CONTROL_ANALOGO.pdf

SISTEMAS DE CONTROL

ANÁLOGO

PRIMERA PARTE

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE

ENVIGADO

BIBLIOGRAFIA

Dorf, Richard and Bishop, Robert. Sistemas de Control Moderno. Pearson 10ma. ed. España, 2006.

Dorsey, John. Sistemas de Control Continuos y Discretos. McGraw-Hill. 1era. ed.

México, 2003.

Kuo, Benjamin and Golnaraghi, Farid. Automatic Control System. Wyle and Sons.

8va. ed. New York, 2003.

Nise, Norman. Control Systems Engineering, Wiley & Sons. 4ta ed. California,

2007.

Ogata, Katsuhito. Ingeniería de Control Moderna, Pearson. 4ta. ed. España, 2002.

Phillips, Charles and Harbor, Royce. Feedback Control Systems. Prentice Hall. 3era. ed. 1996.

Fongiel M. Automatic Control System/Robotics. Re-search and Education

Association 1era. ed.

Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall.

SISTEMA DE CONTROL

ELEMENTOS EN UN SISTEMA DE CONTROL

Sistemas: Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Hay sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.

Planta: Para el control, una planta es cualquier objeto físico que se va a controlar

Proceso: Es una operación progresivamente continua, caracterizada por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinado. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos.

Variable controlada: Generalmente se le conoce como señal de salida. Es la cantidad o condición que se mide y controla

ELEMENTOS EN UN SISTEMA DE CONTROL (2)

Señal de referencia o set-point. Es la señal consigna o valor que se desea que adquiera la señal de salida.

Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y es una entrada.

Sensor: El sensor es el elemento que permite captar el valor de la variable a controlar en determinados instantes de tiempo.

Actuador: Es elemento que actúa sobre el sistema modificando el valor del fluido o

agente de control para llevar la salida al valor deseado.

SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO

Los sistemas de control en lazo abierto son aquellos en los cuales la señal de salida no tiene influencia sobre la señal de entrada.

SISTEMA DE CONTROL EN LAZO CERRADO

CONTROL ANÁLOGO y CONTROL DIGITAL

En función del tipo de señal que use el detector de error, el control puede ser:

análogo, digital e híbrido. en caso de ser un sistema en bucle cerrado, o en el

regulador en caso de ser un sistema en bucle abierto.



Control análogo

: En este sistema de control, las variables están representadas

por ecuaciones con cantidades físicas continuas. El proceso directo de la señal

analógica está ligado al uso de amplificadores operacionales y sus

propiedades.



Control digital

: Este sistema de control que funciona con variables

discontinuas codificadas.

MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS

Para realizar el análisis de un sistema de control, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente.

SISTEMA MECÁNICO TRASLACIONAL

Los sistemas mecánicos traslacionales son aquellos en los cuales el movimiento se produce a lo largo de una línea recta, los elementos traslacionales activos son la fuerza y la velocidad, y los elementos pasivos son la masa, la elasticidad y el amortiguamiento.

EJEMPLO SISTEMA MECÁNICO TRASLACIONAL

Hallar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema mecánico de la Figura cuando se le aplica una fuerza 𝑓 = 𝑢

Masa 𝒎_𝟏: 𝑚₁𝑥 ₁ = 𝑢 − 𝑓_𝐾1 − 𝑓_𝑏1 − 𝑓_𝐾2

Masa 𝒎_𝟐: 𝑚₂𝑥 ₂ = −𝑓_𝐾2

Fuerza del resorte: 𝑓_𝐾 = 𝐾𝑥 Fuerza del amortiguador: 𝑓_𝑏 = 𝑏 𝑑𝑥

𝑑𝑡

Masa 1: 𝑚₁𝑥 ₁ = 𝑢 − 𝑘₁𝑥₁ − 𝑏₁𝑥 ₁ − 𝑘₂ 𝑥₁ − 𝑥₂

Masa 2: 𝑚₂𝑥 ₂ = −𝑘₂ 𝑥₂ − 𝑥₁

Aplicando la segunda ley de Newton

𝑚. 𝑎 = 𝑓_𝑖

𝑖

𝑚𝑑

2_𝑥

EJERCICIOS

SISTEMA MECÁNICO ROTACIONAL

Si existe una rotación, los elementos básicos son el resorte de torsión, el amortiguador giratorio y el momento de inercia, es decir, la inercia de una masa con movimiento giratorio. Con estos elementos la entrada es el torque y la salida el

EJEMPLO SISTEMA MECÁNICO ROTACIONAL

Determinar las ecuaciones dinámicas del sistema mecánico rotacional mostrado a

continuación.

Masa 𝑱_𝟏: 𝐽₁𝜃 ₁ = 𝑇₁(𝑆) − 𝑇_𝐾1

Masa 𝑱_𝟐 : 𝐽₂𝜃 ₂ = −𝑇_𝐾1 − 𝑇_𝐾2 − 𝑇_𝐵

Fuerza de rigidez: 𝑓_𝐾 = 𝐾𝜃 Fuerza del amortiguador: 𝑓_𝑏 = 𝑏𝑑𝜃

𝑑𝑡

Masa 𝑱_𝟏: 𝐽₁𝜃 ₁ = 𝑇₁ 𝑆 − 𝑘₁ 𝜃₁ − 𝜃₁

Segunda ley de Newton:

𝐽𝛼 = 𝑇

𝑖

𝐽𝑑

2_𝜃

EJERCICIOS

SISTEMAS ELÉCTRICOS

Ley de Ohm: La corriente eléctrica (I) en un conductor (o circuito), es igual a la diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito), dividido porla resistencia (R) que opone a su paso. 𝐼 = 𝑉 𝑅

Leyes de Kirchhoff

1. Ley de corrientes (KCL): En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran a ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero. 𝑖_𝑒 − 𝑖_𝑠 = 0

SISTEMAS ELÉCTRICOS (1)

𝑖₁ − 𝑖₂ − 𝑖₃ = 0

𝑅₂𝑖₂ − 𝜀₁ + 𝑅₁𝑖₁ = 0

EJEMPLO SISTEMA ELÉCTRICO SERIE

Hallar la ecuación diferencial que modela el circuito de la figura

Utilizando KVL:

𝑉_𝑅 + 𝑉_𝐿 + 𝑉_𝐶 = 𝑉

𝑉_𝑅 = 𝑖. 𝑅 𝑉_𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝑉𝑐 = 1

𝐶 𝑖𝑑𝑡

𝑖. 𝑅 + 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 +

1

𝐶 𝑖𝑑𝑡 = 𝑉 𝑖 = 𝑑𝑄

𝑑𝑡

𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡 + 𝐿

𝑑2𝑄 𝑑𝑡2 +

1

𝐶 𝑖 = 𝑉 → 𝐿

𝑑2𝑄

𝑑𝑡2 + 𝑅 𝑑𝑄

𝑑𝑡 + 1

EJEMPLO CIRCUITO RLC PARALELO

Hallar la ecuación diferencial que modela el circuito de la figura

Utilizando KCL:

𝐼_𝑅 + 𝐼_𝐿 + 𝐼_𝐶 = 𝐼_𝑆

𝐼_𝑅 = 𝑉𝑆

𝑅 𝐼𝐿 = 1

𝐿 𝑉𝑆𝑑𝑡 𝐼𝐶 = 𝐶 𝑑𝑉_𝑆

𝑑𝑡

𝑉_𝑆 𝑅 +

1

𝐿 𝑉𝑆𝑑𝑡 + 𝐶 𝑑𝑉_𝑆

𝑑𝑡 = 𝑉𝑆 𝑉𝑆 = 𝑑𝜙 𝑑𝑡 1 𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑡 + 1

𝐿𝜙 + 𝐶

𝑑2𝜙

𝑑𝑡2 = 𝑉𝑆 → 𝐶

𝑑2𝜙 𝑑𝑡2 +

1 𝑅

𝑑𝜙 𝑑𝑡 +

1

MOTOR DE CORRIENTE DC CONTROLADO POR

ARMADURA

𝑅_𝑎 =Resistencia de la armadura Ω 𝐿_𝑎 =Inductancia de la armadura [H]

𝑖_𝑎 =Corriente en la armadura [A]

𝑖_𝑓 =Corriente del campo [A]

𝑒𝑎 =Voltaje de armadura [V]

𝑒𝑏 =Fuerza contra electromotriz [V]

𝜃 =Desplazamiento angular del eje del motor [rad]

𝑇 =Torque desarrollado por el motor [N.m]

MODELO MATEMÁTICO DEL MOTOR DE CD

 Subsistema eléctrico: La armadura es un conductor, con una resistencia 𝑅_𝑎 y

una inductancia 𝐿_𝑎 en donde además, se genera una fuerza contraelectromotriz 𝑒_𝑏

𝑅_𝑎𝑖_𝑎 + 𝐿 𝑑𝑖𝑎

𝑑𝑡 + 𝑒𝑏 = 𝑒𝑎 1.

 Subsistema magnético: La circulación de corriente por las bobinas genera un

torque que es proporcional a la corriente en la armadura y la velocidad de giro del

motor produce la fuerza contraelectromotriz proporcional a la velocidad de giro.

𝑒_𝑏 = 𝐾_𝑏 𝑑𝜃

𝑑 𝑡 𝑇𝑚 = 𝐾𝑚𝑖𝑎 2.

 Subsistema Mecánico: El par mecánico 𝑇_𝑚 del motor se emplea para imprimir

aceleración angular a la carga y en vencer la fuerza de fricción.

𝐽𝑑

2_𝜃

𝑑𝑡2 + 𝑏

𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑇𝑚 3.

Combinando las ecuaciones 1, 2 y 3 resulta:

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace convierte cierto tipo de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. De este modo, cuando se resuelve la ecuación algebraica, queda también resuelta la ecuación diferencial correspondiente.

Definición: la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡) definida para todo en el intervalo 0 ∞ 0; se define así:

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑆 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡

∞

0

Ejemplo: Sea 𝑓 (𝑡) = 1, hallar ℒ 𝑓(𝑡)

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑆 = 1 ∗ 𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡

∞

0

= −1 𝑆 𝑒

−𝑆𝑡

0 ∞

EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE LA PLACE

Ejemplo: Sea 𝑓 (𝑡) = 𝑡, hallar ℒ 𝑓(𝑡)

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑆 = 𝑡. 𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡

∞ 0

= − 𝑒

−𝑆𝑡

𝑆2 𝑆𝑡 + 1 0 ∞

𝐹 𝑆 = 1 𝑆2 En este caso se utilizó la integral por partes:

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = cos 𝑎𝑡 hallar ℒ 𝑓 𝑡

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑆 = cos 𝑎𝑡 𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡 = 𝑒

−𝑆𝑡 _{𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 − 𝑆𝑐𝑜𝑠𝑎𝑡}

𝑆2 _{+ 𝑎}2

0 ∞

= 𝑆

𝑆2 _{+ 𝑎}2 ∞

0

Nuevamente se utilizó la integral por partes:

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Propiedad de linealidad: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆) y ℒ 𝑔(𝑡) = 𝐺 𝑆 entonces:

ℒ 𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎ℒ𝑓 𝑡 + 𝑏ℒ𝑔 𝑡 = 𝑎𝐹 𝑆 + 𝑏𝐺(𝑆)

Ejemplo:

Hallar ℒ 3𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑡

ℒ 3𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 3ℒ 𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 2ℒ 𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 3 ∗ 4

𝑆2 + 16 −

2𝑆 𝑆2 + 16

ℒ 3𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 12 − 2𝑆 𝑆2 _{+ 16}

syms t

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.

Segunda

propiedad

de

traslación:

Si

ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆)

entonces:

𝑃𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜: ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎) = 𝑒

−𝑎𝑆

ℒ𝑓(𝑡)

𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜: ℒ 𝑓(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) = 𝑒

−𝑎𝑆

ℒ𝑓(𝑡 + 𝑎)

Ejemplo:

Hallar

ℒ 𝑡 − 5

3

𝑢(𝑡 − 5)

ℒ 𝑡 − 5

3

𝑢(𝑡 − 5) = 𝑒

−5𝑠

ℒ 𝑡

3

=

6𝑒

−5𝑆

𝑆

4

Ejemplo:

Hallar

ℒ 𝑡

3

𝑢(𝑡 − 5)

ℒ 𝑡

2

𝑢(𝑡 − 5) = 𝑒

−5𝑆

ℒ 𝑡 + 5

2

= 𝑒

−5𝑆

ℒ 𝑡

2

+ 10𝑡 + 25

ℒ 𝑡

2

𝑢(𝑡 − 5) =

2

𝑆

3

+

10

𝑆

2

+

25

𝑆

𝑒

−5𝑆

₌

2 + 10𝑆 + 25𝑆

2

_𝑒

−5𝑆

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

3. Transformada de una derivada: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆) entonces: ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑆𝐹 𝑆 − 𝑓(0)

ℒ 𝑓′′ (𝑡) = 𝑆2𝐹 𝑆 − 𝑆𝑓 0 − 𝑓´ 0

ℒ 𝑓′′′ 𝑡 = 𝑆3𝐹 𝑆 − 𝑆2𝑓 0 − 𝑆𝑓′ 0 − 𝑓′′ (0)

Ejemplo: dada la ecuación diferencial 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 + 8 𝑑𝑦

𝑑𝑡 + 15𝑦 = 5𝑢

Con 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 0, obtenga la relación 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆)

𝑈(𝑆)

Como las condiciones iniciales son iguales a cero, se obtiene: 𝑆2𝑌 𝑆 + 8𝑆𝑌 𝑆 + 15𝑌 𝑆 = 5𝑈 𝑆

𝑆2 + 8𝑆 + 15 𝑌 𝑆 = 5𝑈 𝑆 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) =

5

TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

3. Transformada de una derivada: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆) entonces:

ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑆𝐹 𝑆 − 𝑓(0)

ℒ 𝑓′′ (𝑡) = 𝑆2𝐹 𝑆 − 𝑆𝑓 0 − 𝑓´ 0

ℒ 𝑓′′′ 𝑡 = 𝑆3𝐹 𝑆 − 𝑆2𝑓 0 − 𝑆𝑓′ 0 − 𝑓′′(0)

Ejemplo: dada la ecuación diferencial

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 + 8

𝑑𝑦

𝑑𝑡 + 15𝑦 = 5𝑢

Con 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 0, obtenga la relación 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆)

𝑈(𝑆)

Como las condiciones iniciales son iguales a cero, se obtiene:

𝑆2𝑌 𝑆 + 8𝑆𝑌 𝑆 + 15𝑌 𝑆 = 5𝑈 𝑆

𝑆2 + 8𝑆 + 15 𝑌 𝑆 = 5𝑈 𝑆 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) =

5

TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL

4. Transformada de una integral: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆) entonces:

ℒ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑡

0

= 𝐹(𝑆) 𝑆

Ejemplo: Hallar

ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑑𝑡

𝑡

0

sea 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛2𝑡

ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 2

𝑆2 _{+ 4} ⟶ ℒ 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑑𝑡 𝑡

0

= 2

TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL (1)

Ejemplo: Hallar

ℒ 𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠5𝑡𝑑𝑡

𝑡

0

En este caso se aplican dos propiedades: la propiedad de la transformada de la integral y la primera propiedad de traslación

ℒ 𝑐𝑜𝑠5𝑡 = 𝑆 𝑆2 _{+ 25}

ℒ 𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠5𝑡 = 𝑆 𝑆2 _{+ 25}

𝑆=𝑆+3

= 𝑆 + 5

𝑆 + 3 2 _{+ 25} =

𝑆 + 3

𝑆2 _{+ 6𝑆 + 34}

ℒ 𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠5𝑡𝑑𝑡

𝑡

0

= 𝑆 + 5

MULTIPLCACIÓN POR POTENCIAS DE t

5. Multiplicación por potencias de t: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆), entonces:

ℒ 𝑡𝑛𝑓(𝑡) = −1 𝑛𝐹 𝑛 (𝑆)

Ejemplo: Hallar

ℒ 𝑡 1 − 𝑒−4𝑡

Se hace 𝑓 𝑡 = 1 − 𝑒−4𝑡

ℒ 1 − 𝑒−4𝑡 = 1 𝑆 −

1

𝑆 + 4 =

4 𝑆(𝑆 + 4)

ℒ 𝑡 1 − 𝑒−4𝑡 = (−1)1 𝑑 𝑑𝑆

4

𝑆(𝑆 + 4) =

2𝑆 + 4

(𝑆2 + 4𝑆)2 =

TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DIVIDIDA POR t

6. Transformada de la función dividida por 𝒕: Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑆), entonces,

ℒ 𝑓(𝑡)

𝑡 = 𝐹 𝑆 𝑑𝑠

∞

𝑆

Ejemplo: Hallar

ℒ 𝑠𝑒𝑛5𝑡 𝑡

Se hace 𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛5𝑡

ℒ 𝑠𝑒𝑛5𝑡 = 5 𝑆2 _{+ 25}

ℒ 𝑠𝑒𝑛5𝑡

𝑡 =

5

𝑆2 + 25𝑑𝑆 = 𝑡𝑎𝑛

−1_5𝑆 ∞

𝑆 _𝑆

∞

= 𝜋

2 − 𝑡𝑎𝑛

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Es el proceso matemático de pasar de la expresión en el dominio de Laplace a la expresión en el dominio del tiempo.

Por lo general, se utiliza el siguiente procedimiento

 Utilizar tablas cuando las expresiones son sencillas.

 Utilizar tablas y las propiedades de la transformada.

 Utilizar fracciones parciales, tablas y las propiedades de la transformada en caso de expresiones complejas.

EJEMPLO DE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Ejemplo: Hallar

ℒ−1 5

𝑆2 _{+ 4} +

20𝑆 𝑆2 _{+ 9}

ℒ 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡 = 𝑏

𝑆2 _{+ 𝑏}2 ℒ 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑡 =

𝑆 𝑆2 _{+ 𝑏}2

ℒ−1 5

𝑆2 _{+ 4} = 5 2ℒ

−1 2

𝑆2 _{+ 2}2 = 5

2𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

ℒ−1 20𝑆

𝑆2 _{+ 9} = 20ℒ−1

𝑆

𝑆2 _{+ 3}2 = 20cos⁡(3𝑡)

ℒ−1 5

𝑆2 _{+ 4} +

20𝑆

𝑆2 _{+ 9} = 5

2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 20cos⁡(3𝑡)

EJEMPLO DE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Hallar

ℒ−1 15𝑆 + 5

(𝑆 + 5)(𝑆 + 3)(𝑆 + 10) Se descompone la expresión en fracciones parciales:

15𝑆 + 5

(𝑆 + 5)(𝑆 + 3)(𝑆 + 10) = 𝐴 𝑆 + 5+

𝐵 𝑆 + 3 +

𝐶 𝑆 + 10

𝐴 = 15𝑆 + 5

𝑆 + 3 𝑆 + 10 _𝑆=−5 = 7 𝐵 =

15𝑆 + 5

𝑆 + 5 𝑆 + 10 _𝑆=−3 = −2.8571

𝐶 = 15𝑆 + 5

(𝑆 + 5)(𝑆 + 3) _𝑆=−10 = −4.1429 15𝑆 + 5

(𝑆 + 5)(𝑆 + 3)(𝑆 + 10) = 7 𝑆 + 5 −

2.8571 𝑆 + 3 −

4.1429 𝑆 + 10

ℒ 𝑒−𝑎𝑡 = 1 𝑆 + 𝑎

ℒ−1 7 𝑆 + 5 −

2.8571 𝑆 + 3 −

4.1429

𝑆 + 10 = 7𝑒

EJEMPLO DE TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE

Hallar

ℒ−1 2

𝑆 + 4 2 +

3

𝑆2 + 16 +

5(𝑆 + 1) 𝑆2 + 2𝑆 + 5

De tablas:

ℒ−1 1

𝑆 + 𝑎 2 = 𝑡𝑒−𝑎𝑡 ℒ−1

𝑏

𝑆2 + 𝑏2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡 ℒ

−1 𝑆 + 𝑎

𝑆 + 𝑎 2 _{+ 𝑏}2 = 𝑒−𝑎𝑡cos⁡(𝑏𝑡) La expresión dada se puede escribir como:

2ℒ−1 1

𝑆 + 4 2 +

3 4ℒ

−1 4

𝑆2 _{+ 16} + 5ℒ

−1 (𝑆 + 1)

𝑆 + 1 2 _{+ 4}

Por tanto:

ℒ−1 2

𝑆 + 4 2 +

3

𝑆2 _{+ 16} +

5(𝑆 + 1)

𝑆2 _{+ 2𝑆 + 5} = 2𝑡𝑒

TEOREMA DEL VALOR FINAL

Si se conoce la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), el valor final de dicha función puede obtenerse multiplicando 𝐹(𝑠) por 𝑆 y evaluando el límite:

lim

𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑡→0 𝑆𝐹(𝑆)

El teorema del valor final indica que valor definitivo alcanza la respuesta de un sistema, es decir, en qué valor e estabiliza la respuesta del sistema.

Ejemplo: La transformada de Laplace de cierto sistema térmico está dada por

𝐹 𝑆 = 2𝑆 + 3

𝑆3 + 3𝑆2 + 5𝑆

¿Cuál es el valor final que alcanza la respuesta del sistema?

lim 𝑓(𝑡) = lim𝑆. 2𝑆 + 3

𝑆3 _{+ 3𝑆}2 _{+ 5𝑆} = lim 𝑆.

2𝑆 + 3

𝑆(𝑆2 _{+ 3𝑆 + 5)} =

3

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

Si se conoce la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡), el valor inicial de dicha función puede obtenerse multiplicando 𝐹(𝑠) por 𝑆 y evaluando el límite:

lim

𝑡→0 𝑓(𝑡) = lim𝑡→∞ 𝑆𝐹(𝑆)

El teorema del valor inicial permite calcular el valor de la condición inicial del sistema.

Ejemplo: La transformada de Laplace de cierto sistema térmico está dada por

𝐹 𝑆 = 2𝑆 + 3 𝑆3 + 3𝑆2 + 5𝑆

¿Cuál es el valor inicial del sistema?

lim

𝑡→0 𝑓(𝑡) = lim𝑆→∞ 𝑆.

2𝑆 + 3

𝑆3 _{+ 3𝑆}2 _{+ 5𝑆} = lim_𝑆→∞ 𝑆.

2𝑆 + 3

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia 𝐺(𝑠), de un sistema lineal e invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida 𝑦(𝑡) y la transformada de Laplace de la entrada 𝑟(𝑡), con condiciones iniciales iguales a cero.

La función de transferencia de un sistema se puede obtener de forma teórica a través de las ecuaciones diferenciales de su modelo matemático, en este caso se dice que se utiliza un método fenomenológico.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Luis Edo García Jaimes

 La función de transferencia es una propiedad intrínseca del sistema. Conocida la función de transferencia del sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo de entrada.

 La función de transferencia responde a la ecuación diferencial resultante que gobierna un sistema, pero no ofrece información acerca de su configuración interna.

 Dos sistemas físicos diferentes pueden poseer idénticas funciones de transferencia.

 La función de transferencia es independiente de la magnitud y la naturaleza de la señal de entrada.

 El denominador de la función de transferencia igualado a cero se denomina

EJEMPLO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La entrada a cierto sistema neumático es 𝑟(𝑡) = 2𝑢(𝑡) y la salida correspondiente a esa entrada es 𝑦 𝑡 = 4(1 − 𝑒−5𝑡) cual es su función de transferencia?

La función de transferencia es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆)

𝑌 𝑆 = ℒ 4(1 − 𝑒−5𝑡) = 4 1 𝑆 −

1

𝑆 + 5 =

20

𝑆(𝑆 + 5) 𝑅 𝑆 = ℒ 2𝑢(𝑡) = 2 𝑆

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

20 𝑆(𝑆 + 5)

2 𝐺 𝑆 =

𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE LA

ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA AL

SISTEMA

Cierto sistema de control está descrito mediante la ecuación diferencial:

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2 + 2

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 + 5𝑦 𝑡 = 3𝑟(𝑡)

Obtener su función de transferencia.

Tomando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial con condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:

𝑆2𝑌 𝑆 + 2𝑆𝑌 𝑆 + 5𝑌 𝑆 = 3𝑅(𝑆)

𝑆2 + 2𝑆 + 5 𝑌 𝑆 = 3𝑅 𝑆 → 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

3

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE LA

ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA AL SISTEMA

Hallar la función de transferencia de:

𝑦 𝑡 + 3𝑦 𝑡 + 2𝑦 𝑡 + 𝑦 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 2𝑢(𝑡)

La salida del sistema es 𝑦(𝑡) y su salida es 𝑢(𝑡), por tanto su función de transferencia es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆)

Tomando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, considerando las condiciones iniciales iguales a cero:

𝑆3 + 3𝑆2 + 2𝑆 + 1 𝑌 𝑆 = 𝑆 + 2 𝑈(𝑆)

DIAGRAMAS DE BLOQUES

El diagrama de bloques es una forma de representar gráficamente las relaciones

entre las variables de un sistema. Se usa para representar el flujo de señales y la

función realizada por los componentes del sistema.

El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones

diferenciales que lo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman

las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, con la suposición de

condiciones iniciales iguales a cero. Posteriormente cada ecuación en el dominio de

Laplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para

SISTEMA CON REALIMENTACIÓN NEGATIVA NO

UNITARIA

Los sistemas de realimentación negativa son los más extendidos para el control de sistemas, por eso su estructura se estudia de forma pormenorizada. En la Figura se representa el caso más simple de sistema de realimentación negativa no unitaria.

𝑅(𝑆): Señal de referencia o set-point

𝑌(𝑆): Señal de salida o variable controlada

𝐵(𝑆): Señal de realimentación

𝐸(𝑆): Señal de error. 𝐸(𝑆) = 𝑅(𝑆) − 𝐵(𝑆)

TIPOS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

 Función de transferencia directa: Relaciona la señal de salida con la señal de error:

𝐺_𝐷 𝑆 = 𝑌 𝑆

𝐸 𝑆 = 𝐺(𝑆)

 Función de transferencia de lazo abierto: Relaciona la señal de realimentación con la señal de error. Es el producto de todas las funciones de transferencia que se encuentran dentro del lazo de control.

𝐺_𝐿𝐴 𝑆 = 𝐵(𝑆)

𝐸(𝑆) = 𝐺 𝑆 . 𝐻(𝑆)

 Función de transferencia de lazo cerrado: Es la que relaciona la señal de salida con la señal de referencia o set-point.

SISTEMA CON REALIMENTACIÓN NEGATIVA EN

PRESENCIA DE PERTURBACIONES

En este caso, la salida debe darse en función de las dos entradas al sistema: la referencia 𝑅(𝑆) y la perturbación 𝑉(𝑆).

𝑌 𝑆 = 𝐺₂ 𝑆 𝑃(𝑆) 𝑃 𝑆 = 𝑈 𝑆 + 𝑉(𝑆)

𝑈 𝑆 = 𝐺₁ 𝑆 𝐸(𝑆) 𝐸 𝑆 = 𝑅 𝑆 − 𝐵(𝑆)

𝐵 𝑆 = 𝐻 𝑆 𝑌(𝑆)

→ 𝑌 𝑆 = 𝐺1(𝑆)𝐺2(𝑆)

1 + 𝐺₁(𝑆)𝐺₂(𝑆)𝐻(𝑆) ∗ 𝑅 𝑆 +

𝐺₂ 𝑆

REGLAS DEL ALGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

EJEMPLO 1 SIMPLIFICACIÓN D. DE B.

Simplificar el siguiente diagrama de bloques:

EJEMPLO 1: SIMPLIFICACIÓN D. DE B.

El nuevo diagrama queda en la siguiente forma:

EJEMPLO 2 :SIMPLIFICACIÓN D. DE B.

Simplificar el siguiente diagrama de bloques:

Se redistribuyen los puntos de suma de H2 y H3 y se pasa H1 después de G2

EJEMPLO 2: SIMPLIFICACIÓN D. DE B.

Se multiplican los tres bloques en cascada del recuadro rojo y se simplifica el resultado

EJEMPLO 3: SIMPLIFICACIÓN de D. de B. (1)

Reducir el diagrama de bloques de la figura

El punto de suma asociado a la función de transferencia individual 𝐺(𝑆) = 12

EJEMPLO 3: SIMPLIFICACIÓN de D. de B. (2)

Los bloques enmarcados forman un lazo de realimentación y pueden reducirse a

una función de transferencia parcial 𝑇(𝑆) mediante la expresión:

𝑇₁ 𝑆 =

1 𝑆 + 4 ∗

1 𝑆 1 + _{𝑆 + 4 ∗}1 1_{𝑆 ∗ 10}

𝑇₁ 𝑆 = 1

𝑆2 _{+ 4𝑆 + 10}

La figura muestra el resultado de sustituir la función de transferencia parcial 𝑇₁(𝑆).

Ahora se simplifica el lazo cerrado marcado en el recuadro:

𝑇₂ 𝑆 =

1

𝑆2 + 4𝑆 + 10 ∗ 1 𝑆2 + 9

1 + 1 ∗ 1 ∗ 12(𝑆 + 4)

𝑇₂ 𝑆 = 1

EJEMPLO 3: SIMPLIFICACIÓN de D. de B. (3)

El diagrama resultante queda así:

Finalmente se resuelve el lazo cerrado total:

𝐺_𝑤 𝑆 =

1

𝑆4 + 4𝑆3 + 19𝑆2 + 48𝑆 + 138

1 + 1

𝑆4 + 4𝑆3 + 19𝑆2 + 48𝑆 + 138 ∗ 𝑆 + 6

𝐺_𝑤(𝑆) = 1

𝑠4 _{+ 4𝑆}3 _{+ 19𝑆}2 _{+ 49𝑆 + 144}

GRÁFICOS DE FLUJO DE SEÑALES

Un gráfico de flujo de señal es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Al aplicar el método de gráficos de flujo de señal al análisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en S.

ELEMENTOS DEL DFS

Nodo: es un punto que representa una variable o señal.

Transmitancia: Es la ganancia entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse en términos de la función de transferencia entre dos nodos.

Rama: Es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos.

Nodo de entrada o fuente: Es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente.

Nodo de salida o sumidero: Es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.

ELEMENTOS DEL DFS

Lazo: Es un camino o trayecto cerrado.

Ganancia de lazo: Es el producto de las ganancias de ramas de un lazo. Lazos disjuntos: Son los lazos que no tienen ningún nodo común.

Trayecto o camino directo: Es el camino o trayecto de un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningún nodo más de una vez.

FÓRMULA DE GANANCIA DE MASON

La fórmula de ganancia de Mason, permite calcular la ganancia total entre un nodo

de entrada y un nodo de salida, es decir, la función de transferencia del sistema.

𝑃 = 1

∆ 𝑃𝐾∆𝐾

𝐾

𝑃_𝐾: Ganancia de la k-ésima trayectoria directa

𝛥: Determinante del gráfico

∆=1- (suma de todos los lazos de ganancias individuales) + (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) - (suma

de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos) +……

∆= 1 − 𝐿_𝑎

𝑎

+ 𝐿_𝑏𝐿_𝑐

𝑏,𝑐

− 𝐿_𝑑𝐿_𝑒𝐿_𝑓

𝑑,𝑒,𝑓

+ ⋯

EJEMPLO DE SIMPLIFICACIÓN DE DFS

FÓRMULA DE MASON PARA EL DFS DEL EJEMPLO

Trayectos directos: 𝑃₁ = 𝐺₁𝐺₂𝐺₃

Ganancias de lazo:

𝐿₁ = −𝐺₁𝐺₂𝐻₂ 𝐿₂ = −𝐺₂𝐺₃𝐻₁ 𝐿₃ = −𝐺₁𝐺₂𝐺₃

No existen lazos disjuntos

Determinante del sistema: ∆= 1 − 𝐿₁ + 𝐿₂ + 𝐿₃ = 1 + 𝐺₁𝐺₂𝐻₂ + 𝐺₂𝐺₃𝐻₁ + 𝐺₁𝐺₂𝐺₃

Cofactores: ∆₁= 1

Por lo tanto:

𝑃 = 1

∆ 𝑃𝐾∆𝐾 𝑃 =

𝑃₁∆₁ ∆

𝑃 = 𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

𝐺₁𝐺₂𝐺₃

EJEMPLO DE SIMPLIFICACIÓN DE DFS (2)

FÓRMULA DE MASON DEL DFS DEL EJEMPLO (2)

Trayectos directos: 𝑃1 = 𝐺1𝐺2𝐺3𝐺5 → ∆1 𝑃₂ = 𝐺₁𝐺₂𝐺₄𝐺₅ → ∆₂

Ganancias de lazo:

𝐿₁ = −𝐺₂𝐻₁ 𝐿₂ = −𝐺₅𝐻₂

𝐿₃ = −𝐺₁𝐺₂𝐺₃𝐺₅ 𝐿₄ = −𝐺₁𝐺₂𝐺₄𝐺₅

Lazos disjuntos: 𝐿1 𝐿₂

Determinante del sistema: ∆= 1 − 𝐿₁ + 𝐿₂ + 𝐿₃ + 𝐿₄ + 𝐿₁𝐿₂

∆= 1 + 𝐺₂𝐻₁ + 𝐺₅𝐻₂ + 𝐺₁𝐺₂𝐺₃𝐺₅ + 𝐺₁𝐺₂𝐺₄𝐺₅ + 𝐺₂𝐺₅𝐻₁𝐻₂

Cofactores: ∆1= 1 ∆₂= 1 Por lo tanto:

𝑃 = 1

∆ 𝑃𝐾∆𝐾 𝑃 =

𝑃₁∆₁ + 𝑃₂∆₂ ∆

EJERCICIOS

CARACTERÍSTICAS DE RESPUESTA TEMPORAL

Los sistemas se pueden clasificar con respecto al orden de la ecuación diferencial que los define.

 sistema de orden cero: se describe por una ecuación diferencial de orden cero y corresponde a una relación proporcional entre variables de salida y entrada, por ejemplo, el caso del potenciómetro:

𝑣_𝑜 𝑡 = 𝐾𝜃(𝑡)

CARACTERÍSTICAS DE RESPUESTA TEMPORAL (1)

Sistema de segundo orden: son aquellos que se definen por medio de ecuaciones diferenciales de segundo orden, por ejemplo, el caso de los sistemas mecánicos, tanto de rotación como de traslación.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden es aquel que queda definido por una ecuación diferencial de primer orden:

𝜏𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑟(𝑡)

Tomando la transformada de Laplace, con condiciones iniciales iguales a cero se obtiene:

𝜏𝑆 + 1 𝑌 𝑆 = 𝐾𝑟(𝑆)

La función de transferencia del sistema de primer orden es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

𝐾 𝜏𝑆 + 1

𝐾 = Ganancia del sistema (factor de amplificación entre salida y entrada).

𝜏 = Constante de tiempo del sistema (segundos, min, Horas).

RESPUESTA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN A

UNA ENTRDA EN FORMA DE ESCALÓN

La señal escalón se define como:

𝑟 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 = 𝐴 𝑡 ≥ 0

0 𝑡 < 0 𝑅 𝑆 = 𝐴 𝑆

Para el sistema de primer orden:

𝐺 𝑆 = 𝑌 𝑆 𝑅 𝑆 =

𝐾

𝜏𝑆 + 1 → 𝑌 𝑆 =

𝐾. 𝑅 𝑆

𝜏𝑆 + 1 → 𝑌 𝑆 =

𝐾𝐴

𝑆 𝜏𝑆 + 1 La transformada inversa de la última expresión da la respuesta del sistema de

primer orden al escalón:

𝑦 𝑡 = 𝐾. 𝐴 1 − 𝑒−𝑡𝜏

𝑡 = 0 𝑦 0 = 0 𝑡 = ∞ 𝑦 ∞ = 𝐾. 𝑎

VALOR DE ESTADO ESTABLE

Se considera que un sistema de control alcanza su valor de estado estable cundo haya transcurrido un tiempo equivalente a cuatro constantes de tiempo. Este tiempo se denomina tiempo de establecimiento

𝑡_𝑠 = 4𝜏

Aplicando el teorema del valor final:

𝑦_𝑆𝑆 = lim

𝑆→0𝑆𝐺 𝑆 = lim𝑆→0 𝑆

𝐾𝐴

𝑆 𝜏𝑆 + 1 = 𝐾𝐴

EJEMPLO DE RESPUESTA AL ESCALÓN

La función de transferencia de cierto sistema térmico en lazo abierto está dada por:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

1.5

5𝑆 + 1

Obtener la respuesta del sistema cuando la señal de entrada es un escalón de

magnitud 𝑟 𝑡 = 2𝑢(𝑡) . Los tiempos están en s. De la función de transferencia se obtiene:

𝑌 𝑆 = 1.5𝑅(𝑆)

5𝑆 + 1 𝑅 𝑆 = ℒ 2𝑢(𝑡) = 2

𝑆 → 𝑌 𝑆 =

3

𝑆(5𝑆 + 1)

Para este sistema, la ganancia es 1.5 y la constante de tiempo es 𝜏 = 5 𝑠.

De tablas:

ℒ− 𝑎

𝑆(𝑆 + 𝑎) = 1 − 𝑒

−𝑎𝑡 _{𝑌 𝑆 = 3} 0.2

𝑆(𝑆 + 0.2)

𝑦 𝑡 = 3 1 − 𝑒−0.2𝑡

𝑡 = 0 𝑦 0 = 0 𝑡 = 𝜏 𝑦 𝜏 = 1.896 𝑡 = 4𝜏 𝑦 4𝜏 = 2.999

GRÁFICA DE LA RESPUESTA AL ESCALÓN

ℒ− 𝑎

𝑆(𝑆 + 𝑎) = 1 − 𝑒

−𝑎𝑡 _{𝑌 𝑆 = 3} 0.2

𝑆(𝑆 + 0.2)

𝑦 𝑡 = 3 1 − 𝑒−0.2𝑡

𝑡 = 0 𝑦 0 = 0 𝑡 = 𝜏 𝑦 𝜏 = 1.896 𝑡 = 4𝜏 𝑦 4𝜏 = 2.999

SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON RETARDO (POR)

Tiempo de retardo: también llamado tiempo muerto, es el tiempo comprendido entre el momento en que se produce un cambio en la señal de entrada y el momento en el que se observa en la señal de salida el efecto de dicha variación.

La función de transferencia de un sistema de primer orden con retardo es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

𝐾𝑒−𝜃′𝑆 𝜏𝑆 + 1

APROXIMACIÓN TEÓRICA DE UNA CURVA REAL

A UN SISTEMA POR

Si se tiene la respuesta de un sistema ante una entrada en forma de escalón es

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER EL MODELO POR

Se eligen en la curva de respuesta los puntos para los cuales la respuesta alcanza el

28.3% y el 63.2% de su valor final, estos puntos se presentan cuando los tiempos transcurridos a partir del momento de la aplicación del escalón, al elemento final de

control, son respectivamente 𝜃′ + 𝜏 3 y 𝜃´ + 𝜏

Con los datos obtenidos de la gráfica se plantean las siguientes ecuaciones:

𝜃′ + 𝜏

3 = 𝑡1 𝜃′ + 𝜏 = 𝑡₂

Los valores de 𝑡₁ y de 𝑡₂ se calculan directamente de las gráficas o de la base de datos obtenida. Resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones se estiman los

valores de 𝜃′ y 𝜏.

PROCEDIMIENTO…MODELO POR

El valor de la ganancia 𝐾 se obtiene mediante el cociente Δ𝑌 Δ𝑈 que se interpreta como el cociente entre el cambio de la variable de salida y el cambio en la variable de entrada (valor del escalón de entrada).

𝐾 = Δ𝑌

Δ𝑈 5.4

El modelo de la planta se obtiene reemplazando los valores de 𝐾, 𝜏 _y 𝜃′ en la ecuación del modelo POR

EJEMPLO:OBTENCIÓN MODELO POR

SOLUCIÓN EJEMPLO MODELO POR

El modelo POR es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) =

𝐾𝑒𝜃′

𝜏𝑆 + 1 𝐾 = Δ𝑌

Δ𝑈

𝜃′ + 𝜏

3 = 𝑡1 𝜃′ + 𝜏 = 𝑡₂

∆𝑈 = 40% − 30% = 10% ∆𝑌 = 35% − 20% = 15% 𝐾 = 15%

10% = 1.5

El 28.3% de la salida corresponde a: 20 + 0.283 ∗ 15 = 24.245% → 𝑡₁ = 6.4 𝑚𝑖𝑛

El 63.2% de la salida corresponde a: 20 + 0.632 ∗ 15 = 29.48% → 𝑡₂ = 13.2 𝑚𝑖𝑛 Por tanto:

𝜃′ + 𝜏

3 = 6.4 𝜃′ + 𝜏 = 13.2

Resolviendo las ecuaciones anteriores resulta: 𝜃′ = 3 min 𝜏 = 10.2 𝑚𝑖𝑛

El modelo POR da:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) =

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden es aquel que queda definido por una ecuación diferencial de segundo orden:

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2 + 2𝜉𝜔𝑛

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝜔𝑛

2_{𝑦(𝑡) = 𝐾𝜔}

𝑛2𝑟(𝑡)

Tomando la transformada de Laplace, con condiciones iniciales iguales a cero se obtiene:

𝑆2 + 2𝜉𝜔_𝑛 + 𝜔_𝑛2 𝑌 𝑆 = 𝐾𝜔_𝑛2𝑅(𝑆)

La función de transferencia del sistema de primer orden es:

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑅(𝑆) =

𝐾𝜔_𝑛2 𝑆2 _{+ 2𝜉𝜔}

𝑛 + 𝜔𝑛2

𝐾 = Ganancia del sistema (factor de amplificación entre salida y entrada). 𝜉 = Coeficiente de amortiguamiento (adimensional)

RESPUESTA SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN AL

ESCALÓN

La ecuación característica del sistema de segundo orden es:

𝑆2 + 2𝜉𝜔_𝑛 + 𝜔_𝑛2 = 0

Las raíces de la ecuación característica o polos del sistema son:

𝑆_1,2 = −2𝜉𝜔𝑛 ± 4𝜉

2_𝜔

𝑛2 − 4𝜔𝑛2

2 𝑆1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜉

2

El tipo de respuesta del sistema de segundo orden lo determina el valor del

coeficiente de amortiguamiento así:

𝟎 < 𝝃 < 𝟏: Sistema subamortiguado: La ecuación característica tiene un par de raíces conjugadas complejas. El sistema oscila y luego se estabiliza.

𝝃 = 𝟏: Sistema críticamente amortiguado: La ecuación tiene dos raíces reales e iguales. El sistema no oscila.

𝝃 > 𝟏: Sistema sobreamortiguado: La ecuación tiene dos raíces reales distintas. El sistema no oscila, pero su respuesta es más lenta que la del sistema subamortiguado

PARÁMETROS DE RESPUESTA DE UN SISTEMA DE

SEGUNDO ORDEN AL ESCALÓN

PARÁMETROS DE RESPUESTA SISTEMA SEGUNDO ORDEN

Tiempo de retardo (𝒕_𝒅): Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema alcance por primera vez, el 50% de su valor final.

𝑡_𝑑 = 1 + 0.7𝜉

𝑤_𝑛 0 < 𝜉 < 1

𝑡_𝑑 = 1.1 + 0.125𝜉 + 0.46𝜉 2

𝑤_𝑛 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de crecimiento (𝒕_𝒓): Es el tiempo que requiere la respuesta al escalón para pasar del 10% al 90% de su valor final.

𝑡_𝑟 = 0.8 + 2.5𝜉

𝑤_𝑛 0 < 𝜉 < 1

𝑡_𝑟 = 1 − 0.4167𝜉 + 2.9𝜉 2

𝑤_𝑛 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de pico (𝒕_𝒑): Es el tiempo necesario para que la respuesta al escalón alcance su máximo sobreimpulso.

PARÁMETROS DE RESPUESTA SISTEMA SEGUNDO ORDEN

Máximo sobreimpulso (𝑴_𝒑): Es el valor máximo de la curva de respuesta al escalón medido partir del valor de estado estable.

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 𝑐 𝑡𝑝 − 𝑐 ∞

𝑐 ∞ ∗ 100%

En donde 𝑐(𝑡_𝑝) representa el valor máximo alcanzado por la respuesta y 𝑐(∞) representa el valor de estado estable de la misma.

𝑀_𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2 0 < 𝜉 < 1 Y, en forma porcentual:

𝑀_𝑝% = 100𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de establecimiento (𝒕_𝒔): Es el tiempo requerido para que la curva de respuesta al escalón alcance y se quede variando, alrededor de su valor final dentro de un rango especificado en función de un porcentaje absoluto de su valor final. Este valor es por lo general el 2%.

EJEMPLO

Considere un sistema de segundo orden, en el que 𝜉 = 0.6 y 𝜔_𝑛 = 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Obtener el tiempo de crecimiento 𝑡_𝑟, el tiempo pico 𝑡 _𝑝, el máximo sobreimpulso 𝑀_𝑝 y el tiempo de establecimiento 𝑡_𝑠 cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.

Tiempo de crecimiento o tiempo de subida:

𝑡_𝑟 = 0.8 + 2.5𝜉 𝑤_𝑛 =

0.8 + 2.5 ∗ 0.6

5 𝑡𝑟 = 0.46 𝑠.

Tiempo de pico:

𝑡_𝑝 = 𝜋

𝑤_𝑛 1 − 𝜉2 =

3.14

5 1 − 0.62 𝑡𝑝 = 0.785 𝑠.

Máximo sobreimpulso:

𝑀𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 / 1−𝜉2 = 𝑒−3.14∗0.6/ 1−0.62 𝑀𝑝 = 0.0948 𝑀𝑝 = 9.48%

Tiempo de establecimiento:

𝑡_𝑠 = 4

𝜉𝜔_𝑛 0 < 𝜉 < 1 𝑡𝑠 =

4

EJEMPLO

Para el sistema de la Figura , determine los valores de la ganancia 𝐾 y la constante

𝐾_ℎ en lazo cerrado para que el máximo sobreimpulso de la respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea 1 s. Con estos valores de 𝐾 y 𝐾_ℎ obtenga el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento. Suponga que 𝑗 = 1 𝐾𝑔. 𝑚2 y que

𝐵 = 1 𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑠

La F de T del sistema en lazo cerrado es:

𝐺_𝑤 𝑆 =

𝐾

𝑆(𝐽𝑆 + 𝐵 + 𝐾𝐾_ℎ) 1 + _{𝑆(𝐽𝑆 + 𝐵 + 𝐾𝐾}𝐾

ℎ)

𝐺_𝑤 𝑆 = 𝐾 𝐽𝑆2 _{+ 𝐵 + 𝐾𝐾}

EJEMPLO (CONTINUACIÓN)

𝐺_𝑤 𝑆 = 𝐾/𝐽

𝑆2 ₊ 𝐵 + 𝐾𝐾ℎ

𝐽 𝑆 +

𝐾 𝐽

𝐺 𝑆 = 𝑘𝜔𝑛 2

𝑆2 _{+ 2𝜉𝜔}

𝑛𝑆 + 𝜔𝑛2

Comparando las dos últimas ecuaciones con 𝐽 = 1 y 𝐵 = 1 resulta:

𝜔_𝑛2 = 𝐾

𝐽 → 𝐾 = 𝜔𝑛

2 _2𝜉𝜔 𝑛 =

𝐵 + 𝐾𝐾_ℎ

𝐽 → 𝐾ℎ =

2𝜉𝜔_𝑛 − 𝐵 𝐾 Según las características del sistema de segundo orden y los datos dados:

𝑀𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 / 1−𝜉2 0.2 = 𝑒−𝜋𝜉 / 1−𝜉2 → 𝜉 = 0.455

𝑡_𝑝 = 𝜋

𝜔_𝑛 1 − 𝜉2 𝜔𝑛 =

𝜋

𝑡_𝑝 1 − 𝜉2 =

3.14

1 ∗ 1 − 0.4552 → 𝜔𝑛 = 3.526 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Entonces:

𝐾 = 3.5262 𝐾 = 12.43𝑁. 𝑚 𝐾_ℎ = 2 ∗ 0.455 ∗ 3.526 − 1

12.43 𝐾ℎ = 0.177 𝑠.

𝑡_𝑟 = 0.8 + 2.5𝜉

𝑤_𝑛 =

0.8 + 2.5 ∗ 0.455

3.526 𝑡𝑟 = 0.549 𝑠.

EJEMPLO

Obtenga la respuesta a un escalón unitario y a la rampa unitaria del sistema que se da a continuación. Utilice el MATLAB.

𝐺 𝑆 = 𝑌(𝑆) 𝑈(𝑆) =

6

𝑆2 _{+ 4𝑆 + 8}

num = [6];

den = [1 4 8]; sis=tf(num,den) t = 0:0.02:30; u=t;

y = step(sis,t); % Respuesta al escalon

figure(1) plot(t,y) grid

title('Respuesta a un escalón unitario')

xlabel('t (seg)') ylabel('Salida')

y1 = lsim(sis,u,t);% Respuesta a la rampa

figure(2)

plot(t,t,'--',t,y1)

v = [0 30 0 30]; axis(v); grid

title('Respuesta a una rampa unitaria')

xlabel('t (sec)')

ylabel('Entrada rampa unitaria y salida')

text(5,15,0,'Entrada rampa unitaria')

ANÁLISIS DE ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE

En cualquier sistema físico de control existe un error inherente, que es el error en

estado estable en respuesta a determinados tipos de entradas. Puede ocurrir que un

sistema presente o no error en régimen permanente ante diferentes entradas.

TIPO DE UN SISTEMA:

La función de transferencia en lazo abierto del sistema

𝐺(𝑠),

puede tener diversos polos y ceros y puede escribirse en la forma:

𝐺 𝑆 =

𝐾 𝜏

1

𝑆 + 1 𝜏

2

𝑆 + 1 … 𝑎

1

𝑆

2

_{+ 𝑏}

1

𝑆 + 1

𝑆

𝑁

_𝜏

1

𝑆 + 1 𝜏

2

𝑆 + 1 … 𝑎

2

𝑆

2

+ 𝑏

2

𝑆 + 1

ERROR DE ESTADO ESTABLE

Para el sistema de la figura, el error está dado por: 𝐸 𝑆 = 𝑅 𝑆 − 𝐻 𝑆 . 𝑌(𝑆)

𝑌 𝑆 = 𝐺 𝑆 . 𝐸 𝑆 → 𝐸 𝑆 = 𝑅 𝑆 − 𝐻 𝑆 𝐺 𝑆 𝐸(𝑆)

𝐸 𝑆 = 𝑅(𝑆)

1 + 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

Es decir, el error depende del tipo de entrada 𝑅(𝑆) y de la función de transferencia de lazo abierto del sistema 𝐺_𝐿𝐴(𝑆) = 𝐺(𝑆)𝐻(𝑆)

Aplicando el teorema del valor final, el error de estado estable es:

𝑒_𝑠𝑠 = lim

𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑆→0 𝑆. 𝐸(𝑆)

ERROR ANTE UNA ENTRADA EN FORMA DE ESCALÓN

Error de posición: es el que se produce en el sistema ante una entrada escalón.

𝑅 𝑆 = 𝐴

𝑆 → 𝑒𝑠𝑠 = lim𝑆→0 𝑆.

𝐴

𝑆 1 + 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) =

𝐴 1 + lim

𝑆→0𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

Se define: 𝑲_𝒑 = Coeficiente de error de posición 𝐾_𝑝 = lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

𝑒_𝑠𝑠 = 𝐴

ERROR ANTE UNA ENTRADA EN FORMA DE RAMPA

Error de velocidad: es el que se produce en el sistema ante una entrada en rampa.

𝑅 𝑆 = 𝐴

𝑆2 → 𝑒𝑠𝑠 = lim𝑆→0𝑆.

𝐴

𝑆2 1 + 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) =

𝐴 𝑆 lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

Se define: 𝑲_𝒗 = Coeficiente de error de velocidad 𝐾_𝑣 = S. lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

𝑒_𝑠𝑠 = 1

ERROR ANTE UNA ENTRADA PARABÓLICA

Error de aceleración: es el que se produce en el sistema ante una entrada parábola.

𝑅 𝑆 = 𝐴

𝑆3 → 𝑒𝑠𝑠 = lim𝑆→0𝑆.

𝐴

𝑆3 1 + 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) =

𝐴 𝑆2 lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) Se define: 𝑲_𝒂 = Coeficiente de error de aceleración 𝐾_𝑎 = S2. lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

𝑒_𝑠𝑠 = 1

𝐾_𝑎 𝐾𝑣 = lim𝑆→0S

CUADRO RESUMENN DE COEFICIENTES DE ERROR

Luis Edo García Jaimes

𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍ó𝒏 𝒓 𝒕 = 𝑨

𝑹𝒂𝒎𝒑𝒂 𝒓 𝒕 = 𝑨𝒕

𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒓 𝒕 = 𝟏

𝟐𝒕

0 𝐴

1 + 𝑘_𝑝 ∞ ∞

1 0 𝐴

𝑘_𝑣 ∞

2 0 0 𝐴

EJEMPLO

Entrada escalón

𝑉_𝑟 = 𝑢 𝑡 𝑃 = 0 𝐺 𝑆 𝐻 𝑆 =

15

(𝑆 + 10)(𝑆 + 1)2 → Sistema Tipo 0

𝑒_𝑠𝑠 = 𝐴

1 + 𝐾_𝑝 𝐾𝑃 = lim𝑆→0𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) 𝐾𝑝 = lim𝑆→0

15

(𝑆 + 10)(𝑆 + 1)2 = 1.5

𝑒_𝑠𝑠 = 1 𝑒_𝑠𝑠 = 0.4 𝑒_𝑠𝑠 = 40 %

EJEMPLO (CONTINUACIÓN)

Entrada Rampa

𝑉_𝑟 = 𝑡𝑢 𝑡 𝑃 = 0

𝑒_𝑠𝑠 = 𝐴

𝐾_𝑣 𝐾𝑃 = lim𝑆→0𝑆. 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆) 𝐾𝑝 = lim𝑆→0𝑆

15

(𝑆 + 10)(𝑆 + 1)2 = 0

𝑒_𝑠𝑠 = 1

0 𝑒𝑠𝑠 = ∞

Entrada escalón + perturbación

La perturbación afecta la salida del sistema y por lo tanto modifica el error de estado

estable. La salida del sistema incluyendo la entrada de referencia _𝑉

𝑟 y la perturbación

𝑃 es:

𝑉_𝑇 = 𝑉_𝑟𝑒𝑓 + 𝑉_{𝑝𝑒𝑟𝑡}

𝑉_𝑇 =

15

(𝑆 + 10)(𝑆 + 1)2

1 + 15

(𝑆 + 10)(𝑆 + 1)2

∗ 1 𝑆 +

0.3 𝑆 + 1 2

1 + 15

𝑆 + 10 𝑆 + 1 2

EJEMPLO (CONTINUACIÓN)

Simplificando:

𝑉

_𝑇

=

15

𝑆 𝑆 + 10 𝑆 + 1

2

+ 15

+

0.15(𝑆 + 10)

𝑆 𝑆 + 10 𝑆 + 1

2

+ 15

Aplicando el teorema del valor final:

𝑉

_𝑇𝑠𝑠

= lim

𝑆→0

𝑆 𝑉

𝑇

= lim

𝑆→0

𝑆

15

𝑆 𝑆 + 10 𝑆 + 1

2

_{+ 15}

+

0.15(𝑆 + 10)

𝑆 𝑆 + 10 𝑆 + 1

2

_{+ 15}

𝑉

_𝑇𝑠𝑠

=

15

10 + 15

+

0.15 ∗ 10

10 + 15

= 0.66

EJEMPLO 2.

En el diagrama de bloques de la figura 𝐾 = 1.5 y 𝐾_𝑡 = 0.8. Determinar los coeficientes de error para las entradas escalón, rampa y parábola y el error de estado estable para cada entrada.

La solución se inicia reduciendo el lazo de realimentación interno para dejar un solo lazo.

𝐺_𝑤1 𝑆 =

100 1 + 0.2𝑆

1 + _{1 + 0.2𝑆 ∗ 0.8}100

= 100

EJEMPLO 2 (CONTINUACIÓN)

La función de transferencia de lazo abierto es:

𝐺 𝑆 𝐻 𝑆 = 1.5 ∗ 100

0.2𝑆 + 81 ∗ 1

20𝑆 𝐺 𝑆 𝐻 𝑆 =

7.5

𝑆 0.2𝑆 + 81

Coeficiente de error de posición:

𝐾_𝑃 = lim

𝑆→0 𝐺 𝑆 𝐻 𝑆 = lim𝑆→0

7.5

𝑆 0.2𝑆 + 81 𝐾𝑃 = ∞ 𝑒𝑠𝑠 =

1

1 + 𝐾_𝑃 = 0

Coeficiente de error de velocidad:

𝐾_𝑣 = lim

𝑆→0 𝑆. 𝐺 𝑆 𝐻 𝑆 = lim𝑆→0 𝑆

7.5

𝑆 0.2𝑆 + 81 𝐾𝑣 = 0.0925 𝑒𝑠𝑠 = 1

𝐾_𝑣 = 10.8

Coeficiente de error de aceleración:

PROGRAMA PARA CALCULAR PARAMETROS DE UN SISTEMA

DE SEGUNDO ORDEN SUBAMORTIGUADO

clc

%Parámetros de un sistema subamortiguado

numT = input('Entre el numerador:'); denT = input('Entre el denominador:');

% Cálculo del valor fi nal

ValorFinal = polyval(numT,0)/polyval(denT,0);

% Cálculo y almacenamiento de valores

[y,x,t] = step(numT,denT);% Respuesta al escalon % Cálculo del tiempo de crecimiento tr.

p = 1;

while y(p) < 0.1 * ValorFinal, p = p + 1;

end q = 1;

while y(q) < 0.9 * ValorFinal, q = q + 1;

end

Tr = t(q)-t(p)

% Cálculo del tiempo pico tp, seg.

[Y,k] = max(y); tp = t(k)

% Cálculo del máximo pico de sobreimpulso MP en %

MP = 100 * (Y-ValorFinal)/ValorFinal

% Cálculo del tiempo de establecimiento ts.

a = length(t);

while (y(a)>0.9816 * ValorFinal)&(y(a) < 1.01831 * ValorFinal) a = a-1;

ESTABILIDAD DE SISTEMAS CONTINUOS

La estabilidad es una especificación básica que deben satisfacer los sistemas de control.

Desde el punto de vista de la descripción externa se dice que un sistema lineal invariante en el tiempo es estable, si ante una entrada acotada se produce una salida acotada para todas las posibles condiciones iniciales. Estabilidad BIBO (Bounded Input Bounded Output).

Existen diversos resultados teóricos que permiten realizar un análisis de estabilidad, desde el punto de vista de la descripción externa, de un sistema en tiempo continuo lineal e invariante en el tiempo.

 Criterio de Routh-Hurwitz, sobre la ecuación característica.

 Nyquist en el dominio de la frecuencia

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD PARA SISTEMAS

CONTÍNUOS

Para que un sistema continuo sea estable todos sus polos deben estar localizados

en la parte izquierda del semiplano de S. Es decir, el sistema es estable si todos

sus polos tienen la parte real negativa.

Los polos del sistema son las raíces de la ecuación característica que resulta de igualar a cero el denominar de la función de transferencia del sistema.

Las raíces de la ecuación característica nos ofrecen información no solo del transitorio del sistema, sino también de su estabilidad.

𝐺_𝑤 𝑆 = 𝐺(𝑆)

1 + 𝐺 𝑆 𝐻(𝑆)

Ecuación característica:

REGIONES DE ESTABILIDAD PARA SISTEMAS

CONTINUOS EN EL PLANO S

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURTWISTH

El criterio de Routh-Hurwitz aplicado a la ecuación característica de un sistema permite conocer si el sistema es estable o no, sin necesidad de calcular las raíces de dicha ecuación característica.

Sea la función de transferencia:

𝐺_𝑤 𝑆 = 𝑃(𝑆)

𝑎_𝑛𝑆𝑛 _{+ 𝑎}

𝑛−1𝑆𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑆𝑛−2 + ⋯ 𝑎1𝑆 + 𝑎0

La ecuación característica del sistema es:

𝑎_𝑛𝑆𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑆𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2𝑆𝑛−2 + ⋯ 𝑎₁𝑆 + 𝑎₀ = 0

Para determinar la estabilidad primero se comprueba que todos los coeficientes

ARREGLO DE ROUTH-HURTWISTH

Para comprobar si el sistema es estable, se construye el arreglo de Routh-Hurwitz así:

𝑆𝑛 𝑆𝑛 −1 𝑆𝑛 −2 𝑆𝑛 −3

⋯ ⋯ 𝑆0

𝑎_𝑛 𝑎_𝑛−2 𝑎_𝑛−4 𝑎_𝑛−6 𝑎_𝑛−1 𝑎_𝑛−3 𝑎_𝑛−5 𝑎_𝑛−7

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ ⋯

𝑐₁ 𝑐₂ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

𝑓

𝑏₁ = 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛𝑎𝑛−3

𝑎_𝑛−1 𝑏2 =

𝑎_𝑛−1𝑎_𝑛−4 − 𝑎_𝑛𝑎_𝑛−5

𝑎_𝑛−1 𝑏3 =

𝑎_𝑛−1𝑎_𝑛−6 − 𝑎_𝑛𝑎_𝑛−7 𝑎_𝑛−1

𝑐₁ = 𝑏1𝑎𝑛−3 − 𝑏2𝑎𝑛−1

𝑏₁ 𝑐2 =

𝑏₁𝑎_𝑛−5 − 𝑏₃𝑎_𝑛−1 𝑏₁

El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en 𝑆0 que solo posee un coeficiente no nulo, 𝑓 en la expresión

EJEMPLO CRITERIO DE ROUTH

Determinar la estabilidad de un sistema cuya ecuación característica es:

𝑆4 + 2𝑆3 + 3𝑆2 + 4𝑆 + 5 = 0

Arreglo de Routh:

𝑆4 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 3 5 2 4 0 1 5

−6 0 5

𝑏₁ = 2 ∗ 3 − 4 ∗ 1

2 = 1 𝑏2 =

2 ∗ 5 − 0 ∗ 1

2 = 5

𝑐₁ = 1 ∗ 4 − 5 ∗ 2

1 = −6 𝑑1 =

−6 ∗ 5 − 0 ∗ 1

−6 = 5

Hay un término con signo negativo en la primera columna del arreglo, por lo tanto, el

sistema es inestable.

Existen dos cambios de signo en la primera columna, entonces existen dos raíces

CASO ESPECIAL 1: APARICIÓN DE UN CERO EN LA PRIMERA COLUMNA.

La aparición de un cero en la primera columna crea una indeterminación debida a la

división por cero. Este problema se elimina cambiando el cero por 𝜖 , que es una cantidad muy pequeña.

Ejemplo: determinar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es:

𝑆4 + 2𝑆3 + 4𝑆2 + 8𝑆 + 5 = 0

𝑆4 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 4 5 2 8 0 0 5 0 ∞ 𝑆4 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 4 5

2 8 0

𝜖 5

8𝜖 − 10

𝜖 0

5

𝑏₁ = 2 ∗ 4 − 8 ∗ 1

2 = ∞ 𝑐1 =

8 ∗ 𝜖 − 10 𝜖

𝑏₂ = 2 ∗ 5 − 0 ∗ 1

2 = 5 𝑑1 =

8𝜖 − 10

𝜖 ∗ 5 − 0 ∗ 𝜖 8𝜖 − 10

𝜖

= 5

CASO ESPECIAL 2: FILA COMPLETA DE CEROS

Procedimiento

• formar una ecuación auxiliar con los coeficientes de la fila anterior a la de ceros. • Sustituir la fila de ceros por los coeficientes de la derivada de la ecuación auxiliar.

Ejemplo: determinar la estabilidad del sistema cuya ecuación característica es:

𝑆4 + 2𝑆3 + 11𝑆2 + 18𝑆 + 18 = 0

𝑆4 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 11 18 2 18 0 2 18 0

0 0 0

𝑆4 𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 11 18 2 18 0 2 18 0

4 0 0

18

𝑏₁ = 2 ∗ 11 − 18 ∗ 1

2 = 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 ∶ 2𝑆

2 _{+ 18}

𝑏₂ = 2 ∗ 18 − 0 ∗ 1

2 = 18 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 4𝑆

𝑐₁ = 2 ∗ 18 − 18 ∗ 2

2 = 0 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑐1 = 4

𝑐₂ = 2 ∗ 0 − 0 ∗ 2

2 = 0 𝑑1 =

4 ∗ 18 − 2 ∗ 0

EJEMPLO DE APLICACIÓN CRITERIO DE ROUTH

Para el sistema de control de la figura obtenga el valor o rango de valores de 𝐾 para

los cuales el sistema es estable

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema es:

𝐺_𝑤 𝑆 =

𝐾 𝑆 − 2

(𝑆 + 1)(𝑆2 _{+ 6𝑆 + 25)}

1 + 𝐾 𝑆 − 2

(𝑆 + 1)(𝑆2 _{+ 6𝑆 + 25)}

= 𝐾 𝑆 − 2

𝑆3 _{+ 7𝑆}2 _{+ 31 + 𝐾 𝑆 + 25 − 2𝐾}

Ecuación característica del sistema: 𝑆3 + 7𝑆2 + 31 + 𝐾 𝑆 + 25 − 2𝐾 = 0

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 31 + 𝐾 7 25 − 2𝐾 192 + 9𝐾

7 0

25 − 2𝐾

Para estabilidad todos los elementos de la primera columna deben ser positivos

192 + 9𝐾

EJERCICIOS