Modelo físico de un electrodo en contacto con un terreno que consta de una o dos capas cuando se le inyecta corriente eléctrica

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(1)FISI-2003-I-5. MODELO FÍSICO DE UN ELECTRODO EN CONTACTO CON UN TERRENO QUE CONSTA DE UNA O DOS CAPAS CUANDO SE LE INYECTA CORRIENTE ELÉCTRICA. JUAN D. QUESADA OCAMPO I.E.. PREGRADO EN FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 2003.

(2) FISI-2003-I-5. MODELO FÍSICO DE UN ELECTRODO EN CONTACTO CON UN TERRENO QUE CONSTA DE UNA O DOS CAPAS CUANDO SE LE INYECTA CORRIENTE ELÉCTRICA. JUAN D. QUESADA OCAMPO I.E.. Directores: GUSTAVO RAMOS I.E. M.Sc. MARIA TERESA DE TORRES I.E. PhD. PREGRADO EN FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 2003. 3.

(3) FISI-2003-I-5. A mis padres Hernando y Alba Luz A mi hermana Lina María. 5.

(4) FISI-2003-I-5. AGRADECIMIENTOS. Al Dr. Gustavo Ramos, I.E. M.Sc., director de esta tesis, por el gran interés que me infundió en el área de Calidad de la Potencia y el apoyo que me proporcionó en la realización de la tesis.. A la Dra. Maria Teresa de Torres, I.E. M.Sc. Ph.D. asesora de esta tesis, por su apoyo durante mis estudios de Pregrado en Ingeniería Eléctrica.. A mi familia por su apoyo permanente.. A todos mis compañeros, especialmente a Rodrigo Baquero por su colaboración en este proyecto de grado.. A mi gran amigo Ramiro Andrés Rodríguez por su constante apoyo y colaboración en este proyecto de grado y durante toda la carrera.. 7.

(5) FISI-2003-I-5. TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 17. 2.. ANTECEDENTES....................................................................................................... 21. 3.. ALCANCES DEL PROYECTO .................................................................................. 27. 4. MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN SUELO HOMOGENEO...................................................................................................... 29 4.1. Marco Teórico ....................................................................................................... 29. 4.1.1 Formulación del Problema ......................................................................................................................33 4.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un punto (x, y, z) ..................44 4.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X (paralelos): ..........................47 4.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un segmento conductor dirigido en el eje Y..............................................................................................................................................49 4.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X:............................................51 4.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de conductor en coordenadas cartesianas:55 4.1.2 Calculo de la Conductancia ....................................................................................................................59 4.1.3 Calculo de la Capacitancia ......................................................................................................................59 4.1.4 Calculo de la Inductancia ........................................................................................................................59 4.1.5 Representación de los Elementos que conforman un Sistema de Puesta a Tierra .........................60 4.1.5.1 Definición de variables .................................................................................................................60. 4.2 Metodología en la Solución del Problema de Análisis y Modelamiento de Sistemas de Puesta a Tierra.............................................................................................................. 61 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5. Datos de Entrada.......................................................................................................................................62 Cálculo de los FDT ..................................................................................................................................62 Inversión de la Matriz FDT ....................................................................................................................64 Circuito Equivalente de los Segmentos................................................................................................64 Modelamiento del Sistema ......................................................................................................................65. 5. MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN SUELO NO HOMOGENEO ............................................................................................... 66 5.1. Marco Teórico ....................................................................................................... 66. 5.1.1 Condiciones de Frontera y Teorema de la Unicidad ..........................................................................67 5.1.2 Método de Imágenes................................................................................................................................69 5.1.3 Formulación del Problema ......................................................................................................................70 5.1.3.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un punto (x, y, z) ..................75 5.1.3.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X (paralelos): ..........................79 5.1.3.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un segmento conductor dirigido en el eje Y..............................................................................................................................................82 5.1.3.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X:............................................85 5.1.3.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de conductor en coordenadas cartesianas:90 5.1.4 Representación de los elementos que conforman un sistema de puesta a tierra ............................96. 5.2. 6.. Metodología........................................................................................................... 97. METODOLOGÍA DEL PROGRAMA DESARROLLADO ..................................... 100 6.1. Método de la Matriz FDT.................................................................................... 100. 9.

(6) FISI-2003-I-5 6.2. Herramienta Computacional............................................................................... 101. 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8. Presentación de la Herramienta Computacional ...............................................................................103 Estructura del Suelo ...............................................................................................................................104 Parámetros constitutivos del Suelo (Terreno Homogéneo).............................................................105 Parámetros constitutivos de las dos capas de suelo (Terreno no Homogéneo)............................106 Parámetros de los Electrodos y de la Simulación .............................................................................108 Sistema de Puesta a Tierra ....................................................................................................................112 Inicio de los Cálculos de la Matriz FDT.............................................................................................112 Resistencia de Puesta a Tierra ..............................................................................................................113. 6.3. Electromagnetic Transient Program (EMTP)...................................................... 113. 6.4. Esquema de la Metodología................................................................................. 117. 7.. VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS ................................................................. 120 7.1. Sistema de Puesta a Tierra en un Suelo Homogéneo............................................ 121. 7.1.1 Caso 1.1: Conductor Horizontal (contrapeso):..................................................................................121 7.1.1.1 Caso 1.1.1: Respuesta a un paso de corriente de 1KA ..........................................................121 7.1.1.2 Caso 1.1.2 Respuesta a una onda de corriente doble exponencial ......................................125 7.1.2 Caso 1.2. Malla de 6x6 cuadrículas.....................................................................................................127 7.1.2.1 Caso 1.2.1 Respuesta a un paso de corriente de 1 KA ..........................................................128 7.1.2.2 Caso 1.2.2 Respuesta a una onda de corriente doble exponencial ......................................130. 7.2. Sistema de Puesta a Tierra en un Suelo No Homogéneo ...................................... 133. 8. ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA EN EMTP........................................................................................................... 138 8.1. Sistema de Puesta a Tierra en un Suelo Homogéneo............................................ 139. 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4. 8.2. Sistema de Puesta a Tierra en un Suelo No Homogéneo ...................................... 160. 8.2.1 8.2.2. 9.. Conductor Horizontal: Caso 1.1...........................................................................................................139 Malla de 6x6 cuadrículas: Caso 1.2.....................................................................................................145 Análisis de los Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra ..........................................................155 Distribución Espacial del Potencial.....................................................................................................156 Análisis del Comportamiento Transitorio del Contrapeso caso 1.1...............................................161 Análisis de los Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra ..........................................................166. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 172. 10.. REFERENCIAS .................................................................................................... 176. 11.. ANEXOS ................................................................................................................ 180. 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4. 11.2 11.2.1 11.2.2. Códigos del Programa desarrollado en MatLab 6.5............................................. 180 Ejemplo de Código para una Ventana de Interfaz de Usuario ..................................................180 Algoritmo para Calcular la Matriz FDT de una Malla Horizontal ...........................................184 Función FDT que corresponde a la ecuación 5.14 ......................................................................186 Función para calcular la resistencia de puesta a tierra ................................................................187. Ejemplos de Matrices FDT.................................................................................. 188 Matriz FDT del Caso 1.1.1..............................................................................................................188 Matriz FDT del Caso 2.1 .................................................................................................................189. 10.

(7) FISI-2003-I-5. LISTA DE TABLAS Tabla 4.1 Matriz FDT de un sistema de puesta a tierra ............................................................................................64 Tabla 6.1 Calibres de los cables por estándar AWG................................................................................................110 Tabla 7.1 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra ..........................................................................................122 Tabla 7.2 Resistencias de Puesta a Tierra halladas en este proyecto...................................................................132 Tabla 7.3 Resistencias de puesta a tierra de la malla obtenidas con el programa, comparado con [10]......135 Tabla 8.1 Valores Máximos de Voltaje, Corriente e Impedancia Transitoria para el Caso 1.1......................142 Tabla 8.2 Valores Máximos de Voltaje, Corriente e Impedancia Transitoria para el Caso 1.2......................147 Tabla 8.3 Comparación de los Valores Máximos de Voltaje, Corriente e Impedancia Transitoria para el Caso 1.2 cuando la Inyección de Corriente se hace en una Esquina o en el Centro de la Malla.....................154 Tabla 8.4 Resistencia de Puesta a Tierra del Contrapeso caso 1.1 para distintos Valores de H.....................167 Tabla 8.5 Resistencia de Puesta a Tierra de la malla caso 1.2 para distintos Valores de H............................171. 11.

(8) FISI-2003-I-5. 12.

(9) FISI-2003-I-5. LISTA DE FIGURAS Figura 4.1 Conductor enterrado en suelo uniforme...................................................................................................33 Figura 4.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos.......................................................34 Figura 4.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita...................................................37 Figura 4.4 Método de la matriz......................................................................................................................................43 Figura 4.5 Segmento conductor en tierra.....................................................................................................................44 Figura 4.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad de corriente constante.......................................................................................................................................................46 Figura 4.7 Dos segmentos de conductor en tierra......................................................................................................47 Figura 4.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y. ......................................................................49 Figura 4.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X.............................................................................................52 Figura 4.10 Representación de un elemento del sistema de puesta a tierra (después de la partición).............61 Figura 5.1 Volumen donde se desea conocer el potencial........................................................................................68 Figura 5.2 Solución por el método de imágenes. El problema original para la solución del potencial se encuentra en el lado izquierdo, el problema equivalente con cargas imágenes al lado derecho........................70 Figura 5.3 Fuente de corriente puntual en un terreno de dos capas con las imágenes de orden cero y de primer orden.......................................................................................................................................................................71 Figura 5.4 Segmento conductor en un terreno de dos capas....................................................................................75 Figura 5.5 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad de corriente constante.......................................................................................................................................................77 Figura 5.6 Dos segmentos de conductor en tierra......................................................................................................79 Figura 5.7 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y. ......................................................................82 Figura 5.8 Segmento de conductor dirigido en el eje X.............................................................................................86 Figura 6.1 Ventana de la presentación del programa.............................................................................................103 Figura 6.2 Ventana para determinar el número de capas del terreno..................................................................104 Figura 6.3 Ventana para ingresar parámetros constitutivos del suelo.................................................................105 Figura 6.4 Ventana para ingresar los parámetros constitutivos de las dos capas de suelo.............................106 Figura 6.5 Ventana para ingresar las características físicas de los electrodos y los parámetros del modelo del sistema de puesta a tierra........................................................................................................................................108 Figura 6.6 Ventana para determinar el sistema de puesta a tierra.......................................................................112 Figura 6.7 Ventana de confirmación para iniciar cálculos de la matriz FDT del sistema. ..............................112 Figura 6.8 Ventana con el valor de la resistencia de puesta a tierra....................................................................113 Figura 6.9 Diagrama Esquemático de la Metodología..........................................................................................118 Figura 7.1 Respuesta transitoria de un conductor horizontal caso 1.1.1.............................................................123. 13.

(10) FISI-2003-I-5 Figura 7.2 Respuesta transitoria de un contrapeso de 60m, conductor de cobre, calibre 4/0 frente a una fuente de corriente de paso de 1KA..............................................................................................................................124 Figura 7.3 Respuesta transitoria de un conductor horizontal caso 1.1.2.............................................................125 Figura 7.4 Respuesta transitoria de un contrapeso de 60m, conductor de cobre, calibre 4/0 frente a una fuente de corriente de doble exponencial de 1/20 µs y voltaje pico de 1KA. ........................................................126 Figura 7.5 Respuesta Transitoria de la malla caso 1.2.1........................................................................................128 Figura 7.6 Respuesta transitoria de la malla frente a una fuente de corriente de paso de 1KA......................129 Figura 7.7 Respuesta transitoria caso 1.2.2..............................................................................................................130 Figura 7.8 Respuesta transitoria de la mallas de 6x6 y 10x10 a una fuente de corriente de doble exponencial de 1/20 µs y voltaje pico de 1KA...................................................................................................................................131 Figura 7.9 Malla simple como sistema de puesta a tierra de la referencia [10] Caso 2.1...............................135 Figura 8.1 Impedancia Transitoria del Caso 1.1.1..................................................................................................140 Figura 8.2 Impedancia Transitoria del Caso 1.1.2..................................................................................................141 Figura 8.3 Fuente de corriente de doble exponencial de 1/20 µs y voltaje pico de 1KA...................................143 Figura 8.4 Curva de voltaje contra corriente para el conductor horizontal del caso 1.1.2..............................144 Figura 8.5 Impedancia transitoria del caso 1.2.1.....................................................................................................146 Figura 8.6 Impedancia Transitoria del Caso 1.2.2. .................................................................................................146 Figura 8.7 Curva de voltaje contra corriente para la malla del caso 1.2............................................................149 Figura 8.8 Comportamiento transitorio de la malla caso 2.1 cuando la inyección de un paso de corriente de 1 KA es en la esquina......................................................................................................................................................151 Figura 8.9 Respuesta transitoria de la malla caso 2.1 ante una fuente de corriente, de doble exponencial de 1/20 µs y un valor pico de 1 KA, que es inyectada en la esquina.........................................................................151 Figura 8.10 Impedancia transitoria de la malla caso 2.1 cuando la inyección de un paso de corriente de 1 KA es en la esquina..........................................................................................................................................................152 Figura 8.11 Impedancia transitoria de la malla caso 2.1 ante una fuente de corriente, de doble exponencial de 1/20 µs y un valor pico de 1 KA, que es inyectada en la esquina....................................................................153 Figura 8.12 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra del contrapeso caso 1.1 y de la malla caso 1.2 variando la profundidad, Z, a la que se encuentran.................................................................................................155 Figura 8.13 Potencial en la malla caso 1.2 cuando la inyección es en el centro y han transcurrido 100 µs. .............................................................................................................................................................................................157 Figura 8.14 Potencial en la malla caso 1.2 cuando la inyección es en el centro y han transcurrido 800 µs. .............................................................................................................................................................................................157 Figura 8.15 Potencial en malla caso 1.2 cuando la inyección es en la esquina y han transcurrido 100 µs. .............................................................................................................................................................................................159 Figura 8.16 Potencial en malla caso 1.2 cuando la inyección es en la esquina y han transcurrido 1800 µs. .............................................................................................................................................................................................159 Figura 8.17 Respuesta transitoria de un contrapeso frente a una fuente de corriente de paso para diferentes valores de K caso 1.1.1...................................................................................................................................................162. 14.

(11) FISI-2003-I-5 Figura 8.18 Respuesta transitoria de un contrapeso frente a una fuente de corriente de doble exponencial para diferentes valores de K caso 1.1.2.......................................................................................................................164 Figura 8.19 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra del contrapeso variando el grosor de la capa superior, h, caso 1.1......................................................................................................................................................166 Figura 8.20 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra del contrapeso variando el Coeficiente de Reflexión, K, caso 1.1.....................................................................................................................................................169 Figura 8.21 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra de la malla variando el grosor de la capa superior, h, caso 1.2.........................................................................................................................................................................170 Figura 8.22 Valores de la Resistencia de Puesta a Tierra de la malla variando el Coeficiente de Reflexión, K, caso 1.2..............................................................................................................................................................................171. 15.

(12) FISI-2003-I-5. 1 INTRODUCCIÓN. El estudio de los Sistemas de Puesta a Tierra ha cobrado un gran interés en los últimos años por varias razones. En primer lugar, los equipos electrónicos actuales son más sensibles de sufrir cualquier daño cuando tienen una mala alimentación. En segundo lugar, las distintas industrias y empresas han incrementado su preocupación por la seguridad de sus trabajadores y de sus equipos, bien sea por razones competitivas o por obligaciones legales. Por último, los investigadores desde distintos campos del conocimiento como la física, la ingeniería, meteorología, etc., han comenzado a prestar la atención que merece el fenómeno de las descargas atmosféricas.. Las descargas atmosféricas son mucho más comunes de lo que intuitivamente se piensa. Una cifra que de una idea de la frecuencia con que ocurre este fenómeno, es el hecho de que más de 2000 tormentas eléctricas están en curso alrededor del mundo en un instante dado, produciendo alrededor de 100 rayos por segundo.. La pregunta que surge en este momento es qué relación existe entonces entre las descargas atmosféricas, la alimentación de equipos electrónicos y las condiciones de seguridad de las personas con los sistemas de puesta a tierra. Pues bien, la cuestión radica en que los equipos electrónicos, las máquinas que se emplean en la industria y los operarios que las utilizan, están en un contacto directo o indirecto la mayor parte del tiempo con la alimentación eléctrica que permite su funcionamiento. El problema surge cuando se presentan fallas en este sistema de alimentación, causando sobrevoltajes y transitorios que pueden afectar el funcionamiento de estos sistemas y pueden representar un peligro para la salud de las personas que las operan.. 17.

(13) FISI-2003-I-5. Se ha comprobado que el tipo más común de falla que se presenta en la infraestructura eléctrica, como edificios con cableado estructurado de media tensión, fábricas, torres de energía y subestaciones, son las descargas atmosféricas. Una descarga atmosférica se puede modelar como una fuente de corriente de doble exponencial con valores que oscilan entre los 10 y 40 KA. Con estos valores tan altos de corriente, cómo se puede canalizar está energía para que no cause daños en la infraestructura y en las personas.. Con este fin se han diseñado un sin número de equipos de protección; sin embargo el componente más importante que permite controlar y canalizar las fallas en los sistemas eléctricos, son los sistema de puesta a tierra. Un sistema de puesta a tierra es básicamente un arreglo de conductores típicamente cilíndricos y hechos en metal, conectados entre sí, enterrados en el suelo, y conectados a otro hilo conductor que conduce la electricidad desde el origen de la falla.. Para efectos de facilitar los análisis en este proyecto, el sistema de puesta a tierra se modela como un arreglo de conductores cilíndricos, que se denominan electrodos, enterrados en el suelo y se va obviar el conductor que permite la descarga de la falla al sistema. En el modelo la falla se va aplicar directamente sobre el sistema como una fuente de corriente que modela los distintos tipos de fallas. Las descargas atmosféricas se modelan como una fuente doble exponencial y las fallas causadas por suicheo se van a modelar como una fuente de corriente de paso.. Como estas fallas se van a canalizar, a través del sistema de puesta a tierra, es muy importante determinar las características eléctricas de este. Como se encuentra ubicado, enterrado a cierta profundidad en el suelo, se requiere plantear un modelo físico basado en el electromagnetismo que permita conocer como afecta el suelo las características eléctricas de los electrodos que conforman el sistema. Este modelo debe incluir el efecto de los parámetros constitutivos del suelo y de los eléctrodos en el desempeño del sistema para absorber la falla y disiparla a través del suelo.. 18.

(14) FISI-2003-I-5. Este modelo físico, una vez elaborado, va a permitir crear un modelo circuital usando elementos. eléctricos. como. resistencias,. capacitancias,. etc.,. que. represente. el. comportamiento físico del sistema como un agregado del sistema de puesta a tierra más el medio donde se encuentra.. Ya con la representación circuital de todo el sistema, entonces se podrá conocer el comportamiento que presenta el potencial en el sistema cuando se presenta la falla, durante todo le proceso. Es necesario hacer un análisis en estado transitorio, ya que es el momento en el que se presentan los mayores sobrevoltajes, y es muy importante estudiar como éste se disipa en el sistema de puesta a tierra. Estos análisis se pueden hacer obteniendo gráficas y resultados a partir de un programa de simulación especializado en el estudio transitorio de ondas electromagnéticas.. Por último, es muy importante conocer los distintos parámetros de desempeño de los sistemas de puesta a tierra como la resistencia, el comportamiento de la corriente y el voltaje frente a picos y a pasos de voltaje; ya que con estos análisis se puede predecir si los electrodos son adecuados para contrarrestar la fallas que se puedan presentar en distintas instalaciones que requieren electrodos exigentes como los edificios corporativos, las subestaciones y las torres de transmisión. Dentro de estas fallas se pueden mencionar las descargas atmosféricas, cortos circuitos. e inducciones electromagnéticas. Estas fallas. pueden causar la permanencia de voltajes y corrientes remanentes en las instalaciones eléctricas, causando un gran riesgo para el personal y para los equipos electrónicos, cuando los sistemas de puesta a tierra no son bie n dimensionados y diseñados. Por estas razones, en este trabajo no sólo se calculan los principales parámetros del sistema de puesta a tierra, sino que también se harán varias simulaciones con el software EMTP (Electromagnetic Transient Program) para estud iar el comportamiento de los modelos presentados frente a distintos tipos de fallas comúnmente estudiadas en el área de calidad de la potencia.. 19.

(15) FISI-2003-I-5. 2. ANTECEDENTES Dentro de las primeras experimentaciones en el área, se pueden nombrar a Stephe n Gray, quien en 1729 observó como se conducía la electricidad a través de un cordón cableado de casi 200 metros. Luego realizó un experimento en el que utilizó a un adolescente como conductor en 1731.. En 1734, el investigador C.H. Du Fay, realizó un experimento donde el mismo fue suspendido horizontalmente y electrificado, durante el ensayo un asistente acercó casualmente su mano a la de Du Fay, y se estableció una "chispa de fuego", acompañada de un ardiente dolor, con lo cual se dedujo un contacto a tierra artificial.. En 1883, Carl August Steinheil llegó a comprobar que la tierra también conduce la electricidad. Por lo tanto podía ser utilizado como circuito de retorno de esta, con lo cual se impulso el desarrollo de la telegrafía.. A comienzos de este siglo se desarrolla aún más la investigación en el área de sistemas de potencia, y en 1924 aparecen los primeros lineamientos para determinar la dimensión de las instalaciones de puesta a tierra por parte de la VDE.. Franz Ollendorf en 1928 presenta su libro en el cual organiza de una manera coherente todo el sistema problemático científico involucrado (geología, geofísica, teoría de la electricidad y matemáticas), el cual es sustentado fundamentalmente en el principio de la imagen reflejada, desarrollada por Joseph Thompson, para plantear y resolver problemas especiales de electrostática. Este libro fundamenta a la técnica de la puesta a tierra en todas las áreas de los sistemas eléctricos, tales como: corriente continua, en corriente alterna de baja 21.

(16) FISI-2003-I-5 frecuencia, de alta frecue ncia, así como la corriente que se propaga como onda electromagnética de impulso.. Bewley (1934), Sunde (1940) y Rudenberg (1945), fueron los iniciadores del estudio de la respuesta transitoria de los sistemas de puesta a tierra, quienes caracterizaron los parámetros influyentes: Resistencia, Inductancia y Capacidad. Bewley (1951) deduce expresiones para calcular la impedancia de un contrapeso.. Bellaschi (1941) introdujo un método analítico y computacional para solucionar el problema propuesto ante una función escalón unitario.. En las décadas de los sesenta y setenta se presentaron diversos artículos sobre el tema de la puesta a tierra, en los cuales se profundiza en los diversos problemas, pero también explorando nuevos métodos de análisis y experimentación con base en las facilidades de cálculo con ayuda del computador, avanzando notablemente en el área del modelamiento con el fin de caracterizar el comportamiento ante diversas excitaciones. En lo relacionado con el análisis transitorio podemos nombrar los más relevantes:. Devgan y Whitehead (1973) dedujeron expresiones para calcular la impedancia de un contrapeso.. Dawalibi y Mukhedkar (1975) determinaron el potencial debido a un electrodo puntual mediante el método de imágenes en un terreno que consta de dos capas. También desarrollaron el método de la sumatoria y el método de la integral para determinar el potencial de cualquier configuración de electrodos con cualquier orientación en una estructura de suelo de dos capas.. Dommel (1969) Establece una metodología que permite la solución de los transitorios en mallas arbitrarias mediante el uso de matrices de admitancia en los nodos. Para parámetros distribuidos se vale del método de las características y para parámetros concentrados. 22.

(17) FISI-2003-I-5 mediante la regla de integración trapezoidal.. La técnica de solución aprovecha la. esparsividad de la matriz nodal.. Verma y Mukhedkar (1980) establecieron una expresión para la impedancia de impulso de un conductor enterrado sometido a impulsos de corta duración mostrando que los modelos de resistencia e inductancia distribuida predicen el comportamiento transitorio de acuerdo con los experimentos clásicos caracterizados por Bewley en contrapesos. Tiene la limitante de solo aplicarse a sistemas sencillos de contrapesos o varillas.. Gupta y Thapar (1980) proporcionan fórmulas empíricas basadas en parámetros equivalentes para la impedancia de impulso de mallas de subestaciones definidos como la relación pico de tensión en el punto de alimentación de corriente y el valor pico de corriente, sin embargo, esta definición presenta ambigüedad ya que estos valores pico no ocurren simultáneamente.. Takashima y otros (1981) presentan un método combinado de simulación de corrientes y teoría de las imágenes, sin embargo, desprecian la inductancia longitudinal del electrodo de tierra, introduciendo apreciable error en los resultados.. Meliopoulos, Webb y Joy (1981) desarrollan una metodología general para el análisis de puesta a tierra en un terreno compuesto por dos capas distintas de suelo, mediante el planteamiento de un circuito equivalente de los electrodos que conforman el sistema de puesta a tierra a través de la solución numérica de la ecuación de Laplace.. Meliopoulos, y Moharan (1983) proporcionan un modelo para sistemas de puesta a tierra extensos. Utilizando el análisis de elementos finitos para modelar el sistema de puesta a tierra remota mediante las ecuaciones de Maxwell. Cabe anotar que esta metodología será analizada en mayor detalle más adelante, pues es el que servirá de base para la construcción del modelo en el presente trabajo.. 23.

(18) FISI-2003-I-5 Velásquez y Mukhedkar (1984) proporcionan un modelo para sistemas de puesta a tierra extensos. El cual permite mediante el uso de parámetros distribuidos una aproximación analítica de la respuesta transitoria y por lo tanto de la impedancia de impulso del sistema.. Papalexopoulos y Meliopoulos (1987) amplían lo realizado en 1983, teniendo en cuenta que los parámetros dependen de la frecuencia.. Para la última década se han reportado numerosos artículos en ol s cuales se presentan modelos ana líticos, los cuales son comparados con las mediciones tanto de campo como de laboratorio, entre otros:. Dawalibi y Xiong (1990) presentan un modelo, basado en la teoría electromagnética, en el cual se analiza la influencia de fenómenos transitorios en el sistema de puesta a tierra de una subestación, además del cambio en el comportamiento con señales de alta frecuencia. Cabe anotar que realizan análisis de susceptibilidad electromagnética como un índice de la calidad del sistema.. Menter y Grcev (1994) realizan un modelo con base en la teoría de las líneas de transmisión, el cual es simulado en el Electromagnetíc Transients Program, y su objetivo es analizar protección contra descargas atmosféricas y la compatibilidad electromagnética de dicho sistema.. Chow, Yang y Srivastava (1995) determinan el potencial debido a un electrodo en un terreno que consta de dos capas por el método de imágenes. Adicionalmente desarrollan un método equivalente de imágenes de rápida convergencia que permite conocer el potencial en un terreno con múltiples capas usando algunas mediciones de potencial en el terreno de estudio.. Dawalibi, Xiong y Ma (1995) estudian el comportamiento transitorio del potencial, del campo eléctrico y del campo magnético en una malla para distintas frecuencias de la corriente de inyección.. 24.

(19) FISI-2003-I-5 Sherbiny (1995) desarrolla formulas simples para calcular la resistencia de puesta a tierra para una barra vertical o diferentes configuraciones de varias barras verticales en un terreno homogéneo y no homogéneo, mediante el método del momento, el método de imágenes y el concepto de dualidad entre resistencia y capacitancia.. Grcev (1996) presenta un modelo en computador para análisis transitorio de conductores enterrados, basado en al teoría electromagnética y la teoría de imágenes. El modelo calcula los voltajes transitorios a tierra remota de grandes mallas de puesta a tierra.. Heimbach y Grcev (1997) realizan análisis de protección de subestaciones hasta de 420 KV, con base en teoría de campos electromagnéticos integrados al Electromagnetic Transients Program.. Chow, Elsherbiny y Salama (1996) desarrollan un método alterno denominado método rápido de momentos de Galerkin para determinar el potencial producido por mallas y barras verticales en un terreno de dos capas. También determinan distintas formulas para determinar la resistencia de puesta a tierra de sistemas conformados por mallas, barras verticales o una combinación de estas.. En la actualidad las publicaciones continúan presentando artículos que buscan integrar el mejor método de solución acompañado del menor error posible en comparación con pruebas de campo desarrolladas por “Electricite de France (EDF)”, además de un creciente interés en desarrollar estudios de compatibilidad electromagnética.. 25.

(20) FISI-2003-I-5. 3. ALCANCES DEL PROYECTO. •. Construcción de un modelo físico que permita conocer el potencial eléctrico debido a un electrodo o a una configuración de electrodos, cuando se encuentran en un suelo homogéneo y cuando se encuentran en un suelo no homogéneo compuesto por dos capas.. •. Obtención de expresiones que permitan conocer las distintas interacciones eléctricas entre los electrodos cuando forman parte de un sistema de puesta a tierra, que se encuentra en un suelo homogéneo o se encuentra en un suelo no homogéneo compuesto por dos capas.. •. Desarrollo de una metodología que permita caracterizar el comportamiento eléctrico de un electrodo o de un sistema de electrodos en un suelo homogéneo y en un suelo no homogéneo compuesto por dos capas.. •. Aplicación de la metodología desarrollada, al análisis concreto de configuraciones típicas de electrodos que conforman los sistemas de puesta a tierra, como el contrapeso o barra horizontal, la varilla o barra vertical y la malla de electrodos horizontales.. •. Estudio del comportamiento transitorio general de los sistemas de puesta tierra ya caracterizados, variando diferentes factores como las fuentes de excitación a través del simulador de transitorios EMTP.. 27.

(21) FISI-2003-I-5. •. Estudio de la dependencia de la resistencia de puesta a tierra de los sistemas de puesta tierra ya caracterizados, con los distintos parámetros que son propios del sistema y su entorno.. •. Implementar una herramienta de simulación educativa para los cursos de Calidad de la Potencia y Electrónica de Potencia, sistematizando el método de simulación.. 28.

(22) FISI-2003-I-5. 4. MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN SUELO HOMOGENEO 4.1 Marco Teórico Para el análisis del comportamiento de los sistemas de puesta a tierra se requiere inicialmente determinar los parámetros constitutivos de los elementos que conforman estos sistemas y del terreno en que se analizan. También se requiere determinar los parámetros circuitales que permiten modelar el sistema de puesta a tierra como un conjunto de electrodos en contacto con un terreno, unidos físicamente, que pueden ser representados como circuitos eléctricos conformados por elementos eléctricos lineales.. Para determinar los parámetros de los elementos eléctricos que conforman el modelo circuital de los electrodos es preciso hacer un análisis físico del comportamiento de señales electromagnéticas cuando estas son inyectadas al sistema de puesta a tierra. Este análisis correspondería al campo de la electrodinámica y la geofísica; los cuales ayudan a determinar las ecuaciones que rigen el comportamiento de diferentes señales cuando son inyectadas a este sistema y a su vez, plantear una metodología de estos cálculos con el fin sistematizar el procedimiento para obtener un mayor número de resultados pertinentes y así, realizar un análisis con el mayor número de información, obteniéndose una gran cantidad de conclusiones importantes.. La ecuación fundamental del electromagnetismo que rige el comportamiento de las señales electromagnéticas en los sistemas de puesta a tierra es la ecuación de Laplace para potenciales eléctricos, pero antes de discutir con detalle la razón y las consecuencias de la. 29.

(23) FISI-2003-I-5 anterior afirmación, es importante desarrollar los conceptos fundamentales de Física y los métodos matemáticos propios del electromagnetismo que nos lleven a la obtención de esta ecuación de acuerdo a la geometría propia del problema que se pretenda resolver, y que a partir de esta se pueda afianzar el conocimiento del fenómeno, y encontrar la mejor formulación a la solución del problema en cuestión.. El campo eléctrico terrestre es estacionario cuando los vectores de su intensidad de campo eléctrico E y de su intensidad de corriente J son invariables en el tiempo. Con base en el análisis vectorial se pueden establecer las ecuaciones fundamentales del campo eléctrico estacionario de la tierra:. El vector B de la inducción magnética no depende del tiempo, E es un vector con un rotacional nulo, por lo tanto el rotacional de dicho vector es: r ∇×E = 0. (4.1). Si se considera una curva cerrada C, de acuerdo con la anterior expresión, por la ley de la conservación de la energía y la ley de Stokes, se tiene que el trabajo realizado al recorrer esta curva es cero, así que:. Ñ∫. (C ). r r E ⋅ ds = 0. (4.2). en el cual E ⋅ ds representa el producto escalar del vector E con el infinitamente pequeño vector de tramo recto ds de arco medido sobre la longitud C.. Siendo I y II puntos sobre C diferentes entre si, se tiene:. 30.

(24) FISI-2003-I-5 II. ∫. r r E ⋅ ds +. I (C ). r r E ⋅ ds = 0. I. ∫. (4.3). II (C ). Los trayectos de unión entre I y II se pueden seleccionar a vo luntad así que la diferencia de potencial es:. VI , II =. II. ∫. I(C). r r E ⋅ ds = −. I. ∫. r r E ⋅ ds = −VI I, I. (4.4). II ( C ). de lo cual se infiere que la diferencia de potencial depende sólo de la posición de los puntos I y II, así que entonces la expresión: VI , II = ϕI − ϕ II. (4.5). define a una función f independiente del tiempo, la cual quedará determinada de manera unívoca para todo punto de referencia, en el momento de adicionar una cierta constante, en principio arbitraria, determinada por las condiciones de frontera, para cada punto de partida. A esta función se la denomina "potencial eléctrico escalar".. De manera inversa, las ecuaciones (4.4) y (4.5) conducen, por medio de la operación vectorial: r E = − ∇ϕ. (4.6). a la determinación de la intensidad de campo a partir de su función matriz.. También los campos de la electrostática, debido a su independencia del tiempo, se describen por medio de un potencial escalar f; Al analizar el campo electrostático de un cuerpo cargado situado en el espacio considerado completamente aislante sobre la tierra. 31.

(25) FISI-2003-I-5 (anulando la conductividad finita de la tierra en cuya zona exista una intensidad de campo), se infiere que predominará un potencial f uniforme, por lo cual se asume cero. Por el contrario, en el campo eléctrico terrestre, la densidad de corriente eléctrica j exige una finita intensidad de campo E, cuyo valor estará dictado por la ley de Ohm: r r J =σE. (4.7). y por lo tanto, el potencial f de la corriente de tierra variará de un punto a otro. Entonces se podrá determinar el valor de la constante aditiva relacionada con la expresión (4.5), asumiendo que el campo buscado, encerrado por medio de una semiesfera con radio ilimitado, se le puede atribuir un potencial cero; entonces, el potencial del campo de la corriente de tierra estacionaria resultará igual al potencial del punto de referencia contra aquella semiesfera.. La ley de la continuidad de la electricidad postula que en un campo de corriente estacionario no existen ni pasan líneas de corriente, por lo tanto se tiene: r ∇⋅J =0. (4.8). En una región del terreno donde σ es constante, con base en las leyes de Kirchhoff y de (4.4), la fuente también es independiente del campo del campo eléctrico, es decir: r ∇ ⋅E = 0. (4.9). Así que el potencial f satisface la ecuación de Laplace: ∇ ⋅ (∇ ϕ ) = ∇ 2ϕ = 0. (4.10). Para poder integrar la expresión anterior, se debe referir además al sistema de coordenada más conveniente al caso particular, lo cual plantea un paso importante en la determinación de la expresión del campo buscada. 32.

(26) FISI-2003-I-5. 4.1.1 Formulación del Problema El desarrollo del modelo de los sistemas de puesta a tierra para el cálculo de su respuesta transitoria puede ser demostrado comenzando con un sistema simple de conductor enterrado como se puede preciar en la Figura 4.1.. Un pequeño segmento de longitud lS del conductor de la Figura 4.1, es caracterizado con una resistencia serie ?r, una inductancia serie ?L, conductancia a tierra remota ?g y capacitancia shunt ?C. Esta representación es ilustrada en la Figura 4.2. Estos parámetros son distribuidos a lo largo de la longitud lS del segmento. AIRE TIERRA lS. (x, y, z) Conductividad. dS. dl. Figura 4.1 Conductor enterrado en suelo uniforme.. 33.

(27) FISI-2003-I-5. Figura 4.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos.. El valor numérico de las cantidades del circuito equivalente puede ser calculado directamente de la conductancia y de la velocidad de las ondas electromagnéticas en el suelo. Con base en la expresión:. vS =. c εr. (4.11). Donde: c es la velocidad de propagación en el espacio libre. er es la permitividad relativa del suelo.. Con base en las ecuaciones de Maxwell: ∆C ε = ∆g σ. (4.12). Donde: e es la permisividad del suelo. s es la conductividad del suelo.. 34.

(28) FISI-2003-I-5. También considerando el segmento lS como una línea de transmisión con inductancia y capacitancia distribuida, ?L y ?C, respectivamente:. lS c = vS = ∆L ⋅ ∆C εr. (4.13). Con lo anterior podemos obtener las expresiones para calcular la inductancia y capacitancia del elemento finito:. ∆C =. ε ⋅ ∆g σ. σ ⋅ l S2 ∆L = ε 0 c 2 ⋅ ∆g. (4.14) (4.15). Por lo tanto es necesario el conocimiento de ? g para determinar los parámetros del elemento finito.. Para determinar el valor de la conductancia del elemento finito del sistema de puesta a tierra, se emplea la solución de la ecuación de Laplace, (4.10).. Meliopoulos y Moharan, plantean la solución de las ecuaciones con base en los factores de distribución de tensión (F.D.T.), con lo cual es posible obtener los valores de conductancia de los elementos finitos y determinar el valor de los parámetros del circuito equivalente por segmento.. 35.

(29) FISI-2003-I-5 Los F.D.T. son utilizados para calcular la resistencia propia y de acople mutuo de conductores rectilíneos enterrados en un suelo de resistividad homogénea. Se calcula una matriz en la cual sus elementos se denominan F.D.T. ya que estos permiten determinar el potencial en un punto debido a un flujo de corriente dado. Los F.D.T. están dados en ohmios. Esta matriz es comúnmente conocida con el nombre de resistencias de puesta a tierra propias y resistencias de puesta a tierra de acople mutuo. Sin embargo su significado físico no se relaciona con el concepto de resistencia. El desarrollo de esta matriz se ilustra inicialmente con el caso de la Figura 4.3.. z. Zona 2. y. ?2. x. Zona 1 ?1. φ. •A. r. As (a). A’s. •A. As 36.

(30) FISI-2003-I-5. (b) Figura 4.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita.. Se considera una sección infinitesimal del sistema de puesta a tierra. Se asume que la corriente IS fluye desde el conductor hacia la tierra. Esta fuente de corriente se denomina "puntual" As.. El potencial en cualquier punto A de coordenadas (r, f, z) en la tierra satisface la ecuación de Laplace:. 1 ∂ ∂V ( r ,φ , z )  1 ∂ 2V ( r ,φ , z ) ∂ 2V ( r ,φ , z ) ∇ 2V ( r ,φ , z ) = ⋅  r + =0 + 2 r ∂r  ∂r ∂φ 2 ∂z 2  r. (4.16). Debido a la simetría del problema la solución no depende de f. As í que V(r, f, z)=V(r, z) y la ecuación de Laplace queda:. 1 ∂ ∂V ( r ,φ , z )  ∂ 2V ( r ,φ , z ) ∇ 2V ( r ,φ , z ) = ⋅  r =0 + r ∂r  ∂r ∂z 2 . (4.17). Esta solución viene dada en términos de la función de Bessel de orden cero (0), J0 , así:. V (r , z ) =. IS ∞ θ ( k ) J 0 ( kr ) e ± kz dk ∫ 4πσ 1 0. (4.18). Donde k es una variable auxiliar y ?(k) es una función arbitraria de k. Para problemas específicos ?(k) se determina a partir de las condiciones de frontera. El símbolo ± significa la propagación en el eje +z o –z.. 37.

(31) FISI-2003-I-5 La solución general para el potencial en la zona 2 es:. V2 (r , z ) =. IS ∞ θ ( k ) J0 ( kr ) e − kz dk 4πσ1 ∫0 2. (4.19). En esta ecuación el término que corresponde a la dirección +z es omitido ya que V1 (r, z) tiende a cero a medida que z crece. En otras palabras, la condición de frontera que establece que el potencial tiende a cero cuando z tiende al infinito indica que la constante que acompaña este término es igual a cero.. Para la zona uno (1) se tiene:. IS ∞ IS ∞ − k z − zS V1 (r , z ) = J 0 ( kr ) e dk + θ1 ( k ) J0 ( kr ) e kz dk ∫ ∫ 4πσ1 0 4πσ 1 0. (4.20). En esta ecuación, el término que corresponde a la propagación en la dirección - z, e-kz se omite ya que V1 (r, z) tiende a cero a medida que z decrece.. En las dos ecuaciones anteriores ?1 (k) y ?2 (k) son desconocidos. En la frontera que separa ambas zonas, se debe cumplir que el potencial y la corriente deben ser funciones constantes, entonces:. V1 ( r ,0 ) = V2 ( r, 0). (4.21). σ1∂V1 ( r ,0 ) σ 2∂V2 ( r, 0) = ∂z ∂z. (4.22). 38.

(32) FISI-2003-I-5 ∞. I V2 ( r ,0) = S ∫ θ 2 ( k ) J 0 ( kr ) dk 4πσ1 0 ∞. ∞. I I V1 ( r,0) = S ∫ J 0 ( kr ) e kz S dk + S ∫ θ1 ( k ) J 0 ( kr ) dk 4πσ1 0 4πσ 1 0 (4.23) σ1∂V1 ( r ,0 ) I k I k = − S ∫ J 0 ( kr ) e kz S dk + S ∫ θ1 ( k ) J0 ( kr ) dk ∂z 4π 0 4π 0 ∞. ∞. σ 2∂V2 ( r ,0 ) =0 ∂z. Sustituyendo en las ecuaciones determinadas de las condiciones de frontera se tiene que: θ 2 ( k ) = e kz S + θ1 ( k ). (4.24) −e. kz S. + θ1 ( k ) = 0. Resolviendo simultáneamente:. θ1 ( k ) = e kz S. (4.25). θ 2 ( k ) = 2 ekzS. (4.26). Sustituyendo (4.25) y (4.26) en (4.19) y (4.20) se obtiene:. V2 ( r , z ) =. IS ∞ 2 J 0 ( kr ) e −k ( z− zS )dk ∫ 4πσ1 0. (4.27). 39.

(33) FISI-2003-I-5. IS ∞ IS ∞ − k z − zS V1 (r , z ) = J 0 ( kr ) e dk + J 0 ( kr ) ek ( z+ zS )dk ∫ ∫ 4πσ1 0 4πσ1 0. (4.28). En adelante el interés será solo la zona 1.. Las integrales que aparecen para el potencial V1 (r, z) son evaluadas utilizando la siguiente identidad para las funciones de Bessel: ∞. ∫ J (kr ) ⋅ e. ka. 0. 0. dk =. 1. (4.29). r2 + a 2. Sustituyendo en (4.28):.  IS  1 1 V1 (r ,z ) = + 2 2 2 2 4πσ1  r + ( z − z ) r + ( z + zS ) S .    . (4.30). Convirtiendo a coordenadas cartesianas:.  IS  V1 (x ,y , z ) = 4πσ1  . 1. ( x − xS ) 2 + ( y − yS ) 2 + ( z − z S ) 2. +. 1. ( x − x S ) 2 + ( y − yS )2 + ( z + zS )2.   (4.31)  . Este resultado muestra que el potencial en la zona 1 es igual a la generada por dos fuentes puntuales de magnitud IS localizada en los puntos (xS, yS, zS) y (xS, yS, -zS) en una zona. 40.

(34) FISI-2003-I-5 infinita de conductividad s 1 . Esto quiere decir que la interfaz entre las zonas 1 y 2 es la imagen de la fuente puntual con respecto a la interfaz del plano, ver Figura 4.3 (b). La ecuación (4.31) puede utilizarse de varias formas para permitir el análisis de un sistema practico de puesta a tierra una vez éste ha sido dividido en pequeños segmentos. De tal manera que la ecuació n (4.31) es la relación entre el potencial de estos segmentos y la corriente eléctrica que conduce desde la superficie de estos. Considerando el sistema simple de la Figura 4.4 (a).. Cada electrodo del sistema es dividido en n segmentos. pequeños. I1 es la corriente que conduce desde la superficie del segmento i y fluye en la tierra (Ver Figura 4.4 (b)). La Figura también ilustra las vecindades del segmento i. Si el segmento i es muy pequeño, éste puede ser representado mediante una fuente puntual de corriente Ii, localizada en el centro del segmento; el potencial en la superficie del segmento es Vi (Ver Figura 4.4 (c)). El mismo modelo se puede asumir para los segmentos i-1, i+1, y todos los otros segmentos.. Luego se utilizan las ecuaciones básicas para obtener expresiones entre las corrientes eléctricas Ii, i = 1, 2,..., n, y los potenciales Vi, i = 1, 2,..., n. En forma especifica: n. Vi = ∑ f ( x Ai,y Ai,z Aix, j,y j, z j,σ ) ⋅ I j j =1. Donde:   1  f ( x Ai , y Ai, z Ai, x j, y j, z j,σ ) =  4πσ    . 1. (x. − x j ) + ( y Ai − y j ) + ( z Ai − z j ) 2. Ai. 2. 2. 1. (x. − x j ) + ( y Ai − y j ) + ( z Ai + z j ) 2. Ai. 2. 2.  +      . (4.32). Donde: (xAi, yAi, zAi). : coordenadas del punto A localizado en la superficie del segmento i.. (xj, yj, zj). : coordenadas del centro del segmento j.. Ij. : corriente total que sale desde la superficie del segmento j.. 41.

(35) FISI-2003-I-5. Debido a que la mayoría de los sistemas de puesta a tierra tienen alta conductividad todo el sistema se encuentra esencialmente al mismo potencial de tierra (GPR). Entonces: V1 = V2 =… = Vn = V. De la ecuación (4.31) se puede escribir en notación matricial:. [V ][1] = [ FDT ][ I ]. (4.33). Donde se tiene que,. [1]: vector unidad [I]: vector de corriente de cada segmento [FDT]i,j = f (xAi, yAi, zAi, xj, yj, zj, s ) [V] = G.P.R.. I (a) Sistema de puesta a tierra simple. Corriente total I. i-1. Vi. i+1 42.

(36) FISI-2003-I-5. (b) Segmentos pequeños i-1, i, i+1.. (c) Modelo matemático del segmento i. Figura 4.4 Método de la matriz.. las corrientes eléctricas I se calculan de:. [ I ] = [ FDT ]−1 [1][V ]. (4.34). Así la resistencia se puede calcular para el sistema de puesta a tierra como la razón del GPR sobre la corriente eléctrica total. La corriente eléctrica total es:. n. I T = ∑ I j = [1] [ I ] t. (4.35). j =1. R=. V IT. (4.36). 43.

(37) FISI-2003-I-5 Por lo cual este proceso se denomina el método de la matriz ya que envuelve la matriz [FDT].. La ecuación (4.36) es determinante. Como se verá más adelante, R (FDT) es una función dependiente de la geometría del sistema y la conductividad del suelo.. Debido al gran número de configuraciones que pueden presentar los conductores de puesta a tierra la geometría del problema se va complicando. Para limitar posibilidades, se asumirá que los conductores están orientados solamente a lo largo de las tres coordenadas x, y, ó z (como es el escaso práctico) y desarrollar expresiones para el FDT en cada caso.. La derivació n de estas expresiones se ilustra con base en los cuatro casos siguientes, en los cuales se analizan las disposiciones físicas de mallas de puesta a tierra más comunes en los sistemas de puesta a tierra para subestaciones.. 4.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un punto (x, y, z) z y x. • I1. (x, y, z). •. (x1 , y1 , z1 ). 2l1 Figura 4.5 Segmento conductor en tierra.. 44.

(38) FISI-2003-I-5 Considerando el sistema de la Figura 4.5. La coordenada del centro del segmento de conductor es (x1 , y1 , z1 ). Se asume que una corriente total I1 , sale desde la superficie del segmento conductor y fluye entre la tierra. También se asume que el flujo de corriente es uniforme sobre la superficie de este segmento (densidad de superficie constante). El punto (x, y, z) en la tierra es arbitrario.. El objetivo será calcular el potencial en el punto (x, y, z), debido al flujo de corriente I1 , despreciando otras fuentes de corriente eléctrica (despreciando la presencia de los demás segmentos). Típicamente el radio del conductor es pequeño, por lo cual es razonable que la fuente de esta corriente es una línea ideal localizada sobre el eje del segmento conductor. La densidad de corriente de la línea es. I1 (A/m). La corriente eléctrica de una longitud 2l1. infinitesimal de la fuente de línea, dxS , es. I 1dx S . La contribución de esta corriente para el 2l1. potencial en el punto (x, y, z) es:  I 1dx S  dV (x , y , z ) = 8l1πσ   Donde :.   + 2 2 2 2  ( x − x S ) + A− ( x − x S ) + A+  1. (4.37). A±2 = ( y − y1 ) + ( z ± z1 ) 2. 1. 2. La Figura 4.6 muestra por simplicidad que el segmento de conductor tiene una longitud que se denotará 2l y la corriente total como I. z y x. (x, y, z) (xS, y1 , z1 ). (x1 , y1 , z1 ) • 45. dxS.

(39) FISI-2003-I-5. Figura 4.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad de corriente constante.. El potencial en el punto (x, y, z) es la contribución de todas las fuentes de corriente infinitesimales:. I V (x , y , z ) = ∫ dV ( x, y, z ) = 1 8l1πσ.  ∫x −l  1  x1 + l.  dxS (4.38) + 2 2 2 2  ( x − xS ) + A− ( x − x S ) + A+  1. 1. La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:. . ∫ . (.  dt = ln t + t2 ± u 2  1. t2 ± u 2. ). (4.39). Reemplazando obtenemos:. V (x , y , z ) = Donde :. I1  F ( x − x1 + l1, A− ) − F1 ( x − x1 − l1 , A− ) + F1 ( x − x1 + l1, A+ ) − F1 ( x − x1 − l1, A+ )  8l1πσ  1. (. F1 ( t , u ) = ln t + t 2 + u 2. ) (4.40). De acuerdo con la ecuación (4.40) y a la definición de FDT se llega a:. FDT =. 1  F1 ( x − x1 + l1 , A− ) − F1 ( x − x1 − l1 , A− ) + F1 ( x − x1 + l1 , A+ ) − F1 ( x − x1 − l1 , A+ )  8l1πσ  (4.41). La ecuación (4.41) da una forma de los FDT entre un segmento de conductor de longitud 2l paralelo al eje X y un punto (x, y, z) (resistencia transferida).. 46.

(40) FISI-2003-I-5. 4.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X (paralelos): Considerando la Figura 4.7 el flujo de corriente I1 transferirá un potencial hacia el segmento del conductor dos, V2 . z y x. • I1. 2l2 (x, y, z). •. • (x2 , y2 , z2 ) (x1 , y1 , z1 ). 2l1 Figura 4.7 Dos segmentos de conductor en tierra.. El objetivo será calcular este potencial a lo largo del eje del segmento del conductor dos, asumiendo la ausencia del otro conductor. Un punto en el eje de dicho segmento tendrá coordenadas (x, y2 , z2 ), donde x2 - l2 < x < x2 + l2 . El potencial en el punto (x, y2 , z2 ) se obtiene de la ecuación (4.41):. V2 ( x , y2 , z2 ) =. I1  F ( x − x1 + l1, B− ) − F1 ( x − x1 − l1, B− ) + F1 ( x − x1 + l1, B+ ) − F1 ( x − x1 − l1, B+ )  8l1πσ  1. Donde : B± =. ( y 2 − y1 ). 2. + ( z2 ± z1 ). 2. (4.42) El potencial promedio a lo largo del eje es:. 1 V2 = 2l2. x2 + l2. ∫. V2 ( x , y 2 , z2 ) dx. (4.43). x2 −l 2. 47.

(41) FISI-2003-I-5. La anterior integral corresponde a la siguiente identidad:. ∫ F ( t, u )dt = t ln ( t + 1. ). t 2 + u 2 − t2 + u 2. (4.44). Reemplazando:.  F2 ( x2 − x 1 + l1 + l2 , B− ) + F2 ( x2 − x1 + l1 + l 2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 + l1 − l2 , B − ) −   I1 V2 = F2 ( x2 − x 1 + l 1 − l 2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 − l1 + l2 , B− ) − F2 ( x2 − x1 − l1 + l2 , B+ ) +   16l1l 2πσ    F2 ( x2 − x 1 − l 1 − l 2 , B− ) + F2 ( x2 − x1 − l1 − l2 , B+ )  (4.45). Donde:. (. ). F2 ( t , u ) = t ln t + t 2 + u 2 − t 2 + u 2. (4.46). Entonces:. 1 FDT = 16l1l 2πσ.  F2 ( x 2 − x1 + l1 + l2 , B− ) + F2 ( x2 − x1 + l1 + l 2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 + l1 − l2 , B− ) −    F2 ( x 2 − x1 + l1 − l2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 − l1 + l 2 , B− ) − F2 ( x2 − x 1 − l 1 + l 2 , B + ) +   F (x −x − l − l , B ) + F ( x − x − l − l ,B )  2 2 1 1 2 +  2 2 1 1 2 −  (4.47). La ecuación (4.47) da una forma para los FDT entre dos segmentos de conductor de longitudes 2l1 y 2l2 paralelos al eje X (resistencia mutua).. 48.

(42) FISI-2003-I-5. 4.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un segmento conductor dirigido en el eje Y. Dicho arreglo está presentado en la Figura 4.8. La corriente eléctrica total del conductor dirigido en el eje X es I1 . El objetivo es calcular el potencial transferido al segmento dirigido en el eje Y debida a la corriente del segmento, dirigido en el eje X.. y x. 2l2 •. •. (x2 , y2 , z2 ) (x1 , y1 , z1 ) 2l1 Figura 4.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y.. Las coordenadas de un punto en el eje del conductor dirigido en Y son (x2 , y, z2 ), donde y varía en el intervalo y2 - l2 = y = y2 + l2 . El potencial en el punto (x2 , y, z2 ) debido a la corriente del conductor dirigido en X resulta mediante la aplicación apropiada de la ecuación (4.41):. V2 ( x2 , y , z2 ) =. I1  F ( x − x + l , C ) − F1 ( x2 − x1 − l1, C− ) + F1 ( x2 − x1 + l1, C+ ) − F1 ( x2 − x1 − l1 , C+ )  8l1πσ  1 2 1 1 −. Donde : C± =. ( y − y1 ). 2. + ( z2 ± z1 ). 2. (4.48). 49.

(43) FISI-2003-I-5. El potencial promedio a lo largo del eje Y es:. V2 =. 1 2l2. y2 +l2. ∫. V2 ( x 2 , y , z2 ) dy. (4.49). y2 −l2. La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:. (. ). F3 ( t , u , v ) = ∫ ln t + t 2 + u 2 + v 2 du. (. = −u + u ln t + t + u + v 2. 2. 2. ) + t ln ( u +. t +u + v 2. 2. 2. ).  t + u + t 2 + u2 + v2 + 2v tan   v  −1.  (4.50)   . Reemplazando en la ecuación (4.49):  F3 ( x2 − x1 + l1, y 2 − y1 + l 2 , z2 − z1 ) − F3 ( x2 − x1 + l1, y2 − y1 − l 2 , z2 − z1 ) −    I1  F3 ( x2 − x1 − l1 , y 2 − y 1 + l2 , z2 − z1 ) + F3 ( x2 − x1 − l1, y 2 − y 1 − l2 , z2 − z1 ) +  (4.51) V2 = 16l1l 2πσ  F3 ( x2 − x1 + l1, y 2 − y1 + l 2 , z2 + z1 ) − F3 ( x2 − x1 + l1, y2 − y1 − l 2 , z 2 + z1 ) −    F3 ( x2 − x1 − l1 , y 2 − y 1 + l2 , z2 + z1 ) + F3 ( x2 − x1 − l1 , y2 − y1 − l 2 , z2 + z1 )   . Por lo tanto el FDT (resistencia transferida) para este caso:  F3 ( x2 − x1  1  F3 ( x2 − x1 FDT = 16l1l 2πσ  F3 ( x2 − x1   F3 ( x2 − x1 . + l1, y2 − y1 + l 2 , z 2 − z1 ) − F3 ( x2 − x1 + l1, y2 − y1 − l 2 , z 2 − z1 ) −   − l1, y 2 − y1 + l 2 , z 2 − z1 ) + F3 ( x2 − x1 − l1, y2 − y1 − l 2 , z 2 − z1 ) +  (4.52) + l1, y2 − y1 + l 2 , z 2 + z1 ) − F3 ( x2 − x1 + l1, y2 − y1 − l 2 , z 2 + z1 ) −  − l1, y 2 − y1 + l 2 , z 2 + z1 ) + F3 ( x2 − x1 − l1 , y2 − y1 − l 2 , z 2 + z1 ) . 50.

(44) FISI-2003-I-5. 4.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X: Es definido como la razón de la elevación de tensión de un segmento de conductor enterrado a la corriente eléctrica total que fluye entre la tierra desde la superficie del conductor. El cálculo del FDT requiere la consideración del diámetro finito del segmento. Específicamente, en las discusiones anteriores el segmento se modeló como una fuente de corriente en línea localizada sobre eje del conductor. Se asumió esta densidad de corriente constante. Luego se calculó el potencial del segmento como el potencial promedio sobre la superficie cilíndrica del segmento. Debido a que la longitud del segmento es típicamente mucho mayor que el radio, la superficie de los extremos es ignorada.. Sea la longitud del segmento igual a 2l, su radio a, y la corriente total I. La densidad de corriente de la fuente de línea es: k =. I . 2l. Considerando una superficie cilíndrica infinitesimal de segmento de conductor localizada en el punto x, como se ve en la Figura 4.9. La longitud infinitesimal dxS representa una fuente infinitesimal de corriente cuya corriente es. IdxS . Ahora considerando un punto (x, 2l. y, z) localizado sobre la superficie cilíndrica infinitesimal.. El potencial en este punto. debido a la fuente de corriente infinitesimal es:  IdxS  dV ( x, y , z ) = 8 Iπσ   Donde : A+ =. ( y − y1 ). 2.   + 2 2 2 2  ( xS − x ) + a ( xS − x ) + A+  1. 1. (4.53). + ( z + z1 ). 2. 51.

(45) FISI-2003-I-5. (x, y, z) dx •. φ. dxS • (x1 , y1 , z1 ). (x, y1 , z1 ) Figura 4.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X.. Si se asume que la profundidad del conductor es mucho mayor que el radio a, entonces A+ se puede aproximar de acuerdo al siguiente procedimiento: A+ =. ( y − y1 ). 2. + ( z + z1 ). 2. Entonces: A+2 = ( y − y1 ) + ( z + z1 ) 2. 2. Como a 2 = ( y − y1 ) + ( z − z1 ) entonces: 2. 2. A+2 = ( y − y1 ) + ( z + z1 ) + ( z − z1 ) − ( z − z1 ) = a 2 + ( z + z1 ) − ( z − z1 ) 2. 2. 2. 2. 2. 2. Usando la factorización por diferencia de cuadrados se tiene que: A+2 = a 2 + 4 z z1. Como z1 ? a entonces z ≈ z1 :. A+ ≅ a 2 + 4 z12. (4.54). 52.

(46) FISI-2003-I-5 El potencial en el punto (x, y, z) es la suma de las contribuciones de todas las fuentes infinitesimales: x1 +l. V (x , y , x ) =. ∫. dV (x , y , x ). (4.55). x1 −l. Sustituyendo A+ y evaluando la integral se tiene:. V (x , y , z ) =. (. ) (. ). I  F1 ( x − x1 + l , a ) − F1 ( x − x1 − l , a ) + F1 x − x1 + l , a 2 + 4z12 − F1 x − x1 − l , a 2 + 4 z12     8lπσ (4.56). Donde la función F1 , está definida en la ecuación (4.40). De la ecuación (4.55) se ve, que el potencial V(x, y, z) solamente depende de la coordenada X: V(x)=V(x, y, z).. Así que:. V1 =. 1 2l. x1 + l. ∫ V ( x )dx. (4.57). x1 − l. Evaluando la integral:. (.  F ( 2l , a ) − 2F ( 0, a ) + F ( −2l , a ) + F 2l , a 2 + 4 z 2 2 2 2 1 I  2 V1 = 16πσ l 2  −2 F 0, a 2 + 4z 2 + F −2l , a 2 + 4 z 2  2 1 2 1. (. ) (. ). )  . (4.58). Donde la función F2 está definida en la ecuación (4.46). Nótese que F2 ( 0, a ) = − a y. (. ). F2 0, a 2 + 4 z12 = − a 2 + 4 z12 .. 53.

(47) FISI-2003-I-5. El FDT propio del segmento es:. FDT =. (. ) (. ). 1  F 2 l , a ) + F2 ( −2l , a ) + 2a + F2 2l , a 2 + 4z12 + F2 −2l , a 2 + 4 z12 + 2 a 2 + 4 z12  2  2(   16πσ l (4.59). La ecuación (4.58) es el FDT propio (resistencia propia) de un segmento de conductor dirigido en el eje X.. A continuación, en la siguiente sección, se presenta un resumen de los FDT para segmentos de conductor paralelos a cualquiera de las tres coordenadas en el plano cartesiano. Dicha tabla se puede utilizar en el análisis de la mayoría de sistemas de puesta a tierra prácticos en subestaciones de alta y media tensión. Dichos FDT son válidos si se asume que la tierra es un medio conductor semi- infinito de conductividad s constante. Esto está lejos de la realidad, ya que la conductividad de los suelos presenta variaciones espaciales y estacionales. Sin embargo un análisis que incluya dichas variaciones sería prácticamente imposible. De otro lado los efectos de las variaciones de la resistividad siempre son substanc iales. En cualquier caso, la conductividad del suelo bajo una cierta distancia desde la superficie de la tierra se mantiene aproximadamente constante (prácticamente varía con el paso del tiempo). La conductividad de la capa superior puede variar con las condiciones climáticas (una alta conductividad después de un día lluvioso). Es conveniente modelar la tierra como un medio semi- infinito estratificado. Típicamente como compromiso entre la simplicidad del modelo y la necesidad de modelar la tierra en forma estratificada, se asume un modelo de dos capas.. El análisis presentado en las secciones anteriores se puede. extender a este tipo de modelos.. 54.

(48) FISI-2003-I-5. 4.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de conductor en coordenadas cartesianas: 4.1.1.5.1 FDT entre un segmento de conductor y un punto. Resistencia transferida.. EJE X:. FDT =. 1  F1 ( x − x1 + l , Ax− ) − F1 ( x − x1 − l , Ax− ) + F1 ( x − x1 + l, Ax+ ) − F1 ( x − x1 − l, Ax+ )   8lπσ . EJE Y:. FDT =. 1  F1 ( y − y1 + l , A−y ) − F1 ( y − y1 − l , A −y ) + F1 ( y − y1 + l, A+y ) − F1 ( y − y1 − l, A+y )   8lπσ . EJE Z:. FDT =. 1  F1 ( x − x1 + l , Az− ) − F1 ( x − x1 − l , Az− ) + F1 ( x − x1 + l, Az− ) − F1 ( x − x1 − l, Az− )  8lπσ . 4.1.1.5.2 FDT entre dos segmentos de conductor. Resistencia mutua. EJE X - EJE X:. 1 FDT = 16l1l 2πσ.  F2 ( x 2 − x1 + l1 + l2 , B− ) + F2 ( x2 − x1 + l1 + l 2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 + l1 − l2 , B− ) −    F2 ( x 2 − x1 + l1 − l2 , B+ ) − F2 ( x2 − x1 − l1 + l 2 , B− ) − F2 ( x2 − x 1 − l 1 + l 2 , B + ) +   F (x −x − l − l , B ) + F ( x − x − l − l ,B )  2 2 1 1 2 +  2 2 1 1 2 − . EJE Y - EJE Y: 55.