Página 57 P R A C T I C A
N ú m e r o s r e a l e s
1
a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:; ; 53,
)
7; 3,2; ;b) ¿Alguno de ellos es entero?
c) Ordénalos de menor a mayor.
a) Racionales: ; – ; 53,7; 3,2 · 10
)
–10Irracionales: ;
b) Entero: – = –7
c) – < 3,2 · 10–10< < < < 53,
)
72
Di cuáles de los siguientes números son irracionales:– ; 1,73); ; π; ;
Son irracionales , π y .
3
Ordena de menor a mayor:a) 1,45; 1,4; ) b) ; ;
a) < 1,
)
4 < 1,45 b) < <4
Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales:3 – 7,23
–2 π 0 – 4
2 2,48 18 1 +
–1 3√–1 1 1,010203…
√2
√5 11
9
√–1 1
3
√2 3
4
13 9
3
√3 √2 √2
13 9
3
√3
√2
√2
1 + √5 2 √3
1 + √–5 2
√9
√3 3
4
√12 41
13
3
√5 √49
√49
3
√5 √12
√49 41
13
3
√5
√12
√49 41
N → 3; 0; 2; 18; 1
Z → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1;
Q → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48
Á → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48;
; π; 1 + ; 1,010203…
5
Representa en la recta real los siguientes números:a) –3; 2,7; ; , de forma exacta.
b) π= 3,14…, de forma aproximada.
a) =
b)
I n t e r v a l o s
6
Dados los números: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1:a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).
b) Lo mismo, pero con el intervalo [2, 4].
c) Igual, pero con el intervalo (2, +∞).
a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9
b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4
c) En el intervalo (2, +∞) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1 √42+ 12
√17
1 3
√17
√2 √2
11 9 1 3 3
4
3
√–1
11 9 1 3 3
4
3
√–1
3
√–1
0 –1
–2
–3 1 2 3 4√—17
√—17
2,7 1
— 3 1
3 3,1 3,2
4
7
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso:a) Menores o iguales que 3.
b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1.
c) Mayores que 2, pero menores que 3.
d) Mayores que 5.
a) (–∞, 3]
b) (–1, 0]
c) (2, 3)
d) (5, +∞)
8
Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:a) {x / – 6 ≤x≤3} b) {x/ – 4 < x≤4}
c) {x / x≥3} d) {x/ 0 < x< 5}
e) {x / x> –2} f ) {x/ 10 ≥x}
a) [–6, 3]
b) (– 4, 4]
c) [3, +∞)
d) (0, 5)
e) (–2, +∞)
f ) (–∞, 10]
9
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:a) 0 < x< 1 b) x≤–3
c) x> 0 d) –5 ≤x≤5
e) x> –5 f ) 1 ≤x< 3 –1 0
2 3
5
3
–6 0 3
0
0
0 5
–4 4
3
–2 –1
0 10
a) (0, 1)
b) (–∞, –3]
c) (0, +∞)
d) [–5, 5]
e) (–5, +∞)
f ) [1, 3)
10
Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)d) [–3, +∞) e) (2, +∞) f ) (–5, 2]
a) {x / 1 < x< 2,5}
b) {x / –2 ≤x≤3}
c) {x / –7 ≤x≤0}
d) {x / –3 ≤x}
e) {x / x> 2}
f ) {x / –5 < x≤2}
P o t e n c i a s y r a í c e s
11
Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario:a) b) c) d)
e) f ) g) h)
a) 52/3 b) a2/5 c) a5/8 d) x1/3
e)a–1/2 f ) a2/4= a1/2 g) a1/2 h) 21/2
12
Expresa en forma de raíz:a) 32/5 b) 23/4 c) a1/3 d) a1/2
e) x1/4 f ) a3/2 g) x–1/2 h) x–3/2
a) = b) = c) d)
e) f ) 4√x √a3 g) √x–1 h) √x–3
√a 3
√a 4
√8
4
√23
5
√9
5
√32
√2
√a 4
√a2
√a–1
3
√x 8
√a5 5
√a2 3
√52
0 1
–3
0
0
–5 5
0
–5
0 1 3
0 1
0
–7 0
–1
–2 1 2 3 2 2,5 3
–3 0
2 0
13
Calcula:a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4
a) 251/2= (52)1/2= 52/2= 5
b) 271/3= (33)1/3= 33/3= 3
c) 1252/3= (53)2/3= 53 · 2/3= 52= 25
d) 813/4= (34)3/4= 33= 27
Página 58
14
Calcula las siguientes raíces:a) b) c)
d) e) f )
g) h)
a) = = 2 b) = = 3
c) = 0 d) = 1
e) = –1 f ) no existe
g) = = –3 h) = = 12
15
Obtén con la calculadora:a) b) c)
d) e) f ) 283/4
g) 8–1/3 h) 0,021/2 i ) 0,2–1/2
a) = 91/5≈1,55 b) ≈–5,57
c) = 143/4≈7,24 d)
4
=
( )
1/4≈0,88e) ≈148,16 f ) 283/4≈12,17
g) 8–1/3= 0,5 h) 0,021/2≈0,14
i) 0,2–1/2≈2,24 √283
3 5
√
35
4
√143
3
√–173
5
√9
√283
3
4
√
—5
4
√143
3
√–173
5
√9
√122
√144
3
√(–3)3 3
√–27
√–1
3
√–1
4
√1
7
√0
5
√35 5
√243
4
√24 4
√16
√144
3
√–27
√–1
3
√–1
4
√1
7
√0
5
√243
4
R a d i c a l e s
16
Multiplica y simplifica el resultado:a) · · b) ·
c) · · d) ·
a) · · = = = 6
b) · = = = a
c) · · = = = 20
d) · = = = a2
17
Simplifica los siguientes radicales:a) b) c)
d) e) f )
a) = b) = =
c) = d) =
e) = f ) = x3
18
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso:a) , , b) , ,
a) , ,
= =
= = = <
= =
b) , ,
= ; = ; =
Como 310< 216< 59 → √635 < < 3√24 √4 53 12
√310 6
√35 12
√59 4
√53 12
√216 3
√24
6
√35 4
√53 3
√24
12
√64
12
√43 4 √4 3 √3 4 √4 √2 12 √81 12
√34 3
√3
12
√64
12
√26 √2 4 √4 3 √3 √2 6
√35
4
√53
3
√24
4 √4 3 √3 √2 4
√x12 4
√x· y 8
√x2· y2
3
√a· b2 12
√a4· b8 5
√a4 10
√a8
5
√16
5
√24
15
√212 √a
6
√a3
4
√x12 8
√x2y2 12
√a4·b8
10
√a8 15
√212
6
√53
√a4
√a· a3
√a3
√a
√400 √5 · 10 · 8
√8 √10 √5
3
√a3 3
√a· a2 3
√a2 3
√a
√36 √2 · 3 · 6
√6 √3 √2
√a3
√a
√8
√10
√5
3
√a2
19
Divide y simplifica el resultado:a) b) c) :
d) e) : f)
a) = = = 2
b) = = 6 =
c) 4 : 4 = 4 = 4 = 4 =
d) = 3 =
e) : = = =
f ) = = 12 = 12
20
Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:a) b) c)
d) e) f)
a) = = 2
b) = = 2
c) = = 4
d) = = 2
e) = = 5 · 2 = 10
f ) = = 10
21
Calcula y simplifica en cada caso:a)
(
)
10 b)(
)
4 c)(
)
8d) e) 4√√8
(
√√2)
10 f)(
3√√2)
64
√32
3
√2
√2
√3 √22· 52· 3
√300
√2 √2
√52· 23 √200
√2 √23
√8
4
√4
4
√24· 24· 22 4
√210
√7 √7 · 22
√28
3
√2
3
√24
3
√16
√300
√200
√8
4
√210
√28
3
√16
√
410
√
4001 000
12
√202
12
√103 6
√20
4
√10
3 2 32
√
—22
3 2
√
— : —2 3
√
23
√
32
3
√a
√
a2 a 3√a2 3
√a
1 2
√
116
√
5 · 312 · 20
5 20
√
— : —12 3
√
20 3√
512
6
√2 42
√
—23
6
√42
6
√23
3
√4 √2
√4
√
123 √12
√3
6 √20
4 √10
√
2 3√
3 24 √a2
4 √a
20
4
√
—3 5
4
√
—12
3 √4
√2
√12
a)
(
)
10= = 25= 32 b)(
)
4= = 2c)
(
)
8= = 34= 81 d) =e)
(
)
10= = f )(
)
6= = 222
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .23
Calcula y simplifica:a) + 3 – 5 b) 2 + 4 – 7
c) 3 + 4 – + d) 5 + – 8 +
e) + –
a) + 3 – 5 = (1 + 3 – 5) = –
b) 2 + 4 – 7 = 2 + 4 – 7 =
= 4 + 24 – 21 = (4 + 24 – 21) = 7
c) 3 + 4 – + = 3 + 4 – + =
= 3 + 8 – 4 + 5 =
= (3 + 8 – 4 + 5) = 12
d) 5 + – 8 + = 5 + – 8 + =
= 10 + 3 – 40 + 4 =
= (10 + 3 – 40 + 4) = –23
e) + – = + – = =
24
Efectúa:a) + – b) + –
c) + –
a) + – = + – =
= 23· + 22· – 2 · 5 =
= 8√5 + 4√5 – 10√5 = (8 + 4 – 10)√5 = 2√5 √5
√5 √5
√22· 53
√24· 5
√26· 5
√500 √80
√320
3
√5
3
√135
3
√40
√45
√54
√125
√500
√80
√320
√2 12 (12 + 9 – 20)√2
12 20√2
12 9√2
12 12√2
12 5√2
3 3√2
4 √2
√3 √3
√3 √3
√3 √3
√24· 3
√52· 3
√33
√22· 3
√48 √75 √27
√12
√2 √2
√2 √2
√2 √2
√52· 2 √25
√23 √2
√50 √32
√8 √2
√2 √2
√2 √2
√2
√32· 2
√32· 23
√23
√18 √72
√8
√3 √3
√3 √3
√3
5√2 3 3√2
4
√2
√48
√75
√27
√12
√50
√32
√8
√2
√18
√72
√8
√3
√3
√3
6
√26 √2
3
√
√25
4
√210 √2
√
8
√8 √8 4 √
4
√316
4
√32
√2 √24
√2 √210
b) + – = + – =
= 5 + 3 – 3 = 2 + 3
c) + – = + – =
= 2 + 3 – = (2 + 3 – 1) = 4
25
Racionaliza y simplifica:a) b) c) d)
a) = =
b) = =
c) = = = =
d) = =
26
Racionaliza y simplifica:a) b)
c) d)
a) = = =
b) = = =
c) = = =
d) = = = 2 = 4√8
4
√8 2 2 4√23
4
√24 2 4√23
4
√2 · 4√—23 2
4
√2
3
√x2 x 3
√x2 3
√x3 3
√x2 3
√x· 3√—x2
1
3
√x
3
√a3 a 8
√a3 8
√a8 8
√a3 8
√a5· 8√—a3
1
8
√a5
3 3√25 5 3 · 3√52
3
√—53
3 · 3√52 3
√5 · 3√—52
3
3
√5
2
4 √2 1
3 √x
1
8 √a5
3
3 √5
√15 5 3√15
15 3
√15
√3 2√3
2 √12
2 6√12
12 6
√12
2√6 3 4√6
6 4
√6
√2 2√2
2 2
√2
3
√15 6
√12 4
√6 2
√2
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√33· 5
3
√23· 5
3
√5
3
√135
3
√40
√6 √5
√5 √6
√5
√32· 5 √33· 2
√53 √45 √54
Página 59
27
Racionaliza y simplifica:a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
a) = = = = 2 – 2
b) = = =
c) = = = = 5 +
d) = = = = –
e) = = = =
f ) = = = +
g) = = = 10 – 10
h) = = = =
i) = = = = – – 2
P I E N S A Y R E S U E LV E
28
¿Cuántos números racionales hay entre 0,)
8 y 0,9? Pon ejemplos y razona tu)
respuesta.√3 2√3 + 4
–2 1 + 2√3 + 3
1 – 3
(
1 +√—3)(
1 +√—3)
(
1 – √—3)(
1 + √—3)
1 +√—31 – √—3
3√2 – 2 7 2 – 3√2
–7 √–2
(
√2 – 3)
2 – 9 √—2
(
√—2 – 3)
(
√—2 + 3)(
√—2 – 3)
√—2√—2 + 3
√2 √3
10
(
√3 +√–2)
3 – 2 10(
√—3 –√—2)
(
√—3 + √—2)(
√—3 – √—2)
10√—3 + √—2
√2 √3 √3 +√–2
3 – 2 √—3 +√—2
(
√—3 – √—2)(
√—3 + √—2)
1√—3 – √—2
3 – √5 4 √5 – 3
– 4 √5 – 3
5 – 9 √—5 – 3
(
√—5 + 3)(
√—5 – 3)
1√5 + 3
1 + √3 2 1 + √3
–2 1 + √3
1 – 3 1 + √—3
(
1 –√—3)(
1 +√—3)
11 – √3
√2 23
(
5 + √2)
23 23
(
5 + √2)
25 – 2 23
(
5 + √—2)
(
5 –√—2)(
5 +√—2)
235 – √2
12 + 4√2 7 4
(
3 + √2)
9 – 2 4
(
3 + √—2)
(
3 –√—2)(
3 +√—2)
43 – √2
√2 2 – 2√2
–1 2
(
1 – √2)
1 – 2 2
(
1 – √—2)
(
1 +√—2)(
1 –√—2)
21 + √2
1 + √3 1 – √3
√2
√2 + 3 10
√—3 + √—2
1
√—3 – √—2 1
√—5 + 3 1
1 – √3
23 5 – √2 4
3 – √2 2
