Radicales Teoria

matemáticas 4º ESO

radicales

1. Fíjate en el primer ejercicio y realiza los demás de la misma forma:

= ⇒

=

= ⇒

=

= ⇒

=

= ⇒

=

5 2 4

3 3

2 ) d

5 ) c

3 ) b

2 8 8

2 ) a

radicación

Se llama radicación a la operación inversa a la potenciación; b

a a

bn = ⇒ n =

Se llama raíz n-ésima (enésima) de un número a a otro número b que elevado a n da a.

radical signo

raíz radicando

índice

= = = = =

b a n b

a n

2. Escribe en forma de raíces las siguientes potencias:

243 3

) c ; 49

7 ) b ; 64

2 )

a 6 = 2 = 5 =

3. Escribe en forma de potencias las siguientes raíces:

2 128 ) c ; 2

1024 )

b ; 25

625 )

propiedad fundamental de los radicales

Si se multiplica el índice y el exponente del radicando por un mismo número, el radical no varía:

p n _mp n_am ₌ ⋅ _a ⋅

radicales semejantes

Son los que tienen el mismo radicando y el mismo índice. El número que precede al radical se denomina coeficiente.

Ejemplos: son radicales semejantes: bna, cna,8na

simplificación de radicales

Simplificar un radical es obtener otro radical igual a él, pero de términos más sencillos.

Ejemplo:

3 2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 14 21

y x 2

y y y x x 2 2 y

y y x x 2 2 y

x 128

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ / / / / / / / /

sacar o introducir factores en un radical

Si un factor del radicando tiene un exponente múltiplo del índice del radical, se puede sacar del radicando. Para ello se divide el exponente por el índice y el factor se extrae del radicando afectado por un exponente igual al cociente de la división anterior.

Ejemplos:

4 4

3 2

5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 10 15 4 20

3 2 2

3 3 3 2 3 3 6 2 3

c 8 d b a

d d d d c b b b a a 8 d

c b a 8 ) b

b 5 c a c b a a 5 c

b a 5 ) a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Si un factor del radicando tiene un exponente mayor que el índice se puede

descomponer en un producto de dos factores, uno de los cuales tenga raíz exacta. Ejemplos:

5 2

3

5 5 5 5 5 5 2

5 6 6 17

5 6 17

3 2 2

3 2 2

3 3 3 3 3 2 3 3 3 2

3 7 8 11

ab 2 ab 2 b b b b a a 2 2 b

a 2 b

a 64 ) b

c b a 4 c b a c c c c b b b a a a 4 c

b a 4 ) a

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Un factor que multiplica a un radical se puede introducir dentro de éste elevándolo

a la potencia del índice.

Ejemplos:

5 2 2 2

2 2

2

3 5 5 3 3 3 2 5

3 2 5

ab 6 b 3 a 3 ) b ab 2 a ( 3 ) b a ( 3 3 ) b a ( ) c

18 2 3 2 3 ) b

b a 48 b

a 6 a 2 b a 6 a 2 ) a

+ + =

+ + ⋅ = + ⋅ = +

= ⋅ =

= =

suma/resta de radicales

Se pueden presentar los siguientes casos:

1) Que los radicales sean semejantes. En este caso se suman/restan los

coeficientes y se deja el radical común.

Ejemplos:

b ) 3 c a ( b 3 b c b a ) b

b a 10 b a ) 2 5 3 ( b a 2 b a 5 b a 3 ) a

+ + = + +

+ =

+ + + = + + + + +

2) Que los radicales no sean semejantes. En este caso no se pueden sumar, se

escriben unos a continuación de otros, con sus mismos signos y la operación se

deja indicada.

Ejemplo: sumar b,−2a3c,4 a: b −2a3c +4 a

multiplicación de radicales

a) Para multiplicar radicales del mismo índice se escribe un radical con el mismo

índice común y cuyo radicando sea el producto de los radicandos.

Ejemplos:

b a b a )

b) Si los radicales poseen distinto índice deben reducirse previamente a índice

común siguiendo este procedimiento:

1) Se halla el m.c.m. de los índices: éste será el índice común

2) Se divide el m.c.m. por los índices de cada radical; el cociente obtenido es el

número al que debemos elevar el radicando.

Ejemplo: a3b , 32a2 , 6ab5 ; mcm (2,3,6)=6

6_(a3_b)3 _, 6_(2a2₎2 _, 6_ab5 ₌6_a9_b3 _, 6_4b4 _, 6_ab5

Ejemplos de multiplicaciones de radicales con distinto índice:

6 5 6 5

6 6 5

6 2 3 3

6 2 3 6

6 3 6 2

6 mcm 6

3

3 120 3

2 60 3 2 60 2 ) 3 2 ( 3 60

8 6 3 4 5 3 8 4 6 5 3 3 8

4 6 5 3 3 ) a

= ⋅

= ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

  

 →

 ⋅

⋅ =

m

n m n m

n n m

n m m

n mcm m

n_{a b a b a b}

)

b ⋅ =⋅ → ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

(

)

(

)

15 mcm 3 2 3

5_x3 _y2 _{x y x y x y x y x y}

)

c ⋅ ⋅ ⋅ =→ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

división de radicales

Se siguen las mismas reglas que en la multiplicación. a) Ejemplos de división de radicales del mismo índice:

3 3 3

b a b a

3 9 3 27 3

27

=

= = =

b) Ejemplos de división de radicales de distinto índice:

12 5 5 24

4 8

9 3 4

24 2

24 3 3

24 mcm

6 2

8 3

12 2 12

6 9

4 8 3

12 3 2

12 2 4

12 mcm

4 3 2

3 2

3 2

2 3

2 3

) 2 3 (

) 2 3 (

2 3

2 3

ab 1

b a

b a

) b a (

) b a (

b a

b a

= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =    

 →

 ⋅ ⋅

= =

=    

 →



equivalencia entre radicales y potencias de exponente fraccionario

potencia de un radical

raíz de un radical

racionalización de denominadores

Racionalizar es eliminar las raíces de los denominadores. Hay 2 casos:

1) Raíces solas en el denominador sin sumar ni restar: se multiplican numerador y

denominador por un radical que elimine el radical del denominador.

Ejemplos:

b b a ) b (

b a b b b a b

a ) a

2 amos

racionaliz

= ⋅ = ⋅      

 →



a a 5 ) a (

) a ( 5 ) a (

) a ( a 5 a

5 ) b

3 2

3 3

2 3

2 3

2 3

3 amos racionaliz 3

⋅ = =

⋅      

 →



2) Raíces en el denominador sumando o restando: se multiplican numerador y

n m

a a n m ₌

( )

m n 1

a a a nm

) b a ( ) b a

( + conjugado→ − (2− 5)conjugado→(2+ 5) Ejemplos: b a ) b a ( a ) b ( ) a ( ) b a ( a b a b a b a a b a a ) a 2 2 amos racionaliz − − = − − = − − ⋅ +        →  + 2 7 5 ) 2 7 ( 5 2 7 ) 2 7 ( 5 ) 2 ( ) 7 ( ) 2 7 ( 5 2 7 2 7 2 7 5 2 7 5 ) b 2 2 amos racionaliz − = / − / = = − − = − − = − − ⋅ +        →  + 9 21 3 5 9 ) 7 5 ( 3 18 ) 7 5 ( 3 2 7 25 ) 7 5 ( 3 2 ) 7 ( ) 5 ( ) 7 5 ( 3 2 7 5 7 5 7 5 3 2 7 5 3 2 ) c 2 2 amos racionaliz + = + = + = − + = − + = + + ⋅ −        →  −

4. Extrae todos los factores que sea posible de los siguientes radicales:

5

3 4 5 6

4 2 2 15 5 10

8 16 24

160 ) e c b a 8 ) d b a 4 ) c b a ) b b a 256 ) a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5. Introduce los siguientes factores dentro del radical:

5 3 4

3 2 2

4 2 2

7. Efectúa:

45 500 125

2 ) d

3 3 27 5 3 8 ) c

b 3 a 5 b 6 a 4 ) b

) 80 2 ( ) 500 200

( ) a

3 3 3 3

+ −

− +

+ − +

+ − +

8. Expresa el resultado de estas operaciones en forma de potencia de exponente

fraccionario:

) b a ( . ) b a ( ) d

y x y x y x ) c

ab b

a b a ) b

9 9 ) a

3 5 2 3 2 5

3 2

5 3 5 2 7

5 4 2 3 3

− +

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

9. Expresa el resultado de estas operaciones en forma de potencia de exponente fraccionario:

6 4 3 3 4 2

3 2 5 7 3 2

4 4 3 2

3 5 3 2

3

z y x

z y x ) f

b b ) e

a a ) d

ab : b a ) c

xy : y x ) b

2 : 8 ) a

10. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

(

)

5 10 5 7 14 7

2

2 2

8 4

6 3 4 5

b a

a b ) d

b 4

) b a ( ) b a ( ) c

) b a ( ) b

b a ) a

− − +

+    

11. Escribe en forma de radical:

(

)

5 1

3 2 2 1

4 1

5 1

m p m p

3 2

) y 3 ( ) x 2 ( ) e

) a 3 ( ) d

b a ) c

a ) b

7 ) a

   

 

   

 

+

12. Escribe el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia de

exponente fraccionario:

3 3 3 2

7 3 4 5 3 4 13 18

3

x y

yx xy

) d

a a )

c

y x ) b

729 )

a

⋅    

 

   

 

14. Racionaliza:

b 2 a

b a ) l x

3 y 2

y x ) k

6 5 3

3 2 ) j 5

7 2 6 ) i

7 3 2

5 3 ) h 5

7 2 6 ) g

b a

3 ) f c

b c b ) e

x y

y x ) d a

5 ) c

3 2

5 3 ) b 2

2 ) a

5

+ − −

+

+ − +

− +

+ +