Capitulo 6

SAN LUIS POTOSÍ, MEXICO, NOVIEMBRE 2004

AMH

XVIII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA SAN LUIS POTOSÍ, NOVIEMBRE 2004

MODELO BIDIMENSIONAL PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DEL SEDIMENTO EN LA BIFURCACIÓN DE UN RÍO

Alejandro Mendoza Reséndiz

Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria [email protected]

RESUMEN

En este trabajo se resuelven las ecuaciones de flujo bidimensional con transporte de sedimentos con el esquema de diferencias finitas de MacCormack para determinar la manera como el trasporte de sedimento está cambiando la distribución de gastos a través del tiempo en una bifurcación.

DESARROLLO

La bifurcación se compone de 3 ríos, el de llegada antes de bifurcarse se denomina río M, al bifurcarse el que corre por la margen derecha se llama río C y el de la margen izquierda río S. El río C tiene un ancho menor que el del río S, sin embargo al paso del tiempo cada vez es más el gasto que circula por el río C. En este trabajo se realizaron simulaciones para dos posibles situaciones y determinar cuál de ellas es la que obliga a que el gasto que deriva por el río C esté aumentando con el tiempo.

La hidrodinámica de la bifurcación se obtiene al resolver el sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales que conforman las denominadas ecuaciones de Saint Venant para flujo bidimensional a superficie libre en aguas someras. Para simular la evolución del fondo a estas ecuaciones se les añade la de continuidad de transporte de sedimentos (1).

0

= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

y q x q t

z sx sy (1)

Donde

z Cota del fondo

qsx Transporte total del material del fondo en dirección del eje x, en m3/(m s) qsy Transporte total del material del fondo en dirección del eje y, en m3/(m s)

(

)

1/2 50 2 5 3 1 05 . 0 h d g u n qs − ∆ = (2) Donde

n Coeficiente de rugosidad de Manning , en s/m1/3 u Velocidad media, en (m/s)

∆ Densidad relativa de las partículas dentro del agua, adimensional

d50 Diámetro 50 del material del fondo, en m

h tirante, en m

Las ecuaciones hidrodinámicas y la de continuidad de transporte de sedimentos forman un sistema de cuatro ecuaciones en el cual las variables primitivas a determinar son el tirante, las velocidades en los ejes x y y, y la cota del fondo. Dicho sistema se presenta de manera vectorial en (3).

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 fy fx sy sx ghS ghS H y gh q hv huv hv y H x gh q huv hu hu x z vh uh h t (3)

A los términos vectoriales de (3) se les asignan los siguientes nombres:

(

)

T

z vh uh h

U=

(4a)

(

)

T sx q huv hu hu

E1= 2 _(4b)

(

)

T

H

E2= 0 0 0 _(4c)

(

)

T sy q hv huv hv

F₁= 2 _(4d)

(

)

T

H

F2= 0 0 0 _(4e) S=

(

0 −ghSfx −ghSfy 0

)

T _(4f)

Donde

h Tirante, en m

u Velocidad en la dirección del eje x, en m/s v Velocidad en la dirección del eje y, en m/s z Cota del fondo, m

H Nivel total de la superficie del agua, esta variable se obtiene de sumar la cota del fondo y el tirante (H = z + h), en m

Sfx pendiente de fricción en la dirección del eje x, adimensional Sfy Pendiente de fricción en el eje y, adimensional

Con lo anterior (3) puede reescribir como (5).

S F y F y E x gh E x U

t ∂ =

∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 1 2

1 (5)

Existen diferentes maneras de expresar las ecuaciones hidrodinámicas, en el modelo implementado para este trabajo se encontró que las ecuaciones anteriores proporcionan buenos resultados con el esquema de solución utilizado. La ecuación (5) se resolvió con el esquema de diferencias finitas de MacCormack, que es implícito y se descompone en una fase de predicción y otra de corrección. A continuación se describe brevemente la metodología.

ESQUEMA DE SOLUCIÓN

El esquema emplea operadores de diferencias hacia adelante y hacia atrás en las direcciones x y y, la manera como están definidos dichos operadores en la dirección x es la siguiente, donde

G

es una variable vectorial.

atrás

∇_x =G_i,j

−

G_i,j−1

(6a)

adelante

∆_x =Gi,j+1

−

Gi,j _(6b)

para el eje y los operadores son:

atrás

∇

_y

=

Gi,j

−

G_{i−1,j (7a)}

adelante

∆

_y

=

G _i+1,j

−

G _i,j

(7b)

La fase de predicción se determina con (8) y la de corrección con (9), el resultado para el tiempo

(n+1)∆t se obtiene de promediar los valores de predicción y corrección (10)

U *_i,j

=

U

( )

( )

(

)

(

( )

( )

)

n

i n j i y n j i n j i y n j i x n j i n j i x n j

i

F

gh

F

t

S

U *_i,*_j

=

U

( )

( )

(

)

(

( )

( )

)

* , * , 2 , * , 1 * , 2 * , * , 1

, y _ij ij

n j i j i y j i x j i j i x n j

i F gh F tS

y t E gh E x t ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ − (9)

(

**

)

, * , 1 , 2 1 j i j i n j

i U U

U + = +

(10)

En (8) y (9) la dirección de los operadores de diferencias deben alternarse entre una iteración y otra, entre cada intervalo de tiempo calculado.

CONDICIONES DE FRONTERA

En el dominio donde se resuelven las ecuaciones se tiene dos tipos de fronteras, las cerradas (paredes), y las abiertas, por las cuales está entrando o saliendo flujo al dominio de solución. En la referencia [3] se indica que hay diferentes formas de manejar las fronteras cerradas, aquí se emplea la denominada de

libre deslizamiento o pared reflejante, consiste en suponer que existe una celda con las mismas características hidráulicas del otro lado de la frontera, una representación de esto se tiene en la figura 1.

Las celdas que se encuentran junto a una frontera cerrada tiene ocho posibles estados referentes a ellas, tal como se muestra en la figura 2, en este caso los operadores de diferencias no se aplican directamente como se describió en el esquema, sino que tienen que evaluarse de acuerdo a la hipótesis de pared reflejante; en la tabla 1 se presentan los resultados de aplicar los operadores de diferencias a los ocho tipos de fronteras descritos, allí sólo se muestran resultados para

E

₁ y

F

₁. Para los términos

E

₂ y

2

F

los resultados de los operadores son cero.

Frontera cerrada (pared)

Celda ficticia Celda en la frontera v

u

u

-v

Figura 1: Manejo de una frontera cerrada empleando la hipótesis de pared reflejante

En el caso del sedimento se puede hacer algo similar, especificar una sedimentograma de entrada, sin embargo en la implementación realizada para este trabajo se considera que en las celdas de entrada no hay erosión ni depósito, por lo cual el sedimento que sale de la celda es el mismo que está entrando.

Y X Y X Y X Y X

(1) (2) (3) (4)

Y X Y X Y X Y X

(5) (6) (7) (8) Figura 2: Condiciones en las que una celda puede estar de acuerdo a las celdas cerradas

Tipo de celda Operación Resultado

1

∇

_y

( )

F_{1 i,j}

(

)

T

j i sy

q

huv

hv

,

2

0

2

2

2

∆

_y

( )

F

_{1 i,j}

(

)

T

j i sy

q

huv

hv

,

2

0

2

2

−

−

−

3

∇

_x

( )

E

_{1 i,j}

(

2hu 0 2huv 2q_sx

)

T_i,j

4

∆

_x

( )

E_{1 i,j}

(

−2hu 0 −2huv −2q_sx

)

T_i,j

( )

i j

x E1 ,

∇ Igual que en la celda tipo 3

5

_{( )}

j i

y F1 ,

∇ Igual que en la celda tipo 1

( )

_ij

x E1 ,

∆ Igual que en la celda tipo 4

6

_{( )}

j i

y F1 ,

∇ Igual que en la celda tipo 1

( )

i j

x E1 ,

∇ Igual que en la celda tipo 3

7

_{( )}

j i

y

F

1 ,

∆

Igual que en la celda tipo 2

( )

_ij

x E1 ,

∆ Igual que en la celda tipo 4

8

_{( )}

j i

y F1 ,

∆ Igual que en la celda tipo 2

Tabla 1: Operadores de diferencias en celdas con fronteras cerradas

En la frontera de salida se proporciona como dato el tirante por lo cual se conoce siempre hn+1 _y

SECUENCIA DE CÁLCULO:

1. Se calculan los valores de predicción

U

_i*_,j en todas las celdas activas de la malla empleando (8), en caso de que la celda a evaluar se encuentre junto a una frontera cerrada se emplean los resultados mostrados en la tabla 1.

2. Se evalúan las celdas en las fronteras abiertas con las consideraciones mencionadas anteriormente, en ellas no se determina un valor de predicción sino que directamente se determina el valor para el tiempo (n+1)∆t,

U

_in_,+_j1.

3. Se calculan los valores de corrección,

U

_i*_,*_j , con (9)

4. Con los valores

U

_i*_,j y

U

_i*_,*_j obtenidos se determina

U

_in_,j+1 utilizando (10).

Como no se conocen directamente las variables primitivas u y v en

U

_i,j

=

(

h

hu

hv

z

)

T , se obtienen de dividir entre h los valores hu y hv.

RESULTADOS DE LA MODELACIÓN

En las dos situaciones propuestas se simularon 30 días, las mallas fueron de 64 celdas en la dirección x

y 34 en la dirección y, cada celda es de 50x50m. El gasto es constante Q=600m3_{/s. A continuación se}

describen las dos situaciones.

En el río M el flujo viene cargado más hacia la margen izquierda, y por encontrarse en una curva la corriente llega con mayor fuerza al río C, tal como se puede ver en la figura 3.a, por lo tanto la corriente del río S es lenta y puede producir sedimentación y reducir su capacidad. Para esta simulación se dio la misma elevación de la superficie libre del agua en la frontera de salida tanto para el río C

como para el río S. Al inicio del cálculo el 51% del gasto proveniente del río M circulaba por el río C y 49% por el S, al final de los 30 días simulados el caudal del río C se redujo ya que sólo derivaba por él un 46% del gasto. Por lo tanto esta condición no es la que está aumentando el gasto que circula por el río C.

Otra situación es que el gradiente hidráulico en el río C sea mayor que en el S y esto favorezca en flujo por el primero. En la simulación realizada el nivel del agua en la salida del río C está 0.3m por debajo del nivel del agua en la salida del río S. En las condiciones iniciales el porcentaje del gasto proveniente del río M que deriva por el río C es 56 %, por el río S deriva el 44%. Al final de 30 días de simulación la distribución cambia a que por el río C circule un 62% del gasto de M y por el río S un 38%.

(a) (b)

Figura 3: Campos de velocidades para las dos situaciones modeladas.

Figura 4. Erosión en el cauce después de 30 días de simulación. La condición es que el gradiente hidráulico en el río C es más fuerte que en el S. En la escala la magnitud está en metros, los

valores negativos corresponden a erosión y los positivos a sedimentación.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

[1] Chaudhry M. H. (1993) Open channel flow. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [2] García R. and Kahawita, R. A. (1986) Numerical Solution of the Saint-Venant equations with the MacCormack Finite–Difference Scheme. International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 6, pp. 259 – 274

[3] Jiménez A. A. (2000) Cálculo de Flujo Bidimensional horizontal con coordenadas curvilíneas generales. Tesis de doctorado. DEPFI-UNAM

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XVIII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA SAN LUIS POTOSÍ, NOVIEMBRE 2004

CÁLCULO DE CORRIENTES MARINAS INDUCIDAS POR EL OLEAJE

Óscar A. Fuentes Mariles, Abraham A. Ávila Licona y Faustino de Luna Cruz

Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510, México, D.F. Fax: (52-5) 616 2164 [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMEN

El oleaje al acercarse a las costas sufren modificaciones por refracción, difracción y reflexión. Sobre las costas induce corrientes marinas y el nivel medio del mar cambia. La distribución de velocidades en el plano vertical no es apreciable y dada la complicación para tratar este fenómeno se puede estudiar en dos dimensiones (2-D) promediando las velocidades en la vertical. El cálculo de la velocidades y las corrientes esta regido por las ecuaciones de continuidad y las de conservación de movimiento en dos direcciones perpendiculares horizontales.

Se hizo la aplicación del modelo matemático en Playa Mujeres, municipio de Isla Mujeres, localizada en la parte noreste de la península de Yucatán, en el estado de Quintana Roo, frente al mar y se compararon con mediciones obtenidas en el lugar.

Dada la poca altura del oleaje se encontraron que las velocidades son pequeñas (entre 0.02 y 0.20 m/s), valores similares a los calculados con el modelo matemático.

ANTECEDENTES

El oleaje cercano a la costa induce corrientes marinas y el nivel medio del mar sufre modificaciones en sus características. La distribución de velocidades en el plano vertical no es apreciable y dada la complicación para tratar este fenómeno se han desarrollado modelos en dos dimensiones (2-D) modificando valores promediados en la vertical. Estos están regidos por tres ecuaciones fundamentales; la de continuidad y las de conservación de movimiento en dos direcciones perpendiculares horizontales, éstas últimas describen el movimiento del oleaje, ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente.

( ) ( )

₌₀

∂ ∂ + ∂ ∂

y Vd x

Ud

₍₁₎

sx bx x

bx L R R

F x g y V V x U

U + + + +

∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂

sy by y

by L R R

F y g y V V x U

U + + + +

∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂

∂ η

₍₃₎

donde

U es la velocidad promedio en la vertical de la corriente transversal a la línea de costa.

V es la velocidad promedio en la vertical de la corriente paralela a la línea de costa.

by

bx F

F , son los componentes de la fricción de fondo en las direcciones, transversal y paralela a la costa.

by

bx R

R , son los componentes de la fuerza debido al oleaje en las direcciones, transversal y paralelo a la costa.

sy

sx R

R , son los componentes de la fuerza inducida por el viento en las direcciones, transversal y paralelo a la costa.

FUNDAMENTOS

Aunque el oleaje de la teoría lineal no origina transporte de masa; existe una variación espacial de la cantidad de movimiento que da lugar a corrientes y cambios de la elevación media del mar. Para resolver las ecuaciones básicas de las corrientes de la teoría lineal se requieren algunas condiciones de frontera e iniciales.

CONDICIONES DE FRONTERA

Para encontrar el potencial

φ

y la presión

p

que cumplen con las ecuaciones de Laplace y la ecuación de Bernoulli se requieren de tres condiciones de frontera; condición de fondo, condición cinemática para la superficie libre y condición dinámica para la superficie libre

.

CONDICIÓN DE FONDO

Para dicha condición se considera que el fondo marino se encuentra en función de

x

y y, es decir;

( )

x y h

z=− ,

(4)

CONDICIÓN CINEMÁTICA PARA LA SUPERFICIE LIBRE DEL AGUA

Para la superficie libre, figura 1, se propone;

(

x

y

t

)

z

=

ς

,

,

₍₅₎

CONDICIÓN DINÁMICA PARA LA SUPERFICIE LIBRE DEL AGUA

Se encuentra descrita por la ecuación de Bernoulli, donde para la superficie libre resulta quep=0 y

ς

=

z de tal forma que se encuentra definida por:

(

)

0

2

1 _{∇ ⋅∇ + =}

+ ∂

∂

φ

_φ

_φ

_ς

g

t

(6)

ECUACIONES QUE DESCRIBEN LAS CORRIENTES MARINAS

Las ecuaciones fundamentales que describen las corrientes que se inducen debido al oleaje se deducen de dos ecuaciones fundamentales que describen el movimiento de los fluidos como lo son: La ecuación de conservación de masa (ecuación de continuidad) y la ecuación de cantidad de movimiento

(ecuaciones dinámicas) las cuales deben ser integradas respecto a la profundidad.

Para ello se considera la regla de Leibnitz (Protter y Morrey, 1964) para la derivada bajo el signo de la integral, la cual establece que para una función

f

( )

z

,

α

y

−

h

≤

α

≤

ς

se cumple;

( )

(

)

α α α

ς α ς α α

ς ς

∂ ∂ − − ∂ ∂ + ∂

∂ = ∂

∂

∫

∫

− −

h h f f

dz f fdz

h h

,

,

(7)

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

( )

( )

=0

∂ ∂ + ⋅

∇ ρ ρ

t

v

(8)

Al desarrollar el operador nabla en coordenadas cartesianas, realizar la integración de dicha ecuación con respecto a la profundidad y aplicar la regla de Leibnitz a cada uno de los sumandos se obtiene;

( )

(

)

(

)

t h t t h t t fdz t dz t h h ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ − − − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

∫

− − ς ρ ς ρ ς ρ ς ρ ς ρ ρ ς ς

(9)

∫

∫

− − = = − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ς ς ς ρ ς ρ ρ ρ h h z z h x h u x u udz x udz

x

(10)

∫

∫

− − = = − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ς ς ς

ρ

ς

ρ

ρ

ρ

h h z z h y h v y v vdz y vdz

y

(11)

donde;

ς

= z

u y u_z=−hes la velocidad en la dirección

x

en la superficie libre y en el fondo respectivamente

ς

= z

v

y v_z=−_h es la velocidad en la dirección y en la superficie libre y en el fondo respectivamente

Considerando las condiciones de frontera para el fondo y cinemáticas de la superficie libre y finalmente simplificando se tiene;

(

)

=0

∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂

∫

∫

− − ς ς ρ ρ ς ρ h h vdz y udz x h

t

(12)

El interés que atañe es el valor promedio en el tiempo, se considera éste para cada término de la expresión anterior la cual se expresa de la siguiente manera

(

)

=0

∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂

∫

∫

− − ς ς

ρ

ρ

ς

ρ

h h vdz y udz x h

t

(13)

Se considerará que las velocidades

u

y

v

representan una velocidad media de flujo U y V más una debida al oleaje u' y v' es decir;

'

u

U

u

=

+

y

v

=

V

+

v

'

(14)

(

)

(

'

)

(

+ '

)

=0 ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂

∫

∫

− − ς ς ρ ρ ς ρ h h dz v V y dz u U x h

t

(15)

Para obtener los valores promedio también se emplea la regla de Leibnitz, solo que ahora las derivadas de los límites de integración son nulas, ya que la del período

T

respecto a

t

es cero, y por lo tanto en este caso equivale a intercambiar los operadores derivada e integral

.

(

)

(

)

(

)

(

h

)

t dt h T t dt h t T h t T T + ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + ∂ ∂

∫

∫

ρς ρς ρς

ς ρ

0 0

1

1

₍₁₆₎

Se debe notar que debido a la corriente y al oleaje el promedio temporal de

ς

no es nulo. Finalmente realizando algunos pasos algebraicos y simplificaciones se obtiene la ecuación de conservación de la masa integrada en la vertical.

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ ₊

)

₌0

∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ y y x

x M M

y M M x h

tρς

(17)

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOVIMIENTO

Para este análisis considérese las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento en dos direcciones

x

y y cuya función potencial es Ω=−gz, las cuales pueden ser expresadas de la siguiente forma;

(

2

)

( )

(

)

₌0

∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ _uw z uv y u p x u

tρ ρ ρ ρ

(18)

y

( )

(

2

)

(

)

=0

∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ vw z v p y uv y v

tρ ρ ρ ρ

(19)

Estas ecuaciones deben ser integradas con respecto a la profundidad, análisis similar al de la ecuación de conservación de masa para finalmente obtener las siguientes ecuaciones;

Para la dirección x

(

x xx

)

(

y xy

)

x vx fx

x UM S T

y S M U x M

t ∂ + = +τ −τ

∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{~ ~~ ~~}

(20)

(

x yx

)

(

y yy

)

y vy fy

y VM S T

y S M V x M

t ∂ + = +τ −τ

∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{~ ~~ ~~}

(21)

Donde los términos S_xx y S_xy son conocidos como esfuerzos de radiación, los cuales se encuentran relacionados con el flujo de cantidad de movimiento.

De acuerdo a la idea anterior donde cada uno de los sumandos de las ecuaciones 20 y 21 corresponden a un esfuerzo, se considera que la acción del viento sobre la superficie libre del agua agrega el esfuerzo tangencial (

τ

_vx y

τ

_vy) además que el rozamiento con el fondo del mar causa un esfuerzo (

τ

_fx y

τ

_fy) que se opone al movimiento, por tal razón a éste se le antecede un signo negativo.

Los términos T_x y

T

_y físicamente representan a la fuerza horizontal por unidad de área que levanta la superficie libre del agua

ς

.

Al emplear algunos términos y definiciones basados en la teoría lineal se tiene la ventaja de hacer algunos términos nulos de las ecuaciones de movimiento de los fluidos, lo que permite finalmente expresar éstas basadas en dicha teoría, las cuales se muestran a continuación;

(

)

(

+

)

=0

∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ h V y h U x

tς ς ς

(22)

(

)

(

)

(

vx fx

)

xy xx h y S x S h x g y V U x U U t

U _{τ τ}

ς ρ ς ρ ς ₋ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ 1 1

(23)

(

)

(

)

(

vy fy

)

yy xy h y S x S h y g y V V x U V t

V _{τ τ}

ς ρ ς ρ ς ₋ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ 1 1

₍₂₄₎

La solución numérica de las ecuaciones 22 (ecuación de continuidad), 23 y 24 (ecuaciones de conservación de movimiento) permite conocer las corrientes inducidas por el oleaje. En ella se emplean celdas rectangulares de distintos tamaños ubicando en el centro de éstas a la elevación de la superficie libre del agua y en los extremos a la velocidad del agua en las direcciones

x

y

y

, figura 2.

Figura 2 Ubicación de variables independientes.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

5.5 5 15 55 45 7.5 5 2.5 0 13

10 2025

40

35

30 10095

60 85 80 75 70 65 90 4.5 14 2 5 2.5 0 22 21 20 23 25 24 15 13 12 14 5 11 17 5 5 4 3.5 6.5 5.5 4 7.5 7 6 5 6.5 7 6.5 6 4.5 3 2.5 5. 5 5 6.5 5.5 4.5 4 6 7.5 7 4.5 4 6.5 5. 5 2 10 8 7.5 7 7.5 6.5 6 14 15 8.5 12 0 7 16 11 8 32.5 1.5 3 0 14 7.5 18 13 5 17 1819 19 Punta Cancún Cancún Playa Gaviota Punta Nizuc Laguna de Nichupte Playa Chac- Mool

Pue rto de AbrigoLaguna

MakaxLagu na Salina gra nde

Aerop ue rto

Laguana Salina Playa Tortuga Playa Ancha Puerto Juárez El Meco (ru inas) Muelle del Tra nsbo rd ador

Roca La Carbonera Se ctor N aval Estació n de Microon das

Punta Sam

Figura 3. Batimetría calculada de la zona en estudio

Se hizo la aplicación del modelo matemático a Playa Mujeres, municipio de Isla Mujeres, localizada en la parte noreste de la península de Yucatán, en el estado de Quintana Roo, frente al mar Caribe, entre los 86° 48’ de longitud oeste y los 21° 4’ de latitud norte.

Se consultaron portulanos de la zona en estudio y se obtuvo la batimetría de la zona, aproximadamente 200 km², la cual se muestra en la figura 3.

El oleaje proviene principalmente de la dirección E, NE y SE con altura media de 1.50 m en mar profundo. Cerca de la línea de costa, la altura de oleaje es del orden de 0.30 m.

La arena de la playa esta constituida por material mal graduado con D60 = 0.45 mm y γs = 2450 kg/m³.

Este resultado se obtuvo del análisis granulométrico de varias muestras tomadas en sitios diferentes del predio de interés

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104105 106 107 108 128 129130 131 132 133 134135 136 137 138139 140 141 142 143144 145 146 147 148149 150 151 152 153154 155 156 157 158159 160 161 162 182 183184 185 186 187 188189 190 191 192193 194 195 196 197198 199 200 201 202203 204 205 206 207208 209 210 211 212213 214 215 216 236 237238 239 240 241 242243 244 245 246247 248 249 250 251252 253 254 255 256257 258 259 260 261262 263 264 265 266267 268 269 270 290 291292 293 294 295 296297 298 299 300301 302 303 304 305306 307 308 309 310311 312 313 314 315316 317 318 319 320321 322 323 324 344 345346 347 348 349 350351 352 353 354355 356 357 358 359360 361 362 363 364365 366 367 368 369370 371 372 373 374375 376 377 378 398 399400 401 402 403 404405 406 407 408409 410 411 412 413414 415 416 417 418419 420 421 422 423424 425 426 427 428429 430 431 432 452 453454 455 456 457 458459 460 461 462463 464 465 466 467468 469 470 471 472473 474 475 476 477478 479 480 481 482483 484 485 486 506 507508 509 510 511 512513 514 515 516517 518 519 520 521522 523 524 525 526527 528 529 530 531532 533 534 535 536537 538 539 540 560 561562 563 564 565 566567 568 569 570571 572 573 574 575576 577 578 579 580581 582 583 584 585586 587 588 589 590591 592 593 594 614 615616 617 618 619 620621 622 623 624625 626 627 628 629630 631 632 633 634635 636 637 638 639640 641 642 643 644645 646 647 648 668 669670 671 672 673 674675 676 677 678679 680 681 682 683684 685 686 687 688689 690 691 692 693694 695 696 697 698699 700 701 702 722 723724 725 726 727 728729 730 731 732733 734 735 736 737738 739 740 741 742743 744 745 746 747748 749 750 751 752753 754 755 756 776 777778 779 780 781 782783 784 785 786787 788 789 790 791792 793 794 795 796797 798 799 800 801802 803 804 805 806807 808 809 810 830 831832 833 834 835 836837 838 839 840841 842 843 844 845846 847 848 849 850851 852 853 854 855856 857 858 859 860861 862 863 864 884 885886 887 888 889 890891 892 893 894895 896 897 898 899900 901 902 903 904905 906 907 908 909910 911 912 913 914915 916 917 918 938 939940 941 942 943 944945 946 947 948949 950 951 952 953954 955 956 957 958959 960 961 962 963964 965 966 967 968969 970 971 972 992 993994 995 996 997 998999 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080

ISLA MUJERES PUNTA

SAM

PUNTA CANCUN

Figura 4. Numeración de celdas cuadradas de 500m

En la figura 4 se muestra la numeración de celdas cuadradas de 500 m de las cuales se presentaron los resultados del cálculo de corrientes

A manera de ejemplo se muestra en la tabla 1 los valores de velocidades estimado con el modelo matemático propuesto en el Instituto de ingeniería de la UNAM, para una dirección predominante Este, Ho=0.375m y T=5 s.

NUM. CELDA u v mod V NUM. CELDA u v mod V

Tabla 1. Dirección predominante Este, Ho=0.375m y T=5 s.

u componente horizontal en dirección norte de la velocidad de la corriente en m/s

v componente horizontal en dirección este de la velocidad de la corriente en m/s

mod v = _u2_+v2 _{magnitud de la velocidad en m/s}

CONCLUSIONES

Para la revisión, diseño y operación de las estructuras marítimas es importante determinar el oleaje que incide en ellas y las corrientes que éste induce. En la literatura técnica se encuentran modelos en dos dimensiones (2-D) que abordan este fenómeno bajo una serie de hipótesis difíciles de cumplir. Por esta razón en el Instituto de Ingeniería, UNAM, se elaboró un modelo numérico para calcular la propagación de las olas tomando en cuanta al mismo tiempo a la refracción, difracción y reflexión empleando una matemática sencilla.

Dada la poca altura del oleaje y el equilibrio en duración de las direcciones predominantes del oleaje frente a Playa Mujeres, las velocidades de las corrientes medidas son pequeñas (entre 0.02 y 0.20 m/s), con el modelo matemático aplicado para el oleaje más persistente en la zona de estudio a lo largo del año se encontraron velocidades similares a las medidas.

REFERENCIAS

1. Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publication, Inc., New York, 1972

2..Horikawa, K., Nearshore Dynamics and Coastal Processes, University of Tokyo Press, Japan, 1988

AMH

XVIII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA SAN LUIS POTOSÍ, NOVIEMBRE 2004

DESCRIPCIÓN Y VALIDACIÓN DE UN MODELO LINEAL ELÍPTICO DE TRANSFORMACIÓN DEL OLEAJE

Evelyn Martínez García, Edgar G. Mendoza Baldwin y Rodolfo Silva Casarín

Instituto de Ingeniería, UNAM, Cd. Universitaria [email protected]

RESUMEN

El aprovechamiento de los recursos costeros en diversas actividades requiere de la construcción de obras de protección. De entre todos los agentes que pueden tomarse en cuenta para la planeación de este tipo de proyectos, el oleaje juega uno de los principales roles, ya que pequeños cambios en la altura de ola de diseño generan variaciones importantes en las dimensiones y vida de dichas obras. En un caso ideal, previo a la construcción de una obra marítima, se debe contar con información suficiente como para caracterizar el oleaje local, sin embargo, en muchos casos se cuenta con pocos o nulos datos de oleaje. Este trabajo atiende dicha necesidad ya que provee las bases para la implementación, en una computadora personal, de un modelo de predicción de ondas gravitacionales que se propagan desde mar adentro hacia la costa. Este modelo ha sido desarrollado poniendo especial atención a la precisión de los cálculos en las fronteras del dominio, ya que al ser de tipo diferencial parcial elíptica, cualquier reflexión numérica afectaría en forma sensible a la solución final. Los resultados que se obtuvieron, se compararon con una serie de casos en los que se cuenta con solución analítica y experimental conocida. En este trabajo se presenta la comparación del modelo desarrollado con un modelo experimental realizado por Berkhoff (1982), de donde se concluye que el modelo presentado representa adecuadamente la transformación del oleaje en los casos de interacción con diferentes tipos de estructuras, fondo variable y presencia de bajos. Los fenómenos que se logran simular son el someramiento, la refracción y la difracción del oleaje.

INTRODUCCIÓN

La escasez de datos de oleaje y la necesidad de caracterizar las condiciones de una localidad, previo a la construcción de alguna obra, son los principales motivos para optar por el uso y desarrollo de herramientas de modelación matemática. De ahí que se requiera contar con modelos que ofrezcan resultados lo más cercanos a la realidad y que resulten computacionalmente eficientes. Actualmente se cuenta con modelos parabólicos, elípticos e hiperbólicos que representan la propagación del oleaje, pero por diversas razones no generan resultados lo suficientemente confiables o no son prácticos para cualquier usuario.

ruido numérico que se genera cuando se consideran contornos abiertos. Los resultados se comparan con casos en que la solución analítica es conocida.

ECUACIÓN DE GOBIERNO

El oleaje que se aproxima a la costa sobre un fondo cuya profundidad cambia lentamente, sufre transformaciones debidas a los procesos de refracción, difracción, reflexión, someramiento, presencia de corrientes y disipación de energía por turbulencia, fricción de fondo y rotura. Este fenómeno está gobernado por la ecuación de Laplace y las condiciones de frontera apropiadas. Como consecuencia existe una variedad de simplificaciones; una de las cuales consiste en eliminar la coordenada vertical integrando en la profundidad. El resultado de este procedimiento es la llamada ecuación de la pendiente suave (MSE) derivada por primera vez por Berkhoff (1972).

Un avance en este sentido lo presentaron Chamberlain y Porter (1995), quienes desarrollaron la llamada ecuación modificada de la pendiente suave, la cual, al considerar los términos de segundo orden que despreciara Berkhoff (1972), representa con mayor precisión la propagación del oleaje en presencia de batimetrías complicadas con variaciones de la pendiente del fondo muy abruptas.

La ecuación modificada de la pendiente suave es una diferencial de tipo elíptico y ha sido resuelta como un problema de valores en la frontera. Silva et al. (2002a) y Silva et al. (2002b) presentaron el desarrollo de la ecuación de pendiente suave la cual retiene todos los términos de segundo orden y mostraron que el modelo es válido para pendientes del fondo, permeable o impermeable, muy peraltadas. Dicha ecuación es:

(

)

(

(

2

)

( )

)

1 1 0

h I h i W I r h

∇ ⋅ ∇ φ + k − σ + φ = (1)

donde: W es el término disipativo, σ representa frecuencia angular, T elperiodo y HB la altura de ola

de rotura.

Para simplificar la implementación numérica, es conveniente escribir la ecuación (1) en la forma del Helmholtz, como

2 2

₀

h

ψ

K

c

ψ

∇

+

=

(2)

donde

( )

1/ 2 1

I

ψ

=

φ

y

₍

₎

2

1

2 2

1 1

( ) c

I r h

K i W

I I

σ ∇

= k + + −

CONDICIONES DE FRONTERA

permite la radiación al infinito del oleaje perturbado desde el dominio de cálculo. Mientras que, en sus extremos, la condición de frontera parcialmente reflejante alcanza las condiciones de totalmente reflejante y completamente absorbente.

En este modelo, al menos una frontera es tratada como una condición abierta y de profundidad constante y el resto de las fronteras pueden ser tratadas de cualquier forma. La batimetría a los lados y fuera de la zona de estudio varía sólo en la dirección principal de propagación del oleaje.

A continuación se presentan las condiciones de frontera generalizadas:

• Condición de frontera abierta

2 3

1 2

0 2 2 2

2

cos

;

c l l l

c c

a

a

iK a

ik

en

frontera y

y

K

x

K

y x

ψ

⎛

_ψ

ψ

ψ

⎞

_ψ

_θ

∂

_{= ±}

₊

∂

₊

∂

₊

_±

⎜

⎟

∂

_⎝

∂

∂ ∂

_⎠

y

2 3

1 2

0 2 2 2 2 cos ;

c l l l

c c

a a

iK a ik en frontera x

x K y K x y

ψ

⎛

_ψ

ψ

ψ

⎞

_ψ

_θ

∂ _{= ± +} ∂ ₊ ∂ _{+ ±}

⎜ ⎟

∂ _⎝ ∂ ∂ ∂ _⎠

• Condición de frontera parcialmente reflejante

2 2

1 2

0 2 2 2 2

;

c

c c

a

a

iK a

en

frontera x

x

K

y

K

x

y

ψ

_γ

⎡

⎛

_ψ

ψ

⎞

⎛

ψ

⎞

⎤

∂

₌

₊

∂

₋

∂ ∂

₊

⎢

⎜

⎟

⎜

⎟

⎥

∂

_⎣

_⎝

∂

_⎠

∂

_⎝

∂

_⎠

_⎦

y

2 2

1 2

0 2 2 2 2

;

c

c c

a

a

iK a

en

frontera y

y

K

x

K

y

x

ψ

_γ

⎡

⎛

_ψ

ψ

⎞

⎛

ψ

⎞

⎤

∂

_{= ±}

₊

∂

₋

∂ ∂

_±

⎢

⎜

⎟

⎜

⎟

⎥

∂

_⎣

_⎝

∂

_⎠

∂

_⎝

∂

_⎠

_⎦

DESCRIPCIÓN DEL MODELO

El programa cuenta con un modulo de preproceso, programa 1, el cuál está diseñado para que a partir de unas condiciones iniciales e información batimétrica del área en estudio, se construya una base de datos con todas las condiciones iniciales.

La información necesaria para ejecutar los programas se introduce a través de ficheros de entrada y los resultados se escriben en varios archivos de salida.

Ambos programas tienen la opción de resolver casos individuales o una serie de casos. En la situación de resolver múltiples casos, además de los ficheros de condiciones generales, es necesario escribir otro fichero que contenga la lista de casos a ejecutarse.

El método empleado para la solución del modelo es el método de Gauss con pivoteo parcial y almacenamiento en disco duro de submatrices de cálculo, el cual describe Martínez (2004) y resultó ser bastante robusto y eficiente en términos de tiempo, precisión y consumo de recursos computacionales.

CASO DE VALIDACIÓN

Este ejemplo tiene como objeto estudiar el comportamiento del modelo en casos con fondo variable y resulta especialmente útil debido a la presencia de una obstrucción al flujo que genera un importante efecto de difracción. Con este fin se emplea la batimetría de laboratorio utilizada por Berkhoff (1982), y se comparan los datos experimentales con los resultados del modelo propuesto. Dicha batimetría consiste en un bajo elíptico situado sobre un fondo impermeable con pendiente 1:50, como se muestra en la figura 1. La altura de ola incidente es de 0.0464m, el periodo de 1s y un ángulo de incidencia normal a la playa.

Figura 1. Esquema del modelo experimental de Berkhoff

Para este caso, que tiene 25m de largo (sentido de propagación) y 20m de ancho, se construyó una malla de cálculo de 200 por 250 celdas, por lo que ∆x = ∆y = 0.1m.

Figura 2. Altura de ola adimensional en la batimetría de Berkhoff

Para validar el resultado del modelo elíptico con las mediciones de laboratorio de Berkhoff (1982), se realizaron 8 cortes, los primeros 5 en sentido perpendicular y los otros 3 paralelos a la dirección de propagación. La ubicación de los cortes se presenta en la figura 3.

+

Figura 3. Representación gráfica de los cortes longitudinales y transversales

a) Corte 1 b) Corte 2.

c) Corte 3. d) Corte 4.

e) Corte 5. f) Corte 6.

g) Corte 7. h) Corte 8.

Es notorio que los resultados que ofrece el modelo propuesto presentan un pequeño error respecto de las mediciones en laboratorio, sin embargo, representan bastante bien la forma de las ondas y el valor de las amplitudes no es muy lejano al que se tuvo como producto de mediciones en laboratorio.

En todo caso y dada la magnitud del error, el modelo representa adecuadamente un caso con fondo variable y efecto de difracción importante. Adicionalmente, es importante mencionar que en este caso, a las fronteras laterales se les asignó un coeficiente

γ

=

0.5

, con lo que se logró representar las condiciones del laboratorio.

Para realizar una validación confiable del modelo se desarrollaron otras comparaciones con casos donde se conocía su solución analítica o la medida en laboratorio, los cuales representan la presencia de diferentes fenómenos tales como: difracción, someramiento y refracción; con diferentes formas de las condiciones de frontera. En todos los casos el modelo se apega adecuadamente a soluciones conocidas.

CONCLUSIONES

• El modelo aquí presentado ofrece excelentes resultados en comparación con soluciones analíticas y experimentales, en lo que se refiere a fondo plano y variable, así como a los casos de resonancia en puertos y presencia de obstáculos que generan difracción importante.

• El estudio detallado de las condiciones de frontera permite mejorar ampliamente los resultados que ofrecen los modelos elípticos de propagación de oleaje, ya que son muy sensibles a la generación de reflexión numérica, la cual se propaga como oscilaciones rápidas hacia el interior del dominio. Es de gran importancia hacer un uso óptimo de los recursos computacionales con que se cuenta, ya que una adecuada elección de las metodologías de solución y manejo de datos puede favorecer la solución de problemas más complejos sin la necesidad de grandes equipos. La utilización del método de Gauss con pivoteo parcial y almacenamiento en disco duro de submatrices de cálculo, es bastante robusto y eficiente en términos de tiempo, precisión y consumo de recursos computacionales.

• La implementación numérica de la ecuación modificada de pendiente suave, con las condiciones de frontera utilizadas, constituye un avance en el estado del arte para la modelación de fenómenos tan complejos como son: la reflexión, difracción, someramiento, refracción y disipación por rotura y fricción de fondo.

BIBLIOGRAFÍA

Berkhoff, J. (1972). Computation of combined refraction-difraction. Proc. 13th. Internacional Conference on Coastal Engineering, ASCE., Vancouver, Canada.

Martínez E. (2004), Modelo lineal elíptico de transformación del oleaje. Tesis para obtener el grado de Maestro. Universidad Nacional Autónoma de México. México, D.F.

Silva, R., P. Salles, et al. (2002a). “Extended solution for waves travelling over a rapidly changing porous bottom.” Ocean Engineering Vol. 30.: pp. 437-452.

AMH

XVIII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA SAN LUIS POTOSÍ, NOVIEMBRE 2004

ALGUNAS VELOCIDADES MEDIAS DE IMPORTANCIA EN HIDRÁULICA FLUVIAL

José Antonio Maza-Álvarez

Gerente de Estudios de Ingeniería Civil, Comisión Federal de Electricidad Profesor del Posgrado de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

Apartado Postal 70292, 04510 México, D.F., México [email protected]

RESUMEN:

Se muestran las dificultades que existen para determinar la condición crítica de inicio de movimiento de partículas. Por otra parte, y con muy pocos datos disponibles, se presentan las ecuaciones para valuar las condiciones hidráulicas que permiten poner el material del fondo en suspensión y se comparan esos valores con los correspondientes a la condición crítica. Por último, se muestran algunos criterios para conocer el inicio de la erosión en pilas de puente que, a final de cuentas, es función de la velocidad crítica. Debido al empirismo de la Hidráulica Fluvial dichas dificultades dan lugar a un número muy grande de ecuaciones para valuar alguna de condiciones anteriores, sin tener la certeza de cuál es la verdadera. El criterio más aceptado hasta el momento es el de Shields, para valuar el esfuerzo cortante crítico, ya que desde que fue presentado en 1936 ha sido el más utilizado.

La utilidad de la comparación es conocer las diferencias entre los criterios presentados, ya que las velocidades mencionadas son tomadas en cuenta en el transporte de sedimentos, en la determinación de la erosión de avenidas y de la erosión por contracción, así como en el diseño de la protección de pilas con enrocamiento.

1. CONDICIÓN CRÍTICA DE MOVIMIENTO

Existe un problema serio en la determinación de la condición crítica del movimiento de las partículas al ser estudiada en el laboratorio; y consiste en que no hay un criterio único para definir esa condición crítica, ya que diferentes autores establecen en sus experimentos cualesquiera de las siguientes condiciones: 1) Cuando las partículas empiezan a oscilar; 2) Cuando se mueve la primera partícula; 3) Cuando varias partículas se mueven y desplazan hacia aguas abajo; 4) Cuando existe un movimiento generalizado en las partículas de fondo, pero el transporte de sedimentos en la capa de fondo es muy reducido; y 5) Cuando al estudiar el transporte de sedimentos se extrapolan los datos hasta alcanzar el punto en que el transporte en la capa de fondo es nulo. Por otra parte, la mayoría de las observaciones que se han hecho para determinar la condición crítica del movimiento se ha realizado con fondo plano.

desplazamiento), la máxima (velocidad que mueve varias partículas), y por último una velocidad media entre las dos anteriores. Las relaciones entre las tres velocidades, según lo indicó Samov en 1954 (Stelczer, 1981), son: Ucmedia=1.2Ucmín y además Ucmáx =1.3Ucmedia=1.56Ucmín. La mayoría de los investigadores de otros países consideran como velocidad media crítica a aquélla que produce el movimiento de algunas partículas y por tanto proponen una sola ecuación para la determinación de la velocidad media crítica, pero no se tiene la certeza de que ese criterio haya sido el usual para todos los investigadores. Según Stelczer, cuando un autor propone una única ecuación para determinar la velocidad media crítica, ésta se asemeja más a la condición media de los autores exsoviéticos. Conviene tener en mente que la hidráulica fluvial es un conocimiento casi exclusivamente empírico, y por ello para valuar cualquier variable o para resolver algún problema de hidráulica fluvial existen varios criterios. Por ello, a continuación se mostrarán algunas fórmulas de las muchas que existen, para encontrar la velocidad media crítica en una vertical, a saber:

1. Ecuación de Garde (1970), véase Garde et al. (1985)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = 217 . 0 5 . 0 1830 Ln D d D g

Uc

(1)

2. Ecuación de Maza-Álvarez y García-Flores (1978);

(

)

0.5 0.15

501 . 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = D d D g

Uc (2)

Las ecuaciones anteriores se aplican a flujos con pared hidráulicamente rugosa.

3. Ecuación en función del esfuerzo cortante. La velocidad media crítica se puede obtener también en función del esfuerzo cortante crítico. Igual que para la velocidad media crítica también existe una gran cantidad de ecuaciones propuestas para obtener el esfuerzo cortante crítico, pero en este trabajo se hará intervenir únicamente al esfuerzo cortante crítico, según Shields (1936). La velocidad crítica para cualquier condición hidráulica de la pared, a partir de la ecuación de Fuentes y Carrasquel (1978).

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

=2.5 * Ln exp 0.4B 1

en que

ν γ

τ c s

c c c k U R g

U ; *.

* 5 . 0 * ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Para D*≤333

Para

D

*

>

333

(

s

)

D

c

γ

γ

τ

=0.06 −

en que 3 1 2 * ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

ν

g D D

En las ecuaciones presentadas el significado de las variables es el siguiente:

U

_c velocidad media crítica, en la vertical, en

m

s

; d profundidad del flujo, en

m

; D diámetro de las partículas, en m;

g

aceleración de la gravedad, en

m

s

2 ;

∆

densidad relativa de las partículas sumergidas, se obtiene de la relación

∆

=

(

γ

_s

−

γ

)

/

γ

;

γ

_s

y

γ

peso específico de las partículas del sedimento y del agua respectivamente, en

kgf

m

3;

τ

_c esfuerzo cortante crítico, en

kgf

m

2 ;

ν

viscosidad cinemática del agua, en

m

2

s

; y

D

_* número adimensional de las partículas;

U

_*c velocidad de corte crítica, en

c

R

s

m

;

_* número de Reynolds asociado a

U

_*c; y

k

_s rugosidad equivalente según Nikuradse; se supone

k

_s

=

3

D

.

Las ecuaciones presentadas se han dibujado en la fig. 1 para una profundidad de 5.00 m. En ella se observa que las diferencias entre los valores de

U

_c cuando

D

=

0

.

0002

m

son del orden de 90%, siendo la ecuación de Garde la que muestra la mayor diferencia, y dicha diferencia decrece a medida que el diámetro aumenta; así para

D

=

0

.

1

m

la diferencia entre los diferentes métodos es del orden de 46%.

2. INICIO DE EROSIÓN EN PILAS DE PUENTE.

La erosión local al pie de pilas empieza cuando aún no hay movimiento de partículas en el fondo (condición de agua clara). Varios autores han propuesto que esa erosión incipiente se inicia cuando la velocidad media del flujo U0 es igual a la mitad de la velocidad media crítica en la vertical frente a la

pila, en una zona no alterada por la posible erosión local de la pila, es decir, cuando

U

0

≤

0

.

5

U

c [Martín-Vide (2001)]. Otras relaciones son las siguientes: a) Ecuación de Hanku (1971). De su ecuación para valuar la erosión local en pilas bajo la condición de agua clara, se cumple que Sp=0 cuando U0=0.5Uc. b) Ecuación de Gao y Yu, según Gao et al. (1993) propusieron una expresión para obtener directamente la velocidad media en la vertical para la cual se inicia la erosión en una pila, a saber U0Uc=0.645

(

Dm b1

)

0.053, en que b1 es la proyección de la pila en un plano perpendicular al

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = 563 . 0 * * 35 . 30 exp 077 . 0 2196 . 0 D D D s

c

γ

γ

flujo. c) Criterio de Bhalerao (2003). Al probar diversos tamaños de partículas entre los límites m

D

m 0.00078

0002 .

0 ≤ 50≤ encontró que dentro de ese rango la relación U0Uc no dependía del tamaño de las partículas y propuso como valor promedio U0 Uc =0.44.

3. VELOCIDADES MEDIAS QUE GARANTIZAN EL MOVIMIENTO DE

PARTÍCULAS SIN PRODUCIR EROSIÓN.

Esta variable es mencionada como tal en el método que Altunin propuso para estudiar la estabilidad de cauces. Así mismo, es mencionada por Muromov en el método que él propuso para obtener la erosión local en pilas de puente. Dichas ecuaciones son las siguientes:

1. Ecuación de Altunin (véase Maza-Álvarez, 1963); Ug=aUφdδ. En esta última ecuación

δ es un exponente función de la profundidad. Así si d≥2.5m,δ=0.2. _Si

δ , 5 . 2 5 .

1 m≤d m _{vale 0.25 y finalmente si} d<1.5m,

δ

_{es igual a 0.333.} Uφ es la velocidad

media que garantiza el movimiento de las partículas sin producir erosión, cuando la profundidad es igual a 1.0m. Está dada por las siguientes expresiones: Si

m D

m m 0.00263 0003

.

0 ≤ ≤ _;Uφ=(113.6Dm+0.466);Si0.00263m≤Dm≤0.0303m; Uφ=1

(

1.341−12.5Dm

)

;

Si 0.0303m≤Dm≤0.0865m; Uφ=

(

2.248−0.0366Dm

)

; y por último, si 0.0865m≤Dm≤0.2m;

(0.254 +0.0247)

=Dm Dm

Uφ

2. Ecuación de Muromov (véase Maza-Álvarez, 1963); Ug =5d0.2D0m.3

En las ecuaciones de Altunin y Muromov,

U

_g es la velocidad media que garantiza el movimiento de las partículas, sin producir erosión. Estas ecuaciones se han dibujado en la figura 1 y como en ella se observa, la ecuación de Muromov es una ecuación semejante a las ecuaciones para obtener la velocidad media crítica, aunque da valores mayores para partículas menores de 0.001m. La de Altunin tiene una forma muy diferente de las otras ecuaciones de velocidad media crítica y da valores más bajos cuando

m

Dm>0.01 . A final de cuentas se puede considerar que ambas ecuaciones dan la velocidad media crítica.

4. INICIO DE TRANSPORTE EN SUSPENSIÓN.

Existen muy pocos datos para conocer la velocidad necesaria para poner las partículas en suspensión, o el levantamiento de las partículas del fondo y su transporte, más o menos continuo, dentro del seno del líquido. Los datos con los que se ha trabajado están relacionados con la erosión de avenidas. Entre las ecuaciones existentes para obtener la velocidad de equilibrio de la erosión de avenidas

U

_e, que como hipótesis se considera como la velocidad media de inicio de puesta en suspensión de las partículas, están:

a) Ecuación de Lischtvan y Levediev (véase Maza-Álvarez 1993). No se conocen los datos

que utilizaron: X

e D d

U 0.28 84

7 . 4

= donde

( )

0.5

84 84 5 . 1 84 84

84Ln 1.89 0.505 1.633

489 . 1 44 .

0 D D D D D

b) Ecuación de Maza-Álvarez y Echavarría (1973). Obtenida con algunos datos en ríos mexicanos: Ue=3.62D840.2d0.275

c) c) Ecuación propuesta en este trabajo a partir de datos de Schneider et al. (1999) y Brownlie (1982):

[

( )

840.27 0.5

]

(

0.18

)

59 . 0 343 . 17 ν d D g Ue= ∆

d) d) Ecuación de Maza-Álvarez y Grajales (2002), obtenida con datos de Schreider et al.

(1999) y de Brownlie (1982):

[

]

( )

840.634

456 . 0 912 . 1 84 178 . 0 58 .

7 d a g D

Ue= ω c ∆ ; donde

a

c

adquiere los siguientes valores:

Si 0.002m≤D84≤0.001m;

( )

_⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + +

=exp 0.000163 0.0000019_1.5 0.258Ln 1.44

84 84 d D D ac

Si _{0.001m<D84≤0.20m};

_{( )}

1

5 . 0 84 84 23 . 2 Ln 35 . 0 63 . 3 − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = D D ac

Las ecuaciones anteriores se han dibujado en la fig. 1, también para una profundidad de 5.0

m

. Para obtener

U

e _{se considera que el fondo está parcialmente acorazado y por ello las ecuaciones para}

obtener la erosión de avenidas se han puesto en función de

D

84. El diámetro

D

que se indica en las

ecuaciones mostradas se ha considerado igual en todas ellas, para poder comparar las ecuaciones entre sí (aceptando material uniforme, donde

σ

_g≤₂, siendo

σ

_g la desviación estándar geométrica). Por ello, con fines también comparativos, en las ecuaciones indicadas en el apartado 4, se ha considerado que ₌₂

g

σ y por tanto,

D

84

=

2

D

. En la fig. 1 se aprecia que todos los métodos para valuar la

velocidad media erosiva coincide sus valores dentro del intervalo

0

.

002

m

a

0

.

008

m

; esto para una profundidad de 5 m. Para otras profundidades la zona de coincidencia se encuentra entre los siguientes valores: para

d

=

3

.

0

m

, entre

0

.

01

m

y

0

.

025

m

; para

d

=

10

m

, entre

0

.

0002

m

y

0

.

0007

m

; y para

d

=

15

.

0

m

entre 0.00006m y

0

.

0002

m

; y para

d

=

20

.

0

m

, únicamente en

m

D

=

0

.

00006

. Por otra parte, excepción hecha del método de Maza-Álvarez y Echavarría, los métodos restantes, dan resultados semejantes. Esto último se debe a que para deducir esas ecuaciones se utilizaron los mismos datos, así como resultados de la ecuación de Lischtvan y Levediev.

Fig. 1. Velocidades de inicio de erosión

U

_e, en función de

D

₈₄

=

σ

_g

D

, y comparación con algunas fórmulas para valuar la velocidad media crítica en una vertical. Todas ellas para una

c

,

Muromov b d a c (en m/s)

a) Lischtvan y Levediev b) Propuesta

c) Ma za-Alvare z y Echavarría d) Maza -Alvare z y Grajales

Veloc idades erosivas en función de D84= 2 D, en m

Veloc idades críticas en función de D, en m

4) Ga rde 5) Ma za y Ga rcía 7) Shie lds

profundidad de 5.0m_.

5. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS.

En la fig. 1 se muestran las curvas que identifican a los métodos presentados en este trabajo, para 0una profundidad de 5 m. Gráficas similares se obtuvieron para profundidades d comprendidas entre 0.5my20m. Como se muestra en la fig. 1 existe una tendencia a que las velocidades de inicio de material en suspensión y las velocidades medias críticas lleguen a tener valores semejantes, lo cual esta indicando que la extrapolación hecha de las ecuaciones para obtener la erosión de avenidas, no funciona cuando el material es grueso; así por ejemplo las ecs. 20 a 26 no se deben usar para profundidades menores de 1 m. Si

d

=

2

m

, no usarlas cuando

m

D>0.008 ; si d=3m, no emplearlas cuando

D

>

0

.

04

m

; si d=5m, no aplicarlas cuando

m

D

>

0

.

1

; por último, si

d

>

10

m

, no deben usarse cuando

D

>

0

.

2

m

. Lo anterior es consecuencia de que la mayoría de los datos disponibles para estudiar la erosión en avenidas caen dentro del rango de las arenas y gravas. Por último, conviene señalar que el empirismo de la hidráulica fluvial y la falta de establecimiento preciso de la condición crítica de inicio de movimiento de las partículas, hace que los que nos dedicamos a esta especialidad no contemos con una única fórmula precisa para cuantificar la condición crítica, que es tan importante para calcular el enrocamiento de protección en pilas de puente, que además puede servir para diseñar una protección con enrocamiento para evitar la erosión por contracción; y por último, la condición crítica debe ser conocida e interviene en la mayoría de las fórmulas de transporte de sedimentos.

6. REFERENCIAS (SÓLO SE CITAN ALGUNAS)

Bhalerao, A.R., (2003)., "Protection of Scour around Bridge Piers by Riprap", Tesis para obtener el grado de Ph.D., Department of Civil Engineering, Bharati Vidyapeeths College of Engineering, University of Pune, India, 196 pp.

Fuentes, R. y Carrasquel, S. (1978), “Una ecuación empírica para zonas de transición”, Publicación del Laboratorio Nacional de Hidráulica, No. 78-10, Caracas, Venezuela.

Gao, D., Posada, G.L. and Nordin, C.F. (1993), "Pier Scour Equations Used in the People’s Republic of China", Proc. A.S.C.E. National Hydraulics Conference, San Francisco, USA., pp. 1031-1036

Martín-Vide, J.P. (2002), “Ingeniería de Ríos”, Ediciones de la Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, España, 331 pp.

Maza-Álvarez, J.A., 1964, “Socavación total en los cruces de los puentes”, Tesis de Maestría, Facultad de Ingeniería, UNAM, México, D.F., pp 170.

Schreider, M., Scachi, G., Raynares, M. y Franco, F. (1999), “Aplicación del método de Lischtvan-Levediev para calcular la socavación general en fondos arenosos”, Memorias del I Congreso Internacional de Ingeniería Hidráulica, La Habana, Cuba.