Escala temporal para la acumulación de la densidad de probabilidad en el decaimiento cuántico

(1)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cu´antico 1 / 36

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la

Densidad de Probabilidad en el Decaimiento

Cu´

antico

Mario Alberto Monroy Y´

epez

IF-UNAM

(2)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(3)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(4)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(5)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(6)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(7)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(8)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(9)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(10)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(11)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(12)

Introducci´

on

Estados Resonantes

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad para un

Potencial Delta.

Resultados

Acumulaci´

on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la Acumulaci´

on de la Densidad de

Probabilidad

Caso 1

Caso 2

(13)

Escala Temporal para la Acumulación de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cuántico 3 / 36 INTRODUCCI ÓN

(14)

(15)

Estados Resonantes (Estados de Gamow)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Las reglas usuales de normalizaci´

on y completez no son v´

alidas.

Dr. Rudolph Peierls y Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on,

considera-ron las propiedades anal´ıticas de la funci´

on de Green.

Z

a

0 u

_n

2 (r

)dr

+

i

u

2 n

(a)

2k

n

(24)

Las reglas usuales de normalizaci´

on y completez no son v´

alidas.

Dr. Rudolph Peierls y Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on,

considera-ron las propiedades anal´ıticas de la funci´

on de Green.

Z

a

0 u

_n

2 (r

)dr

+

i

u

2 n

(a)

2k

n

(25)

Las reglas usuales de normalizaci´

on y completez no son v´

alidas.

Dr. Rudolph Peierls y Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on,

considera-ron las propiedades anal´ıticas de la funci´

on de Green.

Z

a

0 u

_n

2 (r

)dr

+

i

u

2 n

(a)

2k

n

(26)

Las reglas usuales de normalizaci´

on y completez no son v´

alidas.

Dr. Rudolph Peierls y Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on,

considera-ron las propiedades anal´ıticas de la funci´

on de Green.

Z

a

0 u

_n

2 (r

)dr

+

i

u

2 n

(a)

2k

n

(27)

Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad para un Potencial Delta

Figura 1:

Logaritmo de la densidad de probabilidad|ψ(a,t)|2para un potencialV(r) =λδ(r−a) con par’ametrosλ= 10,a= 1 y conp= 1 con el estado inicialψp(r,0) =

s

2 asen

_p_π_r

a

(28)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(29)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(30)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(31)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(32)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(33)

Figura 1:

s

2 asen

_p_π_r

a

(34)

Figura 1:

Logaritmo de la densidad de probabilidad|ψ(a,t)|2_{para un potencial}_V_{(r) =}_λδ_(r₋_{a) con} par’ametrosλ= 10,a= 1 y conp= 1 con el estado inicialψp(r,0) =

s

2 asen

_p_π_r

a

(35)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

₋

_[C

n

u

n

(a)M(

−

y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(a)M

(y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t

) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(36)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

₋

_[C

n

u

n

(a)M(

−

y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(a)M

(y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t

) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(37)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

₋

_[C

n

u

n

(a)M(

−

y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(a)M

(y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t

) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(38)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(

a

)

e

−

ik

2

n

t

₋

_[C

n

u

n

(a)M(

−

y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(a)M

(y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t

) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(39)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

₋

_[

_C

n

u

n

(

a

)

M

(

−y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(

a

)

M

(

y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t

) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(40)

La funci´

on que describe el sistema a todo tiempo, en unidades naturales

~

= 2m

= 1, es:

ψ

(a

,

t) =

∞

X

n=1

{

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

₋

_[C

n

u

n

(a)M(

−

y

n

)

−

C

n

∗

u

∗

n

(a)M

(y−

n

)]

}

(2)

M

(y

n

)

≡

M

(0

,

k

n

,

t) =

i

2 π

Z

∞

−∞

e

−

ik

2

t

k

−

k

n

(41)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(42)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(43)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(44)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(45)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(46)

Para simplificar el an´

alisis (2) se reescribir´

a de la siguiente manera:

ψ

(a

,

t) =

ψ

exp

−

I

(4)

donde

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2

n

t

₍₅₎

I

=

N

X

n=1

(47)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cu´antico 10 / 36 RESULTADOS

(48)

(49)

Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad

Acumulaci´

on de la

(50)

Acumulaci´

on de la

(51)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

(52)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

(53)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

(54)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

|

ψ

(a

,

t)

|

2 =

(55)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

|

ψ

(a

,

t)

|

2 =

|

ψ

exp

|

2

(56)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

|

ψ

(a

,

t)

|

2 =

|

ψ

exp

|

2 +

|

I

|

2

(57)

Como ejemplo, se muestra el decaimiento de un estado inicial

descrito por un estado de la caja:

ψ

(r

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

(7)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

Figura 5:

Comparaci´on entre|I|2_y_−2Re{_ψ∗

(75)

Figura 5:

(76)

Figura 5:

(77)

Figura 5:

(78)

Figura 5:

(79)

Figura 5:

(80)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad

Escala Temporal para la

Acumulaci´

on de la

(81)

Se presentan los resultados obtenidos para dos estados iniciales

di-ferentes:

ψ

(a

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

ψ

2a

5 ,

3a

5 ,

0 =

r

10 a

sen

5 π

(2p

−

1)

a

r

−

a

(82)

Se presentan los resultados obtenidos para dos estados iniciales

di-ferentes:

ψ

(a

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

ψ

2a

5 ,

3a

5 ,

0 =

r

10 a

sen

5 π

(2p

−

1)

a

r

−

a

(83)

Se presentan los resultados obtenidos para dos estados iniciales

di-ferentes:

ψ

(a

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

ψ

2a

5 ,

3a

5 ,

0 =

r

10 a

sen

5 π

(2p

−

1)

a

r

−

a

(84)

Se presentan los resultados obtenidos para dos estados iniciales

di-ferentes:

ψ

(a

,

0) =

r

2 a

sen

p

π

r

a

ψ

2a

5 ,

3a

5 ,

0 =

r

10 a

sen

5 π

(2p

−

1)

a

r

−

a

(85)

Caso 1

Figura 6:

Estado inicialψ(a,0) =

q

2 asen(

(86)

Caso 1

Figura 6:

q

2 asen(

(87)

Caso 1

Figura 6:

q

2 asen(

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

Caso 2

Figura 7:

Estado inicial Estado inicialψ

_2a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π_(2p₋₁₎

a

(97)

Caso 2

Figura 7:

_2a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π_(2p₋₁₎

a

(98)

Caso 2

Figura 7:

_2a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π_(2p₋₁₎

a

(99)

Caso 2

Figura 8:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(100)

Caso 2

Figura 8:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(101)

Caso 2

Figura 8:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(102)

Caso 2

Figura 8:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(103)

Caso 2

Figura 9:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(104)

Caso 2

Figura 9:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(105)

Caso 2

Figura 9:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(106)

Caso 2

Figura 9:

Estado inicialψ

₂_a 5, 3a 5 ,0 = s 10 a sen

₅_π₍₂_p₋₁₎

a

r−a

(107)

(108)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cu´antico 26 / 36 CONCLUSIONES

(109)

Existe un valor m´ınimo de

N

para el que el tiempo en que

ocu-rre la acumulaci´

on no cambia para cada

λ

y cada

p.

De la funci´

on que describe la evoluci´

on temporal del sistema

se obtiene que la acumulaci´

on de la densidad de probabilidad

se debe a la suma de las contribuciones exponenciales de la

funci´

on:

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

_.

(110)

Existe un valor m´ınimo de

N

para el que el tiempo en que

ocu-rre la acumulaci´

on no cambia para cada

λ

y cada

p.

De la funci´

on que describe la evoluci´

on temporal del sistema

se obtiene que la acumulaci´

on de la densidad de probabilidad

se debe a la suma de las contribuciones exponenciales de la

funci´

on:

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

_.

(111)

Existe un valor m´ınimo de

N

para el que el tiempo en que

ocu-rre la acumulaci´

on no cambia para cada

λ

y cada

p.

De la funci´

on que describe la evoluci´

on temporal del sistema

se obtiene que la acumulaci´

on de la densidad de probabilidad

se debe a la suma de las contribuciones exponenciales de la

funci´

on:

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

_.

(112)

Existe un valor m´ınimo de

N

para el que el tiempo en que

ocu-rre la acumulaci´

on no cambia para cada

λ

y cada

p.

De la funci´

on que describe la evoluci´

on temporal del sistema

se obtiene que la acumulaci´

on de la densidad de probabilidad

se debe a la suma de las contribuciones exponenciales de la

funci´

on:

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

_.

(113)

Existe un valor m´ınimo de

N

para el que el tiempo en que

ocu-rre la acumulaci´

on no cambia para cada

λ

y cada

p.

De la funci´

on que describe la evoluci´

on temporal del sistema

se obtiene que la acumulaci´

on de la densidad de probabilidad

se debe a la suma de las contribuciones exponenciales de la

funci´

on:

ψ

exp

=

N

X

n=1

C

n

u

n

(a)e

−

ik

2 n

t

_.

(114)

(115)

(116)

(117)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cu´antico 30 / 36 PERSPECTIVAS

(118)

(119)

Realizar estudios semejantes ya sea para potenciales esf´

ericos

pero de intensidades superiores a las mostradas aqu´ı o bien

pa-ra sistemas multibarrepa-ra con los mismos o diferentes estados

iniciales.

(120)

Realizar estudios semejantes ya sea para potenciales esf´

ericos

pero de intensidades superiores a las mostradas aqu´ı o bien

pa-ra sistemas multibarrepa-ra con los mismos o diferentes estados

iniciales.

(121)

Realizar estudios semejantes ya sea para potenciales esf´

ericos

pero de intensidades superiores a las mostradas aqu´ı o bien

pa-ra sistemas multibarrepa-ra con los mismos o diferentes estados

iniciales.

(122)

(123)

(124)

Escala Temporal para la Acumulaci´on de la Densidad de Probabilidad en el Decaimiento Cu´antico 33 / 36 COMENTARIOS

(125)

La relevancia f´ısica del estudio de la acumulaci´

on de la densidad

de probabilidad es tener un mejor entendimiento del proceso de

decaimiento en la regi´

on externa del potencial.

Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on ha reportado acumulaci´

on de la

densidad de probabilidad en la regi´

on externa a distancias

gran-des comparadas con el ancho de la regi´

on interna del potencial,

observ´

andose interferencias producidas por la propagaci´

on de

las part´ıculas.

(126)

La relevancia f´ısica del estudio de la acumulaci´

on de la densidad

de probabilidad es tener un mejor entendimiento del proceso de

decaimiento en la regi´

on externa del potencial.

Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on ha reportado acumulaci´

on de la

densidad de probabilidad en la regi´

on externa a distancias

gran-des comparadas con el ancho de la regi´

on interna del potencial,

observ´

andose interferencias producidas por la propagaci´

on de

las part´ıculas.

(127)

La relevancia f´ısica del estudio de la acumulaci´

on de la densidad

de probabilidad es tener un mejor entendimiento del proceso de

decaimiento en la regi´

on externa del potencial.

Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on ha reportado acumulaci´

on de la

densidad de probabilidad en la regi´

on externa a distancias

gran-des comparadas con el ancho de la regi´

on interna del potencial,

observ´

andose interferencias producidas por la propagaci´

on de

las part´ıculas.

(128)

La relevancia f´ısica del estudio de la acumulaci´

on de la densidad

de probabilidad es tener un mejor entendimiento del proceso de

decaimiento en la regi´

on externa del potencial.

Dr. Gast´

on Garc´ıa-Calder´

on ha reportado acumulaci´

on de la

densidad de probabilidad en la regi´

on externa a distancias

gran-des comparadas con el ancho de la regi´

on interna del potencial,

observ´

andose interferencias producidas por la propagaci´

on de

las part´ıculas.

(129)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(130)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(131)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(132)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(133)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(134)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(135)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(136)

Los estados resonantes

u

n

(r

) satisfacen la ecuaci´

on radial de

Schr¨

odinger:

u

_n

00 (r) + [k

_n

2 −

V

(r)]u

n

(r) = 0

(9)

k

n

puede escribirse como

k

n

=

α

n

−

i

β

n

.

(10)

Unidades naturales

~

= 2m

= 1

.

Si

E

n

=

k

n

2 , entonces

(137)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(138)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(139)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(140)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(141)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(142)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.

(143)

Si

ε

n

=

α

2 n

−

β

n

2 y

Γ

n

= 4

α

n

β

n

se tiene

E

n

=

ε

n

−

iΓ

n

/

2 .

(12)

En (12) se distingen dos cantidades esenciales para describir el

de-caimiento:

ε

n

,

Γ

n

. Representa la raz´

on de decaimiento.