Definición de objetos cuasi-puntuales para un sistema óptico en luz coherente, a partir de la función de distribución de Wigner

Instituto Nacional de Astrofísica,

Optica y Electrónica.

Definición de objetos cuasi-puntuales para

un sistema óptico en luz coherente, a

partir de la función de distribución de

Wigner.

Por:

M.C. Sergio Mejía Romero.

Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica en el Instituto

Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica.

Supervisada por:

Dr. Luis Raúl Berriel Valdós.

Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica. Tonantzintla, Puebla.

Octubre del 2015.

©INAOE 2015

Derechos Reservados

El autor otorga al INAOE el permiso de

reproducir y distribuir copias de esta tesis en su

totalidad o en partes mencionando la fuente.

2015

Sergio Mejia Romero

INAOE 7-8-2015

Capítulo 1 4

Introducción 4

Objetivo 8

Capítulo 2 10

2.1 Sistema formador de imágenes en luz coherente 11

2.2 Respuesta en Frecuencia del SO 17

Capítulo 3 20

3.1 Imagen coherente de un objeto puntual formada por un microscopio 21

3.2 Imagen de objetos de radior_Airy 25

3.3 Propuesta de objetos Quasi-Puntuales 28

Capítulo 4 32

4.1 Imagen con ruido 33

4.2 Imagen estimada 36

Capítulo 5 41

5.1 Teoría básica de la función de distribución de Wigner (WDF) 42

5.2 WDF de la imagen de una fuente puntual 46

5.3 WDF de la imagen de objetos circulares de radio r_Airy 50

5.4 La Función de Distribución de Wigner Discreta 53

5.5 Propiedades de la WDF y DWDF 58

5.5 Criterio de positividad de la DWDF 60

Capítulo 6 61

6.1 Arreglo experimental 62

6.2 Metodología experimental para la obtención de DWDF 67

Resultados 68

Conclusiones 75

Trabajos a futuro 78



,



g x y o x y



o, o





_p, _p











 0  0

2

0 0 2

1

, ; , ,

p p

i

i x Mx x y My y

z

p p p p

i o

h x y x y P x y e dx dy

z z  



    _{    }     

 





x y0, 0



 

x y,



xp,yp



 

apsf r

 

 

1

2 2

2

J rAN

M

apsf r h r

rAN M

   

  

 

 _{ }

 

 

 

 

 AN

2 2

 

r x y

  

 



 

2



log 1

I r _ aspf r  _

 

 



 2



log 1

 

_  _

 

I r aspf r

 

,

a

g x y



_i, _i



h x y



_i, _i





2 2

 

2 2





₂





₂







, , ,

i i i i i i

o o

x NA y NA x NA y NA _NA z _NA z

a M M M M M i z M i z

g _{ } h _{ } o _ x 



_ y 





 

 

   

     







  

 



2 2

 

2 2

 

2 2



,

,

,

i i i i i i

x NA y NA x NA y NA x NA y NA

a M M M M M M

g

_{ }



h

_{ }



o

_{ }



,

 

,

 

,



a i i i i i i

g x y h x y o x y























1



   



,  ,  ,  ,   ,  ,

a i i i i i i a i i

FT

g x y h x y o x y g x y H u v O u v

 

,

H u v h x y



_i, _i



 

,

O u v o x y



_i, _i



1





 

,



_p, _p



p x y



_p, _p



2p 2p

p

x y

p x y circ

r  _         p

r



xp,yp



 

, 2 2

c u v ATF u v circ





 _

 _ _

 

 

u v,

p i x u z   p i y v z  



_c c



p c i r z    p

0.61

c

NA M







 

, 2 2

c u v ATF u v circ





 _

 _ _

 

c



2

SO c



,

 

,

 

,



a i i i i i i

g x y h x y o x y



AN

 

1 2 2 2 i i i

J r NA

M apsf r r NA M









      _{ }         





 

 

 

a i i i

g r apsf r 



r



x y_i, _i





     

 

 

( )

a i i

g r apsf r

 

ipsf r

 

2 2

( )

i i

NA

ipsf r Jinc r

M      _ _





( , )_{i i i}, _i

o x y 



x y

 

 

2

i i

ipsf r  _apsf r _

ipsf r

( )

i

2 ( ) a i g r

( )

inc i

g

r

2 ( ) ( )

inc i a i

g r  g r

 



 

2



log 1

c i a i

I r  g r 

 





( ) log 1

inc i inc i

Airy

r



 

a i g r

 

i

h r

 

i

o r

     

a i i i

g r h r o r

2 2

i i i

r  x y

 

1 2 2 ( ) . 2 i

a i i

i

J r NA

M

g r o r

r NA M           _{ }         o

r

1

0 otherwaise

i o i i o o r r r r o circ r r        _{ }          o

r

1 2 2 ( ) ( ). 2 i i a i o i

J r NA

r M

g r o

r r NA M









      _{ }         io

r

r

_io





r

_Airy

0.61  Airy M r NA io o r r M 



o Airy r r  

1 2 2 ( , ) 2 _Airy J rNA r M

g r o

r rNA M    _         _{ } _{ }     _ _    _{ }        io Airy r r



547nm M 20 NA0.5

r

_o 0.7



m





13.3





Airy

r

m



 

o

r

2 1 2 2 ( , ) 2 i i d i Airy i

J r NA

r M

g r o

r r NA M    _         _{ }      _ _   _{ }    

α rAiry

𝑟0=α

α

α

 



2



log 1

c a

I  g r 

𝑎 = 0.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.6𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.1𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑎 = 0.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.7𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.2𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑎 = 0.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.8𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.3𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑎 = 0.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.9𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.4𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑎 = 0.5𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.0𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

2

( , ; ) ( , ) ( , ) ( , ; ),

D i j i j i j i j

g x y p _apsf x y o x y _ CCD x y p

( ,x y_{i j})

( ,i j; )

( ,

_{i j}

; )

n x y







2

2

( , ) 1

( , , ) exp

2 2

i j i j

x y

n x y  

  

 _ 

 

 

 

 

( ,

_{i j}

; )

n x y







2 0

0 0

( , ; , , ) ( , ) ( i, j) ( , ; ) ( , ; )

D i j i j i j i j

y x

gn x y r p apsf x y o n x y CCD x y p

r r

  _  _  

 

0

( , ; , , ) D i j

gn x y r p r0

p n x y( ,_{i j}; )

0 0

( , ).x y

o

r r

r

0

( ,_{i j}) apsf x y

( i, j, ) n x y 



( ,i j; ) CCD x y p

( ,x y_{i j})

1

1

( , ) ( , )

N

i j m i j

m

gn x y gn x y

N 

( ,_{i j})

gn x y

( ,_{i j})

gn x y

2 2

(

u

_N

,

v

_N

)





( k, m)  ( ,i j)

Gn u v gn x y

2 2

(

u

_N

,

v

_N

)

( 2) 1 ( 2) 1

(

u

_{N }

,

v

_{N }

)

( 2) 1 ( 2)

(

u

_{N }

,

v

_N

)

(

u

(N2) 1

,

v

(N 2) 1

)

( 2) ( 2) 1

(

u

_N

,

v

_{N }

)

(

u

_N2

,

v

_N2

)

(

u

_(N2)

,

v

_{(N 2) 1}

)

( 2) 1 ( 2) 1

(

u

_{N }

,

v

_{N }

)

( 2) 1 ( 2)

(

u

_{N }

,

v

_N

)

(

u

(N2) 1

,

v

(N 2) 1

)

2 2





1 ˆ

ˆg( , )x yi j G u v( k, m) 

 

𝑟0= 0.1𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑟₀= 0.6𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟₀= 1.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟0= 0.2𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑟₀= 0.7𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟₀= 1.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟0= 0.3𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑟₀= 0.8𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟₀= 1.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟0= 0.4𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑟₀= 0.9𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟₀= 1.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑟0= 0.5𝑟𝐴𝑖𝑟𝑦

𝑟₀= 1.0𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}





 











         



 

_  _

, , , , , , exp 2

g g

WDF x y u v

p x y x y

i x u y v dx dy



, , , 



g

p x y x y

( , )



_{  }



 _  _    _  _  

   

   

, , , , , .

2 2 2 2

g

x y x y

p x y x y g x y g x y

,

x y



, , , 



g

p x y x y



, , ,



g

WDF x y u v

x y

,

,

x y

( , )u v



G u v( , )



( , ) g x y





 











         



_{ }

_  _

, , , , , , exp 2

G G

WDF u v x y

P u v u v

i xu yv du dv



, , , 



G

P u v u v



, , , 



g

p x y x y



_{  }



 _  _    _  _  

   

   

, , , , ,

2 2 2 2

G

u v u v

P u v u v G u v G u v

 

,

 

,

g x y G u v

 

,

 ,



, ; ,



 ,



, ; ,



g x y G u v

WDF x y u v WDF u v x y

 ,



, ; ,



g x y

WDF x y u v WDF_{G u v ,}



u v x y, ; ,





, , ,



p x y x y  P u v u v



, , , 



 ,





2  

, , , ; ,

2 2 2 2

i ux vy g x y

x y x y

g x y g x y WDF x y u v e  dudv

            _{ }  _{  }        

 

 ,v





2  

, , , ; ,

2 2 2 2

i u x v y G u

u v u v

G u v G u v WDF u v x y e  dxdy

           _{ }  _{  }        

 

 

,

g x y

 

,

G u v

 ,



, ; ,



 ,



, ; ,



g x y G u v

WDF x y u v WDF u v x y

 

,

h x y o x y

 

,

 

,



,

 

,



g x y h x x y y o x y dx dy

 

 

     



_{ }

 



, , ,





, , ,

 

, , ,



g h o

W x y u v W x y u v W x x y y u v dx dy

 

 

     



_{ }

 

 

,

H u v O u v

 

,

 

,

   

, ,

G u v H u v O u v



, , ,





, , ,

 

, , ,



G H O

W u v x y W u u v v x y W u v x y du dv

 

 

     



, , ,



apsf

WDF x y u v WDFATF



u v x y, , ,



.

(x0,y0)





2  

0,0; , , ,

2 2 2 2

i ux vy apsf

x y x y

WDF u v apsf apsf e  dx dy

              _{ }  _{  }  _    

 



, ;0, 0



, ,

2 2 2 2

ATF

u v u v

WDF u v ATF u v ATF u v du dv

           _{  }  _   _{ }   _    

 

1

2

u

u  u  ₁

2

v v  v 

1

2

u

u u



  ₁

2 v v v    1 1

2 y 2

du du dv dv









, ;0,0 , ,

2 2

ATF

u v

WDF ATF u v ATF u u v v du dv

      _{      }    

 



, , 0, 0



ATF WDF u v



, , 0, 0



ATF WDF u v

0, 0; , 

WDF u v

0, 0

x y



0, 0, 0, 0



apsf WDF



0, 0, ,



apsf

WDF u v WDF_apsf



0, 0, ,u v





0, 0, , 0



apsf

WDF u

 

log



_apsf



0, 0, , 0





c



c

NA M

 



 

2 _c

BW SO 





apsf



4 c

BW WDF  



0, 0, ,



apsf

WDF u v

Airy

r



 

,

g x y

o

r







 



2

, , ,

g x y  apsf x y o x y

 

,

   

, ,

G u v ATF u v O u v

 

,

g x y G u v

 

,





2  

, ; , , ,

2 2 2 2

i u x v y G

u v u v

WDF x y u v G u v G u v e  du dv

                _{ }  _   _{ }   _    

 

(x0,y0)



0, 0; ,



, ,

2 2 2 2

G

u v u v

WDF u v G u v G u v du dv

           _{  }  _   _{ }   _    

 

0, 0

x y

o

r

 

,

g x y

 

,

G u v

0, 0; , 0 . 2

G

u

WDF _ _

 



0, 0, 0, 0



g

WDF

o



0, 0, ,



g

WDF u v

o

r

r

o

 

1.0

r

Airy

1.0

o Airy

r

 

r

𝑎 = 0.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.6𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.7𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.8𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.9𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.5𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.0𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.5𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

 

2 ´ ´

´ ´ ´ ´

( , ; , ) ( , ) ( , ) ´

2 2 2 2

i x u y v g

x y x y

WDF x y u v g x y g x y e  dx dy

       

 

   



,



g x y ( , )x y

( ,x y_{i j})

2( 1 )

2( 1 ) 2

0 0

( , ; , )

, ,

2 2 2 2

j i j

i k m

i j

g i j k m

y x N y

M x i u v

M N

j j

i i

i j i j i i

x y

DWDF x y u v

y y

x x

g x y g x y e x y

             _{ }    _                    _   _        

 

i

x

0,1, 2,..., 1 2

i i

x

x    M 0,1, 2,..., 1 2

j j

y

y    N

   

  

 

 2 2, 

j i y

x



x y_i, _j



2 2

con:

1 1

2 2

i i j j

i i i j j

x y x y                         



 



( 1 )

( 1 ) _{2 2 2}

0 0

( , ; , )

4

,

,

j i j

i _{k m}

i j

g i j k m

N y

M x _{i u v}

M N

i i j j i i j j i j

DWDF x y u v

g x

y

g x

y

e

    









 

          _{   }            











 

 

2

k k

u



u

v

_m



2

v

_m



 



( 1 )

( 1 ) 2

0 0

( , ;

,

)

2 2

4

,

,

j i j

i k m

i j

k m

g i j

N y

M x i u v

M N

i i j j i i j j i j

u v

DWDF x y

g x

y

g x

y

e

    









 

             _           











 

 

0,1, 2,..., 1, 0,1, 2..., 1,

i j



, , ,2 2



u v g

W x y

g

W



x0,y0







1 1

  



2





0 0

0,0, 2, 2 4 , , M N ,

M N

i u v g

DWDF u v g g e

           _{ }    



 

0,1, 2,...,M 1 y 0,1, 2,...N 1.

     

o



0, 0, 0, 0



g

DWDF

o

r  a rAiry W u log



DWDFapsf 0, 0, , 0u 



1.0

o Airy

r

 

r

1.0

o Airy



0,0, 2, 2



g

DWDF u v



0, 0, 0, 0



g

DWDF

𝑎 = 0.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.6𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.1𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.7𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.2𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.8𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.3𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.9𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.4𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 0.5𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

𝑎 = 1.0𝑟_{𝐴𝑖𝑟𝑦}

o

r  a rAiry



0, 0; ,



apsf

WDF u v







_apsf 0,0, ,



BW WDF u v

0 1.0 Airy

r  r WDFg



0, 0; ,u v









_apsf 0,0, ,



BW WDF u v

0 1.0 Airy

r  r DWDFg



0, 0;uk 2,vm 2









_ipsf 0, 0; _k 2, _m 2



BW WDF u v

0 1.0 Airy

r  r DWDFg



0, 0;uk 2,vm 2









_ipsf 0, 0; _k 2, _m 2



0 1.0 Airy

r r

0 1.0 Airy

1.0

o Airy

r  r

o Airy

r   r



0,0; 2, 2



g

DWDF u v



_i, _j



g x y BW WDF



_apsf



0,0,u 2,v 2







0,0; 2, 2



g

DWDF u v



0,0; 2, 2



g

435nm 

547nm 

632.8nm 

0.61

c

NA M





so



1 CCD

pixel pitch

 

289.85lineas/ mm

CCD





     

     



, ; ,



g i j k m



_i, _j



g x y



0,0; 2, 2



g k m

DWDF u v



0,0; 2,0



g k

DWDF u

435nm

 

547nm









435nm

 

547nm

   632nm

435nm





435nm

   547nm

632nm

 

547nm











(0, 0; , )

gn k m

WDF u v

 DWDFgn(0, 0;u vk, m)







_apsf 0,0, ,



 DWDFgn(0, 0;u vk, m)







_apsf 0,0, ,



BW WDF u v



a b c

  





_a

b





c





b



c

a





0 Airy

r  a r





α

(0, 0; , )

gn k m

 



 2



log 1

 

_  _

 

I r aspf r

 



 

2



log 1

c i a i

I r  g r 

0, 0; , 

WDF u v



0, 0, 0, 0



g

WDF

o

r  a rAiry W u log



WDFapsf0, 0, , 0u 





0, 0, 0, 0



g

DWDF

o

r  a rAiry W u log



DWDFapsf 0, 0, , 0u 



0 1.0Airy

r r

0 1.0Airy