Az) Algunos ejercicios con soluciones.

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(1)

1. Sean L1 la recta que pasa por P = (1,−4) y Q = (3,2) y L2 la recta X =λ(1,0) + (0,−1). Dar una ecuaci´on deL1y hallar L1∩L2

(2)

Ejercicios de la clase 2

1. Una empresa de remises cobra por cada viaje un cargo fijo m´as una suma por cada km recorrido. Por un viaje de 10 km cobra $ 70 y por otro de 13 km cobra $ 86.80. Hallar la expresi´on del costo de un viaje en funci´on de la distancia recorrida y determinar cu´antos kil´ometros tiene un viaje que cuesta $ 154.

(3)

1. Sean L la recta que tiene direcci´on (1,2,−1) y pasa por el punto P = (0,1,2) y Π el plano de ecuaci´onx+ 2y+z= 0.

Dar una ecuaci´on deLy encontrar el punto de Lque pertenece a Π.

2. Sean P = (1,5,−2), Q el punto donde la recta L : X = λ(1,2,−1) + (2,1,3) corta al planoxy yL0 la recta que pasa porP yQ.

Hallar las coordenadas del puntoQy dar una ecuaci´on param´etrica deL0.

(4)

Ejercicios de la clase 4

1. SeanL1 la rectaX =α(3,−4,0) + (9,−4,5) yL2 la recta paralela a L1 que pasa por el punto (9,3,5).

Dar la ecuaci´on de L2 y hallar la intersecci´on de L2 con el plano Π : 2x−y+ 3z= 0.

2. Un comerciante dispone de $50000 para la compra de tres productos A, B y C.

Una unidad de A cuesta $20 y una de B cuesta $25.

Con su presupuesto puede comprar hasta 1250 unidades de C.

Dar la ecuaci´on presupuestaria y, sabiendo que debe comprar 1000 unidades de A y 250 unidades de C, determinar cu´antas unidades de B podr´a com-prar.

3. Un consumidaor de dos productos A y B dispone de un presupuesto de $420.

Cada unidad del producto A cuesta $4 y la cantidad m´axima de unidades de B que puede comprar es 60.

(5)

Ejercicios de la clase 1

1. Sean L1 la recta que pasa por P = (1,−4) y Q = (3,2) y L2 la recta

X =λ(1,0) + (0,−1). Dar una ecuaci´on deL1y hallar L1∩L2.

• Soluci´on: Tomamos como vector direcci´on de L1 a Q−P y como

punto de paso aP. Luego,L1 tiene ecuaci´on param´etrica:

X =µ(2,6) + (1,−4) = (2µ+ 1,6µ−4)

Como buscamosL1∩L2, armamos el sistema que proviene de igualar

la primera coordenada de L1 con la primera coordenada de L2 y la

segunda con la segunda :

2µ+ 1 =λ (1) 6µ−4 =−1 (2)

De (2) tenemos queµ= 1/2. Reemplazando en (1): λ= 2. Usando por ejemplo la ecuaci´on deL2, como obtuvimosλ= 2 obtenemos que

la intersecci´on buscada es el puntoP = 2(1,0) + (0,−1) = (2,−1).

Respuesta: L1∩L2={(2,−1)}

2. SeaLla recta que pasa por los puntosA= (−2,4) yB= (1,3). Hallar el puntoP deLque tiene las dos coordenadas iguales.

• Soluci´on: Una ecuaci´on param´etrica deLes

L=λ(3,−1) + (−2,4)

Nos piden el punto de la recta que tiene las coordenadas iguales, luego, las calculamos y las igualamos:

3λ−2 =−λ+ 4

Despejando: λ= 3/2. EntoncesP = (3.32−2,−3

2+ 4) = ( 5 2,

5 2)

Respuesta: El punto deLque tiene las dos coordenadas iguales es (52,52)

Ejercicios de la clase 2

(6)

• Soluci´on : Si xes la cantidad de km recorridos, alo que cobra por cada km ybel costo fijo, entonces el costo del viaje en funci´on de los km recorridos es

y=ax+b

Usando los datos de los dos viajes armamos el sistema

70 =a.10 +b (1) 86.80 =a.13 +b (2)

Restando, tenemos que 16,80 = 3a, de donde a = 5,6. Reem-plazando en (1) tenemos que 70 = 56b, luego b = 14. El costo del viaje en funci´on de los km recorridos entonces es

y= 5,6x+ 14

Por ´ultimo, si realiza un viaje que le cost´o $154, tenemos que 154 = 5,6x+ 14. Si despejamosxtenemos quex= 25.

Respuesta: La expresi´on pedida esy= 5,6x+ 14

y en un viaje que cuesta $154 recorri´o 25 km.

2. Sean L1 : X = β(1,3,−2) + (0,−2,4) y los puntos A = (0,1,1) y B =

(−1,1,0). Dar una ecuaci´on de la rectaL2que contiene aAy aBy hallar

el punto de intersecci´on entreL1yL2.

• Soluci´on: Una ecuaci´on de la recta que pasa por A y B es X = α(B−A) +A. Luego, una ecuaci´on parem´etrica deL2 es

X=α(−1,0.−1) + (0,1,1

Igualando coordenada a coordenada, tenemos que

  

β=−α (1)

3β−2 = 1 (2) −2β+ 4 =−α+ 1 (3)

De (2) tenemos queβ= 1.

Reemplazando en (1) tenemos queα=−1.

Estos valores deα y β garantizan que son iguales las primeras dos coordenadas, veamos que pasa con las terceras.

Reemplazando en (3) tenemos que−2∗1 + 4 =−(−1) + 1 Como esta igualdad es v´alida, encontramos un punto que pertenece a ambas rectas. Para saber cu´al es, podemos usar la ecuaci´on de L1 o la de

L2. Usando la deL1 tenemos que

P = 1(1,3,−2) + (0,−2,4)

esto es,P = (1,1,2).

(7)

1. Sean L la recta que tiene direcci´on (1,2,−1) y pasa por el punto P = (0,1,2) y Π el plano de ecuaci´onx+ 2y+z= 0.

Dar una ecuaci´on deLy encontrar el punto de Lque pertenece a Π.

• Soluci´on: Una ecuaci´on param´etrica deLes

X =α(1,2,−1) + (0,1,2)(∗)

Luego, siX ∈Lentonces X= (α,2α+ 1,−α+ 2). Y siX ∈Π, entoncesα+ 2(2α+ 1)−α+ 2 = 0.

Depejando,α=−1. Reemplazando en(*), tenemos queP = (−1,−1,3).

Respuesta: El punto buscado esP= (−1,−1,3)

2. Sean P = (1,5,−2), Q el punto donde la recta L : X = λ(1,2,−1) + (2,1,3) corta al planoxy yL0 la recta que pasa porP yQ.

Hallar las coordenadas del puntoQy dar una ecuaci´on param´etrica deL0.

• Soluci´on: SiQ∈L, entonces

Q=λ(1,2,−1) + (2,1,3) = (λ+ 2,2λ+ 1,−λ+ 3)(∗)

Como queremos queQest´e en el planoxy, enotnces su tercera coor-denada debe ser 0. Luego−λ+ 3 = 0, de dondeλ= 3 Reemplazando en (*)tenemos queQ= (5,7,0).

Si L es una recta que pasa por P y Q,una ecuaci´on param´etrica es X = α(Q−P) +P. Reemplazando, tenemos que L : X = α(2,1,1) + (1,5,−2)

Respuesta: Q= (5,7,0) yL:X =α(2,1,1) + (1,5,−2)

3. Sean los planos Π1:x1−x3=−5, Π2:x2−5x3= 0,L1la recta dada por

Π1∩Π2 y L2 la rectaX =λ(1,5,4) + (−3,10,−4). Calcular L1∩ L2.

• Soluci´on: Si un puntoX est´a en L2es de la forma

X = (λ−3,5λ+ 10,4λ−4)(∗)

Si queremos que tambi´en est´e en

L1= Π1∩Π2:

x1−x3 = −5 (1)

x2−5x3 = 0 (2)

sustitu´ımos en este sistema cada xi por la coordenada correspondi-ente del puntoX∈L2.

Reemplazando en (1), tenemos que

(8)

de dondeλ= 2. Verificamos que este valor tambi´en hace v´alida (2):

5∗2 + 10−20∗2 + 20 = 0

Luego, reemplazando en (*) porλ= 2, tenemos que seP = (−1,20,4), entoncesL1∩L2={P}.

(Otra forma de resolver ser´ıa hallar una ecuaci´on parem´etrica deL1:

en el sistema que la define, de (2) tenemos que x2 = 5x3, y de (1)

tenemos que x1 = x3−5. Luego, si un punto est´a en L, es de la

formaX= (x3−5,5x3, x3). De ac´a, una ecuaci´on parem´etrica deL

esX =x3(1,5,1) + (5,0,0)

Ahora hay que igualar las coordenadas de L1 y deL2 y resolver el

sistema (esto es, hallar el valor de los par´ametrosλy x3). El valor

deλobtenido se reemplaza enL2 y se obtiene el punto buscado.)

Respuesta: L1∩L2={(−1,20,4)}.

Ejercicios de la clase 4

1. SeanL1 la rectaX =α(3,−4,0) + (9,−4,5) yL2 la recta paralela a L1

que pasa por el punto (9,3,5).

Dar la ecuaci´on de L2 y hallar la intersecci´on de L2 con el plano Π :

2x−y+ 3z= 0.

• Soluci´on: Una ecuaci´on parem´etrica deL2 es

X=α(3,−4,0) + (9,3,5)

ya que tiene la misma direcci´on deL1 y pasa por el punto (9,3,5).

SiX ∈L2 entonces

X= (3α+ 9,−4α+ 3,5))(∗)

Y siX ∈Π, entonces

2(3α+ 9)−(−4α+ 3) + 3∗5 = 0

Entonces 6α+ 4α+ 18−3 + 15 = 0, de dondeα=−3. Reemplazando en (*) tenemos que el punto buscado es (0,15,5).

2. Un comerciante dispone de $50000 para la compra de tres productos A, B y C.

Una unidad de A cuesta $20 y una de B cuesta $25.

Con su presupuesto puede comprar hasta 1250 unidades de C.

(9)

compra de los productos A, B y C respectivamente. La ecuaci´on presupuestaria es entonces

20x+ 25y+cz = 50000

dondeces el precio por unidad del producto C. Como lo m´aximo que se puede comprar de C se obtiene cuando no se compra nada de A y de B, resulta que si en la ecuaci´on presupuestaria ponemosx= 0 e y= 0, tenemos que

c∗1250 = 50000

de dondec= 40.

Por ´ultimo, si x = 1000 y z = 250, volviendo a usar la ecuaci´on preuspuestaria obtenemos que

20∗1000 + 25y+ 40∗250 = 50000

de dondey= 800.

Respuesta: La ecuaci´on presupuestaria es 20x+25y+40z=50000

Si compra 1000 unidades de A y 250 de C, podr´a comprar 800 unidades de B

3. Un consumidor de dos productos A y B dispone de un presupuesto de $420.

Cada unidad del producto A cuesta $4 y la cantidad m´axima de unidades de B que puede comprar es 60.

Hallar el valor de cada unidad del producto B y determinar la m´axima cantidad de unidades de A que puede comprar con ese presupuesto.

• Soluci´on: Sea x la cantidad de productos que compra de A e y la cantidad de productos que compra de B.La ecuaci´on presupuestaria es

4x+by= 420

dondebes el precio por unidad de B.

Como lo m´aximo de b que puede comprar es 60, hacemos x = 0 e y = 60 en la ecuaci´on presupuestaria y obtenemosb∗60 = 420, de dondeb= 7. Tenemos entonces que

4x+ 7y= 420

Para calcular la cantidad m´axima de A que puede comprar, hacemos y= 0 y tenemos que 4x= 420, de dondex= 105.

Respuesta: Cada unidad de B cuesta $7

El m´aximo de unidades de A que puede comprar es 105.

Muchas gracias al Profesor Luis Behemetiuk por la correcci´on de varios erro-res del perro-resente texto.

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