Representación de un Vector

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Vectores

• Los vectores se caracterizan

por tener una magnitud, expresable por un número real, una dirección y un sentido.

• Un ejemplo de vectores son los

desplazamientos. Otro ejemplo de vectores en Física, lo constituyen las fuerzas que se aplican a los cuerpos.

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Escalares

• Una cantidad física que pueda

ser completamente descrita por un número real, en términos de alguna unidad de medida de ella.

• El tiempo, la masa, la

temperatura y la energía son

escalares: sólo tienen

magnitud, no tienen dirección asociada a ellas.

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Representación de un Vector

Los

vectores

se

representan

mediante

flechas,

en

que

la

longitud de la flecha se

traza proporcionalmente

a la magnitud del vector.

Las

letras

que

representan vectores se

escriben en negrita.

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Componentes de un vector

Podemos descomponer

un vector en un sistema

de 3 ejes cartesianos

(x,y,z) en el espacio de

tres dimensiones.

En dos dimensiones

(x,y) sería:

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Componentes de un vector

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Suma de Vectores

• si Ud. se desplaza 4 km hacia

el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto

de partida tendrá una

magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo.

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Suma de Vectores

• Vectorialmente, el

desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.

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Suma de Vectores

Regla General

(1) Use una misma escala para las magnitudes.

(2) Trace uno de los vectores, digamos V1 (3) Trace el segundo vector, V2,

colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.

(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.

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Suma de Vectores

Este método de cola a punta se puede

ampliar a tres o más vectores. Suponga

que deseamos sumar los vectores V

1

, V

2

, y

V

3

representados a continuación:

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Resta de Vectores

• Dado un vector V se define el

negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

• La diferencia de dos vectores A

y B se define como

A - B = A + (-B) De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

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ACTIVIDAD

1. Desde el centro de una ciudad, un vehículo viaja hacia el este durante 80km y luego da la vuelta al sur durante otros 192 km, hasta que se le acaba la gasolina. Determinar el desplazamiento del automóvil detenido desde el centro de la ciudad.

2. Una tortuga esta en el origen de una cuadricula dibujada en una hoja de papel grande. Cada cuadro mide 1cm x 1cm. La tortuga camina un rato y termina en el punto (24,10), es decir, 24 cuadros a lo largo del eje x y 10 cuadros a lo largo del eje y. Determine el desplazamiento de la tortuga desde el punto al origen.

3. Un insecto comienza en el punto A, se

desplaza 8cm al este, luego 5cm al sur, 3cm al oeste y 4cm al norte hasta el punto B.

a) ¿Qué tan al norte y al este está B de A?

b) Encuentre el desplazamiento de A a B tanto de manera grafica como algebraica.

1. Rta: 208km -67.4º sureste

2. Rta: 26cm – 23º arriba del eje x

3. Rta:

a) 1cm –sur ; 5cm – Este b) 5.10 cm -11.3º sureste

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Producto Punto (Escalar)

• En matemáticas el producto

escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un

espacio vectorial cuyo

resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real

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Producto Punto (Escalar)

Por ejemplo:

Si A = (4,-2,5) y B = (-3,4,-5) entonces:

A.B = (4)(-3) + (-2)(4) + 5(-5)

A.B = -12 -8 -25

A.B = -45

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Producto Punto (Escalar)

Propiedades

• 1. Conmutativa: • A . B = B . A • 2. Distributiva respecto a la suma vectorial: • A . (B + C) = A . B + A . C • 3. Asociativa respecto al

producto por un escalar

m

:

m

(A.B) = (

m

A).B = A.(

m

B)

Actividad en Clase

1. Hallemos el producto escalar A.B para A=(3,1,-2,5) y B=(-4,3,6,-1) 2. Calculemos el producto escalar

A.(B+C) para A=(3,4,-3,1) B=(3,2,-1,5) y C=(6,-2,3,1) 3. Demostremos que los vectores

A=(4,3,-1,5) y B=(3,2,8,-2) son perpendiculares

4. Hallemos A2 para A = (3,4,-1,4)

5. Calculemos (A+B)2 para

A=(3,-2,5,1), B=(2,-3,-4,-5). En este caso, vamos a efectuar el

producto escalar mediante la aplicación de las propiedades del producto.

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Producto Vectorial (Cruz)

• Es una operación binaria entre

dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da

como resultado un

vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el

símbolo ) o producto

externo (pues está

relacionado con el producto exterior)

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Producto Vectorial (Cruz)

Ejemplo:

El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

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Producto Vectorial (Cruz)

Propiedades

• A x B = - (B x A) • A x (B + C) = A x B + A x C • (A + B) x C = A x C + B x C • p(A x B) = (p.A) x B = A x (p.B) • A x 0 = 0 x A = 0 • A x A = 0 • A.(A x B) = 0 y B.(A x B) = 0 • [[A x B]]2 = [[A]]2 [[B]]2 – (A.B)2

Actividad en Clase

 Hallemos producto vectorial A x B

con A=(1,3,-1) y B=(2,-1,3)

 Dados los Vectores A=(-3,2,1)

B=(7,-1,2) y C=(2,3,-1) Hallar: a) A x B b) B x A c) A x (B x C) d) (A x B) x C e) (A x B) x (B x C)

 Para cada inciso, determinar un

vector perpendicular a los vectores dados

• A = (3,-1,7) B = (4,3,2) • A = (0,0,1) B = (3,-1,2)

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