MODULO DE LOGARITMO
Nombre:……….. Curso : 2° Medio
Los logaritmos están creados para facilitar los cálculos numéricos. Por logaritmo podemos convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en multiplicación y raíces en división
Los logaritmos son una operación inversa de las potencias, consiste en calcular el exponente de una potencia cuando se conocen la base b y la potencia N.
Definición de Logaritmo
El logaritmo de un número positivo N en una base b positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N
N
b
x
N
xb
log
N se llama antilogaritmo, b > 0 y b ≠ 1N
blog
se lee logaritmo de N en base b¸Ejemplo:
log
5625
, se lee logaritmo de 625 en base 5 log
28
3
2
3
8
, se lee………….. log
636
2
6
2
36
,...
...
log
91
0
9
0
1
,...
...
,...
...
16
1
2
4
16
1
log
2
4
Los logaritmos se expresan de dos formas: a) Forma exponencial
b) Forma Logarítmica
Ejemplo:
1) La expresión
log
5125
3
escrita en forma exponencial queda5
3
125
2) La expresión2
6
64
, escrita en forma Logarítmica quedalog
264
6
3) Calcula el valor de x
a)
log
232
x
, aplicando la forma exponencial
2
x
32
, aplicando la siguiente propiedad“Dos potencias son iguales, si las bases son iguales entonces los exponentes también lo son ”
a
x
a
y
x
y
2
2
2
x
5
x
,b)
log
6x
3
, aplicando la forma exponencial
6
3
x
resolviendo la potencia queda x= 216c)
log
1
2
1
x
, aplicando la forma exponencial
x
x
1 12
2
1
Por lo tanto x= 2 Guía de Ejercicios: I) Dé la forma exponencial a)log
381
4
b)log
864
2
c)log
16
4
2 1 d)log
100
,
00001
5
e)log
0,20
,
008
3
II) Dé la forma Logarítmicac)
7
x
45
d)a
y
b
e)
2
6
64
III) Calcula el valor de x
a)
log
2
x
3
2
3
x
8
x
b)log
5x
0
c)log
2
4 3x
d)log
0,3x
2
e)2
4
1
log
x
f)log
232
x
g)
x
81
1
log
3 h)log
16
x
2 1 i)log
0,010
,
1
x
j)
x
128
1
log
4 1Observaciones importantes:
Se denomina Sistema logarítmico al conjunto de todos los logaritmos que tienen la misma base.
Ejemplo.
El sistema de logaritmos de base de 2 son aquellos que tienen logaritmos que tienen base dos
log
281
;log
216
;log
28
;2
1
log
2 etc.… El Sistema de logaritmos vulgares o decimales, Son aquellos
logaritmos que tienen base 10, la base 10 no se escribe son los más comunes Se representan por log (x),
log 2, log 3, log 4, log 10,log 1000, ………los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son las potencias de 10, ejemplo
log
100
2
,
log
1000
3
,
log
0
,
01
2
log
0
,
00001
5
El sistema de logaritmos naturales o neperianos son aquellos que tienen base el número irracional e 2,71828……. Se representan por ln (x)
La base de un sistema logarítmico solo puede ser un real positivo (no puede ser negativa)
El real 1 no puede ser considerado como base de un sistema logarítmico
El antilogaritmo puede ser un numero real positivo y puede ser 1
El antilogaritmo no puede ser cero
El antilogaritmo no puede ser un real negativo
Identidad fundamental de los Logaritmos
Si el logaritmo de un número es exponente de su propia base, entonces es igual al número
b
logb N
N
Ejemplo: 1)
4
log43
3
2)
20
log205
5
3)
b
logb2
2
Propiedades
1) El logaritmo de 1, en cualquier base(positiva y distinta de cero), es igual a 0
Ejemplo: a)
log
251
0
,
b)
log
81
0
,
2) El logaritmo de la base es igual a la unidad
Ejemplo: a)
log
1212
1
,
3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
Ejemplo:
a)
log
214
log
2(
2
7
)
log
22
log
27
1
log
27
b)
log
515
log
2(
5
3
)
log
55
log
53
1
log
53
4) El logaritmo de un cociente igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
Ejemplo:
a)
log
1
log
6
0
log
6
log
(
2
3
)
log
2
log
3
1
log
3
6
1
log
2
2
2
2
2
2
2
2 b)
5
log
3
log
6
log
5
log
)
3
6
(
log
5
log
18
log
5
18
log
6 6 6 6 6 6 6 6
1
log
63
log
65
5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo
a)
log
227
log
23
3
3
log
23
b)
log
5625
log
55
4
4
log
55
4
(
1
)
4
c)
4 3
2log
a
b
se aplica logaritmo de un productolog
2a
4
log
2b
3
, aplicando logaritmo de una potencia
4
log
2a
3
log
2b
d)
3 2 52
5
log
n
m
, aplicando logaritmo de un cociente queda
5
3
2
5
5
log
2
log
m
n
, aplicando logaritmo de un producto queda
5
5 3
2 5
5
5
log
log
2
log
log
m
n
, aplicando logaritmo de una potencia
1
2
log
5m
(log
52
3
log
5n
)
, resolviendo1
2
log
5m
log
52
3
log
5n
6) El logaritmo de una potencia con igual base del logaritmo es igual al exponente Ejemplo a
) log
33
2= 2
b) log
44
6= 6
c)
log
216
log
22
4
4
7) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice
Ejemplo
a)
3b
log
3b
2
1
log
b) 4
56
log
aplicando la propiedadlog
(
2
3
)
4
1
6
log
4
1
55
Aplicando logaritmo de un producto
log
2
log
3
4
1
5 5
c)
log
258
aplicando la propiedad
2
log
22
3
5
1
8
log
5
1
Aplicando la propiedad n° 6
5
3
3
5
1
IV) Desarrolla los siguientes logaritmos utilizando sus propiedades. a)
25
6
log
5 b)log
5
0
,
25
c)log
1000
c
4
d) 2
5125
log
a
e) 2
3243
log
f)
9
1000
log
g)log(
16
ab
3)
h)
ab
2
log
i )
27
2
log
5a
j)log(
4
a
5b
4)
k)log
635
l)log
77
m)log
344
a
n)log
ab
o)log
c2
a
c
CAMBIO DE BASE
Cuando un logaritmo no es posible calcularlo, su valor se puede obtener mediante un cambio de base cuya definición esta por
Esta base se puede buscar y resultar conocida o también de no tener base común se elige la base 10 que es la base de los logaritmos decimales
Ejemplo
a)
log
48
en este caso hay una base común que es 2, ya que son potencias de base 2 y según la propiedad del cambio de base queda4
log
8
log
2 22
3
2
log
2
log
2 2 32
Según la propiedad logaritmo de potencia de igual base (n° 6)También se puede calcular usando la base 10 b)
2
3
2
log
2
2
log
3
2
log
2
log
4
log
8
log
8
log
2 34
, según la propiedad logaritmo de unapotencia (n° 5)
V) Resuelva aplicando cambio de base 1)
log
25
2)
log
32
3)log
46
4)
log
524
5)log
610
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Ecuación Exponencial: Es aquella en la cual la incógnita aparece como exponente. Para su solución, al no poder igualar las bases de la potencia, se debe aplicar logaritmo en ambos miembros de la ecuación en base apropiada (generalmente se usa base 10).
1) 2 x+1 = 3 / log ( ) se aplica log decimal(base 10)
log (2 x+1 ) = log 3 , aplicando log de una potencia
(x+1) log 2 = log 3 , se distribuye x log 2 + log 2 = log 3 , se despeja x
x log 2 = log 3 - log 2
2) 10x+2 = 5 / log ( ), se aplica log decimal(base 10)
log (10x+2 )=log 5, aplicando log de una potencia
(x+2) log 10 = log 5 , se distribuye
x log 10 + 2log 10 = log 5 , se despeja x, pero log 10=1 x +2 = log 5
x= log5 – 2
Ecuación Logarítmica:
Es aquella en la cual la variable esta en el argumento.
Resolver una ecuación logarítmica es determinar el o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.
Para determinar el valor de la variable, se sigue el siguiente método. Resolver la ecuación: Para ello se debe obtener una igualdad de logaritmos de bases iguales. En seguida, se igualan los antilogaritmos.
Es decir, se aplica la siguiente propiedad de los logaritmos:
log
log
,
,
;
0
a
B
A
a
con
B
A
B
A
a a EjemploResolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas.
1) log x + log 20 = 3, expresando como un solo logaritmo, queda logaritmo de un producto.
log 20x = 3, no se puede aplicar la propiedad mientras no tengamos logaritmos a ambos lados , pero el 3 proviene de log 1.000 = 3, luego la ecuación queda así
log 20x = log 1.000, aplicando la propiedad anterior se tiene 20x = 1.000 y resolviendo la ecuación tenemos
x = 1.000/20
x = 50
2) log x3 = log 6 + 2 log x, aplicando log de una potencia
3 log x = log 6 + 2 log x, aislando la incógnita 3 log x - 2 log x = log 6
log x = log 6 aplicando la propiedad anterior x=6
3) log x+ log(x+3) =2log(x+1) expresando como un solo logaritmo, queda logaritmo de un producto y log de una potencia.
x(x+3)= (x+1)2
x2+3x=x2+2x+1
3x-2x=1 x=1
4) 2log x= 3+log( x/10), aplicando log de un cociente 2log x=3+ log x – log 10, pero log 10 =1
2log x - log x= 3 – 1 aislando la incógnita
log x = 2, pero no se puede aplicar mientras no tengamos logaritmos ambos lados, el 2 proviene de log 100=2, la ecuación queda log x = log 100, aplicando la propiedad
x = 100
VI)
Determina el valor dex
en las siguientes ecuaciones exponenciales.1)
4
x-3= 5
2)
2
x-1
3
x+1=2544
3)
2
3x-1=3
x+24)
5
2x-3=2
2-4x5)
7
x+3=4
x+56)
125
(3
x-2)=350
(5
3x+2)
VII) Determina el valor de
x
en las siguientes ecuaciones logarítmicas
1)log
4
x
3
log
2
4
log
3
2)
log(
2
x
4
)
2
3)
4
log(
3
2
x
)
1
4)
log(
x
1
)
log
x
log(
x
9
)
5)
log(
x
3
)
log
2
log(
x
2
)
6)
log(
x
2
15
)
log(
x
3
)
log
x
Soluciones:
III
) b) 1 c) 9/16 d) 100/9 e) ½ f) 5 g) -4 h)-4 i) ½ j)7/2
IV)
a)
log
52
log
53
2
b)2
log
510
c)3
4
log
c
d)3
2
log
5a
e) 10 f)
3
2
log
3
g)4
log
2
log
a
3
log
b
h)log
2
log
a
log
b
i)
log
2
5
log
a
3
log
3
j)
2
log
2
5
log
a
4
log
b
k)
log
5
3
1
6
