 171 Tabla 31. Modificaciones de La Ley Logarítmica para Flujo Macrorugoso..................... 171 Tabla 32. Ecuación de Concentración de Rugosidad......................................................... 172 Tabla 33. Ecuaciones de Transporte..................................................................................... 172. iv.

(7) MIC 2010-I-47. LISTA DE FIGURAS Figura 1. Ilustración Fluctuaciones Turbulentas (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)). ...... 3 Figura 2. Flujo Turbulento atravesando un área elemental dA. (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)) ................................................................................................................................. 4 Figura 3. Distribución de Velocidad Vertical. Flujo Turbulento. (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)) ................................................................................................................................. 7 Figura 4. Distribución vertical típica de velocidades, concentraciones y fuerzas de corte. ....................................................................................................................................................... 18 Figura 5. Diagrama Sección Transversal. Tromie 2. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.)) ....................................................................................................................................................... 54 1/2 Figura 6. Variación de (8/f) vs d/D84. Datos Tabla 9. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.))........................................................................................................................................... 57 1/2 Figura 7. (8/f) vs d/D84 y S. Findhorn, Tweed, Ettrick, Tromie 2. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.)).................................................................................................................................. 58 Figura 8. Variación de (8/f)1/2 vs d/D50. Datos: Otros Estudios. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.)).................................................................................................................................. 59 1/2 Figura 9. Variación de (8/f) vs d/D84. Datos CSU y EPFL. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.))........................................................................................................................................... 59 1/2 Figura 10. Diagrama Cálculo (8/f) en función de d/D84. (Fuente: (Bathurst J. , April 1985.))........................................................................................................................................... 61 Figura 11. Granulometría del Lecho. Incremento Elementos Gruesos. (Fuente: (V. Ferro, October 1991.))................................................................................................................ 64 Figura 12. Profundidad de Flujo vs Caudal. (Fuente: (Rice, Kadavy, & M., February 1998.))........................................................................................................................................... 79 Figura 13. Perfil Profundidad del Lecho. Dos Diferentes Ensayos (Fuente: (Aberle J., (2003)))......................................................................................................................................... 88 Figura 14. Esquema de Flujo sobre Lecho Rugoso. (Fuente: (Aguirre - Pe & Fuentes, November 1990)) ...................................................................................................................... 106 Figura 15. Proporción Coeficiente Calculado a Coeficiente Experimental de Chezy en Material Grueso. (Fuente: (Aguirre - Pe & Fuentes, November 1990)) ........................... 107 Figura 16. Esquema Balance de Momentum para Flujo Uniforme. Canal Rectangular Ancho. (Fuente: (KATUL, WIBERG, ALBERTSON, & HORNBERGER, 2002, vol. 38, no 11)) .............................................................................................................................................. 110 Figura 17. Perfil de Velocidad. Corrientes Poco Profundas. (Fuente: (KATUL, WIBERG, ALBERTSON, & HORNBERGER, 2002, vol. 38, no 11)) .................................................. 113 1/2 Figura 18. (8/f) vs d/D84. Baja Tasa de Cambio. (Fuente: (Bathurst J. , December 2002.))......................................................................................................................................... 122 1/2 Figura 19. (8/f) vs d/D84. Baja Tasa de Cambio. (Fuente: (Bathurst J. , December 2002.))......................................................................................................................................... 122 Figura 20. (8/f)1/2 vs d/D84. Alta Tasa de Cambio. (Fuente: (Bathurst J. , December 2002.))......................................................................................................................................... 123 1/2 Figura 21. (8/f) vs d/D84. Alta Tasa de Cambio. (Fuente: (Bathurst J. , December 2002.))......................................................................................................................................... 123 Figura 22. Concentración Frontal. (Fuente: (CAO, 1985))................................................. 129 v.

(8) MIC 2010-I-47. Figura 23. Diagrama Área de Rugosidad Relativa. (Fuente: (Bathurst, Simons, & Li, December 1981)) ...................................................................................................................... 140 Figura 24. Gráfica de Wi* vs τi* para Diez Rangos de Tamaño. (Fuente: (Parker, Klingeman, & McLean, April 1982.)) ...................................................................................... 150 Figura 25. Gráfica de Semejanza de Wi* con los Rangos de Tamaño Indicados. (Fuente:b (Parker, Klingeman, & McLean, April 1982.))..................................................... 150 * *(Di / D50^0.3214) . (Fuente: (Diplas, March Figura 26. Gráfica de Semejanza de Wi vs τi 1987.))......................................................................................................................................... 159 Figura 27. Semejanza para Oak Creek (Nuevo Enfoque). (Fuente: (Diplas, March 1987.))......................................................................................................................................... 160 Figura 28. Relación Carga de Fondo Ecuación 5-46 (Línea Punteada). Relación de Einstein (Línea Sólida). (Fuente: (Diplas, March 1987.)) ................................................... 163. vi.

(9) MIC 2010-I-47. RESUMEN El interés particular en ríos de montaña surge puesto que la cordillera de los Andes que en Colombia se ramifica en tres vertientes (las cordilleras Occidental, Central y Oriental) acoge la parte más valiosa y productiva del país y es donde se desarrolla la mayoría de las actividades económicas y sociales, además de contar con la mayor concentración de población implicando el aprovechamiento múltiple y exhaustivo de los ríos en la región andina del país. Las cadenas montañosas determinan en gran parte el sistema hidrográfico colombiano. Los ríos que nacen en las vertientes del sistema andino transitan sobre las tres cadenas montañosas más importantes de Colombia. Algunos de los ríos más significativos de Colombia se originan en los nudos orográficos, como el macizo Colombiano. Los ríos que nacen en las zonas montañosas tienen una importancia determinante para el suministro de agua para el consumo humano, la producción de alimentos y la energía para la industria. Este documento constituye una aproximación al “estado de conocimiento actual” de los conceptos trabajados hasta el momento pertinentes a la resistencia hidráulica en ríos de montaña con el fin de lograr claridad conceptual referente a las formulaciones existentes. Es así como se efectúo la labor de revisar y documentar el “estado del conocimiento” principalmente de las relaciones de resistencia hidráulica en ríos de montaña, de tal forma que este trabajo y el programa computacional desarrollados sirvan como instrumento inicial para la construcción de nuevas metodologías en trabajos posteriores de evaluación de la resistencia al flujo en ríos de montaña. Este trabajo es un documento significativo de consulta que contiene un esquema global de la resistencia al flujo en ríos de montaña. El programa computacional desarrollado permitirá evaluar datos de aforos de ríos o canales de laboratorio cuyos resultados permitirán concluir rápidamente las características y el comportamiento de estos. En la primera parte de este documento se realiza una breve descripción de la justificación y antecedentes que indicaron la necesidad de la investigación. En la segunda parte de este documento se presentan los principios básicos que constituyen la base teórica necesaria para interpretar los conceptos de cada uno de los artículos científicos analizados. La tercera parte constituye el análisis de diferentes artículos que incluyen todas las formulas y la reconstrucción del origen de las fórmulas empleando los datos citados por cada uno de los autores con el fin de generar un esquema global para realizar estudios ya sea en ríos de montaña en campo o en canales de laboratorio, en los casos donde no fue posible reconstruir el origen de las fórmulas se citaron los aspectos de mayor relevancia para cada estudio específico analizado. El capítulo de transporte de sedimentos se enfoca esencialmente en el transporte de carga de fondo. Finalmente se presentan las formulas implementadas en la herramienta computacional y se suministra el manual de operación del programa. El mapeo general de las ecuaciones existentes permitió realizar la programación de cada una de las formulaciones en Visual Basic (VBA) para Excel 2003. vii.

(10) MIC 2010-I-47. 1. JUSTIFICACIÓN Y ANTECEDENTES. Los ríos tienen un gran valor ambiental y son muy vulnerables ya sea por la pérdida de su calidad (vertimientos) o por el aprovechamiento exhaustivo alterando el equilibrio morfólogico (encauzamientos), el valor ambiental de los ríos reside en la calidad y en la cantidad de agua involucrando el sostenimiento de sus rasgos físico químicos y morfológicos. Las infraestructuras que intervienen los cauces deben tratar de acondicionarse naturalmente y para ello es necesario conocer la hidráulica y el transporte de sedimentos. El conocimiento de la hidráulica de los ríos de montaña en Colombia juega un papel importante en el desarrollo del páis ya que muchas estructuras hidráulicas se han de desarrollar en zonas montañosas ya que la cordillera de los Andes que en Colombia se ramifica en tres vertientes (las cordilleras Occidental, Central y Oriental) acoge la parte más valiosa y productiva del país y es donde se desarrolla la mayoría de las actividades económicas y sociales, además de contar con la mayor concentración de población implicando el aprovechamiento múltiple y exhaustivo de los ríos en la región andina del país, revelando que la población colombiana depende de las montañas como fuente de agua dulce, productos agrícolas, energía hidroeléctrica e insumos para la industria. Los ríos de montaña en Colombia deben ser objeto de investigación intensa ya que las cadenas montañosas determinan en gran parte el sistema hidrográfico colombiano y los ríos que nacen en las vertientes del sistema andino transitan sobre las tres cadenas montañosas más importantes de Colombia, además por ser Colombia uno de los países con el mayor número de recursos hídricos en el mundo. Los ríos de montaña se definen como cursos de agua naturales de tipo permanente o intermitente que fluyen sobre una región considerada de montaña donde se presentan pendientes pronunciadas. El régimen hidrológico en los ríos de montaña es estacional y de elevada variabilidad espacial y temporal, el material del lecho es grueso en ríos de montaña por ello la estimación de la resistencia al flujo es compleja pero necesaria para el diseño efectivo de proyectos relacionados con recursos hídricos, la morfología del cauce tiene elevada variabilidad espacial y gran sensibilidad a las intervenciones en escala de cuenca. Los ríos de montaña por lo general se denominan ríos con lecho de grava o material grueso en correspondencia a que los ríos de montaña presentan partículas de tamaño importante en el lecho. (García Flores, 1996.), manifiesta que los ríos en zonas montañosas, en general, se caracterizan principalmente por la fuerte pendiente que presentan en el perfil longitudinal, de su cauce, por la relativa estrechez de sus secciones transversales y por exhibir en su lecho material grueso, como gravas, cantos y bolos. En estos cauces rugosos la pendiente es fuerte (mayor de 0.4%), el agua transita con velocidades altas y las profundidades son bajas, lo que dificulta medir directamente los caudales, ya que los elementos rugosos del lecho llegan a sobresalir del agua o son del mismo orden de magnitud de las profundidades. 1.

(11) MIC 2010-I-47. Los ríos de montaña con material grueso en el lecho se deben de diferenciar de los ríos con lecho de arena o aluviales de llanuras, los ríos aluviales presentan mayor investigación ya que los países desarrollados han desarrollado sus principales centros de poder político y económico en las zonas de las márgenes de los ríos de llanura. Por ello la hidráulica de ríos no se ha enfocado en el estudio de ríos de montaña o ríos con lecho de grava ya que estos ríos se encuentran en las zonas más altas y menos pobladas en los países desarrollados. Las formulaciones desarrolladas específicamente para ríos aluviales tanto en hidráulica y transporte de sedimentos no son aplicables a ríos de montaña de sedimentos gruesos ya que el fenómeno de resistencia hidráulica y el de transporte de sedimentos en los ríos de montaña es diferente y más complejo por la presencia de macrorugosidades en el lecho. El objetivo en la hidráulica de ríos de montaña es determinar la resistencia hidráulica al movimiento del flujo con el objeto de determinar los niveles y los caudales en los ríos que constituyen una información valiosa para cuando se presentan precipitaciones intensas que hacen que la escorrentía superficial supere la capacidad del cauce produciendo inundaciones que causan la destrucción de vidas humanas, casas, vías de transporte y cultivos. El documento intenta puntualizar los conceptos de resistencia al flujo en ríos de montaña, ya que hasta ahora no existe ninguna ecuación para determinar la velocidad media del flujo en corrientes de montaña que se encuentre en la literatura en definitiva. La razón radica en que la morfología de las corrientes de montaña la cuál es caracterizada por pendientes pronunciadas, elementos grandes en el lecho y profundidad del agua del mismo orden de magnitud del tamaño del material del lecho es compleja de modelar por ello las ecuaciones que se presentan tienen una fuerte dependencia del conjunto de datos el cual ha sido usado para derivarlas. En cuanto al transporte de sedimentos el documento se enfoca esencialmente en el transporte de sedimentos de fondo ya que en ríos de montaña puede llegar a ser hasta del 75%, siendo, además, mucho más variable a causa de la variabilidad espacial y temporal de la fuente de sedimentos. La herramienta computacional desarrollada en este trabajo permitirá realizar evaluaciones de resistencia al flujo y transporte de carga de fondo de manera rápida con el objeto de generar conclusiones para la toma objetiva de de decisiones y permitiendo entrar a analizar otros aspectos con mayor detalle.. 2.

(12) MIC 2010-I-47. 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE FLUJO TURBULENTO. 2.1. FLUCTUACIONES TURBULENTAS. ¨Si existen fluctuaciones turbulentas, es posible definir el promedio de la velocidad como: 1 u= T. t 0 +T. ∫ u (t) dt. 2-1. t0. Figura 1. Ilustración Fluctuaciones Turbulentas (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)).. donde T es el período de tiempo necesario para realizar las mediciones. Considerando la velocidad u(t) en el tiempo t, la diferencia u(t) − u es llamada la componente de fluctuación de la velocidad. Por lo tanto es posible escribir: 2-2. u = u + u´ v = v + v´ w = w + w´. 2-3 2-4. Las expresiones matemáticas que definen las componentes fluctuantes de las velocidades están dadas por las ecuaciones 2-2, 2-3, 2-4. La suma de cada una de esas fluctuaciones es cero. 1 u´ = T. t 0+ T. 1 v´ = T. t 0+ T. ∫ u´ dt = 0. 2-5. t0. 1 w´ = T. ∫ v´ dt = 0. 2-6. t0. t 0 +T. ∫ w´ dt = 0. 2-7. t0. 3.

(13) MIC 2010-I-47. Considerando que u´= 0 , u´ x u´ es diferente de cero, medida de la magnitud de la turbulencia de flujo, entonces:. u´2 ≠ 0. 2-8. v´2 ≠ 0. 2-9. w´2 ≠ 0. 2-10. Las definiciones de flujo turbulento fueron introducidas por T. M. Burguess (1948), Th. von Kármán (1948), G. I. Ta ylor (1937), H. Schlichting (1955). La descripción física del flujo turbulento es complicada y pocas ideas nuevas se han añadido a estos conceptos. 2.2. ESFUERZO DE REYNOLDS TURBULENTO. Considerando un área infinitesimal (dA) en un flujo turbulento y asumiendo un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el eje X es normal al área infinitesimal (dA) y los ejes Z y Y paralelos al elemento dA y el flujo que pasa a través de esa área con velocidad U y los componentes de la velocidad son u, v, w. La masa de fluido que pasa (dA) en un lapso de tiempo corto dt, en el cual la dirección y magnitud de la velocidad U son contantes es:. ρ=. masa → ρ ⋅ ∀ = masa ∀. Q=. ∀ = U⋅A →∀ = U⋅A⋅t t. masa = ρ U dA dt. 2-11. Figura 2. Flujo Turbulento atravesando un área elemental dA. (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)). El momento de esa masa moviéndose en la dirección X puede entonces ser evaluado como: 4.

(14) MIC 2010-I-47. cantidad de movimiento = masa x velocidad. dM x = ρ u dA dt u dM y = ρ v dA dt u. 2-12. dM z = ρ w dA dt u. 2-14. 2-13. Asumiendo que la densidad es constante, la cantidad de movimiento promedio en el tiempo es:. dM x = ρ u 2 dA. 2-15. dM y = ρ u v dA. 2-16. dM z = ρ u w dA. 2-17. Evaluar u 2 , uv , uw con respecto a las propiedades del flujo turbulento puede obtenerse sustituyendo en u, v y w en las ecuaciones 2-2, 2-3, 2-4. ( ) u v = (u + u´)⋅ (v + v´) u w = (u + u´)⋅ (w + w´) u 2 = u + u´. 2. 2-18 2-19 2-20. La ecuación 2-18 puede ser escrita como:. (. ). 2. 2. 2-21. u 2 = u + u´ = u + u´2 +2 uu' o. 2-22. 2. u 2 = u + u´2 + 2uu' Pero 2uu' es igual a cero. 2. 2-23. u 2 = u + u´2 = u 2 + u´ 2. (. )(. ). u v = u + u´ ⋅ v + v´ = u v + uv´+u´v + u' v' → u v = u v + uv´ + u´v + u' v' Si uv' = 0 y uv' = 0 2-24. u v = u v + u' v' = u v + u' v' u w = u w + u' w'. 2-25. 5.

(15) MIC 2010-I-47. Introduciendo las ecuaciones 2-23, 2-24 y 2-25 en 2-15, 2-16 y 2-17 se obtiene:. (. ). dMx = ρ u 2 + u´2 dA. 2-26. dM y = ρ u v + u' v' dA. 2-27. dM z. 2-28. ( ) = ρ (u w + u' w') dA. Como una consecuencia de la segunda ley de Newton, la variación del momento por unidad de tiempo es igual a la sumatoria de las fuerzas externas.. M = m⋅ U →. M U = m ⋅ = m a = FUERZA t t. Dividiendo esa fuerza sobre área donde actúa la fuerza se obtiene el esfuerzo:. (. ). (. ). dM x = −ρ u 2 + u´ 2 = −ρu 2 − ρu´2 dA dM y dM y = ρ (u v + u' v') dA → = −ρ (uv + u' v') = −ρu v − ρu' v' dA dM z dM z = ρ (u w + u' w') dA → = −ρ (u w + u' w') = −ρu w − ρu' w' dA dM x = ρ u 2 + u´2 dA →. 2-29 2-30 2-31. El signo negativo resulta del hecho que el esfuerzo es una reacción a la variación de la cantidad de movimiento. El primer esfuerzo dado por la ecuación 2-29, es un esfuerzo normal y los otros son esfuerzos cortantes. El valor incremental debido a la turbulencia es llamado esfuerzo de Reynolds. Reynolds en 1883 definió este concepto. Los esfuerzos de Reynolds son:. σs = −ρu' 2. 2-32. τ XY = −ρu' v'. 2-33. τ XZ = −ρ u' w'. 2-34. 2.3. VELOCIDAD DE CORTE. En hidráulica el corte en la dirección del movimiento es importante y τ XY es llamado el “esfuerzo cortante”. Si u' v' < 0 ; entonces τ XY es diferente de cero y positivo. Luego es posible escribir τ XY = ρ u´v´.. τ XY = u´v´ ρ. 2-35. 6.

(16) MIC 2010-I-47. El término. u´v´ tiene dimensiones de velocidad y es llamado velocidad de corte U *:. U* = u´v´. 2-36. y. τ XY ρ. U* =. 2-37. 2.4. TEORIA DE LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL. Prandtl (1925-1926) presentó una hipótesis para determinar la velocidad de flujo turbulento asumiendo que las fluctuaciones turbulentas están confinadas dentro de un límite definido por una longitud (l) llamada longitud de mezcla de Prandtl. El flujo que Prandtl consideró era un flujo paralelo en el cuál la velocidad solamente variaba a lo largo de las líneas de corriente. Si la dirección del flujo se asume paralela al eje X se tiene:. u = u (y), v = 0, w = 0. 2-38. De igual forma ocurre en un canal rectangular recto y en este caso:. τ XY = −ρu' v'. 2-39. y. τ XZ = 0. Figura 3. Distribución de Velocidad Vertical. Flujo Turbulento. (Fuente: (SENTURK FUAT, 1977)). 7.

(17) MIC 2010-I-47. Considerando una partícula que viaja en el cuerpo del fluido en la capa (y1 − l) , la velocidad que prevalece es u ⋅ (y1 − l ) . Esa partícula con esa velocidad llega a la capa. y1 donde la velocidad que prevalece es u ⋅ (y1 ) > u ⋅ (y1 − l ) . La diferencia de velocidades es entonces: ⎛ du ⎞ ∆u 1 = u ⋅ (y1 ) − u ⋅ (y1 − l) = l⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠1. 2-40. Ahora si se asume que una partícula de la capa. (y1 + l ). u ⋅ (y1 + l ) > u ⋅ (y1 ) . La diferencia en velocidades es entonces: ⎛ du ⎞ ∆u 2 = u ⋅ (y1 + l ) − u ⋅ (y1 ) = l⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠1. llega a la capa. (y1 ). y. 2-41. La partícula con velocidad u ⋅ (y1 − l ) puede crear en la capa y1 una fluctuación - u´ de tal manera que la velocidad en la capa y1 es siempre u , de manera contraria una partícula con velocidad u ⋅ (y1 + l ) puede crear en la misma capa una fluctuación de + u´ . Si las dos partículas llegan a la capa y1 simultáneamente entonces el tiempo promedio del el valor absoluto de esa fluctuación es: u´ =. 1 ( ∆u 1 + ∆u 2 ) ≈ l ⎛⎜⎜ du ⎞⎟⎟ 2 ⎝ dy ⎠ 1. 2-42. El posible demostrar que v´ y u´ son del mismo orden:. u´v´= − c ⋅ u´ ⋅ v´. 2-43. donde. 0< c <1. 2-44. y. ⎛ du ⎞ u´v´= − c ⋅ l ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠. 2. 2-45. 2. Combinando la constante c y l, la ecuación 2-45 resulta en:. 8.

(18) MIC 2010-I-47. ⎛ du ⎞ u´v´ = − l ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠. 2. 2. 2-46. Consecuentemente el esfuerzo cortante llega a ser:. τ XY = −ρu' v' τ XY. ⎛ du ⎞ =ρ⋅l ⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠. 2. 2. 2-47. o. τ XY = u´v´ ρ U* = u´v´ ⎛ du ⎞ τ XY = l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = U∗ ρ ⎝ dy ⎠. 2-48. donde U ∗ es la velocidad de corte en un punto en la vertical y la variación del esfuerzo cortante τ con la profundidad es:. τ = τ0 ⋅. y d. 2-49. donde τ 0 es el esfuerzo cortante en la frontera es decir en el lecho. Combinando las ecuaciones 2-37 con la ecuación 2-48 resulta:. U* =. τ XY ρ. ⎛ du ⎞ τ XY = l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = U∗ ρ ⎝ dy ⎠ U∗. 2. ⎛ du ⎞ = l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠. 2. 2-50. 2. 9.

(19) MIC 2010-I-47. Prandtl (1925 – 1926) asumió que la longitud de mezcla puede ser expresada como:. l = k⋅y. 2-51. donde k representa la constante universal definida por vón Kármán. Sustituyendo ese valor de (l) en la ecuación. ⎛ du ⎞ τ XY = l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = U∗ ρ ⎝ dy ⎠ 2. τ XY. ⎛ du ⎞ = ρ ⋅ l ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠. τ XY. ⎛ du ⎞ = ρ ⋅ k ⋅ y ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠. 2. 2. 2. 2. 2-52. o. ⎛ du ⎞ τ/ρ ⎜⎜ ⎟⎟ = ky ⎝ dy ⎠. 2-53. La ecuación 2-53 puede ser integrada obteniendo la ecuación de velocidad de Prandtl – von Kármán.. ⎛ du ⎞ τ/ρ ⎜⎜ ⎟⎟ = ky ⎝ dy ⎠ τ XY = U∗ ρ ⎛ d u ⎞ U∗ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ dy ⎠ ky ⎛ k ⋅ du ⎞ dy ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ U∗ ⎠ y ⎛ k ⋅ du ⎞ dy ∫ ⎜⎜⎝ U ∗ ⎟⎟⎠ = ∫ y 10.

(20) MIC 2010-I-47. k⋅u = lny + C U∗ U∗ ⋅ (lny + C ) k. 2-54. u 1 = ⋅ (lny + C ) U∗ k. 2-55. u= y. donde C es la constante de integración. La constante de integración puede ser determinada de las condiciones de frontera en el contorno. Pero Prandtl hace una segunda suposición que considera U ∗ como una constante produciendo una solución simple a la ecuación 2-55. Para y = h, la velocidad alcanza el valor máximo el cuál es:. u max =. U∗ ⋅ (lnh + C) k. 2-56. combinando las ecuaciones 2-55 y 2-56 se produce:. u max − u ⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡1 = ⎢ ⋅ (lnh + C )⎥ − ⎢ ⋅ (lny + C)⎥ U∗ ⎣k ⎦ ⎣k ⎦ u max − u 1 ⎛ h ⎞ = ln⎜⎜ ⎟⎟ U∗ k ⎝y⎠. 2-57. Esta es la ley universal de velocidad propuesta por Prandtl. La distribución de velocidad en un flujo turbulento está dada por la ecuación 2-55. La constante c se determina cuando y = y0 , y corresponde a la distancia donde el flujo turbulento no es válido, entonces:. u 1 = ⋅ (lny + C ) U∗ k Si u = 0 → y = y 0. 0=. 1 1 ⋅ (ln y 0 + C) → C = − ⋅ (ln y0 ) k k. 11.

(21) MIC 2010-I-47. u 1 1 = ln y - ln y 0 U∗ k k. 2-58. o. u 1 y = ln U ∗ k y0. 2-59. 2.5. DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN y0 Si y0 es influenciado por las condiciones límite, la determinación de este está afectado por la naturaleza del contorno. 2.5.1. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN y0 PARA CONTORNO LISO. La distancia y0 es del orden de magnitud del espesor de la subcapa laminar. Usando un argumento dimensional se puede decir que la distancia y0 es proporcional a la relación v/U∗ donde v es la viscosidad cinemática y U ∗ es la velocidad de corte. La dimensión de y0 es una longitud. Se asume que: m2 m⋅v y0 = = s =m m U∗ s. m=. U∗ ⋅ y 0 v. 2-60. Este es un número adimensional que tiene la forma del número de Reynolds, este es llamado generalmente “número de Reynolds de la velocidad de corte”. El coeficiente de proporcionalidad era en principio definido por von Kármán como la longitud de fricción “m” y está es una característica de la transición entre flujo laminar y turbulento. Sustituyendo el valor de y0 en la ecuación 2-59 produce:. u 1 y ⋅ U∗ 1 ⎛ y ⋅ U∗ 1⎞ 1 ⎛ y ⋅ U∗ ⎞ = ln = ⎜ ln + ln ⎟ = a s + ⎜ ln ⎟ U∗ k mv k⎝ v m⎠ k⎝ v ⎠ as =. 1 1 ln k m. 2-61. 2-62. (k) es la constante universal de vón Kármán. Experimentos realizados por Nikuradse muestran que k es igual a aproximadamente 0.40, La ecuación 2-61 puede ser reescrita como: 12.

(22) MIC 2010-I-47. u 2.3⎛ y⋅ U∗ ⎞ y ⋅ U∗ ⎞ ⎛ = as + ⎜ log ⎟ = a s + 5.75⎜log ⎟ U∗ 0.4 ⎝ v ⎠ v ⎠ ⎝. 2-63. y. as =. 1 1 ln k m. a s ⋅ k = ln. 1 → a s ⋅ k = ln1 - ln m = a s ⋅ k = - ln m → − a s ⋅ k = ln m m. m = e - as k. 2-64. Los experimentos de Nikuradse produjeron la expresión:. u ⎛ y ⋅ U∗ ⎞ = 5.5 + 5.75 log ⎜ ⎟ U∗ ⎝ v ⎠. 2-65. Está relación es solamente válida para tubos circulares con contorno liso. Las ecuaciones 2-63 y 2-64 producen:. as =. 2.3 1 1 1 log = 5.75 ⋅ log = 5.5 → log = 0.96 → log(1)− log m = 0.96 → log (m) = - 0.96 m m m 0.4. m = 10 − 0.96 =. 1 9. 2-66. Combinando la ecuación 2-66 y la ecuación 2-60 se obtiene:. 1 U∗ ⋅ y0 = 9 v y0 =. 1 v 9 U∗. 2-67. v 1 de . Esto proporciona un criterio para 9 U* evaluar y comparar las diferentes características de la capa del contorno como una v función de . U* La distancia y0 se puede determinar como. 13.

(23) MIC 2010-I-47. 2.5.2. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN y0 PARA CONTORNO RUGOSO. La diferencia entre contorno liso y contorno rugoso es solamente en la altura de la rugosidad. Introduciendo la altura de la rugosidad ks como una entidad dimensional, el análisis dimensional nos da:. U ∗ ⋅ y0 ⎛U ⋅k ⎞ =f⎜ ∗ s ⎟ v ⎝ v ⎠. 2-68. Reemplazando la ecuación 2-68 en 2-59 produce:. ⎛U ⋅k ⎞ v yo = f ⎜ ∗ s ⎟ ⋅ ⎝ v ⎠ U∗ u 1 y u 1 y ⋅ U∗ 1 = ln = = ln ⋅ U ∗ k y0 U∗ k v ⎛U ⋅k ⎞ f⎜ ∗ s ⎟ ⎝ v ⎠. 2-69. o. u 1 y ⋅ U∗ 1 ⎛U ⋅k ⎞ = ln − ln f ⎜ ∗ s ⎟ U∗ k v k ⎝ v ⎠. 2-70. Esta es la ecuación de la distribución de velocidades de flujo en una tubería de contorno rugoso. La ecuación 2-70 puede también ser escrita en la forma:. u 1 y ⋅ U∗ = a r + ln U∗ k v o. 2.3 y ⋅ U∗ u = ar + log U∗ k v. 2-71. donde. 1 ⎛U ⋅k ⎞ a r = − ln f ⎜ ∗ s ⎟ k ⎝ v ⎠. 2-72. y 14.

(24) MIC 2010-I-47. ⎛ U ⋅k ⎞ −k a f⎜ ∗ s ⎟ = e r v ⎝ ⎠. 2-73. Nikuradse mostró experimentalmente que para:. •. U ∗ ⋅ ks ≤ 3.63 - 5 v. a r = 5.5 Pero 5.5 es característico de contorno liso, entonces la ecuación 2-65 es válida para contorno rugoso!. Físicamente cuando el espesor de la capa laminar es suficiente para cubrir por completo la altura del contorno rugoso este se comporta como contorno liso.. •. U ∗ ⋅ ks ≥ 68 - 70 v. a r = 8.5 − 2.5 ln. ks ⋅ U ∗ k ⋅U = 8.5 − 5.75 log s ∗ v v. 2-74. o. u 2.3 y ⋅ U∗ = ar + log U∗ k v y ⋅ U∗ u k ⋅U = 8.5 − 5.75 log s ∗ + 5.75 log U∗ v v. 2-75. y y ⋅ U∗ u = 8.5 + 5.75 log v ks ⋅ U ∗ U∗ v. y u = 8.5 + 5.75 log U∗ ks. 2-76. La ecuación 2-76 es la relación de distribución de velocidad para contorno rugoso. Se puede escribir como:. 15.

(25) MIC 2010-I-47. y⋅ U ∗ u = a r + 5.75 log U∗ v. 2-77. Está tiene la misma forma de la ecuación 2-63 y la distribución de velocidad parece ser una función del número de Reynolds de la velocidad de corte, Re *. En la ecuación 2-77 U* es constante y u varía con y. Cuando y es igual a y0, u puede ser igual a u0 lo cual es aproximadamente igual a la velocidad del flujo en la región de transición. El valor de u0 puede ser calculado como:. u0 y ⋅U = a r + 5.75 log 0 ∗ = a r + 5.75 log f U∗ v. ⎛ ks ⋅ U ∗ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ v ⎠. 2-78. Sustituyendo el valor de ar de la ecuación 2-72, con k = 0.4:. 1 2.3 ⎛U ⋅k ⎞ ⎛U ⋅k ⎞ ⎛ U ⋅k ⎞ a r = − ln f ⎜ ∗ s ⎟ = − log f ⎜ ∗ s ⎟ = −5.75 log f ⎜ ∗ s ⎟ k 0.4 ⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠ u0 ⎛U ⋅k ⎞ ⎛k ⋅U ⎞ = −5.75 log f ⎜ ∗ s ⎟ + 5.75 log f ⎜ s ∗ ⎟ = 0 U∗ ⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠. 2-79. u0 = 0 Esa hipótesis es hecha previamente y esto chequea la validez de la hipótesis básica. En la frontera en que se divide el flujo laminar y turbulento, U* (velocidad de corte) puede ser del mismo orden de velocidad tanto en la subcapa laminar como en la capa del contorno turbulento. Entonces,. y u = 8.5 + 5.75 log = 1 U∗ ks. 2-80. y − 7.5 u = log = = −1.30 U∗ k s 5.75 o. y = 10 −1.30 = 0.0496 = 0.05 ks Eso significa: 16.

(26) MIC 2010-I-47. ks =. 1 ⋅ y = 20 ⋅ y 0.05. Dado que u0 = 0, entonces:. u y y y 1 − 8.5 = 8.5 + 5.75 log = 0 → log 0 = → 0 = 10 −1 .5 = U∗ ks k s 5.75 ks 30.1 y0 =. ks 30.1. 2-81. ¨(SENTURK FUAT, 1977) De acuerdo con la teoría de longitud de mezcla de Prandtl, la distribución de velocidad es la siguiente tanto para contorno liso, como para contorno rugoso:. u ⎛ y ⋅ U∗ ⎞ = 5.5 + 5.75 log ⎜ ⎟ U∗ ⎝ v ⎠. (CONTORNO LISO) 2-82. y u = 8.5 + 5.75 log U∗ ks. (CONTORNO RUGOSO) 2-83. 3. ECUACIONES DE FLUJO UNIFORME A efectos prácticos de relacionar la velocidad media de la sección de un cauce (o el caudal circulante) con su geometría hidráulica en flujo uniforme puede acudirse a fórmulas con origen semiempírico, aunque fundamentadas teóricamente que se denominan ecuaciones de flujo uniforme. La estructura general de este tipo de ecuaciones es:. u = α ⋅ R X ⋅ SY. 3-1. Donde α es el coeficiente de resistencia, R es el radio hidráulico de la sección, S es la pendiente longitudinal de la línea de energía y X e Y son coeficientes. El coeficiente de resistencia es una medida que refleja el comportamiento dinámico, expresable en energía o en cantidad de movimiento, del contorno al resistir el flujo del fluido. A continuación se exponen las tres ecuaciones de flujo uniforme más difundidas, ecuaciones de Chezy, Manning y Darcy-Weisbach. La relación obtenida experimentalmente por Chezy es:. τ = K ⋅ u2. 3-2. 17.

(27) MIC 2010-I-47. donde τ la tensión de corte media que actúa en el contorno del cauce, K un coeficiente de proporcionalidad y u la velocidad media del flujo en la sección. Por otra parte se tiene que:. d. uy. τy. cy y. Figura 4. Distribución vertical típica de velocidades, concentraciones y fuerzas de corte.. La distribución vertical del esfuerzo de corte, en un canal muy ancho con flujo bidimensional, se describe mediante la siguiente ecuación:. τ Y = γ ⋅ (d − y ) ⋅ S. 3-3. y es la distancia del fondo a la que se está calculando el esfuerzo de corte τ Y , el que obviamente es variable con la distancia del fondo. El esfuerzo de corte sobre el fondo corresponde a la condición y = 0 y constituye su valor máximo. Se designa como τ 0 .. τ0 = γ ⋅ d ⋅S. 3-4. En la superficie, para y = d , el corte es cero. Dentro de los dos extremos mencionados la variación es lineal. Ver Figura 4. En una sección transversal de forma cualquiera el esfuerzo de corte sobre el fondo es:. τ0 = γ ⋅ R ⋅S. 3-5. donde γ es el peso específico del agua. Igualando las ecuaciones 3-2 y 3-5 y despejando u se obtiene la fórmula de Chezy. 18.

(28) MIC 2010-I-47. τ = K ⋅ u2 τ = γ ⋅ R ⋅S K ⋅ u2 = γ ⋅ R ⋅S → u 2 =. γ ⋅ R ⋅S K 3-6. u = C⋅ R ⋅ S donde C designa el denominado coeficiente de Chezy, siendo C =. γ . K. La fórmula de Manning, seguramente la ecuación de resistencia más aplicada en ingeniería, en el Sistema Internacional se expresa como:. u=. 1 2/3 1/2 ⋅ R ⋅S n. 3-7. siendo n el coeficiente de Manning. La fórmula de Darcy - Weisbach originalmente desarrollada para flujo en tuberías es de la forma:. L u2 hf = f ⋅ D 2⋅g. 3-8. donde hf es la pérdida de energía hidráulica por fricción, f el factor de fricción de DarcyWeisbach, L la longitud de la tubería, D el diámetro de la tubería, u la velocidad media y g la constante de aceleración de la gravedad. En cauces de lámina libre la ecuación equivalente se obtiene imponiendo D = 4 ⋅ R y S = h f L (donde R es el radio hidráulico y S la pendiente de la línea de energía).. D =4⋅R S=. hf L. hf 1 u2 S ⋅8 ⋅R ⋅ g =f ⋅ → = u2 L 4 ⋅R 2 ⋅g f u=. 8 ⋅ g ⋅ R ⋅S f. 3-9. 19.

(29) MIC 2010-I-47. De la ecuación 3-5 podemos decir que:. τ0 = γ ⋅ R ⋅S → τ0 = ρ⋅ g ⋅ R ⋅S →. τ0 = g ⋅ R ⋅S ρ. A la relación entre el esfuerzo de corte sobre el fondo y la densidad del fluido, elevada a la potencia de un medio, que es dimensionalmente una velocidad, se le designa convencionalmente como velocidad de corte U *.. N Kg ⋅ m τ 0 m2 m 2 ⋅ s 2 m2 Si = 2 = U ∗ 2 = g ⋅ R ⋅ S → U∗ = g ⋅ R ⋅ S = = Kg Kg ρ s m3 m3 Si U*, siendo U* la denominada velocidad de corte, la ecuación de Chezy puede escribirse como:. u = C⋅ R⋅S →. u C ⋅ R ⋅S C u = = = U∗ g⋅R⋅S g g ⋅R ⋅S. 3-10. la ecuación de Manning como:. u=. 1 2/3 1/2 u R 2/3 ⋅ S1/2 R 2/3 ⋅ R −1/2 R1/6 u ⋅ R ⋅S → = = = = n U∗ n ⋅ g ⋅ R ⋅S n⋅ g n⋅ g g ⋅ R ⋅S. u R 1/6 u = = U∗ n ⋅ g g ⋅ R ⋅S. 3-11. y la ecuación de Darcy – Weisbach como:. u=. 8 ⋅ g ⋅ R ⋅S f. u 8 u = = U∗ f g ⋅ R ⋅S. 3-12. (ARTURO, 1998). 20.

(30) MIC 2010-I-47. 4. ECUACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO EN RÍOS DE MONTAÑA A continuación se presenta una síntesis de las principales fórmulas que describen la resistencia al flujo en ríos de montaña clasificándolas según el tipo, esta clasificación es propuesta por (LÓPEZ ALONSO, 2005.). ECUACIÓN LOGARÍTMICA. R d 50. R d 84. Limerinos (1970) Charlton et al. (1978) Bray (1979) Griff iths (1981) Graf (1984) Cao (1985) A Cao (1985) B Cao (1985) C Blodgett (1986) Maresov a y Mares (1989) Ugarte y Méndez (1994). Leopold et al. (1964) Limerinos (1970) Hey (1979) Bathurst (1985) Ferro y Giordano (1991) Ugarte y Méndez (1994) García (1996) A García (1996) B Knighton (1998) Rice et al. (1998) Papanicolaou y Maxwell (2000) Lee y Ferguson (2002) Aberle y Smart (2003) López y Barragán (2003). R d 90 Kellerhals (1967) Charlton et al. (1978) A Charlton et al. (1978) B Bray (1979) Ferro y Giordano (1991) May nord (1991). MODIFICACIONES DE LA LEY LOGARÍTMICA PARA FLUJO MACRORUGOSO. R d 50 Thompson y Campbell (1979) Aguirre – Pe y Fuentes (1990). R d 84 Katul et al. (2002) Lee y Ferguson (2002) López y Barragán (2003) A López y Barragán (2003) B. ECUACIÓN POTENCIAL. R d 50 Strickler (1923) Anderson et al. (1970) Charlton et al. (1978) Bray (1979) Griff iths (1981) Cao (1985) A Cao (1985) B. R d 84 Bathurst (2002) A Bathurst (2002) B Lee y Ferguson (2002) Smart (2002) López y Barragán (2003). R d 90 Mey er-Peter y Müller (1948) Kellerhals (1967) Charlton et al. (1978) A Charlton et al. (1978) B Charlton et al. (1978) C Charlton et al. (1978) D Bray (1979) Bruschin (1982) May nord (1991) Ho y Huang (1992). ECUACIÓN DE CONCENTRACIÓN DE RUGOSIDAD. ECUACIÓN DE BATHURST (1978, 1982-b) 21.

(31) MIC 2010-I-47. R d 50. R d 84. R d 90. Bathurst, J. C. (1978). Bathurst, J.C., Li, R.M y Simons, D.B. (1981).. Las síntesis de los artículos científicos que se presentan a continuación intentan detallar los conceptos que diferentes autores han empleado para desarrollar formulaciones de resistencia al flujo en ríos de montaña, los estudios que se presentan son un intento por concentrar en un solo documento los conceptos más importantes referentes a la resistencia hidráulica en ríos de montaña. 4.1. Determination of the Manning Coefficient From Measured Bed Roughness in Natural Channels. (Limerinos, 1970) (Limerinos, 1970), empleo la información de 11 corrientes de ríos con lechos de grava en California cuyos datos se muestran en la Tabla 1 y desarrollo las expresiones 4-1 y 4-2 usando el diámetro intermedio para calcular el coeficiente de rugosidad de Manning.. n 0.0926 = 1/6 R R 0.35 + 2 log D50. 4-1. n 0.0926 = 1/6 R R 1.16 + 2 log D84. 4-2. Las ecuaciones 4-1 y 4-2 se convierten en la ecuación 4-5 y 4-6 respectivamente, el procedimiento de transformación se detalla paso a paso a continuación. La ecuación de Manning en unidades del sistema inglés es:. u=. 1.486 2/3 1/2 ⋅R ⋅ S n. 4-3. Empleando la ecuación de Manning en unidades del sistema inglés ecuación 4-3 y U *, siendo U* la denominada velocidad de corte, la ecuación de Manning puede escribirse como:. 1.486 2/3 1/2 ⋅R ⋅S 1.486 R 1/6 8 0.0926 R 1/6 1 u n = = → = = f n U* g ⋅R ⋅S n⋅ g f. 22. 4-4.

(32) MIC 2010-I-47. La ecuación 4-4 resultante se aplica a la ecuación 4-1 y 4-2 y las ecuaciones resultantes son la ecuación 4-5 y 4-6.. 8 = f. 0.35 + 2 log 0.0926. 8 ⎛ R = 5.7 log⎜⎜ f ⎝ D50. 8 = f. 1.16 + 2 log. ⋅ 8 ⋅ 0.0926. ⎞ ⎟⎟ + 0.99 ⎠ R D 84. 0.0926. 8 ⎛ R = 5.7 log⎜⎜ f ⎝ D84. Nº. R D50. 4-5. ⋅ 8 ⋅ 0.0926. ⎞ ⎟⎟ + 3.28 ⎠. Lo calización. 1 2 1 Austin Creek near C aza dero.. 2 Cache C reek at Yolo.. 4-6. Áre a de Drenaje (sq mi) 3 63.1. 1138. 3 Midd le Fork Eel R iver be low Black Butte River. 367. 4 Kaweah R iver a t Thre e Rivers. 418. 5 King s R iver below No rth Fork. 1342. 6 Merced R iver be low N orth Fork. ------------. Longitud de Caudal Corriente (ft) 4 288 290.5 295 303 279 279 279 309.5 309.5. cfs 5 5 050 1 370 853 672 2 180 944 277 9 000 1 350. 372 372 372 531 533 533 536 248 256 256 248 254 248 248. 1 050 869 405 3 690 3 660 3 200 2 440 1 340 1 840 1 650 983 1 170 666 622. 23. R adio Hidráulico (ft) 6. Coeficiente R ugosidad Manning. ft. ft. ft. 5.9 2.7 2 .0 1 1 .8 8 4 .2 5 2 .6 2 1 .0 2 4 .8 8 1 .5 4. n 7 0.03 6 0.03 6 0.03 6 0.03 8 0.0 2 0.02 2 0.02 3 0.03 5 0.04 3. D16 8 0.026 0.026 0.026 0.026 0.09 0.09 0.09 0.018 0.018. D50 9 0.056 0.056 0.056 0.056 0.024 0.024 0.024 0.078 0.078. D84 10 0.125 0.125 0.125 0.125 0.062 0.062 0.062 0.34 0.34. 2 .1 4 1 .9 4 1 .4 5 3.7 3 .5 6 3 .4 9 3.4 3 .6 2 3.6 3 .4 8 3 .1 8 2 .9 6 2 .6 8 2 .6 3. 0.07 1 0.06 7 0.08 3 0.06 4 0.05 9 0.06 4 0.06 6 0.04 4 0.03 5 0.03 6 0.05 2 0.0 5 0.06 8 0.06 4. 0.15 0.15 0.15 0.19 0.19 0.19 0.19 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22. 0.52 0.52 0.52 0.53 0.53 0.53 0.53 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4. 1.37 1.37 1.37 1.13 1.13 1.13 1.13 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71.

(33) MIC 2010-I-47. Nº. Lo calización. 1 2 7 Merced R iver at H appy Isles brid ge. Áre a de Drenaje (sq mi) 3 181. 8 Outlet C reek near Longvale. 161. 9 Midd le Fork Smith R iver at Gasquet. 130. 10 Van Duzen R iver nea r Bridgeville 11 Van Duzen R iver nea r Dinsmores. 216 85.1. Longitud de Caudal Corriente (ft) 4 180 200 220 220 216.5 221 220 221 221 221 221 243.5 242 137.5 242 250 241 243 239.5 241 253 254 256 304 313 313 313.5. cfs 5 1 950 1 950 1 990 1 840 1 650 1 340 1 170 983 666 622 211 15 200 4 420 5 640 1 200 1 210 1 610 1 130 542 348 3 000 1 950 1 570 1 840 5 310 3 570 2 510. R adio Hidráulico. Coeficiente R ugosidad Manning. ft. (ft) 6. n 7. D16 8. 4 .3 8 3 .9 3 3 .7 4 3 .2 8 3 .0 8 3 .0 3 2 .8 9 2 .6 8 2 .4 7 2 .2 5 1 .5 8 1 0.9 7 .3 8 6 3 .9 7 3 .8 9 3 .3 5 3.2 3 .0 6 2 .5 7 3 .9 2 3 .3 2 3 .0 1 2 .7 6 5 .2 7 4 .5 2 3.6. 0.0 6 0.06 8 0.06 7 0.0 6 0.05 8 0.06 5 0.06 6 0.0 7 0.08 7 0.07 4 0 .1 0.03 3 0.03 6 0.03 5 0.02 9 0.02 8 0.02 8 0.02 5 0.03 6 0.03 8 0.04 2 0.04 4 0.04 7 0.03 9 0.08 8 0.10 7 0.09 8. 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.21 0.21 0.21 0.15 0.098 0.098 0.098. ft D50 9 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.51 0.51 0.51 0.37 0.5 0.5 0.5. ft D84 10 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 1.21 1.21 1.21 0.9 2.45 2.45 2.45. Tabla 1. Características Hidráulicas de Ríos. California (EUA). (Fuente: (Limerinos, 1970)). 4.2. Estimating Average Velocity in Gravel-Bed Rivers. (Bray, September 1979) La Tabla 2 presenta las características hidráulicas para diferentes ríos de Alberta (Canadá) presentados en el documento de (Bray, September 1979). Las características hidráulicas se adquirieron bajo las siguientes condiciones: -. Corrientes de ríos naturales con lechos de grava donde el nivel del cauce corresponde a caudales altos.. -. Transporte de material de lecho mínimo o nulo.. -. Vegetación insignificante en el lecho del canal.. -. Formas características del lecho no dominantes.. Los datos de la Tabla 2 se obtuvieron de 67 corrientes de ríos naturales con lecho de grava, cada uno de los datos de la Tabla 2 emplea las siguientes metodologías para cuantificarse. 3 El caudal Q en [ft /s] para cada aforo presentado en la Tabla 2 corresponde al caudal pico con período de retorno de 2 años.. 24.

(34) MIC 2010-I-47. La longitud del tramo es aproximadamente 10 veces el ancho W [ft] de la sección transversal. Normalmente fueron empleadas de 7 a 10 secciones transversales para caracterizar las propiedades de la sección transversal promedio. El área corresponde al área de la sección transversal promedio perpendicular a la dirección del flujo. El ancho promedio superficial de la sección transversal del canal en la superficie libre es W [ft], que corresponde al caudal para flujo uniforme permanente. El radio hidráulico Rh es la relación del área mojada con respecto a su perímetro mojado, se sustituye por la profundidad media, d, la cuál se define como el cociente entre el área promedio de la sección transversal, A [ft2 ], y el ancho de la superficie del agua, W [ft]. Para las corrientes de ríos naturales con lecho de grava empleadas en este estudio la profundidad media no es más que un 3% mayor que el radio hidráulico R h. S es la pendiente de la línea de energía, se toma como el promedio de la medición de la pendiente de la superficie de agua a lo largo del eje medio del canal definido para la corriente del río, se supone debe ser igual a la pendiente promedio de la línea de energía. La sinuosidad se estima de mediciones planimétricas hechas sobre mapas y fotografías aéreas y es considerada una evaluación aproximada. Los tamaños D50, D65 y D90 se basan en la distribución para el eje intermedio. El tamaño D84 se calcula por interpolación logarítmica entre los tamaños D 65 y D90, en base a la distribución de tamaños del material del lecho. La viscosidad cinemática, v, del agua es estimada usando la temperatura anual promedio para la corriente de río en estudio. Sequ ence Number. Re ach Number. 1. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. River Name. 1 2 3 8 9 10 12 13 18 9 20 21 22 24 26. 3 Peace River Peace River Peace River Smoky River Wa piti Ri ver Littl e Smoky River Athabasca River Athabasca River Wi ldhay River McLeod River McLeod River Wo lf Creek Freeman Ri ver Pembin a River Paddle River. Caud al Q [ft³/s] 4 5 of Hudso n Hope (Bri ti sh Columbia) 2150 00 near Taylo r (Bri ti sh Columbia) 2550 00 at Dunvegan 2900 00 at Watino 8500 0 near G rande Prairi e 2950 0 near Guy 2400 0 at Jasper 1600 0 at Hi nton 3200 0 near Hi nto n 17 00 above Emb arras River 56 00 near Wol f Creek 1080 0 at Highway No. 16 10 00 near Fort Assi niboin e 28 00 near Entwistl e 55 00 near Rochfort Bri dge 10 00 Locati on of Reach. 25. Área Ancho Profundidad Pe ndiente Si nuosidad A W d S [ft²] [ft] [ft] 6 7 8 9 10 25580 155 9 16.4 0.00074 1.01 40100 178 7 22.4 0.00069 1.01 35000 154 0 22.7 0.00022 1.04 12300 89 0 13.8 0.00052 1.30 4800 55 2 8.70 0.00051 1.10 3000 32 6 9.20 0.00094 1.70 2150 37 7 5.70 0.0030 1.10 5320 62 7 8.48 0.00092 1.00 370 13 0 2.85 0.0054 1.20 1500 22 1 6.79 0.0012 2.00 1980 36 3 5.45 0.00084 1.80 423 96 4.41 0.00055 2.40 660 19 9 3.32 0.0033 1.80 1250 22 5 5.56 0.0018 2.10 198 56 3.54 0.0039 1.50. D50 [mm] 11 46 41 53 80 48 73 60 43 42 86 42 51 70 58 46. LECHO D65 [mm] 12 53 57 70 112 62 100 82 56 51 153 51 62 83 79 54. D90 [mm] 13 81 81 127 171 94 183 132 86 78 375 83 95 138 125 76. Vi scosid ad cinemáti ca -6 [ft²/s] x 10 14 15.4 14.1 14.1 14.1 14.1 14.1 16.6 15.4 15.4 14.1 14.1 14.1 15.4 14.1 14.1.

(35) MIC 2010-I-47. Sequ ence Number. Re ach Number. 1. 2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67. 35 36 37 40 41 42 48 49 50 52 53 56 57 62 63 64 65 66 67 71 73 74 77 78 79 81 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 95 96 97 100 101 103 104 106 107 108 109 110 113 115 116. River Name. Locati on of Reach. 3 North Saskatchewan Ri ve r North Saskatchewan Ri ve r North Saskatchewan Ri ve r Clearwater Ri ver Clearwater Ri ver Pra irie Creek Red Deer River Red Deer River Red Deer River Littl e Red Deer River Littl e Red Deer River Kneehil ls Creek Rosebud River Bow River Bow River Bow River Bow River Bow River Pipeston e River Kananaski s River Jumpi ngpound Creek Elbow Ri ve r Highwood River Highwood River Highwood River Stimson Creek Sheep Ri ve r Sheep Ri ve r Ol dman River Ol dman River Ol dman River Ol dman River Ol dman River Ol dman River Ol dman River Crowsn et River Crowsn et River Castl e Ri ver Pincher Creek Wi llow Creek Belly River Belly River Wa terton Ri ver Wa terton Ri ver Drywoo d Creek St. Mary River St. Mary River Lee Creek Mi lk Ri ve r Bow River Sturgeon River Lobsti ck River. 4 at Saunde rs ne ar Rocky Mo untai n House at Ed monton above Limestone Creek ne ar Rocky Mo untai n House ne ar Rocky Mo untai n House near Sund re at Re d Deer at Drumhel ler near Water Vall ey near the Mouth ne ar Drumhe ller at Redla nd near Seeb e be low G host Dam at Calgary bel ow Carseland Dam bel ow Bassano Dam near Lake Loui se near Seeb e near Jumpingpou nd at Brag g Creek at Diebel 's Ranch at Brown's Ranch near Aldersyde near Pe ki sko at Bl ack Diamond at Okoto ts near Wal dron's Corner near Co wl ey near Brocket ne ar Fo rt McLeod near Mo narch near L ethbri dge near the Mouth at F rank near Lundbreck near Co wl ey at Pi ncher Creek near Claresholm near Mountain Vi ew near Stand Off near Waterton Park near Stand Off near Twin Bu tte at Intern ati onal Boun dary near L ethbri dge at Cardsto n at Milk River at La ke Loui se nea r Fort Saskatchewan near Styal. Caud al Área Ancho Profundidad Pe ndiente Si nuosidad Q A W d S [ft³/s] [ft²] [ft] [ft] 5 6 7 8 9 10 1700 0 2430 31 1 7.81 0.0026 1.10 2440 0 2900 49 5 5.86 0.0025 1.10 4200 0 6700 60 1 11.1 0.00035 1.40 30 00 425 13 2 3.22 0.0057 1.20 44 00 940 20 6 4.56 0.0012 1.20 10 00 250 86 2.91 0.0036 1.40 60 00 940 23 5 4.00 0.0049 1.04 1200 0 2200 36 7 5.99 0.0012 1.40 1240 0 2750 36 5 7.53 0.00035 1.10 10 00 255 87 2.93 0.0036 1.10 16 00 385 14 0 2.75 0.0021 1.20 47 0 116 47 2.47 0.0018 1.50 37 0 196 53 3.70 0.0012 1.30 1300 0 1621 31 0 5.23 0.0042 1.10 1110 0 1600 34 1 4.69 0.0020 1.10 1550 0 2300 41 2 5.58 0.0018 1.10 1700 0 2750 52 6 5.23 0.0012 1.02 2650 0 4310 54 3 7.94 0.00081 1.16 14 00 220 92 2.39 0 .015 1.10 28 50 493 12 3 4.01 0.0058 1.10 84 0 200 86 2.33 0.0025 1.15 18 60 280 11 6 2.41 0.0077 1.10 26 00 380 12 2 3.11 0.0059 1.09 33 00 473 17 0 2.78 0.0042 1.20 39 00 855 20 9 4.09 0.0016 1.70 34 0 103 55 1.87 0.0043 1.60 16 50 290 15 3 1.90 0.0059 1.30 23 00 370 14 9 2.48 0.0038 1.30 37 00 530 14 8 3.58 0.0038 1.30 36 00 479 14 6 3.28 0.0046 1.20 80 00 2250 38 0 5.92 0.0016 1.30 1000 0 1870 36 0 5.19 0.0017 1.20 1460 0 2250 35 8 6.28 0.0012 1.40 2000 0 3320 39 0 8.51 0.00094 1.40 3150 0 5100 59 0 8.64 0.00044 1.30 11 50 277 92 3.01 0.0024 1.20 12 00 259 90 2.88 0.0032 1.20 45 00 685 18 7 3.66 0.0037 1.70 43 5 149 61 2.44 0.0067 1.40 10 50 280 90 3.11 0.00080 1.70 16 50 306 94 3.26 0.0085 1.50 24 00 560 18 0 3.11 0.0019 1.20 42 00 791 24 6 3.22 0.0019 1.20 54 00 1260 31 1 4.05 0.0025 1.30 19 5 68 47 1.45 0 .011 1.40 39 00 530 15 1 3.51 0.0041 1.40 35 00 1020 29 7 3.43 0.0020 1.80 38 0 86 52 1.65 0.0051 1.40 16 50 450 12 0 3.75 0.00059 1.90 19 00 380 14 4 2.64 0.0035 1.01 65 0 217 68 3.19 0.0010 1.20 62 0 235 71 3.31 0.0014 1.90. D50 [mm] 11 11 7 63 31 27 27 43 28 48 38 63 47 42 51 14 0 33 40 26 32 14 5 30 30 41 37 57 55 39 43 31 86 80 43 49 30 40 67 45 96 79 78 23 10 0 30 11 5 46 52 95 63 47 19 89 35 66. LECHO D65 [mm] 12 191 79 40 37 31 51 34 60 49 77 58 50 70 192 39 47 35 42 200 38 40 53 48 70 62 47 59 37 115 121 52 61 34 53 93 58 118 113 119 29 124 35 143 53 86 128 98 54 25 115 46 80. D90 [mm] 13 319 127 70 100 49 66 60 95 83 127 105 89 147 318 56 65 72 73 323 60 80 160 75 104 101 72 105 67 189 216 87 101 60 90 148 84 177 202 202 45 232 51 248 77 138 208 171 79 36 168 103 109. Vi scosid ad cinemáti ca -6 [ft²/s] x 10 14 15.4 14.1 14.1 15.4 14.1 14.1 15.4 14.1 14.1 15.4 14.1 14.1 14.1 15.4 15.4 14.1 14.1 14.1 16.6 15.4 15.4 15.4 15.4 15.4 14.1 15.4 15.4 14.1 15.4 15.4 14.1 14.1 14.1 14.1 14.1 16.6 15.4 15.4 14.1 14.1 15.4 14.1 15.4 14.1 15.4 15.4 14.1 14.1 14.1 16.6 14.1 14.1. Tabla 2. Características Hidráulicas de Ríos. Alberta (Canadá). (Fuente: (Bray, September 1979)). (Bray, September 1979), reúne cuatro métodos para calcular la velocidad promedio, la ecuación de Manning, la ecuación de Keulegan o semilogarítmica, la ecuación potencial y la ecuación de Lacey. En la ecuación de Manning es necesario determinar el coeficiente de rugosidad de Manning y para ello (Bray, September 1979) cita la metodología de Strickler y la metodología de Limerinos presentada en la sección 0. El ajuste estadístico de los datos de la Tabla 2 a los métodos de Strickler, Limerinos Keulegan, Potencial y Lacey originará las ecuaciones propuestas por (Bray, September 1979). 4.2.1. Ecuación de Manning.. u=. 1 2/3 1/2 ⋅d ⋅S n. 4-7. 26.

(36) MIC 2010-I-47. La ecuación de Manning es la ecuación 4-7 donde: u:. Velocidad promedio en m/s.. d:. Profundidad media [m] (se aproxima al radio hidráulico).. S:. Pendiente promedio de la superficie de agua en la corriente (se aproxima a la pendiente de la línea de energía).. n:. Coeficiente de rugosidad de Manning. (Bray, September 1979), emplea el método de Strickler y el Método de Limerinos.. 4.2.1.1. Método de Strickler. La forma de la expresión según Strickler para calcular el coeficiente de rugosidad de la ecuación de Manning es la ecuación 4-8.. n = a ⋅ Dg 1 / 6. 4-8. a:. Coeficiente.. Dg:. Tamaño característico del material del lecho.. La expresión 4-9 que emplea el D 50 es presentada por Chow y la expresión 4-10 que emplea el D90 es presentada por Henderson. El D50 y el D90 son expresados en [m]. n = 0.041⋅ D501 / 6. 4-9. n = 0.038⋅ D 901 / 6. 4-10. Relaciones de Mejor Ajuste. Ríos (Alberta, Canadá). Método de Strickler. (Bray, September 1979), ajusta los datos de la Tabla 2, a la expresión 4-8 propuesta por Strickler. La metodología empleada por (Bray, September 1979) a continuación se describe. La fórmula 4-11 en unidades en el sistema internacional se aplica sobre las 67 corrientes de ríos naturales con lechos de grava, se realiza la conversión de las unidades de la Tabla 2 de unidades del sistema inglés a unidades del sistema internacional.. u=. 1 2/3 1/2 1 ⋅ d ⋅ S → n = ⋅ d 2/3 ⋅ S1/2 n u. 4-11. 27.

(37) MIC 2010-I-47. n = a ⋅ Dgb. 4-12. Con el coeficiente de rugosidad de Manning (n) de campo calculado para cada una de las corrientes y los diámetros característicos D 50, D65 y D90 y empleando la ecuación 4-12 se realizan las respectivas regresiones potenciales en este caso parametrizadas linealmente ecuación 4-13 aunque Excel realiza la regresión potencial directamente.. n = a ⋅ Dgb y = a ⋅ xb log y = log a + log x b log y = log a + b ⋅ log x V = log y 4-13. A = log a U = log x B=b V = A+B⋅U a = antilog A B=b. Las ecuaciones que se presentan a continuación son el resultado de aplicar las regresiones potenciales parametrizadas linealmente a la Tabla 2 en unidades del SI. -1.000 -1.100 -1.200. 10 -1.2242 = 0.0597. l og n. -1.300 -1.400 -1.500. n = 0.0597 ⋅ D50 0.1811. -1.600 -1.700 -1.800 -1.900 y = 0.1811x - 1.2242. -1.700. -1.500. -1. 300. -1.100. -0.900. -0. 700. log D50. 28.

(38) MIC 2010-I-47. -1.000 -1.100 -1.200 log n. -1.300. 10 -1.2485 = 0.0564. -1.400 -1.500. n = 0.0564 ⋅ D65 0.1777. -1.600 -1.700 -1.800 -1.700. -1.500. -1.300. -1. 100. -0.900. -0.700. -0. 500. log D65. y = 0.1777x - 1.2485 -1.000 -1.100 -1.200 log n. -1.300. 10 -1.3038 = 0.0497. -1.400 -1.500. n = 0.0497 ⋅ D90 0.1614. -1.600 -1.700 -1.800 -1.500. -1.300. -1.100. -0.900. -0.700. -0. 500. log D90. y = 0.1614x - 1.3038. Las ecuaciones presentadas previamente se generaron de regresiones potenciales parametrizadas linealmente y corresponden a las ecuaciones que presenta (Bray, September 1979) 4-14, 4-15 y 4-16. La ecuaciones presentadas por (Bray, September 1979), de tipo Strickler empleando los datos de Alberta (Canadá) son:. n = 0.0593 ⋅ D 50 0.179. 4-14. n = 0.0561 ⋅ D65 0.176. 4-15. n = 0.0495 ⋅ D 90 0.160. 4-16. n = 0.104 ⋅ S 0.177. 4-17. ⎛W⎞ n = 0.102 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ d⎠. -0.283. 4-18. 29.

(39) MIC 2010-I-47. 4.2.1.2. Método de Limerinos. La expresión 4-2 de Limerinos para estimar el coeficiente de rugosidad de Manning en sistema métrico es la ecuación 4-19, en donde d es la profundidad media en [m] y D 84 es el tamaño característico del material en [m].. n=. 0.113⋅ d1/6 ⎛ d 1.16 + 2.00 ⋅ log⎜⎜ ⎝ D84. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 4-19. Relaciones de Mejor Ajuste. Ríos (Alberta, Canadá). Método de Limerinos. La ecuación original de Limerinos esta dada por la ecuación 4-19 y puede ser reescrita en la forma de la ecuación 4-20. ⎛ d 1.16 + 2.00 ⋅ log ⎜⎜ ⎝ D 84 0.113. ⎞ ⎟⎟ 1/6 ⎠ = d = 10.27 + 17.70log ⎛⎜ d ⎞⎟ ⎜D ⎟ n ⎝ 84 ⎠. ⎛ d d1/6 = 10.27 + 17.70log⎜⎜ n ⎝ D84. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 4-20. La mejor ecuación de ajuste basada en la fórmula de Limerinos para evaluar el n de Manning según los datos obtenidos en las corrientes de ríos de lechos de grava en Alberta es la ecuación 4-21 en donde d = profundidad en [m] y D84 = tamaño del material del lecho para el cual el 84% del material es mas fino en [m].. ⎛ d d1/6 = 9.66 + 19.5log⎜⎜ n ⎝ D84. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 4-21. 4.2.2. Ecuación Logarítmica. La función semilogarítmica de resistencia al flujo de acuerdo con la teoría de longitud de mezcla de Prandtl (1926) es la ecuación (CONTORNO LISO) 2-82 y (CONTORNO RUGOSO) 2-83.. u ⎛ y ⋅ U∗ ⎞ = 5.5 + 5.75 log ⎜ ⎟ U∗ ⎝ v ⎠. (CONTORNO LISO) 4-22. u y = 8.5 + 5.75 log U∗ ks. (CONTORNO RUGOSO) 4-23. 30.

(40) MIC 2010-I-47. La ecuación (CONTORNO RUGOSO) 4-23 expresa la resistencia al flujo en una tubería con contorno rugoso y en régimen turbulento. El término ks es el equivalente a la rugosidad de la arena definida por Schlichting (1955) y (y) es la distancia medida desde el lecho hasta donde la velocidad U es medida. La ecuación (CONTORNO LISO) 4-22 expresa la resistencia al flujo de una tubería con contorno liso y flujo turbulento. Las ecuaciones mencionadas pueden ser integradas para diferentes formas de sección transversal. La relación para la velocidad media resultante para una sección transversal rectangular de contorno rugoso y superficie libre es:. u R = 6.25 + 5.75 log ks U∗. 4-24. La ecuación 4-24 fue presentada por Keulegan (1938). El primer parámetro refleja la forma de la sección transversal. El coeficiente 5.75 es una función de la constante universal de von Kármán (1930) y la constante que convierte ln a log que es:. 2.3 2.3 = = 5.75 k 0.4. 4-25. Las fórmulas semilogarítmicas son ampliamente usadas en hidráulica. Ellas dan una buena aproximación de la resistencia al flujo. (SENTURK FUAT, 1977) En la ecuación 4-24 de Keulegan, (Bray, September 1979) reemplaza el radio hidráulico por la profundidad.. u d = 6.25 + 5.75 log ks U∗. 4-26. U∗ = g ⋅ d ⋅S. 4-27. U*:. Velocidad de corte definida por la ecuación 4-27. d. Profundidad media (Keulegan usa el radio hidráulico). ks:. Rugosidad equivalente de grano del contorno.. g:. Aceleración de la gravedad.. Einstein adopta el tamaño D65 y Kellerhals adopta el tamaño D 90 cuando evalúan el ks para calcular la velocidad media en canales naturales. En el estudio (Bray, September 1979) asume el valor de ks igual a D50, D65 y D90 en orden de probar la sensibilidad de la definición de ks en la ecuación de Keulegan. La ecuación logarítmica general se presenta a continuación: 31.

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Referencias

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