Física - El Postulante

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Texto completo

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C O L E C C IÓ N EL POSTULANTE

FÍSICA

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FÍSICA - C o le c c i ó n E l P o s t u l a n t e

Salvador Tim oteo

© Salvador Tim oteo

Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Blanca Llanos Responsable de edición: Alex Cubas

© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808

E-mail\ inform es@ editorialsanm arcos.com

Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-12003

ISBN 978-612-302-915-9

Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780

Prohibida la reproducción to ta l o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del a utor y del editor.

Impreso en el Perú / Printed in Perú

Pedidos:

Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563

E-mail: ventaslibreria@ editorialsanmarcos.com www.editorialsanm arcos.com

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ÍNDICE

Análisis d im e n sio n a l... 9

Análisis ve cto ria l... 14

C inem ática... 20

M ovim iento vertical de caída libre (M V C L )... 30

E stá tica ... 35

D inám ica... 46

R o za m ie n to ... 51

Trabajo y p o te n c ia ... 56

E n e rg ía ... 63

Hidrostática y ca lo rim e tría ... 68

T erm od in á m ica... 77

E le ctrostática... 85

C o n d e n sa d o re s... 96

E lectrodinám ica... 101

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PRESENTACION

Editorial San M arcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegram ente pensando en las necesidades académ icas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.

La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticam ente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocim ientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exám enes de admisión, sino afianzar los saberes de su form ación escolar y alcanzar una form ación integral que les permita, en el futuro próxim o, desarrollar una vida universitaria exitosa.

Finalmente, deseam os hacer un reconocim iento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­ dro de Castro, Jorge Solarl y Nathali Falcón, profesores de am plia trayectoria en las m ejores academ ias de nuestro país, quienes han entregado lo m ejor de su experiencia y conocim ientos en el desarrollo de los contenidos.

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-ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es el estudio de las relaciones que guardan entre sí todas las m agnitudes físicas, ya que toda m agni­ tud derivada depende de las fundam entales.

MAGNITUD

Para la Física, una m agnitud es aquella propiedad de un cuerpo, sustancia o fenóm eno físico suscep­ tible de ser medida.

MEDIR

M edir es com parar dos m agnitudes de la m isma especie donde una de ellas se tom a com o unidad de medida.

CLASIFIC ACIÓ N DE LAS M AG NITUDES FÍSICAS

I. De acuerdo a su origen

Magnitudes fundam entales: son aque­ llas m agnitudes que se tom an como pa­ trones y se escogen convencionalm en­ te para definir las m agnitudes restantes. M agnitudes derivadas: son aquellas m agnitudes que se obtienen por com bi­ nación de las que se han tom ado como fundam entales.

II. De acuerdo a su naturaleza

M agnitudes escalares: son aquellas m agnitudes que para estar bien defini­ das basta conocer únicam ente su valor numérico.

M agnitudes vectoriales: son aquellas que para su definición se requiere apar­ te de su valor, una dirección.

SISTEMA DE UNIDADES

Es la a g ru p a ció n o rd enada de u n idades de m e­ dida de las m ag n itu d e s físicas; hasta hace a lg u ­ nos años eran de uso fre cu e n te los sig u ie n tes sistem as:

Sistem as absolutos. Estos sistem as se caracteri­ zan por tom ar com o m agnitudes fundam entales a la longitud, a la masa y al tiempo.

Sistem a L M T

M. K. S. m etro kilogram o segundo

C. G. S. centím etro gram o segundo

F. P. S. pie libra segundo

Sistem as técnicos o gravitatorios. Estos siste­ mas elegían como m agnitudes fundam entales a la longitud, a la fuerza y al tiempo.

Sistema L M T

Técnico métrico metro kgf segundo

Técnico cegesimal centímetro grf segundo

Técnico inglés pie Ibf segundo

En la actualidad se em plea un sistem a más cohe­ rente, donde las m agnitudes fundam entales son siete, en el cual cada m agnitud física posee una adecuada unidad de medida.

Sistem a Internacional de Unidades (SI). En este sistema las m agnitudes fundam entales son:

M agnitud Unidad Sím bolo

Longitud metro m

Masa kilogram o kg

Tiempo segundo s

Temperatura term odinám ica kelvin K Intensidad de corriente eléctrica am pere A Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mo!

A dem ás existen dos m agnitudes suplem entarias:

Magnitud Unidad S ím b o lo

Ángulo plano radián rad

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1 0 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

ECUACION DIMENSIONAL

Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundam entales.

Para determ inar la ecuación dim ensional de una m agnitud derivada siem pre se parte de una fór­ mula que previam ente ha sido hallada por otros medios.

El sím bolo empleado para representar una ecua­ ción dim ensional son corchetes que encierran a una magnitud, así [trabajo], se lee ecuación dim en­ sional del trabajo.

En general, las m agnitudes fundam entales son A, B, C, D, ... la ecuación dim ensional de una m agni­ tud derivada x se expresará por:

[x] = A“ B!í C'1 D

Donde a, p, y, 5 son números racionales. Ejemplo:

Para determ inar la ecuación dim ensional de la ve­ locidad se em pleará la siguiente ecuación:

velocidad = distancia tiempo

y em plearem os que la ecuación dim ensional de la distancia y el tiem po son L y T, respectivam ente, así: [V ] = y => [V ] = LT~1

Propiedades

1. Al operar con ecuaciones dim ensionales, se pueden e m plear todas las reglas algebraicas excepto las de sum a y resta, en su lugar d ire ­ mos que la sum a y diferencia de m agnitudes de la m ism a especie da como resultado otra m agnitud de la m ism a especie.

[AB] = [Aj[B] f - l = —

Id

]

[d]

• [An] = [A]11 • L + L + L = L • T - T - T = T

La ecuación dim ensional de todo ángulo, fun­ ción trigonom étrica, logaritm o y en general toda cantidad adimensional es la unidad. • [40 rad] = 1 • [sen60°] = 1 ' • [45] = 1 • [log2] = 1

3. Las expresiones que son exponentes no tie ­ nen unidades.

4. Toda ecuación dim ensional se escribe en fo r­ ma de m onom io entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.

• — = LTIVT1 • -!=- = LT~3

M j?

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

En toda ecuación dímensionalm ente correcta, los térm inos que se están sum ando o restando deben tener Igual ecuación dim ensional. Adem ás la ecua­ ción dim ensional del prim er m iem bro de la ecua­ ción debe ser igual a la del segundo miembro. Ejemplo:

Si la siguiente ecuación es dímensionalm ente co­ rrecta: (AX - B)2 = 27Z sen15°

se cumple: • [AX] = [B]

[AX - B]2 = [27Z sen 15°]

ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

[Longitud] L

[Masa] M

[Tiempo] T

[Corriente] I

[Área] L2

[Volumen] L3

[Velocidad] ... LT~1 [Aceleración] ... LT~2

[Período] T

[Fuerza] MLT 2

[Trabajo-energía] ... ML2T '

[Potencia] M L2T~3

[Presión] ML~1T~2

[Densidad] ... ML [Caudal] ... L I

UTILIDAD DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

Com probar si una fórm ula es dim enslonal- mente correcta.

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Fís ic a | 1 1

Determ inar las unidades que le corresponden a cierta m agnitud derivada.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si la ecuación mostrada es dim ensionalm ente correcta; indique las unidades de p en el Sis­ tema Internacional de Unidades (SI).

F V

A = F: fuerza; A: área V: velocidad; y: longitud R e s o lu c ió n :

P or el p rin c ip io de h o m o g e n e id a d d im e n ­ sional:

I f l ( llX l

Ia ] ~

[y]

M L T- 2 r iL T" 1

W = M L - 1T - 1 = ^ :

Luego, en el Sistem a Internacional de Unida- kg

des (SI) las unidades serán:

---2. De la siguiente ecuación dim ensional correc­ ta, determ inar las dim ensiones de m: y = bn + m n2

b: velocidad; y: longitud R e s o lu c ió n :

P o r el p rin c ip io de h o m o g e n e id a d d im e n ­ sional:

• M = [b][n]

L = L T 1[n] - [n] = T • M = [m ][n]2 =» L = [m] T 2

=» [m] = L T 2

Las dim ensiones de m son: LT~2

[ "e j e r c ic io s PROPUESTOS |

1. En la siguiente fórm ula física, encontrar las C 2tan(w t)

dim ensiones de p: p :

AB logrt

A: aceleración; B: densidad; C: velocidad b) ML

a) M L d) M2L2

2 i -2 h \ r / ii- 4 c ) M 1L4 e) 1L3

2. En la siguiente fórm ula física, calcular las di- 1 ?

m ensiones de K: T = —Kx 2 T: energía; x: longitud a) M L2T

d) M T2L

b) MT e) M_1L “ 2

c) ML

3. En la siguiente fórm ula física, calcular [C]: D = A B + PC

D: calor; P: potencia

a) TL b) T c) T 3

d) T 2 e ) T “ 1

4. En la siguiente fórm ula física, calcular [B]: B = f M 2 - x 2

f: frecuencia: x: distancia

a) LT b) C T 1 c) T~1

d) L2 e) L “ 2T “ 1

5. En la siguiente fórm ula, calcular las dim ensio­ nes de B: A 2 t n = | -5- + A )

V: velocidad; n: constante numérica a) L

d) L T -1

b) LT e) T

- 2

c) LT

6. En la siguiente expresión, calcular [x]: i 2nx \

c o t l ^ | = E

a: aceleración a) LT d) L T -2

b) L2T ■ e ) L

c) L T -1

7. En la siguiente expresión, calcular [B]: / an \ Btan 0 = An.log

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1 2 I Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

a ) LT b ) L2T c ) L2T 1

d) LT2 e) L3T 1

8. En la siguiente fórm ula física, calcular [CDE]: y: distancia; t: tiem po

y = C tan(2r:Dt + E)

a) M L2T 2 b) ML2T c) M L2T ” 3 d) MLT” 4 e) LT” 1

9. El periodo de un péndulo depende de la longi­ tud del m ism o y la aceleración de la gravedad, entonces su ecuación será: T = 2n Lxgy Calcular: xy

a ) l b ) - i c ) - l

d ) l e ) 2

10. En la siguiente fórm ula física, calcular n: Da = cos9 . V n

D: diámetro; a: aceleración; V: velocidad a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. En la siguiente fórm ula física, calcular las di­

m ensiones de [x]: A = V(0 + n EX) V: velocidad; E: em puje hidrostático

a) M ' 1L2T2 b) M “ 1L ” 1T2 c) M ” 2LT” 2 d) ML 2T2 e) MLT2

12. En la sigulene fórm ula física, calcular Zy/X: F = A xByCz

F: fuerza; A: tiempo; B: densidad; C: velocidad.

a) 1 b) - 1 c) 4

d) 2 e) 6

13. Un cuerpo cae libremente durante un tiem po T partiendo del reposo. Deducir m ediante el análisis dim ensional una ecuación para la ve­ locidad (k: constante numérica).

a) kgT2 b) kgT3 c) kg2T

d) kgT e) k

14. Si en vez de la m asa (M), el trabajo (W) fuera considerado como m agnitud fundam ental, la ecuación dim ensional de la densidad será: a) L” 5W T b) L ' 3W T ” 2 c ) L " 5W T2 d) LWT2 e) L2W ” 1T

15. Se ha creado un nuevo sistem a de unida­ des en el que se consideran las siguientes m agnitudes fundam entales: aceleración (U); frecuencia (N) y potencia (l). Determ inar la fórm ula dim ensional de la densidad en dicho sistema.

a) U ” 5NI7 b) U5N ” 7I c ) U7N6I” 2 d) U ” 5N7I e) UN6!” 7

16. En ¡a siguiente fórm ula física, c a lcu la rla ecua­ ción dim ensional de A: ( A = UNFV

U: potencia; N: número; F: fuerza; V: velocidad a) M2L4T 6 b) M4L2T ” 3 c ) M LsT ” 1 d) M4L8T ” 12 e) M3L7T ” 12

17. En la siguiente fórm ula física, calcular x.

a: aceleración: k: peso específico; F: fuerza; A: área; T: tiem po

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18. En la siguiente fórm ula física, calcular [Q],

B: fuerza; C: aceleración

a) M b) M ” 1 c) M 2

d) M2 e) M3

19. Se da la siguiente fórm ula física: V _ 3a h - b

~~ t3 c V: volum en; t: tiem po; h: altura D eterm inar [El, si: E = —

ac

a) T ” 3 b) T2 c ) T 1

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Fís ic a | 1 3

20. La intensidad de cam po eléctrico (E) es la fuerza eléctrica (F) por unidad de carga (q). Calcule [E],

a) MLT-2 b ) L M T 3r 1 c) L M T 2I“ 2 d) L M T I"1 e) LM T3I

21. En la siguiente fórm ula física, hallar [B].

p

_ A x2 + Bx + C ~ A T 2 + BT + C A: velocidad; T: tiem po

a) L b) L~1 c) T d) T~1 e) LT

22. En la siguiente fórmula física, calcular x + y + z. E2A = sena (Bx+y)(C)(Dz)

A: fuerza; B: masa; C: longitud; D: densidad; E: tiem po

a) 2 b) 1 c) 4 c) 3 e) - 2

tn 1. c 6. d 11. b 16. d 21. a

ÜJ 2. b 7. b 12. d 17. b 22. b

< 3. b 8. e 13. d 18. c

j 4. b 9. c 14. c 19. a

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ANÁLISIS VECTORIAL

VECTOR

Es un ente m atem ático que gráficam ente se repre­ senta por un segm ento de recta orientado.

La física utiliza los vectores para representar las m agnitudes vectoriales.

En general un vector se representa de la si­ guiente forma:

A: m ódulo del vector A g: vector unitario de A A = A g

Si: ¡I = (cosa; sena) => A = A (cosa; sena)

Donde: a es la dirección del vector A

OPERACIONES VECTORIALES

1. Suma de vectores o com posición vectorial.

Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denom inado vector resultante (R ), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

Ejemplos:

Sean A y B vectores => R = A + B Sean A; B y C vectores = *R = A + B + C 2. Resta de vectores. Es una operación que tie­ ne por finalidad hallar un vector denom inado vector diferencia (D ), el cual es igual a la res­ ta de vectores.

Ejemplo:

• Sean A y B vectores => D = A B

METODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

I. M ÉTODO DEL PARALELOGRAM O

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanarios que tie­ nen un m ism o punto de origen.

G rá fica m e n te se co n stru ye un p a ra le lo g ra - mo tra z a n d o p a ra le la s a los ve cto re s. El v e c ­ to r re su lta n te se tra za u n ie n do el o rige n de

los vectores con la intercepción de las para­ lelas.

R = V A 2 + B2 + 2 A B co sa Casos particulares:

A. Si a = 0 o (Á // B)

=> Se obtiene el m áximo valor del m ódulo de la resultante.

Á

B R = A + B = R„.

B. Si a = 180° ( A l t B)

=* Se obtiene el m enor valor posible de la re­ sultante.

— a _

B

A

R = A - B = R „ Observación:

Si A form a un cierto ángulo con B; entonces: ^min V R Rrnáx

C. Si a = 90° (A ± B )

=> Se obtiene aplicando el teorem a de Pitá- goras

R = -I A 2 + B2

Propiedad:

Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo.

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Fís ic a ¡ 1 5

E. Si: a = 120°

Observación:

Si: a = 120°

R = xV2

R = X-/3

R = x

X

R = 0 Y a

R = 7x

Cyicd c¡/:

-D = A - B

D = ¡A 2 + B2 - 2ABcosc

II. M ÉTODO DEL POLÍGONO

Se utiliza para ca lcu la r la resu lta n te de un conjunto de vectores concurrentes y copla- narios.

Es un método gráfico que utiliza escalas apro­ piadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro m anteniendo sus ca­ racterísticas. El vector resultante (R ) se traza uniendo el origen del prim er vector con el ex­ trem o del último vector.

Ejemplo:

Sean A; B y C , vectores. Á

C onstruirem os el polígono vectorial:

cYlata :

-Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.

III. M ETODO DE LAS C O M PO NENTES REC­ TANGULARES

Los dom ponentes rectangulares de un vector son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

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Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

Se cum ple que: = AcosG

El m étodo de las com ponentes rectangulares perm ite calcular el m ódulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir:

1.° S e h a lla la s c o m p o n e n te s r e c ta n g u ­ la re s .

2.° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry).

3.° Se calcula el m ódulo de la resultante apli­ cando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

R = Jp.2x + R: tanG = —Ry

Ry = 0

R« - 0 O bservaciones:

• SI la dirección de R es 0° =>

• Si la dirección de R es 90° ¡

• Si la R = 0 =» Rx = Ry = 0

Determ inar el m ódulo del vector resultante de a y b.

2

-Jl

cm

30°-R e s o lu c ió n :

3

y

_ \ 6 0 °

b

De la figura: b = 2 / 7 y a = / 7 Entonces: R2 = a2 + b2 + 2abcos60° R2 = 7 + 28 + 2 8 / ” - 49

Si la resultante de los vectores mostrados, está ubicada en el eje y; hailar el valor del án­ gulo 0.

R e s o lu c ió n :

Como: Rx = 0 => 24sen0 = 12

sene = 1^ = 1

24 2

0 = 30°

3. Si la resultante de los tres vectores que se in­ dican es nula; hallar el valor de 0.

10^3

10 cm

20 cm R e s o lu c ió n :

J 0 V 3 10V3

...

-y/-Por el m étodo del polígono se observa que el triángulo es rectángulo: 202 = 102 + (1 0 /3 f

=> e =

60

°

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Fís ic a | 1 7

a

b R e s o lu c ió n :

Descom poniendo rectangularm ente:

=> R „ = 1 0 /5 x - i r = 2 0 cm

=> R v = 20 - 10 /5 x - L = 10 cm

y 15

R = 1 0 /5 cm

5. Determ ine el m ódulo del vector resultante de los vectores m ostrados, si se sabe que: AB = 2AC = 20 cm, es el diám etro de la cir­ cunferencia:

R e s o lu c ió n :

Sean AB = a y A C = b Por el método del polígono se tiene un triángulo inscrito en una circunferencia que es notable, ya que a = 2b; entonces:

R2 = a2 + b2 + 2abcos60° R2 = 400 + 400 + 800 x 1/2

R = 2 0 /3

= 1200

[ "e j e r c ic io sPROPUESTOS

1. Se da el vector A = 3i + 4 j. C alcular el m ódu­ lo del vector -%| 3A |.

15

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Se dan los siguientes vectores A, B y C. C al­ cular |2A + 3B + C¡.

A = 2¡ + 4 j; B = 2i + 7 j; C = 2 Í — 13 j a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 3. Si A = 5 y B = 3; calcular el m ódulo de la

resultante, a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. En el sistema vectorial mostrado, hallar el m ó­ dulo del vector resultante.

a ) 2 2o \ V i

b) 4 \ i

c) 6 ' ... 5 3 .° \ 12 d) 8

e ) ° 16

X

5, C alcular la m edida del ángulo 0, si el módulo del vector resultante es igual a cero.

a) 30° y

b) 37° 8

c) 45°

A

d) 53° e

e) 60° p \ i o

6. En el sistem a vectorial, hallar el m ódulo del vector resultante.

a) 6 y

b) 8 c) 10

/ 3 5

/ 5 3 ° *

d) 2 15

e) 12 20

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1 8 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

En el sistema vectorial mostrado, calcular la m edida de! ángulo 9, tal que, el vector resul­ tante se encuentre en el eje x.

a ) 0° y*

b) 30° c) 45° d) 60° e) 37°

Sabiendo que el vector resultante se encuen­ tra en el eje vertical. Calcule el m ódulo de! vector resultante.

a) 5 y

/ F b) 10

c) 15 3 r x A 5 3 °

d) 20

e) 25 35

En la figura mostrada, si la resultante del con­ junto de vectores es vertical. C alcular la m edi­ da del ángulo a.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

10. En el siguiente sistema de vectores, calcular el m ódulo de la resultante.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

11. Hallar el m ódulo del vector resultante, la figura es un rectángulo, AB_= 6; BC = 8 y M y N son puntos m edios de AD y CD.

a) 10 b) 13 c) 20 d) 30 e) 15

12. La figura muestra un cuadrado ABCD de 4 unidades d e lado, donde M es el punto medio del segm ento BC. Determ inar el valor del án­ gulo 9, tal que el m ódulo de la resultante sea

•Í22A unidades. a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° ' e) 45°

13. Calcular el m ódulo del vector resultante, si la figura mostrada es un cubo de arista a. a) a

b) 2a c) 3a d) 4a e) 0

14. En el siguiente sistema de vectores, calcular el m ódulo de la resultante, los vectores están en el m ismo plano.

3)2-13 10

b) 4 /3 c) 6 /3 d) 8 /3 e) 0 /3

15. SI los m ódulos de los vectores A, B y C son 80; 90 y 100, respectivam ente, y la dirección del vector resultante coincide con la del vector B. Hallar el módulo de la resultante. a) 60

b) 90 c) 20 d) 30 e) 25

16. En el sistema vectorial mostrado, calcular el m ódulo de la resultante, si: ¡ C | = 6 .

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Fís ic a | 1 9

17. La m áxima resultante de dos vectores es 28 y su m ínim a resultante es 4. C alcular el módulo de la resultante cuando form en un ángulo de 90°.

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 18. En el sistem a vectorial mostrado, la resultante

es nula. C alcular la m edida del ángulo 9 y el m ódulo del vector F.

a) 37°; 5 b) 53°; 15 c) 60°; 5 d) 30°; 10 e) 37°; 10

19. La figura m ostrada es un paralelogram o ABCD. C alcular el m ódulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

20. Hallar el ángulo que form an dos vectores, si la resultante tiene igual m ódulo que uno de ellos y adem ás es perpendicular a él.

a) 135° b) 120° c) 60°

d) 90° e) 45°

1. b 5. b 9. a 13. a 17. a 2. d 6. c 10. b 14. b 18. a 3. d 7. b 11. e 15. d 19. e

(18)

CINEMÁTICA

Parte de la mecánica de sólidos que se encarga de estudiar el m ovim iento m ecánico de los cuerpos, teniendo como punto de partida ciertas condicio­ nes iniciales y leyes dei m ovim iento que se consi­ deran ya conocidas.

MOVIMIENTO MECÁNICO

El m ovim iento m ecánico es ei cam bio de posición que experim enta un cuerpo respecto de otro deno­ m inado “cuerpo de referencia".

Si ai cuerpo de referencia ligam os un sistem a de coordenadas espaciales y un reloj, tenem os el lla­ mado “sistema de referencia” (SR).

ELEMENTOS

¡Móvil. Es el cuerpo que describe el m ovimiento mecánico.

Trayectoria. Es el lugar geom étrico que describe el móvil respecto del sistema de referencia, cuando realiza el m ovim iento mecánico.

Distancia recorrida (d). M edida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos de la misma.

Desplazam iento (d). Es un vector que nos indica el cam bio de posición efectivo que experim enta el móvil.

Velocidad (v). M agnitud física vectorial que mide la rapidez del cam bio de posición que experim enta un móvil.

Velocidad media (v m). Se define como;

rf : posición fina! r0 : posición inicia!

A t : t f - t o

vm II d v = — = LL— 1

m At At

Aceleración (a). M agnitud física vectorial que ex­ presa la rapidez con que la velocidad cam bia en cada instante del tiempo.

A celeración media (a m). Nos expresa el cam bio de velocidad por cada intervalo de tiempo.

v f ~ v o _ Av_ At - At

A v At

vf v0

cambio de velocidad intervalo del tiem po velocidad fina! velocidad inicia!

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

El MRU consiste en que e! móvi! describe una tra ­ yectoria rectilínea, avanzando distancias recorri­ das iguales en intervalos de tiem po iguales.

t t

-q a

-Características

La velocidad instantánea es constante.

t t : tiem po transcurrido Unidades: [d]: m; [t]: s; [v]: m/s Ecuación del m ovim iento

Xf = x 0 + vt

(19)

Fís ic a ¡ 2 1

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VA­ RIADO (MRUV)

Es aquel m ovim iento donde el móvil describe una recta y adem ás en intervalos de tiem po iguales los cam bios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes.

' 1 m/s ■ 3 m/s > 5 m/s • ! m/s

X

I--- 1--- 1---1

Av = 2 m/s Av = 2 m/s Av = 2 m/s

Características

Av

a am

At : cte.

En módulo:

Unidad: [a]: m /s2 Leyes del m ovim iento

Av "Á T

vf = v0 ± at Si falta d vf2 = v 02 ± 2ad Si falta t

d = v0t + —at2 Si falta vf

M t 1) 1 Si falta a

La pendiente (m) del segm ento L será:

m = tanO A X

At

En cualquier gráfica x - 1 ia pendiente de los seg­ m entos rectos representan la velocidad del móvil:

v = tan9 ¡

GRAFICA VELOCIDAD (v) - TEMPO (t)

En la gráfica v - t, la velocidad puede aumentar, dism inuir o perm anecer constante m ientras que el móvil se traslada siguiendo una trayectoria recta. Dada la gráfica v - 1, tendrem os que:

La pendiente (m) del segm ento L será:

O bservaciones:

a (+ ) a ( - )

• o — - o — V

M RUV (acelerado) M RUV (desacelerado)

GRÁFICA POSICIÓN (x) - TIEMPO (i)

En la gráfica x - 1, la posición (x) puede aumentar, dism inuir; perm anecer constante al transcurrir el tiem po; en estas gráficas siem pre se em plean las pendientes de los segm entos rectos.

Dada ¡a gráfica x - í, tendrem os que:

m = tan9

Aceleración (a) = tana

En cualquier gráfica v - 1, la pendiente de los seg­ m entos rectos representan la aceleración del móvil:

a = tañe

(20)

2 2 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

El área del rectángulo es: A = vAt

Como: que vAt es una distancia (d), luego: A = d Dem ostrem os ahora que si la velocidad del móvil varía, el área A del trapecio que se form a debajo de la gráfica equivale a la distancia (d) que recorre el móvil.

C alculam os el área del trapecio: A = --- t (Vf + Vq)

Del MRUV sabem os que: --- 1 = d Luego: A = d

O bservación:

En cualquier gráfica v - 1 el área (A) debajo de la gráfica representa la distancia (d) que recorre el móvil: d = A

Cálculo de la distancia recorrida (d) y el d esp la­ zam iento (d) en una gráfica (v - 1). Cuando en la gráfica v - t el móvil presenta velocidades negati­ vas, se form arán áreas debajo del eje del tiem po (t) como podem os ver en el siguiente ejemplo:

Observaciones:

De 0 s a 8 s la velocidad es positiva. De 8 s a 14 s la velocidad es negativa. El área Af está sobre el eje del tiempo. El área A 2 está debajo del eje del tiempo.

Para calcular la distancia total recorrida (d) de 0 s hasta 14 s sum arem os las áreas.

d = |A,| + |A2¡

Para calcular el desplazamiento total (d) desde 0 s hasta 14 s restam os las áreas que están debajo del eje del tiempo.

d = |A1| - | A 2|

GRÁFICA ACELERACIÓN (a) - TIEMPO (t)

Una aceleración constante en una gráfica a - 1 se representa m ediante una recta horizontal, el área (A) debajo de esta expresa la variación de la velo­ cidad que experim enta el móvil.

a MRUV

a :

_ _ n _______ :

1)1 t t

El área del rectángulo es: A = at ... (1) Como: vf = v0 + at

=> at = vf - v0 ... (2) Reem plazando (2) en (1):

A = vf - v0

Cuando la aceleración es variable es fácil dem os­ trar que el área (A) debajo de la gráfica también resulta ser un cambio de velocidad.

A = cam bio de velocidad A = Vf — v0

Observación:

(21)

Fís ic a | 2 3

EJERCICIOS RESUELTOS

Dos móviles están separados por una distan­ cia de 420 m. Si parten al encuentro con ve­ locidades constantes de 3 m/s y 12 m/s, res­ pectivamente, ¿después de qué tiem po están separados por una distancia que es la media geom étrica de los espacios recorridos por los m óviles?

R e s o lu c ió n :

v, = 3 v 1 V2

P Q

--- « —

— CP

di x

420 m

Del dato: x = -/dyd^

Del gráfico: d, + ^d ,d 2 + d 2 = 420 Pero: d = vt => 3t + ^36? + 12t = 420

t = 420 ^ ( = 20 s

21

2. Los móviles m ostrados se m ueven con veloci­ dades constantes. ¿Después de qué tiem po A dista de B, lo m ismo que B dista de A?

v2 = 30 m/s

í >

A r -1500 m - B

R e s o lu c ió n :

Como B se mueve más rápido que A se tiene:

1500 m

-De la figura: d-i = 1500 - x A d2 = 1500 + x Sum ando: d i + d2 = 3000

Pero: d = vt => 20t + 30t = 3000 3000

t =

50 t = 60 s

3. Un móvil A que se desplaza con una velocidad de 30 m/s se encuentra detrás de un móvil B a una distancia de 50 m. Si la velocidad de B es 20 m/s, ¿después de qué tiem po A estará 50 m delante de B?

R e s o lu c ió n :

4.

De la figura: dA = 50 + d B + 50 Pero: d = vt => 30t = 100 + 20t => 10t = 100 => t = 10 s

En el instante mostrado, desde el automóvil se toca el claxon y la persona escucha el eco. Cuando el automóvil se encuentra en la mitad de su camino, ¿qué velocidad tiene el automóvil? (Vsonido = 340 m/s)

reposo

«7

— *

X 3 : o ' " :~ o ' 8x

R e s o lu c ió n :

sonido

: Vt x = 2 vt

^sonido ^sonidol => 10 X 340t (1) en (2): 2vt = 34t => v = 17 ^

...(2)

5. Dos móviles parten sim ultáneam ente desde un m ismo punto, uno hacia el este a 4 m/s y el otro a 3 m/s hacia el norte. ¿Qué distancia los separa al cabo de 5 s?

(22)

_J|---2 4 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

Del dato: d, = v ,t = 3(5) = 15 A d2 = v2t = 4(5) = 20 De la figura: x2 = ( e ^ 2 + (e2)2

=» x2 = 152 + 202 => x = 25 m

6. Un auto que parte del reposo y se m ueve con MRUV, acelera a 4 m/s2 y debe recorrer 1200 m para llegar a su destino; sin embargo, cuando le faltan 400 m deja de acelerar y m antiene constante su velocidad hasta llegar a su desti­ no. ¿Qué tiem po em pleó el auto para llegar a su destino?

R e s o lu c ió n : a

.

o

~ o~ o ' ’ o : =-'-c

i--- 1--- 1

800 400

at? 4t?

d-i = - ^ => 800 = - ~ => t, = 20 s

vf = v0 + at =» V = 0 + 4 x 20 => v = 80 m/s d2 = vt2 => 400 = 80t2 =» t2 = 5 s

=> ttota! ~ 20 + 5 => 25 s

7. Un auto viaja con una velocidad de 36 km/h y divisa a 13 m delante de él a un cam ión que viaja con una velocidad constante de 10 m/s, en la m isma dirección y sentido que el auto. Si el auto para adelantar al cam ión acelera a 2 m /s2, indique el tiem po que necesita para lograrlo, la longitud del auto y del cam ión son de 3 m y 9 m, respectivam ente.

R e s o lu c ió n :

De la figura: dA = 13 + dc + 12 at2

Pero: dA = v0t + — a d c = vct 2t2

=> 10t + # - = 13 + 10t + 12 2

=> t2 = 25 => t = 5 s

Un autom óvil parte del reposo y acelera a ra­ zón de 8 m/s2 durante 12 s; en los 25 s si­ guientes corre con velocidad constante y lue­ go desacelera a 16 m/s2 hasta que se detiene. ¿Qué distancia total ha recorrido?

R e s o lu c ió n :

v = cte.

reposo Q

-. a t2 8 x 122 r-rci d i = - r - = — - — = 576 m

2 2

v = at = 8 x 1 2 = 96 m/s d2 = vt = 96 x 25 = 2400 m Finalm ente: 0 = 962 - 2 x 16 x d 3 => d3 = 288 m

Dos m óviles parten sim ultáneam ente desde un m ism o lugar, en la m isma dirección y sen­ tido; uno lo hace con velocidad constante de 20 m/s y el otro parte del reposo acelerando. ¿Qué aceleración debe tener este para alcan­ zar al primero en 10 s?

R e s o lu c ió n : — a,

< o < o

i--- d , --- 1

d i = d2 => v, x t = => 20 x t = 32 X t

2 2

20 x 10 = a2X- 1° => a2 = 4 m/s2

(23)

Fís ic a | 2 5

R e s o lu c ió n :

dR = a x - — = 36 a 2 a x 5 25 a

...(2)

( 1 ) - (2): d 6 - d 5 = ^ - ^ = 99 ^ a = 18 m /s2

Luego: vf2 = v02 + 2ad

^ 722 = 0 + 2 x 1 8 x d => d = 144 m

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS

T~j

1. Un tren después de 2 h de marcha se detiene 15 min y vuelve a ponerse en marcha con una rapidez igual 3/4 de la rapidez anterior llegan­ do a su destino con un atraso de 33 min. Si la detención hubiera tenido lugar 7 km m ás ade­ lante, el atraso hubiera sido de 31 min. ¿Qué distancia recorrió el tren?

a) 1000 km d) 253 km

b) 183 km e) 187 km

c) 203 km

Un tren se m ueve con rap id e z uniform e de 50 km/h, m ientras que un carro que viaja por una carretera paralela a la vía férrea hace lo propio a 80 km/h. A m bas rapideces son res­ pecto a un puesto ferroviario y en sentidos opuestos. Hallar la rapidez del auto, respecto a un pasajero ubicado en el tren cuando se cru­ zan (en km/h).

a) 30 b) 80 c) 65

d) 130 e) 50

Un autom óvil se aleja con una rapidez v de una pared larga bajo cierto ángulo a respecto a ella. Cuando la distancia hasta la pared era L, el autom óvil dio una señal sonora corta. ¿Qué distancia recorrerá el autom óvil hasta

el m om ento en que el chofer oiga el eco? La rapidez del sonido en el aire es c.

a) x = 2L

b ) x = 2 ! f C

c) x =

2Lv-d) x = 2Lv

e) x = 2Lv vyi c '

.2

v + -Ic2 - v2sen2a

vsena + ’/c 2^ v 2cos2a

En los vértices de un triángulo equilátero de lado a, se encuentran tres puntos. Ellos em ­ piezan a m overse sim ultáneam ente con una velocidad v constante en módulo, con la par­ ticularidad de que el prim er punto mantiene invariablem ente su curso hacia el segundo; el segundo, hacia el tercero y el tercero hacia el primero. ¿Pasado qué tiem po los puntos se encontrarían?

a) a/v d) 2a/3v

b) 2a/v e) 3a/5v

c) 2a/5v

Dos coches ubicados a 100 m de un obstácu­ lo parten sim ultáneam ente con rapideces de 2 y 3 m/s. ¿Después de qué tiem po los m óviles equidistan del obstáculo?

a) 10 s d) 40 s

b) 20 s e) 50 s

c) 25 s

Con rapidez constante v, un ciclista recorre una pista cuadrada. Encuentre el m ódulo de la velocidad media, cada vez que el ciclista recorre dos lados consecutivos.

a) v /2

d ) J *

b) c) v /3

(24)

2 6 ¡ Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

móvil

a) V b) v/ti c) 2 v/jt

d) v/3 e) 3 v/it

8. La partícula m ostrada para ir de A hacia C de­ mora 5 s. ¿Cuál es el m ódulo de su velocidad m edia? (AB = 5 m y B C = 1 5 -/2 m )

d) 7 m/s e) 8 m/s

9. Una partícula se m ueve con MRU en el plano xy. Si la rapidez del móvil es 3 m/s; determ i­ nar la distancia m ínim a del móvil al origen de coordenadas, sabiendo que su vector posi­ ción describe un área de 6 m 2 en cada se­ gundo.

a) 1 m b) 2 m c) 3 m

d) 4 m e) 5 m

10. Una persona de 1,7 m de estatura va corrien­ do con una rapidez constante de 3 m/s y pasa junto a un pose de 3,2 m. Hallar la rapidez del extrem o de su sombra proyectada en el piso (en m/s).

a) 3,2 b) 3.6 c) 4,8

d) 6,4 e) 7,2

11. Un hombre va a pie de A hacia B, sale al m e­ diodía y viaja a 70 m/min. En cierto punto, sube a u n cam ión que viaja a 150 m/min y que salió de A a las 12:20 p. m. El hombre llega a B 20 min antes que si hubiera continuado andado. ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 2625 m b) 1125 m c) 5250 m d) 2135 m e) 1325 m

12. De Lima a Huacho hay aproxim adam ente 130 km; de Lima a Barranca, 180 km. Un auto

parte de Lima con rapidez constante a las 8 de la mañana y llega a Barranca a las 12 del mediodía. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho?

a) 10 h 37 min 40 s b) 11 h 25 min 45 s c) 9 h 45 min 32 s d) 10 h 53 min 20 s e) 11 h 53 min 34 s

13. Dos partículas se m ueven con velocidades constantes de m ódulos 4 m/s y 2 m/s en di­ recciones perpendiculares, tal que la segunda pasa por el punto de cruce de las trayectorias 2 segundos antes que la primera. Determ ine la distancia entre am bas partículas después de 3 segundos que la prim ea partícula pasó por el punto de cruce.

a) 13,4 m b) 8,9 m c) 22,0 m d) 22,4 m e) 15,6 m

14. La distancia entre una ciudad y una fábrica es 30 km, un hombre com ienza a viajar de la ciu­ dad a la fábrica a las 6:30 a. m. y un ciclista va de la fábrica a la ciudad de donde sale a las 6:40 a. m., viajando a una rapidez de 18 km/h. El hombre encuentra al ciclista después de re­ correr 6 km. ¿Con qué rapidez se desplazó el hombre?

a) 2 km/h b) 3 km/h c) 4 km/h d) 5 km/h e) 6 km/h

15. Dos tanques se acercan el uno al otro con ra­ pideces de 30 m/s y 20 m/s. Si inicialm ente están separados 200 m y luego de 2 s dispa­ ran, sim ultáneam ente y en form a horizontal, proyectiles a 100 m/s. Determ inar a qué dis­ tancia, del prim er tanque, se produce ia explo­ sión de ambos proyectiles al chocar desde el reposo, en el disparo.

a) 15 m b) 20 m c) 35 m

d) 40 m e) 52 m

16. Una persona sale todos los días a la misma hora de su casa y llega a su trabajo a las 9:00 a. m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 8:00 a. m. ¿A qué hora sale siem pre de su casa?

a) 6:00 a. m. b) 6:30 a. m.

c) 2:00 a. m. d) 7:00 a. m.

(25)

Fís ic a | 2 7

17. Una persona sale de su casa y llega a su tra­ bajo en 30 m inutos de cam ino a una velocidad constante. Un día que salió norm alm ente de su casa, en m itad de su trayecto, se detiene por un tren en un intervalo de tiem po de 20 minutos. Luego reanuda su m ovim iento dupli­ cando su velocidad hasta llegar a su destino. ¿Cuánto tiem po llega retrasado a su centro de trabajo?

a) 7,5 min b) 10 min c) 12,5 min d) 15 min e) 20 min

18. Dos autos separados cierta distancia salen si­ m ultáneam ente con rapideces constantes de 30 m/s y 20 m/s en la misma dirección para luego encontrarse en el punto A. Si el segun­ do auto dem orase 2 s en salir, el encuentro de los autos sería Y metros antes de A. Halle Y, en metros.

a) 150 b) 100 c) 120

d) 80 e) 50

19. Se m uestra una barra rígida lanzada al aire y las direcciones de la velocidad de sus ex­ trem os en un determ inado Instante. Hallar la m agnitud de la velocidad del extrem o A. a) 16 m/s A

b) 12 m/s c) 25 m/s d) 20 m/s e) 15 m/s

1. c 5. d 9. d 13. e 17. c 2. d 6. b 10. d 14. c 18. c 3. d . 7. c 11. c 15. e 19. d 4. d 8. b 12. d 16. d

[ "e j e r c ic io s PROPUESTOS ~2 |

Dos m óviles A y B se encuentran en una m is­ ma recta ¡nlcialmente separados 1000 m. Se mueven en una m ism a dirección con rapide­ ces de 20 y 30 m/s, respectivam ente. ¿Des­

pués de qué tiem po el móvil B, que estaba retrasado, adelanta al móvil A en 500 m?

a) 50 s b) 60 s c) 90 s

d) 120 s e) 150 s

2. Dos móviles parten al encuentro desde los puntos A y B distantes 152 m con rapideces de 6 m/s y 8 m/s, respectivam ente; pero el móvil que partió de B lo hace 2 s después que el otro. ¿Al cabo de qué tiem po de haber par­ tido el primero se encontrarán los móviles? a) 10,8 s b) 10 s c) 11 s d) 12 s e) 76 s

3. Una persona ubicada entre 2 m ontañas emite un grito y recibe el prim er eco a los 3 segun­ dos y el siguiente a los 3,6 segundos. ¿Cuál es la separación entre las m ontañas? (Rapidez del sonido en el aire igual a 340 m/s) a) 262 m b) 648 m c) 972 m d) 1122 m e) 1536 m

4. Un portavlones avanza hacia el Sur a una velocidad constante de 60 km/h respecto a tierra. En un instante dado (t = 0) despegan de su cubierta 2 aviones de reconocim iento, uno que va hacia el Norte y otro que va hacia el Sur, ambos con una velocidad de 600 km/h con respecto a tierra y en la m isma dirección del m ovim iento del portaviones. Cada uno se aleja 200 km respecto al portavlones y regre­ sa a él. Hallar la relación entre los tiempos em pleados en esos recorridos (tn para el que fue al Norte y ts para el que fue hacia el Sur). a) tn = 2ts b) ts = 2tn c) tn = ts d) tn = 3ts e) ts = 3tn

5. Una co lu m n a de s o ld a d o s que se e xtie n d e 2 km se m u e ve p o r la c a rre te ra a ra zó n de 8 km/h. El capitán que se halla en la reta­ guardia envía un m otociclista con una orden a la cabeza de la columna. Después de 20 minutos el m otociclista regresa. Determine la rapidez del m otociclista considerando que avanzó, en ambas direcciones, con la misma rapidez.

(26)

2 8 ¡ Co l e c c ió n E l Po s t u l a n t e

6.

7.

11

.

Una persona A golpea un riel de acero, y otra persona B oye el sonido transm itido por los rieles 5 segundos antes que el propagado por el aire. Si el riel no presenta ninguna curva, ¿a qué distancia se encuentra B de A?

(^sonido en el aire “ 350 m/s)

('^sonido en el acero “ 700 ITl/s) a) 4000 m

d) 2500 m

b) 3500 m e) 2000 m

c) 3000 m

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada en función del tiem po por x = - 3 t + 4t2. Hallar la rapidez, en m/s, en el instante t = 2 s .

a) - 3 i d) — 13i

b) 13 i e) 3Í

c) 10¡

Un móvil tiene un m ovim iento rectilíneo repre­ sentado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Hallar la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s. a) 0

d) 6

b) 4 e) 9

c) 3

9. Dos móviles A y B se están m oviendo en sen­ tidos opuestos con rapideces constantes vA y vB. En t = 0 se encuentran separados 120 m. Si los m óviles se cruzan después de 10 s, calcu­ lar después de qué tiem po a partir del encuen­ tro estarán separados 60 m.

a) 5 s b) 10 s c) 15 s

d) 20 s e) 25 s

10. Si el m ódulo de la velocidad de la partícula perm anece constante, y es igual a 2 m/s. Ha­ llar la aceleración media para ir de A hasta B, si dem ora 1 s.

h o riz o n ta l

a) ( i + ¡3 j ) m /s2 b) ( i - j ) rr,/s2 c) ( i + j ) m /s2 d) (3 i + /3 j •) m /s2 e) ( - i + /3 j ) m /s2

Los v e c to re s v e lo c id a d in s ta n tá n e a en los in s ta n te s t, y t 2 son v, = (2¡ + 3 j) m /s y v2 = (6¡ + 9j) m/s. Si la aceleración m edia en este intervalo de tiem po At es (2¡ + 3j) m /s2 determ ine At = (t2 - ti) en segundos.

14. a) 0,5 d) 2,5

b) 1,5 e) 3,0

c) 2,0

1 2.

13.

Hallar el m ódulo d é la aceleración m edia si el tiem po de contacto entre la pelotita y la pared fue 3 s.

v = 10 m/s

2 2 2

2

2

En el diagram a, para que el móvil vaya de A hacia B em plea 2 s, observándose que, en A, su rapidez es de 8 m/s y, que en B, es de 4 m/s. ¿Qué m agnitud tendrá la aceleración m edia del móvil en este trayecto?

a) 1 m/s' b) 2 m/s' c) 3 m /s: d) 4 m /s: e) 6 m /s:

/ ) 60°

a) 2 l3 m /s2 d) 6 / 3 m /s2

b) 4 m/s2 e) 5 m /s2

4 m/s

c) 10 m /s2

Se tiene un vaso cilindrico de 7,5/n cm de ra­ dio y 10 cm de altura. En el punto A y por la superficie externa del vaso, se encuentra una horm iga la cual se mueve con rapidez cons­ tante de 6,25 cm/s. Determ ine el tiem po m íni­ mo para llegar hacia la gota de miel adherida en la superficie interna del vaso y en el punto B.

c) 2 s

(27)

Fís ic a | 2 9

la lancha da la vuelta y vuelve a encontrar la balsa a L = 6,0 km más abajo del punto A. Ha­ lle la rapidez de la corriente, en am bas direc­ ciones, si a lo largo del trayecto de la lancha el m otor trabajó por igual.

a) 1 km/h b) 2 km/h c) 3 km/h d) 4 km/h e) 5 km/h

16. Dos trenes cuyas longitudes son 120 m y 90 m viajan por vías paralelas en direcciones con­ trarias con rapideces de 72 km/h y 54 km/h, respectivam ente. ¿Cuánto tiem po emplearán en cruzarse totalm ente?

a) 3 s b) 4 c) 5 d) 6 s e) 8 s 17. Dos relojes están separados 1360 m, pero

uno de ellos está adelantado 3 s. ¿A qué dis­ tancia de! reloj adelantado se oirá a los dos relojes dar la hora sim ultáneam ente? (rapidez del sonido en el aire es 340 m/s).

a) 1020 m b) 240 m c) 170 m d) 1190 m e) 3782 m

18. D eterm inar la m agnitud de la velocidad de una partícula que se desplaza en el eje x con la siguiente ecuación: x = t3 + tz para t = 2 s. a) 12 m/s b) 14 m/s c) 13 m/s d) 16 m /s e) 20 m/s

19. Dos m óviles se desplazan en trayectorias rec­ tas y paralelas que están separadas 12 m, con rapideces constantes de 2 m/s y 3 m/s acer­ cándose m utuam ente. Si en cierto instante la separación de los móviles es de 13 m; ¿qué dis­ tancia los separa luego de 6 s de pasar por la posición indicada?

a) 25,0 m b) 27,7 m c) 25,5 m d) 13,0 m e) 20,0 m

20. Dos m óviles parten sim ultáneam ente y se m ueven con rapidez constante de = 3 m/s y v2 = 2 m/s. Una vez que han llegado a su destino retornan. ¿A qué distancia del punto de partida se cruzaron?

v, .,s„ v2

A _^= g M u ^ y t i — ü_________b

I---1---1

60 m 140 m

a) 20 m b) 30 m c) 100 m

d) 60 m e) 80 m

(28)

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL)

Es aquel tipo de m ovim iento uniform em ente acele­ rado, cuya trayectoria es una linea recta vertical y que se debe a la presencia de la gravedad pero no del peso del cuerpo, ya que no considera la resis­ tencia del aire. Este tipo de m ovim iento se refiere cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, o sim ­ plem ente es soltado. Este tipo de m ovim iento es independiente del peso del cuerpo.

O

CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE

No se considera la resistencia del aire, o sea el m edio es vacío.

El m ovim iento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera sea su masa, a esta aceleración se le llama ace­ leración de la gravedad normal, cuyo valor es:

g = 9,8 m /s2 = 980 cm /s2 = 32,2 pies/s2 Si un cuerpo es disparado verticalm ente hacia arriba, desde una determ inada altura, se cum ­ ple que la intensidad de la velocidad de subi­ da (vs) es igual a la intensidad de la velocidad de bajada (vB), y que el tiem po em pleado para subir (ts) y bajar (tB) un m ismo tram o o altura, son iguales.

v O , :

Ó

ts - tB Vs = VB

ts„ Vf g

Todos los cuerpos que se dejan caer sim ultá­ neam ente con la m ism a velocidad inicial des­ de una altura, utilizan el m ism o tiem po para llegar al suelo.

Un cuerpo que es lanzado verticalm ente ha­ cia arriba alcanza su altura m áxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.

v, = 0

Si: H „ vf = 0

Umax

A .

2 g

- O

' 1

ó Ó

Signo de g: tom a el signo positivo cuando cae y toma el signo negativo cuando sube.

O bservaciones:

La gravedad no es la m isma para todos los lu­ gares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del m ar y de la latitud.

En los polos: g = En el ecuador: g

9,83 m /s2 (máxima) s 9,78 m /s2 (mínima) No solo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por gravedad a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos (cam po gravitatorio) y la aceleración de la gravedad es la rapidez con que es atraído un cuerpo.

Q Lu na — 9 T ic

9 sol - 28 gTie

La aceleración de la gravedad g depende de la masa y el radio terrestre, asim ism o de la corteza terrestre de la Tierra (sial y sim a) o sea:

g = g —

Rt

G = 6,67 x 10 (constante de gravitación universal)

(29)

Fís ic a ¡ 3 1

Como las características en sus m ovim ientos tanto en el M VCL y en el M RUV son equiva­ lentes, las ecuaciones o fórm ulas y los gráfi­ cos también lo son.

O v< = °

MRUV

1=

ó

MRUV MVCL

vf = v¡ ± at _< II < l+ CQ

vf2 = v 2 + 2ad vf2 = v 2 + 2gH

d = v¡t ± — at2

2 H = v¡t ± 1 gt2

d = P ± * ) t

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (MPCL)

Es el movimiento que tiene por trayectoria una pará­ bola, el movimiento es efectuado por los proyectiles sin resistencia del aire y solo bajo la acción de la gravedad. Este m ovimiento resulta de la composi­ ción de un MRU horizontal y una caída libre vertical.

.

— S 0 91 "

v / /

Ecuaciones

d = vH t (MRU)

h = v¡t + ^ g t (caída libre)

vf = v¡ + gt (caída libre) vf2 = v¡2 ± 2gh (caída libre)

Y = V '-^ V-f (caída libre)

vH = veos a ; vv = vsena vH: com ponente horizontal de v vv: com ponente vertical de v

v¡ y vf: com ponentes verticales Inicial y final, respectivam ente.

(+ ): descenso acelerado ( - ) : ascenso retardado

El m ovim iento parabólico de los proyectiles es un m ovim iento com puesto por un MRU (hori­ zontal) y una caída libre (vertical),

d: desplazam iento horizontal h: desplazam iento vertical

2 2

H m á x = - ~--en—- (altura máxima) 2 g

A hor = 2v s e n u .g ° S(.í (a lc a n c e h o riz o n ta l)

tv = (tiem po de vuelo)

EJERCICIOS RESUELTOS

Desde la parte superior de un edificio se im­ pulsa verticalm ente hacia arriba un cuerpo a 20 m/s y cuando ¡mpacta en el piso, lo hace a 40 m/s ¿Qué altura tiene el edificio?

(g = 10 m/s2) R e s o lu c ió n :

,-O-TReposo 20 ’ 20 m/s

(30)

3 2 j Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

Analizando solo el descenso v f = v,2 + 2gH =» 4 0 2 „ 1 6 0 0 - 4 0 0

20

2 O2 + 2 (10) x x = 60 m

Un cuerpo se deja en libertad desde una cier­ ta altura y se sabe que en el último segundo de su calda recorre 20 m, ¿Qué velocidad tie ­ ne al im pacíar en el piso? (g = 10 m /s2) R e s o lu c ió n :

Q Reposo

(1)

20 m/s

> 1 s En el último segundo

vf = v¡ + gt => vf = v¡ + 10

H _ v, + Vf t ' 2 20 = v¡ + Vf ^ 1 ~ 2

v¡ + vf = 40 ... (2) De (1) y (2): vf = 25 m/s

Dos esferitas se lanzan vertlcalm ente hacia arriba con velocidades de 19,6 m/s y 9,8 m/s; respectivam ente. Calcular la diferencia entre las alturas m áxim as alcanzadas, por las esfe­ ritas.

o h '

R e s o lu c ió n :

Vf2 = v 2 - 2gH máx

2 g

Para la primera: H

vf = 0 0 T

£ L

máx(1) ~

Para la segunda: H

■ • ^máx(1) ^máx(2)

1 9,6 2 2 x 9 , 8 9 ,8 2 2 x 9 , 8 = 14,70 m

= 19,6 m

máx(2) : = 4 ,9 m

4. Para un cuerpo que cae libremente, encontrar la relación entre los tiem pos que em plea en recorrer ia primera cuarta parte y las tres cuar­ tas partes restantes de su recorrido.

R e s o lu c ió n :

Sea la altura total:

h = 4x => x = -gt Para h/4: H = —

2

3x : 3h 4

g tí gt Para h: H =

2

(1) 3x

Reposo ti

- to

4x = g (ti + t2)2

(1 )e n (2): 4í g tf

...(2 ) g (‘ i + h f

2

/

2

4 ti2 = (tf + t2)2 => 2tf = tf + t2 => t, = t2

V -2 = 1

5. De un caño cae una gota cada 0,1 s. Si cuan­ do está por caer la tercera gota se abre la lla­ ve y sale un chorro de agua. ¿Con qué veloci­ dad debe salir dicho chorro para que alcance a la prim era gota, justo cuando llegue al piso? (El caño se encuentra a una altura de 7,2 m y g = 10 m /s2).

R e s o lu c ió n :

Para la primera gota:

« . a .

7 ,2 = y ( 0 , 2 + tf => 1,44 = ( 0 , 2 + t)2 => 1,2 = 0 ,2 + t => Para el chorro:

t = 1 s

H = v¡t + gt 2 : 2,2 m/s

7,2 = v x 1 +10 x 1

[ " "e j e r c ic io s PROPUESTOS

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las si­ guientes proposiciones:

(31)

Fís ic a | 3 3

II. La aceleración de la gravedad dism inuye con la altura.

II!. 9po¡os ? Secuador

IV. Los satélites que orbitan alrededor de la Tierra se encuentran en caída libre.

a) VVVV b) FFVF c) FVFV

d) FFFF e) VFVF

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las si­ guientes proposiciones:

I. Un cuerpo puede tener velocidad cero y aceleración diferente de cero.

II. Dos cuerpos de diferente peso soltados de una m ism a altura, en presencia de la resistencia del aire llegan al suelo al m ismo tiempo.

III. A un m ism o nivel horizontal la velocidad de subida es igual a la velocidad de baja­ da.

IV. Durante el descenso en caída libre la ve ­ locidad y la aceleración de la gravedad form an un ángulo de 0°.

a) VFFV b) FFVV c) VFVV

d) VVFV e) FFFF

3. Una pelota es lanzada con una velocidad de 10 j m/s. ¿Cuánto tiem po em pleará hasta que su velocidad sea de - 3 0 j m/s? (g = 10 j m/s2).

a) 2 s b) 3 s c) 4 s

d) 5 s e) 6 s

4. Karlita lanza una piedra con una velocidad de - 1 0 j m/s. Hallar su velocidad al cabo de 5 segundos, (g = 10 m /s2)

a) - 5 0 m/s b) - 6 0 m/s c) - 4 0 m/s d) - 3 0 m/s e) - 1 0 m/s

5. Un cuerpo es lanzado verticalm ente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. C alcular el tiem po que demora en llegar al punto de lan­ zam iento y la altura m áxima alcanzada. (g = 10 m/s2)

a) 4 s; 45 m b) 6 s; 20 m c) 7 s; 70 m d) 8 s; 80 m e) 10 s; 160 m

6. Un cuerpo se abandona cerca de la superficie terrestre; luego de 3 segundos de haber sido soltado ¿qué rapidez posee y qué altura reco­ rrió? (g = 10 m /s2)

a) 10 m/s; 10 m b) 20 m/s; 20 m c) 30 m/s; 45 m d) 40 m/s; 80 m e) 60 m/s; 100 m

7. Un cuerpo es lanzado verticalm ente hacia arriba con cierta rapidez v logrando alcanzar una altura de 125 m. C alcular v y el tiempo que dem oró en llegar al punto de lanzamiento. a) 10 m/s; 2 s b) 20 m/s; 3 s c) 30 m/s; 5 s d) 40 m/s; 80 s e) 50 m/s; 10 s

8. Una piedra se abandona desde lo alto de una torre,, si luego de cuatro segundos de haber sido soltada se encuentra en la mitad de la to­ rre. ¿Qué altura posee la torre? (g = 10 m/s2)

a) 80 m b) 100 m c )1 2 0 m

d) 160 m e) 200 m

9. Se lanza un objeto verticalm ente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, encontrar a qué altura con respecto al punto de lanzam iento se encontrará a! cabo de 4 s. (g = 10 m /s2)

a) 10 m b) 20 m c) 30 m

d) 40 m e) 50 m

10. Desde lo alto de un edificio se suelta un cu e r­ po que tarda 4 s en llegar a Tierra. D eterm i­ nar su velocidad en la m itad de su recorrido, (g = 10 m /s2)

a) 40 m/s b) 20 m/s c) 2 0 /2 m/s d) 3 0 /3 m/s e) 3 0 /2 m/s

11. Desde la azotea de un edificio de altura H se lanza verticalm ente hacia arriba un objeto con una rapidez de 30 m/s; si el objeto em plea 8 s en llegar al piso, calcular la altura del edificio, (g = 10 m/s2)

a) 40 m b) 80 m c) 60 m

d) 120 m e) 125 m

(32)

3 4 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

a) 6 s d) 15 s

b) 9 s e) 18 s

c) 12 s

13. En la figura el móvil A es lanzado verticalm en­ te hacia arriba con velocidad de 40 m/s. ¿A qué distancia del móvil A debe encontrarse otro móvil B para que al ir con rapidez cons­ tante de 2 m/s, choque con este justo antes de im pactar en el suelo? (A y B parten al mismo tiem po y g = 10 m/s2)

a) 4 m b) 8 m c) 12 m d) 16 m e) 24 m

40 m/s

O

14. Desde ia azotea de un edificio cae una m one­ da, una persona observa que tarda 9,2 s en pasar por delante de una ventana de 2,2 m de altura. Determ ine la distancia entre la azotea y el marco superior de la ventana, (g = 10 m/s2) a) 3 m

,d) 9 m

b) 5 m e) 11 m

c) 7 m

15. Un bloque es soltado en el punto A (vA = 0) y después de 10 s pasa por B con una rapidez de 80 m/s. H allar© si no existe rozam iento. (g = 10 m /s2)

a) 30° A,~

b) 60° c) 37° d) 53° e) 45°

16. Desde el techo de una casa de 7 m de altura, un niño lanza una maceta verticalmente hacia aba­ jo con una rapidez de 2 m/s. ¿Con qué velocidad llegará la maceta a tierra? (g = 10 m/s2)

a) 1 2 j m/s b ) - 1 2 j m / s - c ) 8 jm / s d) - 8 j m/s ' e) 0

17. Un objeto es soltado de cierta altura y recorre 25 m en el últim o segundo de su caída. De­ term ine de qué altura fue soltado tal objeto. (g = 10 m /s2)

a) 100 m b) 60 m c) 25 m

d) 35 m e) 45 m

18. Dos partículas A y B están ubicadas en la m isma vertical (A sobre B) separadas 80 m; si A se suelta y B se lanza verticalm ente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s, calcular el tiem po para el encuentro, (g = 10 m /s2)

a) 16 s b) 20 s c) 10 s

d) 8 s e) 36 s

19. Un objeto es lanzado verticalm ente hacia arri­ ba con 20 m/s, si luego se le lanza con una rapidez v, verticalm ente hacia arriba, se ob­ serva que su altura m áxima aum entó en 60 m. Hallar v. (g = 10 m/s2)

a) 60 m/s b) 40 m/s c) 160 m/s d) 80 m/s e) 30 m/s

20. Desde la azotea de un edificio se lanza un objeto verticalm ente hacia arriba con una ra­ pidez de 10 m/s llegando al piso 4 s después. Determ ine la altura del edificio.

a) 5 m b) 20 m c) 45 m

d) 40 m e) 80 m

(33)

ESTÁTICA

Es la parte de la mecánica que se encarga de estu­ diar a los cuerpos que se encuentran en equilibrio.

CONCEPTOS GENEALES

Equilibrio. Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto, solo hay 2 posibilidades. Está en reposo o se m ueve en lí­ nea recta con velocidad constante.

c t u • n ív = 0 (reposo) Equilibrio: a = 0 | v = ("MRU)

Fuerza (F). Cuando suspendem os un cuerpo, golpeam os un clavo, estiram os o com prim im os un resorte, em pujam os un autom óvil o lim piam os una ventana de vidrio, decim os que estam os inte- raccionando; la interacción es pues ja la r o em pujar los dem ás cuerpos, entonces, la fuerza es la m e­ dida de la interacción que se m anifiesta entre dos cuerpos.

Cabe recalcar que esta interacción puede ser por contacto o a distancia.

Su unidad en el SI es el newton (N).

M edición estática de la fuerza. Considerem os el resorte en espira! de longitud (L.) que se muestra en la figura, en el extrem o de este resorte aplique­ mos una fuerza (F) vertical hacia abajo, observa­ rem os un aum ento (x) en la longitud directam ente proporciona! a la fuerza aplicada.

Robert Hooke fue el primero que estableció esta relación mediante el invento de un resorte com pen­ sador para un reloj.

La ley de Hooke se escribe como:

F: fuerza deform adora

k: constante de rigidez (depende del tipo de m a­ terial)

x: elongación

L: longitud natural (sin deform ar)

NATURALEZA DE LAS FUERZAS

Todas las interacciones se agrupan en tres tipos de fuerzas:

1. Fuerza gravitacional. Es la fuerza de atrac­ ción entre dos cuerpos debido a sus respec­ tivas masas, esta fuerza es m uy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo m e­ nos uno de los cuerpos tenga una masa m uy grande com o la del Sol o de los planetas.

El peso de los cuerpos (W) es una fuerza gra­ vitacional y se debe a que la masa de la Tierra (M) atrae la masa (m) de los cuerpos.

VV: peso del cuerpo m : masa del cuerpo

g : aceleración de la gravedad El peso es un vector que siem pre apunta ha­ cia e! centro de la Tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende de la aceleración de la gravedad (g).

W = mg

2. F u erza e le c tro m a g n é tic a . Se d e s c o m p o ­ ne en:

Fuerza eléctrica: es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que am ­ bos poseen cargas eléctricas.

Fuerza magnética: es una fuerza adicional a la fuerza eléctrica cuando las cargas eléctri­ cas están en movimiento.

3. Fuerzas nucleares. Son fuerzas que apare­ cen cuando la distancia entre ¡os cuerpos es m enor que 10 15 m y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango.

(34)

3 6 | Co l e c c ió n El Po s t u l a n t e

Todas las diferentes fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional, electro­ magnético o nuclear.

FUERZAS MÁS USADAS EN ESTÁTICA

1. Tensión (T) en una cuerda. Tomemos una cuerda fija en el punto B y jalem os desde el otro extrem o A m ediante una fuerza F.

B M A F

• • ►

Mr A F

"* * J * *■

corte imaginario

Debido a la fuerza F las m oléculas de la cuerda se separan.

Para contrarrestar esta separación m ole­ cular aparece una fuerza de restitución, llam ada tensión (T) la cual se opone a la fuerza exterior F.

• Separando im aginariam ente la porción MA de la cuerda observam os que la tensión (T) se opone a la fuerza exterior F, ya que en el punto M ias moléculas se separan. 2. Com presión (C) en una b a rra . Tomemos una

barra apoyada en el punto B y en el otro extre­ mo A apliquem os una fuerza F que com prim e la barra.

B M A r

C M

corte im aginario

Debido a la fuerza F las m oléculas de la barra se acercan.

Para contrarrestar este acercam iento m o­ lecular aparece una fuerza de restitución, llam ada com presión (C) la cual se opone a ia fuerza exterior F.

Separando im aginariam ente una porción MA de la barra observam os que la fuerza de com presión (C) se opone a la fuerza exterior F, porque en el punto M ¡as m olé­ culas se acercan.

3. Fuerza normal (N). Considerem os un cuerpo sobre una superficie plana:

- C

3

.

N

Debido ai contacto las m oléculas inferio­ res del cuerpo se com prim en (acercan). En el contacto aparece una fuerza normal (N) para contrarrestar el acercam iento m o­ lecular.

Separando im aginariam ente el cuerpo de la superficie plana representam os la fuer­ za normal (N) la cual siem pre ingresa al cuerpo en fo rm a p e rp e n d icu la r al co n ­ tacto.

Las fuerzas de tensión (T), com presión (C), normal (N) son m oleculares y por tanto de naturaleza elec­ trom agnética.

LEYES DE NEWTON

1.a Ley (ley de la inercia). La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que: "Todo cuerpo con­ tinúa en su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante m ientras que sobre el-cuerpo no actúe una fuerza resultante exterior que lo obligue a cam biar de velocidad". La tendencia que tiene un cuerpo de m ante­ ner su estado de reposo o de m ovim iento a velocidad constante se llama inercia.

Figure

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