Soluciones de la Hoja de problemas de Números complejos y trigonometría.
1. Con ayuda de las fórmulas que relacionan la suma o diferencia entre dos ángulos, calcula las siguientes razones trigonométricas: (1.a) cos 5π 12 = cosπ 4 + π 6 = cosπ 4 cosπ 6 −senπ 4 ·senπ 6 = √ 2 2 √ 3 2 − √ 2 2 1 2 = √ 2 4 ( √ 3−1). (1.b) cosπ 12 = cosπ 4 − π 6 = cosπ 4 cosπ 6 + senπ 4 ·senπ 6 = √ 2 2 √ 3 2 + √ 2 2 1 2 = √ 2 4 ( √ 3 + 1). (1.c) sen 7π 12 = senπ 3 + π 4 = senπ 3 cosπ 4 +cosπ 3 ·senπ 4 = √ 3 2 √ 3 2 + 1 2 √ 2 2 = √ 2 4 ( √ 3+1).
2. Demuestra que cualesquiera que sean los ángulos a, b y c, se verifica: (2.a) Por una parte,
tgπ 4 +a = senπ 4 +a cosπ 4 +a , tg π 4 −a = senπ 4 −a cosπ 4 −a . Ahora bien, senπ 4 ±a = senπ 4
cosa±senacosπ 4 = √ 2 2 (cosa±sena), cosπ 4 ±a = cosπ 4
cosa∓senasenπ 4 = √ 2 2 (cosa∓sena) luego tgπ 4 +a =(cosa+ sena) (cosa−sena), tg π 4 −a = (cosa−sena) (cosa+ sena). En consecuencia, tgπ 4 +a −tgπ 4 −a = (cosa+ sena) (cosa−sena)− (cosa−sena) (cosa+ sena) = (cosa+ sena) 2−(cosa−sena)2 (cosa)2−(sena)2 = 4 cosasena (cosa)2−(sena)2 = 2 sen(2a) cos(2a) = 2 tg(2a). (2.b) 2 sena tg(2a) = 2 sena sen(2a) cos(2a) =2 senacos(2a) sen(2a) =
2 sena((cosa)2−(sena)2)
2 senacosa = cosa−
(sena)2 cosa .
(2.c) Por una parte, cos 5π 2 −x = cos 5π 2 cosx+ sen 5π 2 senx= + senx. Por otra, senπ 2 +x = senπ 2 cosx+ cosπ 2 senx= cosx. Luego: cos2 5π 2 −x + sen2π 2 +x = 1
(2.d)
sen(3a) = sen(a+ 2a) = senacos(2a) + cosasen(2a)
= sena(cos2a−sen2a) + cosa2 senacosa= sena(cos2a−sen2a+ 2 cos2a) = sena(3 cos2a−sen2a)
(2.e)
senasen(b−c) + senbsen(c−a) + sencsen(a−b)
= sena(senb cosc−cosb senc) + senb(senc cosa−coscsena) + senc(senacosb−cosasenb) = 0. (2.f) sen(4a) + sen(2a) cos(4a) + cos(2a) = sen(3a+a) + sen(3a−a) cos(3a+a) + cos(3a−a)
= sen(3a) cosa+ cos(3a) sena+ sen(3a) cosa−cos(3a) sena cos(3a) cosa−sen(3a) sena+ cos(3a) cosa+ sen(3a) sena
= 2 sen(3a) cosa
2 cos(3a) cosa = tg(3a).
3. Transforma en producto las siguientes expresiones:
(3.a) sen(20o) + sen(40o) = 2 sen(30o) cos(−10o) = 2 sen(30o) cos(10o).
(3.b) cos(46o) + cos(44o) = 2 cos(45o) cos(1o) =√2 cos(1o).
(3.c) cos(36o)−cos(14o) =−2 sen(25o) sen(11o).
(3.d) sen(52o)−cos(8o). Observemos que sen(52o) = sen(90o−38o) = cos(38o), luego sen(52o)−cos(8o) = cos(38o)−cos(8o) =−2 sen(23o) sen(15o).
(3.e) sen(48o)−sen(15o) = 2 cos(3105o) sen(1605o).
(3.f) sen(26o) + cos(64o). Observemos quesen(26o) = sen(90o−64o) = cos(64o), luego
sen(26o) + cos(64o) = 2 cos(64o).
4. Transforma en suma los siguientes productos: (4.a) sen(22o)·sen(28o) =−1
2[cos(50 o−cos(−6o)] =−1 2[cos(50 o−cos(6o)]. (4.b) sen(34o)·cos(26o) =1 2[sen(60 o) + sen(8o)]. (4.c) cos(54o)·cos(36o) =1 2[cos(90 o) + cos(18o)] = 1 2 cos(18 o). (4.d) sen(3a)·sen(5a) =−1 2[cos(8a)−cos(−2a)]. (4.e) cos(4a)·sen(2a) = 1
2[sen(6a)−sen(2a)]. (4.f) cos(6a)·cos(2a) = 1
5. Un lado de un triángulo esay su ángulo opuesto vale 30o. Hallaasabiendo que el radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo es 3.
Usando el teorema del seno, sabemos que:
a
senA = 2R ⇒ a= 2Rsen(30
o) = 2·3·1
2 = 3, luego el lado atiene una longitud de 3.
6. El ángulo de elevación de una montaña desde un puntoAes de π
6. Si avanzamos 100 m. hacia la montaña, el ángulo aumenta hasta π
4. ¿Cuál es la altura de la montaña?
Buscamos la alturahde la montaña. Usando la información del enunciado, si la distancia más pequeña a la montaña esx, sabemos que:
tgπ 6 = h 100 +x, tg π 4 =h x es decir, h= √ 3 3 (100 +x), h=x. Igualando ambas expresiones, obtenemos quex= 100
√ 3 3−√3 = 50 (
√
3 + 1) =h.
7. Dos individuos situados a 4 km. uno de otro (en horizontal) observan un globo que está alzado en un punto intermedio entre ambos. Respecto de uno de ellos, el ángulo de elevación del globo es de π
4, y respecto del otro π
3. Halla la altura del globo y la distancia del globo a cada uno de ellos (en línea recta). Si llamamos hla altura del globo, xla distancia al individuo que lo ve con un ángulo de π
4 y4−xa la distancia del individuo que lo ve con un ángulo de π
3, entonces: tgπ 3 = h 4−x, tg π 4 = h x s decir, h=√3 (4−x), h=x.
Igualando ambas expresiones, obtenemos quex= 4 √ 3 √ 3 + 1 = 6−2 √ 3 =h.
8. Dos fuerzas de 10N y 20 N han dado como resultante un vector de módulo10√7 N. ¿Qué ángulo forman dichas fuerzas?
Observemos que con los datos podemos construir un triángulo de elementos:
a= 10, b= 20, c= 10√7, A+B+C=π
El ángulo αque buscamos verifica queα=π−C y gracias al teorema del coseno:
c2=a2+b2−2a bcosC ⇔ cosC= a 2+b2−c2 2a b = 100 + 400−700 400 =− 1 2 Luego C=π−π 3 = 2π 3 yα= π 3 = 60 o.
9. Efectúa las siguientes sumas de números complejos: (9.a) 3 +i (9.b) 13 + 2i (9.c) 8 +i (9.d) −3 + 2i (9.e) 2i
10. Efectúa los siguientes productos de números complejos: (10.a) 15 + 9i
(10.b) 37
(10.c) −10−20i
(10.d) 5 + 2i
(10.e) 2−4i
11. Efectúa los siguientes cocientes de números complejos: (11.a) 11−3i (11.b) 7 2 + 3 2i (11.c) 7 2+ 3 2i (11.d) −2−3i (11.e) −i
12. Efectúa las siguientes potencias de números complejos: (12.a) −4−4i (12.b) −8 + 8√3i (12.c) 210 π =−210=−1024 (12.d) 21011−297√5i= 11264−3584√5i (12.e) 27i (12.f) −1 (12.g) i
13. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: (13.a) r=√2, α=π 4 (13.b) r=√5, α=π−arc tg 1 2 (13.c) r=√13, α=π+ arc tg 3 2 (13.d) r=√2, α=5π 4 (13.e) r= 1, α= 2π 3
14. Escribe de todas las formas posibles los siguientes números complejos: (14.a) 4 + 4√5i= 4√6arc tg(√
5)= 4
√
6 cos(arc tg(√5)) + sen(arc tg(√5))i
(14.b) i= 1π 2 =cos π 2 + senπ 2 i (14.c) 6225o = 65π 4 =−3 √ 2−3√2i (14.d) −5−9i=√106π+arc tg(9/5)=... (14.e) 2−√3i=√72π−arc tg(√ 3/2)=... (14.f) −3 + 4i= 5π−arc tg(4/3)=...
15. Efectúa el producto de los siguientes números complejos en forma polar: (15.a) 1103π 16 (15.b) 8341o (15.c) 13π 4 =− √ 2 2 + √ 2 2 i (15.d) 2031π 36 (15.e) 217o
16. Efectúa el cociente de los siguientes números complejos en forma polar: (16.a) 2359o (16.b) 24π 3 = 1 + √ 3i (16.c) 10 7 π 3 = 5 7+ 5√3 7 i ! (16.d) 1 2 345o (16.e) 35o
17. Escribe las operaciones y resultados de los dos ejercicios anteriores en forma fasorial: (17.a) 5π 8 ·2216π = 5e iπ 8 ·22ei π 16 = 110ei 3π 16. (17.b) 8−52o·133o = 8e−i52 o ·1ei33o = 8ei341o . (17.c) 1π 2 ·1 π 4 =e iπ 2 ·ei π 4 =ei 3π 4 =− √ 2 2 + √ 2 2 i (17.d) 4125o·5π 6 = 4e i125o·5eiπ 6 = 20ei 31π 36 . (17.e) 32o·75o = 3ei2 o ·7ei5o = 21ei7o. (17.f) 20o : 11o = 2ei0 o :ei1o= 2e−i1o = 2ei359o. (17.g) 4−π 2 : 2 π 6 = 4e −iπ 2 : 2ei π 6 = 2ei 4π 3 = 1 + √ 3i. (17.h) 10π 2 : 7 π 6 = 10e iπ 2 : 7ei π 6 = 10 7 eiπ3 = 5 7 + 5√3 7 i ! (17.i) 915o : 1830o = 9ei15 o : 18ei30o = 1 2 e−i15o = 1 2 ei345o. (17.j) 912o : 37o = 9ei12 o : 3ei7o = 3ei5o.
18. Efectúa las potencias de los siguientes números complejos en forma polar: (18.a) 2739o (18.b) 149o (18.c) 9 4 5π 3 = 9 8 − 9 8 √ 3i (18.d) 2564π 5 = 256 cos 4π 5 + sen 4π 5 i (18.e) 1250o = 125
19. Efectúa las raíces de los siguientes números complejos: (19.a) 21γ/8 conγ={ π 16, 9π 16, 17π 16 , 25π 16 } (19.b) 6γ con γ={ π 2, 3π 2 }={6i,−6i} (19.c) 3γ con γ={ π 3, π, 5π 3 }={−3, 3 2 − 3√3 2 i, 3 2 + 3√3 2 i} (19.d) 3γ con γ={ π 12, 5π 12, 9π 12, 13π 12 , 17π 12 , 21π 12 } (19.e) √4−16 = 2 γ con γ={ π 4, 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 }={ √ 2(1 +i),√2(−1 +i),√2(−1−i),√2(1−i)}
20. Hallar todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones: (a) 1γ con γ= 2kπ 8 , k= 0,1, . . . ,7 ={1,−1, i,−i, √ 2 2 + √ 2 2 i,− √ 2 2 + √ 2 2 i,− √ 2 2 − √ 2 2 i, √ 2 2 − √ 2 2 i} (b) 3 2 + 3 2i, 3 2 − 3 2i (c) 1γ con γ= π+ 2kπ 3 , k= 0,1,2 ={−1, 1 2− √ 3 2 i, 1 2+ √ 3 2 i} (d) {1,−1 2+ √ 3 2 i,− 1 2− √ 3 2 i,2,−1 + √ 3i,−1−√3i} (e) {3,3i,−3i}
21. Resuelve los siguientes problemas: (a) x= 15 2 (b) x=−10 3 (c) {m= 1, n= 1},{m= 3 2, n= 2 3} (d) x=−2 (e) (a, b) = (0,0),(1,0), −1 2, √ 3 2 ! , −1 2,− √ 3 2 ! (f) (g) (h) a=±b
(i) a2−b2>0,a·b= 0luego las soluciones son de la forma (a,0),a∈R\{0}. (j) a2−b2<0,a·b= 0luego las soluciones son de la forma (0, b),b∈R\{0}.
