EJERCICIOS DE VECTORES EN EL PLANO (TEMA 3) 4.- Dados los vectores de la figura, indica cuáles de las siguientes igualdades es cierta:

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EJERCICIOS DE VECTORES EN EL PLANO (TEMA 3) 1.- Dibuja los siguientes elementos en un diagrama de coordenadas:

A = (5,2) , B = (–3, –2) v= (4,3) , u2i4 j

el vector w mide 3 unidades, tiene dirección horizontal, sentido izquierdo y origen (0,0) 2.- Dados los vectores a, b y c, ¿cuáles de ellos son equipolentes?. Explica la razón.

3.- Representa en el plano los siguientes vectores:

(4,3) , ( 2, 7) , (5, 0) , (0,8) , (1, 0) , (0,1)

a b  c d  i j 

4.- Dados los vectores de la figura, indica cuáles de las siguientes igualdades es cierta:

, , , , , , , ,

a f a f f  k ce c j e j b g he d  l

5.- Dados los vectores a y b de la figura, dibuja: a) Un representante de a con origen en O. b) Un representante de b con origen en O. c) El vector ab con origen en O.

6.- A partir del vector de la figura, dibuja:

a) Un representante de 2a con origen en O. b) Un representante de 3a con origen en O.

(2)

7.- Teniendo en cuenta los vectores a y b de la figura, dibuja con origen en O: a) Un representante de 2a.

b) Un representante de 3b.

c) Un representante del vector 2a3b.

8.- Dados los vectores v(2,1) y w (3,4), calcula: a) v2w b) 3vw

9.- Dados los vectores v(3,5), w (2,2) y u(3,4), calcula:

a) v2w u b) 3v(w u) c) 2(vw)3u 10.- Si a(2,1),         2 1 , 0 b y c(3,1), se pide: a) ab2c b) 2a3bc c) a(b2c)

11.- Demuestra que si vwa y vwb, entonces: v a b 2 1 2 1 _  y w a b 2 1 2 1 _  .

12.- Las coordenadas de A, B, C y D son: A(3,0), B(5,–1), C(7,4) y D(0,–4). Representa los vectores de posición a, b, c y d.

13.- Para los puntos del ejercicio anterior, halla las coordenadas de los siguientes vectores.

a) AB b) AC c) AD d) BC e) BD f) CD

14.- Considerados los puntos A(2,–1), B(2,0), C(–1,–2) y D(0,–5), calcula las coordenadas de los vectores:

a) AB b) AC c) DB d) CD

15.- Calcula la suma de los vectores AB y CD, siendo A(1,1), B(0,2), C(–2,1) y D(4,7). 16.- Del vector AB (4,1) se sabe que A(3,–2); calcula las coordenadas del extremo B.

17.- El vector AB tiene de coordenadas (3,–4) y las coordenadas del origen A son (3,–1). ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?.

18.- Siendo (a,b)=(2,5) las componentes del vector AB y A(1,2), halla las coordenadas de B. 19.- Un vector tiene coordenadas (–5,7) y origen en el punto A(3,–3). Determina su extremo.

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20.- Dados los siguientes seis puntos:

A = (3,1) , B = (–2,3) , C = (1,–1) , D = (–4,–1) , E = (–5,2) , F = (2,–4) a) Halla las componentes de los vectores: AB, CD, EF .

b) Calcula analítica y gráficamente los siguientes vectores:  CD AB   CD EF 2·

21.- Representar los puntos A(3,7), B(6,9), C(–2,9), D(6,1) y E(8,3) en un sistema de referencia del plano. Hallar las coordenadas de los vectores AB, AC, BC, CD y DE. Comprobar los resultados representando gráficamente esos vectores.

22.- Dado el segmento de extremos A(3,4) y B(–8,5), halla las coordenadas de un punto P, tal que 3

5 AP  AB.

23.- Dados los vectores a(1,4), b (2,3) 

y c(0,2): a) Representarlos.

b) Calcular: a2b , bc , 2ac , abc

24.- Halla los vectores AB y CD siendo A(3,4), B(7,2), C(–1,0) y D(3,–2). ¿Son equipolentes los vectores AB y CD?.

25.- ¿Son equipolentes los vectores AB y CD, siendo A(5,3), B(0,–3), C(1,1) y D(–4,–5)?. 26.- Sea un paralelogramo ABCD: A(2,3), B(5,1), C(4,0). Halla las coordenadas del vértice D.

27.- Consideramos el paralelogramo ABCD. Halla las coordenadas de D, sabiendo que A(3,–5), B(–5,4) y C(8,–7).

28.- Calcula m y n de modo que se cumpla: (7,–7) = m (2,1) + n (1,–3). 29.- Halla el valor de x e y para que se verifique que: 3 (2,–y)+2 (x,4) = (5,3). 30.- Dados los vectores v(2,1) y w (3,4), calcula: v·w.

31.- Dados los vectores v(2,3), w (0,3) y u(5,1), calcula:

a) v·w b) u·v c) w·u

32.- Dados los vectores u(2,0), v(1,7) y w (3,2), calcular:

a) (uv)·w  b) (vu)·(w v) 33.- Dados los vectores u (2,4) , v (3,1), hallar el módulo del vector uv. 34.- Dados los vectores v(4,3), w (2,0) y u(6,1), calcula:

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35.- Calcula el módulo del vector v a b    · 3 · 2  

 , siendo las coordenadas de los vectores a(1,3) y ) 5 , 2 (   b  .

36.- Halla el ángulo que forman los vectores a(5,3) y b(4,2) 

.

37.- Las coordenadas de los vectores a y b son a(2, 12), b(2,0) 

. Halla el ángulo formado por dichos vectores.

38.- Las coordenadas de los vectores a y b son a(2, 12), b(2,0) 

. Halla el ángulo formado por dichos vectores.

39.- Los módulos de dos vectores libres u y v son respectivamente 7 y 8. Calcula el producto escalar u·v cuando: a) cos 8 3 ) , (u v  b) 4 ) , (u v 

40.- Calcula el producto escalar x·y en cada uno de los siguientes casos:

a) x0 b) y 0 c) x  y 2 , (x,y)0º

41.- Calcula el producto escalar a·b si: a 2 25, b 2 81 y cos

2 2 ) , (a b  . 42.- Calcula 2 b si: a·b 14   , a 2 121 y 6 ) , (a b    .

43.- Sean a, b y c vectores tales que a·b 7 y a·c8. Calcula los siguientes productos escalares: a) a·(bc) b) a·(bbc) c) a·(bcc) d) a·(bc) e) a·(2b 6c)    f) (7a)·(3b 7c)    g) ( a)·(b c)     h) ( 6a)·(4b 3c)    

44.- Sean a y b dos vectores tales que: cos

3 2 ) , (a b    , a 6 y b 2  . Calcula a·(a b)     . 45.- Sean a y b vectores tales que a  b 6

  y a·b 4   . Calcula (a b)·(a b)       .

46.- Si x·y8, calcula los productos escalares:

a) y·x b) x·(y) c) (x)·y d) (x)·(y) 47.- Si a·b27   , calcula: a) a b   · ) 7 ( b) ( a)·(8b)    c) (12a)·( b)    d) ( 2a)·( 8b)   e) 3 · 3 4a 5 b   _          48.- Si a·b 12   y a·c10, calcula: a) a·(7b8c) b) a·(2b6c) c) (a)·(3b5c)

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49.- Sean a y b vectores tales que a 4, b 8 y cos 2 3 ) , (a b    . Calcula: a) (ab)·(ab) b) (ab)2 c) (ab)2 50.- Considera los puntos A(3,6), B(–2,0) y C(x,y). Halla x e y para que:

a) AC 3 BA

b) AB  AC , sabiendo que el punto C está en el eje OX.

51.- Sea a(x,x), halla el valor de x para que se verifique que a 3.

52.- Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(5,4) y B(–3,2).

53.- Halla las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos A(–4,6) y B(8,3) en tres partes iguales.

54.- Halla las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos A(3,–1) y B(9,8) en tres partes iguales

55.- Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en cuatro partes iguales siendo A(2,–5), B(16,–10).

56.- Halla el extremo B del segmento AB sabiendo que A(–3,5) y M(2,–1) es el punto medio del segmento.

57.- Halla el valor de x para que los vectores a(x,4) y b(1,6) sean perpendiculares. 58.- Halla el valor de x sabiendo que los puntos A(0,–4), B(3,2) y C(x,8) están alineados.

59.- Halla las coordenadas de un vector cuyo módulo es 3 sabiendo que forma un ángulo de 30º con la parte positiva del eje OX.

60.- Halla las coordenadas del punto C sabiendo que los puntos A(0,0), B(2,0) y C(x,y) forman un triángulo equilátero y que C está en el primer cuadrante.

61.- Si v y w son vectores perpendiculares, ¿qué condiciones deben cumplir para que vw y w

v  también sean perpendiculares?.

62.- Dos vectores v y w, ambos de módulo 5, forman un ángulo de 60º. ¿Cuál es el módulo de su vector suma?.

63.- Halla el valor de x para que los vectores v(2x,x1) y w (2x1,4) tengan el mismo módulo y halla el ángulo que forman v y w.

64.- El vector v es tal que su módulo es 5 y es perpendicular al vector        4 3 , 1 w . Calcula sus coordenadas.

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65.- Comprueba que los puntos A(3,1), B(–1,2) y C(0,4) no están alineados y halla el ángulo que forman los vectores AB y AC.

66.- Sean x e y dos vectores libres no nulos y de igual dirección. Razona cuál puede ser el valor del ángulo (x,y).

67.- Calcula las coordenadas del punto D sabiendo que AC es equipolente a BD, siendo: a) A(2,5), B(–1,3) y C(4,3) b) A(3,6), B(0,4) y C(5,4)

68.- ¿Están alineados los siguientes puntos?: a) A(–2,5), B(3,1) y C(8,–3)

b) A(–1,5), B(8,3) y C(29,–15) c) A(–1,3), B(2,5) y P(–15,16)

69.- Hallar las coordenadas del punto B, siendo el vector AB=(3,–1) y A(5,7). 70.- Dados los vectores u(2,3), v(3,5) y w (2,5), calcular y dibujar:

a) uvw b) u(vw)

71.- Dados los vectores u(2,3) y v(3,5), calcular: w u v u            3 ·2 3 .

72.- Calcular las operaciones de los siguientes apartados realizando el dibujo de los vectores: a) Si u (2,4) y v(3,1), calcula: uv.

b) Si u (4,5) y v(3,7), calcula: uv y uv. c) Si u (3,2), calcula: 3u y 2u.

d) Si u(1,2) y v(4,3), calcula: w 3u2v.

73.- Dados los vectores u (3,1) y v(5,2), resuelve: 2 4 5 0        v w u 74.- Comprobar que: a) 3u 3 u , siendo u(2,3) b) 2u 2 u , siendo u (1,2)