Apuntes para el curso : Historia de las matemáticas

Texto completo

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A P U N T E S P A R A EL C U R S O :

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

I N G . E L A D I O S A E N Z Q U I R O G A

F A C D E C I E N C I A S F I S I C O M A T E M A T I C A S

U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N

1994

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I N D I C E .

CAPITULO 1 ORIGEN DE LAS MATEMATICAS.

SISTEMAS P E NUMEROS.

Página:

PROLOGO i*

1.1 INTRODUCCION, 1

1.2 PRINCIPALES CIVILIZACIONES ANTIGUAS. 1

1.3 HIPOTESIS SOBRE EL INICIO DE LAS MATEMATICAS. 2

1.4 C O N T F O PRIMITIVO. 3

1.5 SISTEMAS DE NUMEROS 4

1.6 CLASIFICACION,, 5 a) Sistemas de agrapactón simple- 5

b) Sistemas multiplicativos- 10 c) Sistemas posicionales, 10

1.7 CAMBIO DE BASE. 15

1.8 COMPUTACION PRIMITIVA, 18

EJERCICIO 1, 21 C A P I T U L O 2 M A T E M A T I C A S P E L A S C I V I L I Z A C I O N E S

A N T I G U A S ,

2.1 INTRODUCCION, 23

(6)

2.3 ARITMETICA Y GEOMETRIA- 24

2.4 ALGEBRA- 25

2.5 TRIGONOMETRIA. 26

2.6 EGIPTO, '••• 31

2.7 ARITMETICA Y ALGEBRA- 33

2.8 GEOMETRIA. 35

2.9 CHINA- CUADROS MAGICOS- 36

EJERCICIO 2 43

C A P I T U L O 3 G R E C I A . L O S P I T A G O R I C O S .

3.1 NUEYA CTVTM7, ACION- 47

3.4 ARITMETICA PITAGORICA- ^ 49

3.6 SEGMENTOS INCONMESURABLES. 59

3.7 ALGEBRA GEOMETRICA. 61

3.8 RAZON DORADA. 63

C A P I T U L O 4 E P O C A G R I E G A (600 - 3 0 0 A . C . )

4.1 GRECIA DEL 600 AL 300 A-C, 76

4.3 FILOSOFOS NOTABLES. 78

4.4 TRES PROBLEMAS FAMOSOS. 79

4.5 HISTORIA CRONOLOGICA DEL NUMERO U 81

4.6 PARADOJAS DE ZENON 84

4.7 EUCLIDES. 87

4.8 CONTENIDO DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES- 87

4.9 ASPECTOS FORMALES DE LOS ELEMENTOS. 90

4.10 OTROS LIBROS DE EUCLIDES- 91

(7)

5.2 AROUIMEDES,-. 94

5.3 ERASTOTENES- 98

5.4 LQS NUMEROS PRIMOS 99

5.5 APOLONIO. ....100

5.6 TRIGONOMETRIA- 101

5.7 HIPPARCHUS y PTOLOMEQ. 101

5.9 DIQFANTQ. 104

5-10 PAPPUS. FIN DE LA ESCUELA DE ATENAS. 105

EJERCICIO 7 .,..106

C A P I T U L O 6 P E R I O D O O S C U R O Y EL P R E - R E N A C I M I E N T O

6-2 PERIODO DE TRANSICION. SIGLOS XII. XIII y XIV. 108

6.4 UNIVERSIDADES. m

6.5 PRE-RENACIMIENTO. EI. SIGLO XV. m

6-7 ECUACIONES CUBICAS Y CUARTEAS, 113 6-9 RESUMEN,

118

E T E R C I C I O FI

120

C A P I T U L O 7 . R E N A C I M I E N T O C T F N T í F i r v .

7 1 EL SIGLO X V j T

122

7 2 IQ¿fl¿NAPIER. T.OG4RHMQS,

7 3 ^ ^ ^ ^ 1 2 4

7-4 -GAULFOGAT TT FT T A D ^ J A M C A ,

7 5 fflOANN^EPLERJvíQYIMIEm^ELANEIARia i2 6

7 6 1 2 g

7 7 C I E N C I A S 1 3 1

7 8

7 9 ^ s e ^ Í ^ ^

7 1 0 A C A^ M I A S ^ Q O E D A D E S Y R E V I S T A S

EÍERCICÍO 9

140

C A P I T U L°8 O a i S m X M M f i R Q U ^ J M J ^ L C i m

(8)

8.2 ORIGEN HE LA INTEGRACION E N EUROPA, KEPLER- 1 4 2

8.3 METODO DE I OS INVISIBLES DF, CAVAUERI- 1 4 3

8.4 ORTGF.N DF. LA D E F L A C I O N FERMAT I4*

8.5 yVAT I TS YBARROW. 1 4 7

8 ^ NF.WTON. 1 4 9

8.7 nOTTFRTF.D T .F.IBINIZ. 1 5 1

C A P I T U L O 9 T A I N F L U E N Z A OF.T. C A L C U L O

9.2 T A F A M T T . T A BERNOUI.T.I. IACKOB Y TOHANN- 1 5 7

9.3 r AT CT IT O DF PROBABILIDADES DF. MOIVRE. 159 9.4 REPRESENTACION DE FUNCIONES POR SERIES. TAYLOR,

M Ar T A Ur t n y f o i j r i e r- 1 6 0

9.5 1 6 3

9.6 APT i r ACIONES FfSTC AS Y ASTRONÓMICAS- CLAIRAUT.

D-AI F.MBF.RT Y LAMBERT- 1 6 6

9.7 TOSF.PH LOUIS T. AGRANGE- 1 6 8

9.8 GEOMETRIAS PFSCRTPTIVA Y PROYECTIVA. GASPARD MONGE-171

C A P I T U L O 10. L I B E R A C I O N Y F O R M A L I Z A C I O N D E L A S M A T E M A T I C A S .

10.2 LIBERACION DE LA GEOMETRIA. 175

10.6 ÉVARISTE GALOIS. 192

10.7 LIBERACION DEL ALGEBRA- 195

10.8 WILLIAM ROWAN HAMILTON. 196

(9)

P R O L O G O .

El propósito de estos apuntes es proporcionar a los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas, un texto que les sirva de base para un curso semestral de Historia de las Matemáticas. Al final de cada uno de los capítulos, se incluyen ejercicios que les permitirán revisar sus conocimientos de las matemáticas elementales, así como ubicarse en las diferentes etapas del desarrollo histórico de esta ciencia. Espero que estas notas sean también de utilidad para todos los maestros de matemáticas y para los profesionistas que se interesan en esta ciencia.

Conocer el origen de las matemáticas, a través de los registros escritos de las primeras civilizaciones y su evolución histórica hasta el siglo 20, es de interés para todos los que materna tizamos en nuestra actividad diaria.

El origen del hombre se remota al Zinjantropus (el "casi hombre") de Tangañica, Africa, que vivió hace 1750,000 años, de acuerdo con la técnica del carbono C14. El hombre y otros seres, contienen C14 en su organismo y lo intercambian por aire mediante la respiración. El carbono C14 se distingue del carbono ordinario C12 por tener mayor número de electrones y protones en su núcleo y por ser radiactivo. El radio - carbono que se pierde al respirar, se recupera d e la atmósfera, de manera que permanece constante hasta que el organismo muere. Se ha comprobado que los restos orgánicos pierden la mitad de s u C14 cada 5600 años. Entonces, midiendo la radiactividad de los restos orgánicos que se han encontrado en buen estado de conservación, se puede determinar su edad como n

veces 5,600, si la radiactividad es ^ j de la normal en el organismo vivo.

Además del Zinjantropus, se menciona al Australopiteco y posteriormente al Pitecantropus Erectus de Java y el Sinantropus de Pekín que vivieron en las zonas tropicales hace casi un millón de años. Más adelante encontramos al hombre d e Heidelberg, el de Neanderthal y finalmente al de Cromagnon llamado H o m o Sapiens, que aparece hace unos 40,000 años. En América, la presencia más antigua del hombre se remota a unos 10,000 años.

-Ix-E1 H o m o Sapiens empieza a dejar registros escritos hace unos 7000 años e n Babilonia y Egipto, de manera que para estudiar la historia d e las matemáticas, empezaremos con las manifestaciones escritas de estas civilizaciones d e la Edad d e Bronce. Para seguir la evolución histórica d e las matemáticas se utilizan los escritos disponibles, ubicados geográfica y cronológicamente con el apoyo d e otras ciencias auxiliares.

La primera civilización q u e formaliza las matemáticas es la d e los Griegos (600-300 A.C.) quienes ya cuentan con el alfabeto inventado hacia el 800 A.C., q u e p e r m i t e p o n e r o r d e n e n la comunicación oral y escrita. La p o s i b i l i d a d d e expresarse con claridad, permite pensar con claridad y así surgen las escuelas d e filosofía con u n notable desarrollo d e las matemáticas y del conocimiento e n general.

D e s p u é s de los griegos, se presenta u n p e r í o d o obscuro q u e e m p i e z a a manifestarse durante el Imperio Romano y se extiende a través del I m p e r i o Arabe hasta el siglo XIII, c u a n d o se f u n d a n las primeras u n i v e r s i d a d e s e u r o p e a s q u e propician el renacimiento de los siglos XVI y XVII. En el siglo XVI se desarrolla el Algebra Simbólica y en el siglo XVII se formalizan la Geometría Analítica, el Cálculo y la metodología de la Ciencia, que reafirman a las matemáticas como el f u n d a m e n t o d e todas las ciencias.

Durante el siglo 18, se utilizan ampliamente las poderosas herramientas del Algebra, Geometría Analítica y Cálculo y e n el siglo XIX se liberan estas matemáticas fundamentales, d a n d o paso al Algebra Abstracta, las Geometrías no-Euclideanas, el Análisis Matemático, las Algebras Lineales, la Lógica Matemática, la Teoría d e Conjuntos, la Aritmética Transfinita y otras ramas d e las matemáticas q u e continúan desarrollándose en el siglo XX.

En el siglo actual, nace la Topología, y la C o m p u t a c i ó n Electrónica q u e propician la proliferación d e una gran diversidad d e campos de investigación en matemáticas y en todas las demás ciencias.

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La realización d e estos a p u n t e s se ha logrado gracias al a p o y o q u e he recibido d e las autoridades d e la Facultad d e Ciencias Físico-Matemáticas, d e mis compañeros maestros y d e mis ex-alumnos, que me han alentado e n mi trabajo. En particular, al Lic. e Ing. Raúl Montemayor, al Lic. Israel Garza y al Ing. y Lic. Rafael Serna, les expreso mi agradecimiento por mi re-incorporación al cuerpo docente d e la Facultad y por su confianza e n mis actividades académicas. Además, expreso mi agradecimiento a las secretarias María A. Garza y G u a d a l u p e E. Martínez y a las estudiantes d e computación Ana Lucía Guerrero y Laura Marcela C a n t ú , por su paciente labor de copiado e impresión.

Por último expreso mi reconocimiento a los autores d e los siguientes libros, q u e me han ilustrado para la realización d e esta obra.

1. H o w a r d Eves:

2. 3. 4. 5. 6. 8.

An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart, Winston.

James R. N e w m a n : The World of Mathematics. Simon and Schuster. Men of Mathematics. Simon and Schuster. A History of Mathematics. John Wiley & Sons.

Historia d e las Matemáticas. U.T.H.E.A. Máxico.

Historia d e la Ciencia. Editorial Tecnos. Madrid,

Elementos de Historia d e las Matemáticas. Alianza Editorial (Madrid).

E. T. Bell:

C.B. Boyer:

J. E. H o f m a n n :

W. C. Dampien

7. N. Bourbaki:

T. K. Dewey y T. I. Williams:

9. D. J. Struik:

10. A. Sestier:

Historia d e la Tecnología. Siglo 21. México.

A Concise History of Mathematics. Dover Publications.

Historia d e las Matemáticas. Editorial Limusa.

CAPITULO 1.

O R I G E N D E L A S M A T E M A T I C A S . S I S T E M A S D E N U M E R O S

1.1 I N T R O D U C C I O N , P a r a e s t u d i a r la e v o l u c i ó n h i s t ó r i c a d e l a s Matemáticas, consideraremos un m a r c o de referencia, constituido por el tiempo y el espacio. El espacio es el m u n d o e n q u e vivimos y el t i e m p o es d e s d e alrededor del 4000 A.C., hasta nuestros días, unos 6000 años. Principalmente s e g u i r e m o s la trayectoria d e la civilización q u e h e m o s h e r e d a d o , es decir, e m p e z a r e m o s en m e d i o oriente con Babilonia y Egipto, d e s p u é s E u r o p a q u e inicia con los Griegos, la Edad Media, el Renacimiento y la transición al siglo XX.

Dentro d e este marco de referencia, la f u e n t e principal d e información son los registros escritos que a su vez han sido una d e las fuerzas m a s p o d e r o s a s d e desarrollo científico, complementado en las últimas décadas con registros orales y visuales q u e han propiciado el extraordinario avance d e la época actual. Sin embargo, antes del presente siglo, los medios d e comunicación evolucionaron m u y l e n t a m e n t e : El alfabeto, q u e permite la comunicación o r a l y escrita o r d e n a d a , se inventó alrededor del año 850 A.C., la imprenta f u e inventada hace poco mas d e 500 años y la producción industrial d e papel se inició a partir d e la segunda mitad del siglo pasado.

1 2 PRINCIPALES CIVILIZACIONES A N T I C U A S T a c c i g , , ; ^

civilizaciones del medio oriente mas antiguas q u e nos proporcionan fuentes d e información, a través d e registros escritos.

a) B A B I L O N I A Empieza alrededor del a ñ o 4500 A.C., e n la región d e la M e s o p o t a m i a , entre los ríos Tigris y E u f r a t e s e n el s u r o e s t e d e Asia y actualmente corresponde a los países Irán, Irak y Kwait.

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-La realización d e estos a p u n t e s se ha logrado gracias al a p o y o q u e he recibido d e las autoridades d e la Facultad d e Ciencias Físico-Matemáticas, d e mis compañeros maestros y d e mis ex-alumnos, que me han alentado e n mi trabajo. En particular, al Lic. e Ing. Raúl Montemayor, al Lic. Israel Garza y al Ing. y Lic. Rafael Serna, les expreso mi agradecimiento por mi re-incorporación al cuerpo docente d e la Facultad y por su confianza e n mis actividades académicas. Además, expreso mi agradecimiento a las secretarias María A. Garza y G u a d a l u p e E. Martínez y a las estudiantes d e computación Ana Lucía Guerrero y Laura Marcela C a n t ú , por su paciente labor de copiado e impresión.

Por último expreso mi reconocimiento a los autores d e los siguientes libros, q u e me han ilustrado para la realización d e esta obra.

1. H o w a r d Eves:

2. 3. 4. 5. 6. 8.

An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart, Winston.

James R. N e w m a n : The World of Mathematics. Simon and Schuster. Men of Mathematics. Simon and Schuster. A History of Mathematics. John Wiley & Sons.

Historia d e las Matemáticas. U.T.H.E.A. Máxico.

Historia d e la Ciencia. Editorial Tecnos. Madrid,

Elementos de Historia d e las Matemáticas. Alianza Editorial (Madrid).

E. T. Bell:

C.B. Boyer:

J. E. H o f m a n n :

W. C. Dampien

7. N. Bourbaki:

T. K. Dewey y T. I. Williams:

9. D. J. Struik:

10. A. Sestier:

Historia d e la Tecnología. Siglo 21. México.

A Concise History of Mathematics. Dover Publications.

Historia d e las Matemáticas. Editorial Limusa.

CAPITULO 1.

O R I G E N D E L A S M A T E M A T I C A S .

SISTEMAS DE N U M E R O S

1.1 I N T R O D U C C I O N , P a r a e s t u d i a r la e v o l u c i ó n h i s t ó r i c a d e l a s Matemáticas, consideraremos un m a r c o de referencia, constituido por el tiempo y el espacio. El espacio es el m u n d o e n q u e vivimos y el t i e m p o es d e s d e alrededor del 4000 A.C., hasta nuestros días, unos 6000 años. Principalmente s e g u i r e m o s la trayectoria d e la civilización q u e h e m o s h e r e d a d o , es decir, e m p e z a r e m o s en m e d i o oriente con Babilonia y Egipto, d e s p u é s E u r o p a q u e inicia con los Griegos, la Edad Media, el Renacimiento y la transición al siglo XX.

Dentro d e este marco de referencia, la f u e n t e principal d e información son los registros escritos que a su vez han sido una d e las fuerzas m a s p o d e r o s a s d e desarrollo científico, complementado en las últimas décadas con registros orales y visuales q u e han propiciado el extraordinario avance d e la época actual. Sin embargo, antes del presente siglo, los medios d e comunicación evolucionaron m u y l e n t a m e n t e : El alfabeto, q u e permite la comunicación o r a l y escrita o r d e n a d a , se inventó alrededor del año 850 A.C., la imprenta f u e inventada hace poco mas d e 500 años y la producción industrial d e papel se inició a partir d e la segunda mitad del siglo pasado.

1 2 PRINCIPALES CIVILIZACIONES A N T I C U A S T a c c i g , , ; ^

civilizaciones del medio oriente mas antiguas q u e nos proporcionan fuentes d e información, a través d e registros escritos.

a) B A B I L O N I A Empieza alrededor del a ñ o 4500 A.C., e n la región d e la M e s o p o t a m i a , entre los ríos Tigris y E u f r a t e s e n el s u r o e s t e d e Asia y actualmente corresponde a los países Irán, Irak y Kwait.

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-b) E G I P T O . Empieza alrededor del año 4000 A.C., a lo largo del río Nilo, en el noreste d e Africa.

Las otras civilizaciones importantes del Oriente antiguo con escasas fuentes d e información son:

c) I N D I A . Entre los ríos Indo y Ganges, en el sur Centro d e Asia.

d ) CHINA. Entre los ríos H o a n g - H o (Río Amarillo) y el Yang-Tse-Kiang, en el o r i e n t e d e Asia. Las fuentes originales de esta civilización se p e r d i e r o n c u a n d o el Emperador Shi-huang-Ti, 213 A.C., ordenó q u e se q u e m a r a n todos los libros para iniciar una nueva civilización q u e les permitiera d e f e n d e r s e d e los ataques y saqueos d e los Bárbaros.

1.3 H I P O T E S I S SOBRE EL I N I C I O DE LAS MATEMATICAS.

La hipótesis m a s aceptada, establece q u e las matemáticas surgieron d e las necesidades prácticas d e desarrollo d e las sociedades primitivas, la organización d e la agricultura, control d e siembras y ríos, sistemas d e riego, construcciones y comercio. Otra hipótesis a t r i b u y e el origen d e las Matemáticas a través d e revelaciones místicas y rituales religiosos, p e r o ésto es p o c o a c e p t a d o e n el m e d i o científico, d o n d e se considera q u e el h o m b r e inteligente busca los r e c u r s o s n e c e s a r i o s p a r a e n f r e n t a r el m e d i o q u e lo r o d e a f í s i c a m e n t e , socialmente, políticamente, etc.

Las fuentes d e información m a s antiguas son las tabletas d e arcilla cocida d e los Babilonios y los papiros d e Egipto. Las cortezas de árbol y b a m b o o d e China y la India son casi ininteligibles por la destrucción del tiempo.

1 A C O N T E O PRIMITIVO, Una hipótesis sobre el origen del conteo primitivo,

se basa en la observación d e t r i b u s q u e c o n s e r v a n la f o r m a d e vida y o r g a n i z a c i ó n social d e hace miles d e años, así c o m o e n el e s t u d i o d e la característica natural del hombre de empezar a contar antes q u e a p r e n d e r a escribir y a u n antes de empezar a hablar y d e algunas especies d e animales en los q u e se ha e n c o n t r a d o evidencia experimental d e q u e p u e d e n "contar" p e q u e ñ o s conjuntos impulsados por instintos naturales que se manifiestan ante situaciones especiales.

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p a r a la o b t e n c i ó n d e a l i m e n t o , habitación y vestido, lo cua le i m p o n e ¡anecesidad de contar y medir sistemáticamente. Empieza a marcar las parede y árboles y a utilizar piedras y palitos para contar objetos, personas, g a n a d o , e c y a m e d i r s u s t e r r e n o s y construcciones, d e esta m a n e r a se . r u o a n la Matemáticas con los sistemas de conteo y las técnicas de m e c ü a ó n * *

a u n a "Aritmética" y u n a "Geometría" intuitivas que se hacen d e mo s t r a b a partir del p e r í o d o griego alrededor del año 600 A.C.. C o n el a v a n c e d é l a organizaciones sociales aparecen diferentes sistemas de n ú m e r o s e n d ó r e n t e lugares del m u n d o , siendo evidente la importancia q u e el hombre concede a éste a s u n t o para su organización en sociedad.

H a y otra hipótesis que considera que los sistemas d e n ú m e r o s tuvieron su origen e n meditaciones p r o f u n d a s y revelaciones místicas transmitidas d u r a n t e ritos religiosos, pero esto tiene poca aceptación en el m e d i o científico ya que se c o n s i d e r a m á s r a z o n a b l e q u e el h o m b r e haya i n v e n t a d o los s a r n a s d e numeración, i m p u l s a d o por las necesidades naturales y d e organización.

1 5 S I S T F M A S D F . N U M E R O S . Todos los sistemas d e numeración q u e se han i d e a d o e n diferentes lugares y e n diferentes épocas tienen u n símbolo para la

u n i d a d simple 1 y u n a base J . cuyas potencias: U W ~ d a ^ s

d e agrupación d e orden 0 , 1 , 2 n que permiten expresar los n u m e os en f o r m a sintetizada por m e d i o d e símbolos llamados numerales. E,emplos d e bases que se h a n utilizado para sistemas de números:

BASE-2 Pigmeos nómadas africanos hasta la actualidad.

p A S E 3 y 4 Tribus de Sud-américa. EASEJ5 Campesinos alemanes hasta 1800.

Tribus sud-americanas hasta la fecha.

-4-a) Sistema de jeroglíficos egipcios, 3400 A.C. b) Sistema Chino científico, 2000 A.C. c) Sistema Hindú-arábigo, 250 A.C.

BASE 12 Desde la pre-historia hasta la fecha para contar meses del año, cantidades por docenas y gruesas, medidas por pies y pulgadas, el t i e m p o por horas. Parece ser q u e esta base f u e motivada por el n ú m e r o d e lunaciones completas d e u n año.

BASE 20 Sistema Maya, conocido en el siglo XVI en E u r o p a , e m p e z ó a usarse antes d e la era cristiana y el cero aparece hacia el primer siglo d e esta era.

BASE 60 Sistema cuneiforme Babilonio, 3500 A.C.

1.6 C L A S I F I C A C I O N . C o n s i d e r a n d o las diferentes formas d e expresar los n ú m e r o s por medio d e numerales, los sistemas de numeración se clasifican en S i s t e m a s d e A g r u p a c i ó n s i m p l e , Sistemas M u l t i p l i c a t i v o s y S i s t e m a s Posicionales.

a) SISTEMAS DE A G R U P A C I O N SIMPLE. Los Sistemas d e A g r u p a c i ó n Simple, llamados también aditivos, son aquellos en los que cada n ú m e r o natural se expresa con numerales que corresponden a las u n i d a d e s d e a g r u p a c i ó n 1 ,b,b2,b3, b",... permitiendo repeticiones, cuyos valores se s u m a n para obtener

el número. Consideremos algunos ejemplos:

(14)

10 100 1000 10,000 100,000 1'000,000

n 9 ? ¿T ^ *

Veamos algunos números en este sistema: ^ W A A A I

1 9 9 3 = r ? ? ? A H A I ? ? ? A A A I

100,235 = < ^ £ A I

3 2 4 = ? « AII

120

Ejemplo de operaciones en este sistema:

Sumar y multiplicar en jeroglíficos egipcios 46 y 32.

3 2 = a n i 3 2' n A i

A I! A A A A R > L

N N¡ ¡ A A A A I

78 = 0 A 11 0 A I I

^ & 7 A A A A

1 4 7 2 =h > ? ?A A A A

? ? A A A

Observese que no es necesario u n símbolo para el cero y el n ú m e r o d e unidades de cada orden se obtiene repitiendo el símbolo correspondiente. Por ejemplo en el penúltimo, son 3 unidades de 2do. orden ó centenas, 2 u n i d a d e s de 1er. orden ó decenas y 4 unidades simples. (324).

Los egipcios escribían de derecha a izquierda y consideraron n ú m e r o s positivos y negativos utilizando el símbolo A para los positivos y el símbolo A para los negativos. Las fracciones unitarias — con 3 e n los naturales, las

n o

representaban como: n

1 <n> 1 0

Por ejemplo: — = , — = A . Las fracciones con numerador mayor q u e 1, las expresaban como sumas de fracciones unitarias. Su escritura era Jeroglífica, en la que cada u n o de sus símbolos tenía algún significado. En los numerales el 10 es un yugo, el 100 es un papiro enrollado, el 1,000 es una flor de loto, el 10,000 es un dedo apuntando, el 100,000 es un pez y el 1,000,000 es un hombre arrodillado observando el universo. Los papiros, que constituyen la principal f u e n t e de información de la civilización egipcia antigua, los obtenían del tallo de la caña p a p p u s que crece e n abundancia en las riberas del río Nilo. Cortaban el tallo en tiras perpendiculares que presionaban con pesadas piedras, soltando u n líquido gomoso, después de lo cual se secaban al sol y finalmente se pulían con piedras. Los registros históricos de los faraones en este material, e r a n g u a r d a d o s en celdas selladas de las pirámides por lo que se conservaron durante miles de años y actualmente se encuentran en los principales museos d e Rusia, Francia é Inglaterra y en algunas universidades de Estados Unidos.

(15)

1 5 10 50 100 1000 5000 10000 50000

i r

A

r

H H

r

M

r

Los símbolos intermedios se forman con la letra pi mayúscula antigua, d e la cual se "cuelga" al centro el numeral d e una unidad para obtener esa u n i d a d multiplicada por cinco.

Veamos los siguientes números en este sistema:

1993 = X F H H H H f A A AA|| | 20,530 = MMrAAA

306 = H H H F I

N o se requiere el cero para la representación escrita d e los n ú m e r o s y los n u m e r a l e s se escriban d e izquierda a derecha de mayores a menores.

Otro sistema de agrupación simple que usaron los Griegos desde el año 450 A.C., es el sistema jónico ó cifrado en el cual establecen numerales para cada uno d e los conjuntos posibles d e unidades d e diferentes órdenes: 1, 2 , 3 , 9,10, 20, 30, 90, 100, 200, 300, , 900. Los 27 numerales necesarios son las 24 letras m a y ú s c u l a s del a l f a b e t o griego m á s 3 d e estas letras s u b r a y a d a s ; a d e m á s definen símbolos y reglas especiales para n ú m e r o s grandes. Este sistema tiene la desventaja d e q u e es necesario memorizar u n conjunto g r a n d e d e numerales, p e r o facilita las operaciones aritméticas c o m p a r a d o con otros sistemas d e agrupación simple. Sistemas similares a este fueron utilizados por los Hebreos y los Sirios.

Los Griegos representaban a los n ú m e r o s por magnitudes geométricas. A p a r t i r d e u n origen en u n a recta y d e una u n i d a d d e m e d i d a p a r a el 1, t r a s l a d a b a n s u c e s i v a m e n t e esta m e d i d a con el compás sobre la recta para construir los n ú m e r o s naturales ó enteros positivos en una dirección y los enteros negativos en la otra dirección. Las fracciones ^ c o n a entero positivo ó

n e g a t i v o y ]¿ n ú m e r o natural, las e x p r e s b a n como m ú l t i p l e s e n t e r o s d e fracciones unitarias a ^ j adoptaban una u n i d a d d e medida para ^ sobre una recta y la trasladaban JL veces con el compás.

Durante un tiempo consideraron que todas las m a g n i t u d e s geométricas podían construirse con u n compás sobre una recta, a partir d e una u n i d a d de medida para — con n_ en los naturales, es decir, q u e todos los segmentos de recta eran lo que ahora llamamos números racionales.

3.- N U M E R O S R O M A N O S . Sistema similar al griego, d e agrupación simple base 10 con símbolos intermedios, representación decreciente horizontal, con cambio d e o r d e n en una pareja d e símbolos para r e p r e s e n t a r la resta del segundo menos el primero.

Numerales:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Ejemplo: Expresar en números romanos y s u m a r 365 y 1993 365= CCCLXV

+

(16)

b) SISTEMAS MULTIPLICATIVOS. En los sistemas multiplicativos hay 2 conjuntos de símbolos: uno para las unidades simples 1, 2, 3,.... (b-1) y el otro para las unidades d e orden b,b2,b3,....,b",...

Los n ú m e r o s q u e contienen conjunto de unidades de diferentes órdenes, se representan a g r u p a n d o parejas f o r m a d a s por u n símbolo del p r i m e r conjunto con otro del s e g u n d o conjunto en o r d e n descendente d e las potenciales d e b, cuyo valor es la multiplicación de los numerales de cada pareja y el n ú m e r o es la s u m a d e estos productos. Consideremos un ejemplo de u n sistema d e esta clase:

SISTEMA C H I N O - I A P O N E S . Es u n sistema multiplicativo d e base 10 con los siguientes numerales:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000

. • s • 5 ¿t t . 7^ ft + fi

\

e j e m p l o s :

1979= t + 204 = = Ó

ix ZU4 •

En el p r i m e r ejemplo hay u n a sola u n i d a d d e millar por lo q u e n o se requiere f o r m a r la pareja del 1 con el 1000 y el n ú m e r o se obtiene d e arriba a abajo como 1(1000) + 9(100) + 7(10) + 9 = 1979.

En el s e g u n d o ejemplo se observa q u e en estos sistemas t a m p o c o se requiere el cero pues el número queda perfectamente expresado como 2(100) + 4 = 204.

c) S I S T E M A S P O S I C I O N ALES. En los sistemas posicionales se utilizan numerales para los números menores que la base b incluyendo el cero, a ú n

1 0

-c u a n d o los primeros sistemas de este tipo no tenían símbolo para el -cero, estos resultaban deficientes y complicados en las operaciones. Entonces, se requieren símbolos para 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , (fr-l).

C a d a n ú m e r o natural es u n a sucesión o r d e n a d a d e estos s í m b o l o s , p e r m i t i e n d o repeticiones, d o n d e el p r i m e r símbolo d e derecha a i z q u i e r d a , representa u n i d a d e s simples; el segundo, unidades d e primer orden, es decir, es u n múltiplo d e b; El 3o es múltiplo d e b2; d e manera q u e la representación d e u n

n ú m e r o p o r la s u c e s i ó n : anan_l....ala0 c o r r e s p o n d e a la s u m a :

a„b" +an_1bn~1+...+a,b + a(l, es decir, es u n polinomio d e potencias de la base b_ Esta

representación es similar a la de los sistemas multiplicativos, pero e n u n sistema posicional n o se requieren símbolos para las potencias d e la b a s e y la identificación d e las unidades d e diferentes órdenes la proporciona la posición d e cada n u m e r a l en la sucesión ordenada. Además, en u n sistema posicional es necesario el símbolo para el cero, para indicar la ausencia d e u n i d a d e s d e d e t e r m i n a d o orden y conservar el valor posicional d e los demás símbolos d e la sucesión o r d e n a d a . Para los n ú m e r o s fraccionarios se utiliza u n p u n t o q u e separa la p a r t e entera d e la parte fraccionaria en la sucesión o r d e n a d a , d e manera q u e a la derecha del p u n t o el primer símbolo corresponde a u n i d a d e s d e o r d e n -1, es decir u n múltiplo d e la fracción unitaria if1 = - , el s e g u n d o es u n

b múltiplo d e b~2 = -¿2 etc.. En general se tiene lo siguiente:

Wn-vafio •í1-,íí-2--=a"b"+...+a,b+ a0 + fl_,íf'+....

Para los negativos se antepone el signo - completando el sistema posicional de base b.

(17)

1.- S I S T E M A C U N E I F O R M E BABlLOÜLQx l a a n t i g u a civilización Babilonia, alrededor del a ñ o 3000 A.C., empezó a registrar por m e d i o de su escritura con caracteres en forma d e cuñas, lo que consideraban importante. Desde la segunda mitad del siglo pasado hasta la fecha se h a n desenterrado m á s d e 500,000 t a b l e t a s d e arcilla cocida g r a b a d a s , d e las cuales 300 s o n exclusivamente matemáticas. De a c u e r d o con esta f u e n t e d e i n f o r m a c i ó n , inventaron u n sistema d e numeración posicional base 60 sin cero, c o m b i n a d o con agrupación simple base 10 para los numerales necesarios. Los símbolos para los numerales del 1 al 59 eran los siguientes:

1 10

y <

A d e m á s , utilizaban el símbolo r para indicar resta y simplificar s u s numerales. Por ejemplo:

23 = $ 7 4 9

Para n ú m e r o s mayores q u e 59, el sistema es posicional, base 60. Por ejemplo:

^ y

1993 = (33) (60) + 13 = < V < X y = (3 3'1 3

< Y

El sistema base 10 de agrupación simple para los numerales y la falta del cero dificulta la expresión escrita de los números y las operaciones aritméticas.

2-~ SISTEMA MAYA, LOS Mayas i n v e n t a r o n u n sistema d e n u m e r a c i ó n

posicional base 20, c o m b i n a d o con a g r u p a c i ó n simple, b a s e 5, p a r a los numerales. Este sistema es similar al d e los Babilonios pero tiene la i m p o r t a n t e diferencia d e que incluye al cero en s u s numerales. Los símbolos para obtener los numerales del 1 al 19 por agrupación simple, base 5, son los siguientes: 1 = . ; 5 = - . Por ejemplo:

12 = = ; 6 = ^ ; 18 = =

El símbolo para el cero es o . Para los n ú m e r o s mayores q u e 19 el sistema es posicional base 20, a u n q u e en algunos registros aparecen las u n i d a d e s d e segundo orden como múltiplos d e 18 (20). Por ejemplo, en el sistema p u r a m e n t e vigesimal:

1993 = 4(202)+19(20)+13= . . . . = = = (4,19,13)»

806 = 2(20

2

)+0(20) + 6= .. o i = (2,0,6)

10

3.- S I S T E M A C H I N O , Los chinos d e s a r r o l l a r o n t a m b i é n u n s i s t e m a d e n u m e r a c i ó n posicional, b a s e 10, con a g r u p a c i ó n simple b a s e 5 p a r a los numerales del 1 al 9 sin el cero y con 2 símbolos para cada n u m e r a l q u e utilizaban s e g ú n q u e el numeral ocupara posición p a r ó i m p a r en la sucesión o r d e n a d a . Este sistema se llama Chino-Científico y no se s a b e c u a n d o lo empezaron a usar p o r q u e en la civilización China antigua como en la India, los Mayas y otras, las fuentes d e información son escasas y n o están d e b i d a m e n t e ubicadas en el tiempo.

(18)

Posiciones p a r e s : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

- = = a i l J i U l M 0

4.- SISTEMA HINDU-ARABIGO. Es nuestro actual sistema d e n ú m e r o s , posicional base 10. El registro m á s antiguo que se conoce es una inscripción d e s u s numerales, sin incluir el cero, en las columnas del palacio del Rey Asoka, en la India, alrededor del año 250 A.C. De acuerdo con algunos historiadores, el símbolo para el cero f u e introducido por los H i n d ú e s a p r o x i m a d a m e n t e 100 a ñ o s antes d e nuestra era. Sin embargo, el primer registro escrito d e l cero aparece hasta el siglo IX, época en que se d i f u n d i ó este sistema d e n ú m e r o s en Europa a través d e una traducción al latín del libro del árabe ,A1-Khówarizmi ,en el q u e se p r o p o n e n p r o c e s o s sistemáticos p a r a realizar las o p e r a c i o n e s aritméticas. Los numerales originales d e los hindúes evolucionaron a través del tiempo hasta tomar su forma actual al inicio del Renacimiento. C o m o e n todos los sistemas posicionales, en este sistema cada n ú m e r o se expresa como una sucesión o r d e n a d a d e sus n u m e r a l e s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, p e r m i t i e n d o repeticiones. Por ejemplo:

1992 = l(10}) + 9(10:)+9(10) + 2 = 1000 + 9(100)+ 9(10)+ 2

21.32 = 2 ( l 0 ) + l + 3(l0-') + 2(l0-2) = 2(l0+ 1)+l + 3 ( ^ j + 2 ^

En el primer ejemplo se tiene un millar, 9 centenas, 9 decenas y 2 unidades. En el s e g u n d o hay 2 decenas, 1 unidad, 3 décimas y 2 centésimas.

A p a r t i r del sistema H i n d ú - A r á b i g o decimal posicional, q u e ha sido a d o p t a d o casi u n i v e r s a l m e n t e , existen a c t u a l m e n t e una g r a n v a r i e d a d d e sistemas d e pesas y m e d i d a s d e longitudes, áreas, volúmenes y hasta en los sistemas monetarios, con diferentes bases para las unidades de agrupación, a pesar d e los esfuerzos que se han realizado para establecer sistemas universales

-14-que faciliten la comunicación internacional en t o d o lo q u e se relaciona con números. Sin embargo, el hombre ha logrado considerables éxitos hasta la fecha, a partir de los números como instrumentos de cuantificación y medición '

d e los f e n ó m e n o s n a t u r a l e s y artificiales q u e p e r m i t e , e n a l g u n o s casos, expresarlos m a t e m á t i c a m e n t e para su explicación y análisis y p a r a su aprovechamiento en la obtención de objetivos determinados.

1.7 C A M B I O DE BASE. Para obtener un n ú m e r o d e n u e s t r o sistema decimal posicional en otra base cualquiera, se p u e d e proceder como sigue:

Sea N el n ú m e r o en base 10 que queremos expresar en b a s e b diferente d e 10:

1. Dividir N entre b para obtener: N =q,b + X)1 ; 0 < u , < b (D si < k entonces N en base J l =

2. Si <?, ^ h , dividir qv entre b para obtener :

0<\i2<b

Sustituyendo

© en © :

N = (qjj + v2)b + v,= qj.12 + v2b + u,

Si q2<b=s N =(í¡2v2\),)h

3. Si q2> b , se repite el proceso 2, hasta obtener u n cociente < b.

(19)

4 V 4|198

38 ©

m 09

o (S) 198 (3012),

'lili

b, a base /»

Es conveniente p r i m e r a m e n t e pasar de la base /?, a la base 10 y d e s p u é s a la base b7

Ejemplo: (132)4 = 1(4 )+ í ( 4 ) + 2 = 16*12 + 2

Mi

®<7 7|30 Ahora e x p r e s a m o s 30 en otra base d i g a m o s 7 0

(132)4 = 3 0 = 142),

De esta m a n e r a c a m b i a m o s el n ú m e r o (134)4, d e la base 4 a la base 7, o b t e n i e n d o (134), =(42),

Operaciones en una base cualquiera b

•i»»it

Para o p e r a r con n ú m e r o s en base b es útil tener tablas d e s u m a y multiplicación en esa base Por e|emplo, las tablas d e multiplicación y s u m a en base 7 son

t 0 1 ¿ J 4 5 6 X 0 I 2 3 4 5 6 0 0 1 ? 4 S fi 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ) « 4 S h 10 1 0 1 2 3 4 5 6

> » 4 S h 10 1 1 2 0 > 4 6 11 13 15

( 4 S r. 10 11 12 0 i f> 12 15 21 24

4 4 S f! III 1 1 12 n 4 0 4 II 15 21 2 6 33 S S h I(> 1 1 1? 1.1 14 S 0 n 21 2 6 34 42

r> h 10 1 1 1 n 14 IS b 0 is 24 33 41 51

Ejemplo S u m a r y multiplicar (325)7 y (164)7

Verificar t r a n s f o r m á n d o l o s a base 10, h a c e r la o p e r a c i ó n y v o l v e r el r e s u l t a d o a base 7.

(325)7

(164)7

(522)7

166 + 9 5 = 261 • = ( 5 2 2 ) 7

(325)7 = 3 (72) + 2 (7) + 5 = 166 = 147+14+5=166.

(164)7= (72) + 6 (7) + 4 = 95 =49+42+4=95.

x (325)7

( 1 6 4 ) 7 (166)(95) = 15770

1636 2622 325

(63656)7

(63656)7 = 6 ( 74) + 3 (73) + 6 (72) + 5(7) + 6 = 15,770

O t r o ejemplo: Tablas d e Suma y multiplicación para base 4. + 0 1 2 3 X 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 10 1 0 1 2 3

2 2 3 10 U 2 0 2 10 12

3 3 10 11 12 3 0 3 12 21

(20)

-17-201 x 123

1203

123 1002

+ 201 201

(330)4 (31323)4

C o m p r o b a c i ó n :

(123)< = ( l ( 42) + 2 ( 4 ) + 3 = 1 6 + 8 + 3 = 2 7+ (201)4 = 2 ( 42) + 1 = 32 + 1 = 33

60 A h o r a :

60 = (330)4

(31323)4 = 891 = (33X27)

L.C.D.C.

1.8 C O M P U T A C I O N P R I M I T I V A . Los cálculos numéricos e n los s i s t e m a s d e n u m e r a c i ó n p r e v i o s al s i s t e m a h i n d ú - a r á b i g o q u e u t i l i z a m o s a c t u a l m e n t e , e n f r e n t a b a n dificultades d e r i v a d a s d e las siguientes limitaciones:

a) Limitaciones mentales, p o r los idiomas deficientes, sin alfabeto y reglas g r a m a t i c a l e s q u e o r d e n a r a n el lenguaje. A d e m á s , los s i s t e m a s d e n u m e r a c i ó n t a m b i é n e r a n deficientes, a u n q u e a l g u n o s consideran q u e es cuestión d e práctica y f a m i l i a r i d a d para c o m p u t a r eficientemente en cualquier sistema.

b) Limitaciones físicas. Los m e d i o s para expresarse p o r escrito e r a n escasos y difíciles d e p r o d u c i r m a n u a l m e n t e . A l g u n o s d e los principales recursos en las p r i m e r a s civilizaciones, s o n los siguientes:

T A B L 5 T A S D E A R C I L L A C O C I D A , Los Babilonios e s c r i b í a n s o b r e m o l d e s d e arcilla h ú m e d a y suave que luego s o m e t í a n al fuego.

P A P I R O S , Los e g i p c i o s o b t u v i e r o n este m a t e r i a l d e la c a ñ a p a p p u s cortada en tiras longitudinales que a c o m o d a b a n h o r i z o n t a l m e n t e , c r u z a d a s con trozos d e 20 a 40 cms., p r e s i o n á n d o l a s piedra sobre p i e d r a , se p o n í a n a secar p e g á n d o s e con la g o m a q u e soltaban. Después se pulían con p i e d r a .

VITELA, Tela obtenida l i m p i a n d o y s e c a n d o piel d e vaca, e s p e c i a l m e n t e d e fetos d e becerros.

P E R G A M I N O S , Obtenidos d e la piel de animales, especialmente ovejas.

P I Z A R R O N E S , "Pizarrones" d e arena f u e r o n u s a d o s d e s d e la é p o c a d e los griegos (700-200 A.C.) para cálculos n u m é r i c o s y f i g u r a s geométricas. Tabletas d e p i e d r a se u s a b a n p a r a g r a b a r r e g i s t r o s i m p o r t a n t e s , d e s d e l a s é p o c a s prehistóricas. Hace u n o s 2000 años, los r o m a n o s utilizaron p e q u e ñ o s p i z a r r o n e s con una delgada capa d e cera, d o n d e escribían con u n estilete.

A B A C O S , Para s u p e r a r estas dificultades físicas y mentales, se i n v e n t a r o n los ábacos, e m p e z a n d o p o r el ábaco griego d e arena, d e p i e d r a y d e b a r r o . Los ábacos aparecieron d e diversas formas d u r a n t e la e d a d m e d i a y c o n s t i t u y e r o n el p r i m e r dispositivo mecánico para cálculos n u m é r i c o s u t i l i z a d o p o r el h o m b r e d e s d e el p e r í o d o griego.

Abaco R o m a n o :

(21)

2534 + 1837 = MMDXXXIV+MDCCCXXXVII = M MMMCCC LXXI = 4,371

PAPEL. Por medios manuales f u e producido primeramente por los chinos d e las cortezas de los árboles. Por medios mecánicos, se logró p r o d u c i r l o hasta 1850 y la imprenta f u e inventada por Gütemberg en 1457. En China y Corea se realizaban impresiones mecánicas con linotipos d e madera, d e s d e el a ñ o 900. Los coreanos aseguran haber e m p l e a d o moldes metálicos desde 1240, p e r o casi no los usaron hasta alrededor d e 1450 cuando en Europa el alemán G ü t e m b e r g perfeccionaba la imprenta de caracteres móviles hechos de metal.

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

EJERCICIO 1. Sistemas de Numeración:

1 - E s c r i b i r l o s n ú m e r o s 3 7 5 y 1642 e n j e r o g l í f i c o s e g i p c i o s , n u m e r a l e s g r i e g o s , n u m e r a l e s r o m a n o s ,

c u n e i f o r m e s b a b i l o n i o s y n u m e r a l e s m a y a s .

2.- S u m a r y m u l t i p l i c a r l o s n ú m e r o s 28 y 6 3 e n j e r o g l í f i c o s e g i p c i o s y e n n u m e r a l e s r o m a n o s .

3.- E x p r e s a r e n n u m e r a l e s m a y a s y s u m a r los s i g u i e n t e s n ú m e r o s :

a) 4 5 y 3 1 8

b ) 1800 y 9 5 3 1

4.- P r o b a r q u e p a r a m u l t i p l i c a r x p o r y , a m b o s e n t r e 5 y 10, p o d e m o s l e v a n t a r ( x - 5 ) y (y - 5) d e d o s e n

c a d a m a n o , s u m a r l o s d e d o s l e v a n t a d o s p a r a l a s d e c e n a s y m u l t i p l i c a r l o s d e d o s c e r r a d o s p a r a l a s

u n i d a d e s .

O b s e r v a c i ó n : L o s d e d o s q u e q u e d a n c e r r a d o s s o n : (10-x) y ( 1 0 - y ) .

5.- C o n s t r u i r t a b l a s d e s u m a y m u l t i p l i c a c i ó n p a r a u n s i s t e m a d e n ú m e r o s d e b a s e 5. E x p r e s a r e n e s t a

b a s e l o s n ú m e r o s 1 7 8 2 y 485.

6 - S u m a r y m u l t i p l i c a r ( 1332 )s y ( 3 4 2 )s

V e r i f i c a r , t r a n s f o r m a n d o a b a s e 10, e f e c t u a n d o l a s o p e r a c i o n e s y v o l v i e n d o a b a s e 5.

7.- E x p r e s a r (31102)4 e n b a s e 7, t r a n s f o r m á n d o l o a b a s e 10 y d e s p u é s a b a s e 7.

8.- D e t e r m i n a r p a r a q u e b a s e e s 2 x 3 - 10.

(22)

9.- D e m o s t r a r q u e s e p u e d e p e s o r e n u n a b a l a n « s i m p l e d e b r a z o s i g u a l e s c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o w

d e k i l o s , d i s p o n i e n d o d e p e s a s d e 1, 2,2 2 , 2J, k i l o s .

10.- D e m o s t r a r q u e s e p u e d e p e s a r e n u n a b a l a n z a s i m p l e d e b r a z o s i g u a l e s c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o w

d e k i l o s d i s p o n i e n d o d e p e s a s d e 1 , 3 , 3Z, 33, .kilos. S u g : 2( 3 )n = 3B + 1 - 3n

11.- Si a a l q u i e n s e le p i d e q u e p i e n s e u n n ú m e r o d e 2 d í g i t o s , q u e m u l t i p l i q u e el d í g i t o d e l a s d e c e n a s

p o r 5, q u e l e a g r e g u e 7, q u e l o m u l t i p l i q u e p o r 2 y q u e le a g r e g u e el d í g i t o d e l a s u n i d a d e s , p r o b a r

q u e , r e s t a n d o 14 d e l r e s u l t a d o f i n a l , s e o b t i e n e el n ú m e r o o r i g i n a l .

»«11»,

C A P I T U L O 2

M A T E M A T I C A S DF. T A S r í V I L I Z A C T O N F S A N T I C U A S

(23)

9.- D e m o s t r a r q u e s e p u e d e p e s o r e n u n a b a l a n « s i m p l e d e b r a z o s ¡ g u a l e s c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o w

d e k i l o s , d i s p o n i e n d o d e p e s a s d e 1, 2,2 2 , 2J, k i l o s .

10.- D e m o s t r a r q u e s e p u e d e p e s a r e n u n a b a l a n z a s i m p l e d e b r a z o s i g u a l e s c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o w

d e k i l o s d i s p o n i e n d o d e p e s a s d e 1 , 3 , 3Z, 33, .kilos. S u g : 2( 3 )n = 3B + 1 - 3n

11.- Si a a l q u i e n s e le p i d e q u e p i e n s e u n n ú m e r o d e 2 d í g i t o s , q u e m u l t i p l i q u e el d í g i t o d e l a s d e c e n a s

p o r 5, q u e l e a g r e g u e 7, q u e l o m u l t i p l i q u e p o r 2 y q u e le a g r e g u e el d í g i t o d e l a s u n i d a d e s , p r o b a r

q u e , r e s t a n d o 14 d e l r e s u l t a d o f i n a l , s e o b t i e n e el n ú m e r o o r i g i n a l .

»«11»,

C A P I T U L O 2

M A T E M A T I C A S DF. T A S C I V I L I Z A C I O N E S A N T I G U A S

(24)

2.2 BABILONIA. 4500-600 A.C. Fuente principal. Desde la primera mitad del siglo 19 hasta la fecha, han sido desenterradas y clasificadas m a s d e 500,000 tabletas d e arcilla cocida desde 5 X 5 cms. hasta 30 X 40 cms. Las principales colecciones d e estas tabletas se encuentran e n los m u s e o s d e París, Londres y Berlín y e n las Universidades d e Yale, Columbia y Pensilvania. A l g u n a s están escritas p o r u n sólo lado, o t r a s por a m b o s lados y hasta p o r los b o r d e s redondeados. Aproximadamente 300 son d e Matemáticas, tablas d e operaciones, cuadrados, cubos, inversos y exponenciales.

INTERPRETACION. Clave descubierta por H.C. Rawlison (Inglés) en 1847 quien perfeccionó la clave anterior del alemán J. Gotefrend. Se han clasificado en 3 períodos:

a) Período Summerio. Hasta 3200 A.C. b) Rey H a m m u r a b i . Hasta 2500 A.C. c) Rey Nabucodònosor. Hasta 600 A.C.

2.3 ARITMETICA Y GEOMETRIA,

MATEMATICAS AGRARIAS Y COMERCIALES.

Desde las tabletas m a s antiguas aparece el sistema posicional sexagesimal. Cálculos aritméticos de contabilidades, recibos, sistemas de pesas y medidas.

GEOMETRIA. Areas d e triángulos rectángulos é isóceles. Trapecios con u n lado perpendicular a los lados paralelos:

La circunferencia del círculo d e d i á m e t r o d. la calculaban con la fórmula C=3d y el área con la fórmula A = ^ C2 que corresponde a n =3. Recientemente

se encontró en una tableta n = 3.125.

Volúmenes d e paralelepípedos rectángulos y d e cilindros circulares. Volúmenes d e pirámides truncadas mal calculadas como la semi-suma d e las bases por la altura.

División d e la circunferencia en 360 partes. Proporciones de triángulos semejantes.

Medida lineal d e aproximadamente 12 kilómetros dividida en 30 partes d e aproximadamente 400 mts. cada una.

2.4 ALGEBRA, Hacia el año 2000 A.C. los Babilonios desarrollaron u n Algebra en prosa para resolver ecuaciones de primer y s e g u n d o grado.

Hay una tableta q u e contiene los c u a d r a d o s y los c u b o s d e n ú m e r o s naturales y su suma n-1 + n2 de n = 1 a n = 30, que permite resolver ecuaciones

cúbicas d e la forma r ' + x2= b , con x número natural, desde b = 2 hasta 27,900.

Una tableta d e Yale del 1600 A.C. contiene problemas n o resueltos d e ecuaciones simultáneas. Por ejemplo:

Cxy =600

(_150(x -y )- (x y j = - 1,000

La 2a. ecuación se transforma en cuadrática en (x - y ) s u s t i t u y e n d o la identidad:

( v +1/)" = ( v - '/)" + 4xi/ y ; xy = 600:

(25)

Resolviendo para ( x - y ) por factores, ( x - y - 1 0 ) ( * - y - 1 4 0 ) = 0 x - y - 1 0 = 0 => x = y +10

ó x -y -140 = 0 ó x = y + 140

Sustiuyendo en xy = 600 : (y+10)y = 600.

y*+ lOy - 600 = 0.

y] = -3U;x, =

y2 = 2 0 ;X 2 = 30

(y+30)(y-2) = 0.

Las otras 2 soluciones se encuentran con x = y + 140

En una tableta d e 1600 A.C. en Yale aparecen aproximaciones d e raíces c u a d r a d a s q u e sugieren el uso de la fórmula.

(a2 + h ) ^ = a + y - (Primeros 2 términos del desarrollo binomial).

I Ejemplo:

V 2 6 = ( 52 + 1 )K= 5 + - ^ = 5.1

2.5 TRIGONOMETRIA.

m, pi.IMPTON 322. Tableta d e la colección G.A. Plimpton e n la Universidad

d e Columbia d e 1900 A.C. descrita por Neugebauer en 1945. Está parcialmente d e s t r u i d a a derecha é izquierda, pero se aprecian claramente 3 c o l u m n a s y la existencia d e una 4a. semiborrada a la izquierda, todas ellas d e n ú m e r o s en el sistema sexagesimal.

Las l e r a s . 4 c o l u m n a s son las q u e a p a r e c e n e n la tableta y h a n sido completadas para encontrar una lista de 15 ternas pitagóricas correspondientes a ángulos B de u n triángulo rectángulo del 45° al 31°

D e f i n i c i ó n : Una terna d e n ú m e r o s en N , (a, b, c), es pitagórica si corresponde a los catetos y la hipotenusa d e un triángulo rectángulo. Es decir, si a2 + 1 ^ = ^ .

r a h £ U lì

L . 1 2 0 119 169 1 12 | 5 45°

X456 3367 4825 64 , 27 44

4 a 0 0 4601 6649 / 3 75 32 43 1 3*500 12709 18541 / 4 125 I 54 42

/ 72 65 97 C . 5 , 9 I 4 41

360 319 481 6 20 9 40

2700 2291 3541 7 54 1 25 39

960 799 1249 8 32 1 15 38

600 481 769 9 25 . 12 37

6480 4961 8161 10 81 40 36

60 45 75 11 2 1 1 35

2400 1679 2929 12 48 | 25 34

240 161 289 13 15 . 8 33

2700 1771 3229 14 50 1 27 32

90 56 106 15 9 1 5 31

y

A

(26)

son pitagóricas porque:

'«IW,

a2 + b2 = (2 u v )7 + ( u2 - v2 Y

= 4 u2v2 + u4 -2uW + v*

= u* + 2 « V + v* = {u2+v*y = c2

(a,b,c) es una terna pitagórica.(a,b y c son formas paramétricas d e u y y).

Ohservación: Estas fórmulas para a, b, y c no proporcionan todas las ternas p i t a g ó r i c a s . P o r e j e m p l o , la t e r n a (9, 12, 15) es p i t a g ó r i c a p o r q u e 92 + 122 = 81 + 144 = 225=152.

Esta terna no se obtiene de las fórmulas d a d a s porque si a=12 = 2 uv, con u > v, se tiene :

fu = 6 ,

12 =

^2(3*2) — = 2 ® De la l a . alternativa, se obtiene:

b = «2 - F2 = 3 6 - 1 = 3 5 ;b = 3 5 C = H2 + Z;2 = 3 6 + 1 = 3 7 ;c = 3 7

Entonces, la terna d e las fórmulas sería (12,35,37); 122 + 352 = 372

De la 2a. alternativa: u = 3; v = 2: t e n e m o s : b = 9 - 4 = 5 ; b = 5

c = 9 + 4 = 13; c = 13 y la terna d e las fórmulas sería: ( 1 2 , 5 , 1 3 ) ; 122 + 52 = 132

Todas las ternas de la tableta son pitagóricas y provienen de las fórmulas encontradas por los árabes con los valores d e u y v

que se d a n a la derecha de la tabla.

Definición: Una i e i n a pitagórica (a, b, c) es primitiva si el m á x i m o c o m ú n divisor d e a, b y c es 1. Es decir si los números naturales d e la terna son primos entre sí.

Las ternas pitagóricas de las f ó r m u l a s q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o son primitivas bajo ciertas condiciones sobre u y v, d e a c u e r d o con el siguiente teorema:

Teorema: Las ternas pitagóricas de la forma: a = 2uv- b = u2 - v1 y c = u2 + v2 conw

> v, u y y e N son primitivas si y solo si (u,v ) = 1 y u yv son d e diferente paridad.

Demostración: 1) Hipot.

Í

á = 2 uv b = u2-v2

C = U 2+ VI (a, b, c) = 1 > . D . Í " y ? I (U,u ) =

u>v eN son d e diferente paridad

Supongamos por reducción a lo a b s u r d o que ( u ,v ) * 1. Entonces existe m > 1 e N tal que :

m/ul m / a = 2uv

m/v H m/b = u 2-v* H ( a , b , c ) ^ l

J m / c = u ^ v 2J contra la hipótesis !

(u,v) = 1

Además, s u p o n g a m o s por reducción a lo a b s u r d o que u y v s o n d e la

(27)

si u yv son pares

f a = 2uv :<b = u1-v2

(_c = u7 + i>2 : son pares

Si u y v son impares: => a,b y c son pares.

( a , b, c ) *• 1, contra la hipótesis original.

u yv son d e diferente paridad. L.C.D.D.

Ca = 2uv

© Hipótesis ¿ b = u 2 - 2 [ u'v > ~ 1

(_c = u 2 +1>2 u yv diferente paridad

Supongamos, por red. a lo absurdo, que (a, b, c) * 1

Entonces, existe m primo en N tal que m / a , b y c

m / a + c = (u + v¥ = {u + v )(u + v ) m/u + v

A d e m á s : m / a + b = (u - v )J=> m / ( u - v)

f m/u + v "l m/ u-v

.'.m/2u; m / 2 u

Si m * 2 = S i m = 2=

=> (u, v )*\,contra la hipótesis. u +v = 2ki

u-v = 2kz

s . u y v son d e la misma paridad, contra la hipótesis, (a, b, c ) = 1 L.C.D.D.

Con excepción d e las ternas d e las hileras 11 y 15 d e la tableta, t o d a s las d e m á s son primitivas. La tableta contiene una cuarta columna parcialmente destruida q u e corresponde a los valores d e c / a q u e son las secantes d e l á n g u l o A. Estos h a l l a z g o s s u g i e r e n la c o n v e n i e n c i a d e e x a m i n a r e i n v e s t i g a r c u i d a d o s a m e n t e las tabletas. Posiblemente existan ó existieron o t r a s tabletas como esta correspondientes a los ángulos del 30° al 16° y del 15° al Io.

2.6 EGIPTO. (3500-1000 A.C.)

Los egipcios d e esta época no lograron u n avance matemático tan notable como el d e los Babilonios, tal vez p o r q u e tenían m e n o s problemas d e ingeniería en su árido territorio, aislado d e las rutas comerciales d e las caravanas d e las antiguas civilizaciones. Sin embargo, tuvieron que enfrentar los p r o b l e m a s d e construir sus enormes pirámides para conservar los cuerpos d e sus faraones y los registros principales d e sus papiros, que de otra manera habrían sido destruidos, porque eran d e material orgánico. Para conservar los cuerpos d e s u s faraones, a d e m á s de construir tumbas ocultas y selladas en las pirámides, desarrollaron técnicas d e embalsamiento consistentes en extraer la sangre y las visceras, colocar el cuerpo en u n a plataforma de aproximadamente 2 metros d e altura, cubiertos con una capa d e 1 cm. de sal y así exponerlos al sol d u r a n t e u n m e s p a r a d e s h i d r a t a r l o s y d e s p u é s cubrirlos con v e n d a s i m p r e g n a d a s con sustancias químicas conservadoras. Además, fabricaban ataúdes herméticos y sellados, que se depositaban en las tumbas ocultas y también selladas en s u s pirámides.

(28)

FUENTES P E DATOS:

1.- 3100 A.C. E s c u d o Real Egipcio, grabado con números grandes relativos a batallas victoriosas. Actualmente en el museo d e Oxford, en Inglaterra.

2.- 2900 A . C Construcción d e la G r a n Pirámide d e Gizeh con 2'000,000 d e bloques colocados en una área d e aproximadamente 5 hectáreas (50,000 Mts.2).

En promedio, cada bloque pesa 2.5 toneladas y fueron llevados d e u n banco s i t u a d o del otro lado del Río Nilo. Los techos d e las cámaras son d e bloques d e granito d e 8.25 mts. d e largo por 1.25 mt. d e espesor y 54 toneladas d e peso cada uno. La base es cuadrada con u n error relativo en sus lados menor q u e 1/14,000 y e n los ángulos d e sus esquinas menor que 1/27,000. El trabajo f u e realizado por 100,000 hombres durante 30 años.

*3.- 1850 A.C. a) El papiro d e Moscú d e 8 cms. por 5.44 mts. con 25 problemas, f u e publicado e n 1930.

b) El m á s a n t i g u o extante para observaciones astronómicas, actualmente en el m u s e o d e Berlín.

*4.- 1650 A.C. Papiro Rhind, especie d e manual con 85 problemas, fue publicado e n 1927, d e s p u é s d e haber sido obtenido por el Inglés Henry Rhind e n Luxor, Egipto y se encuentra en el museo Británico.

5.- 1500 A.C. a) El mas grande obelisco existente, en Tebas, frente al Templo del Sol. Tiene base cuadrada de 3 mts., una altura de 33 mts. y pesa 430 toneladas.

b) El m a s antiguo extante para mediciones basadas en los movimientos del Sol, actualmente en Berlín.

6.- 1350 A.C. Papiro Rollins, actualmente en el m u s e o del Louvre, en París, contiene contabilidades con números grandes sobre fabricación d e pan.

7.- 1167 A.C. Papiro Harris. P r e p a r a d o por el f a r a ó n R a m s e s IV, c o n t i e n e inventarios sobre las riquezas d e Egipto y los trabajos realizados por s u p a d r e Ramses III.

Fuentes d e d a t o s mas recientes m u e s t r a n u n retroceso e n la c u l t u r a matemática de Egipto.

* Son los m a s importantes.

2-7 ARITMETICA Y ALGEBRA, Los 110 problemas d e los p a p i r o s d e Moscú

y Rhind son numéricos y la mayoría son d e origen práctico y m u y simples. El carácter aditivo d e su sistema d e n u m e r a c i ó n , les p e r m i t i ó d e s a r r o l l a r u n algoritmo para multiplicar 2 números por duplicación d e u n o d e los factores y sumando aquellos que corresponden a la expresión del s e g u n d o factor en base 2, es decir como una suma de potencias de 2. Por ejemplo, para multiplicar (45) por

(45), = 101101 = 1 + (2): +1(2)' + l(2)5

= 1 + 4 + 8 + 32

.-.(45)74 = ( 1 + 4 + 8 + 32)74

(29)

1 - 74 * 8 1 4 8

* 4 - 296 * 8 - 592

w

5330"

• - » I

+

•w

: i 6

1184 * 32 - .2368 C í l m

En numerales egipcios:

(45) (74) =|NN|¡) = 3 3 3 0

1 ^ Las fracciones las descomponen en sumas de fracciones unitarias - = n . Esto

sería por ejemplo : | = E A; ^ = ^ + 1,11 Á

Hay una excepción para la fracción 1 / 2 representada a veces por :

c-Problemas sobre mezclas para alimento de ganado y almacenamiento d e g r a n o s q u e conducen a ecuaciones lineales resueltas por el m é t o d o d e "falsa posición" (tanteos).

Por ejemplo, para resolver la ecuación:2x - - = 60, se intenta con x = 8: 2 ( 8 ) - - = 1 6 - 1 = 15 = | ( 6 0 )

8 4 x = 4(8) = 32 r e s Ue l v e la ecuación:

2 ( 3 2 ) - — = 64 - 4 = 60 8

En u n p a p i r o de 1950 A.C. se encuentra el siguiente problema: "Una superficie d e 100 unidades de área es la suma de 2 cuadrados cuyos lados son

3

u n o al otro como 1: - " . La solución para los lados sería: 4

x2+ y 2 = 100 =102 ©

x = 3 / 4 y Q

Por el método de "falsa Posición" tenemos

„ _ „ _ 7 _ 9 + 16 = ZD =— ( i u u i = f -y - 4 , x - 3 Sustitu-yendo en 0 : 4 ^2

> = 2(4) = 8 . x = 6 es la solución.

En el papiro Rhind están los símbolos para + = A y - = A , el positivo son unos pies caminando hacia la izquierda, sentido en que escribían los egipcios.

26 de los 110 problemas de los papiros Rhind y d e Moscú son geométricos, la mayoría se refieren a cálculo de áreas de terrenos y volúmenes de graneros y pirámides.

Calculan el área de un círculo con la fórmula aproximada:

El volumen de un cilindro lo calculan bien como el área de la base por la altura.

El área de un cuadrilátero la calculan como:

' A = 7 (a + CK'3 + fórmula correcta para rectángulos porque:

en O :

(30)

Más de 6,000 kms. d e 6 mts. d e altura, serpenteantes e n unos 2,400 kms. 25,000 torres d e vigillancia de 12 mts. d e altura, cada 200 mts. Participaron e n la obra más de u n millón d e trabajadores, decenas d e miles d e ellos m u r i e r o n y f u e r o n sepultados en la muralla junto con la mayoría d e la élite intelectual d e la epóca.. Algunos fueron reproducidos d e memoria pero no se sabe la fecha original d e los datos. Este e m p e r a d o r u n i ó al gran territorio d e China y c o n s t r u y ó la G r a n Muralla.

C U A D R O S M A G I C O S . Uno d e los libros m a s antiguos d e la matemática china es el I-King en el cual aparece una figura llamada Io-Shu con el m a s antiguo cuadro mágico conocido:

Se dice q u e este dibujo fue encontrado por el e m p e r a d o r Yu, grabado en una tortuga a orillas del Río Amarillo (Hoang-Ho).

Definición: Un cuadro mágico de o r d e n n es u n arreglo en n columnas d e enteros positivos, tal que la suma d e cualquier hilera, diagonal mayor es la misma cantidad, llamada la constante mágica:

o i n ( n > + l)

D e f i n i c i ó n : U n c u a d r o mágico d e o r d e n a es n o r m a l si losn2 n ú m e r o s

naturales que contiene son los primeros: 1, 2,3,..., n2.

El cuadro de la figura Io-Shu es mágico normal d e orden 3.

-37-2200 A.C.,

(31)

* Hin • I)

•15

•15

V O + 1) ^ M l ü )

15

Todas las hileras, columnas y diagonales principales s u m a n 15

El francés De la Loubére encontró en Siam un método simple para construir cuadros mágicos d e orden impar que consiste en lo siguiente:

1 - Empezar con el 1 en la celda central de la hilera superior Proceder d e izquierda a derecha v d e abajo hacia arriba en diagonal con los n ú m e r o s naturales en orden hasta salir del cuadro

2.- Si se sale por arriba, colocar el número que sigue en la celda interior d e la columna inmediata a la derecha, para continuar

3.- Si se sale por la derecha, colocar el n ú m e r o en la primera celda de la hilera inmediata hacia arriba, para continuar

4. C u a n d o se encuentre una celda ya o c u p a d a , seguir con la celda inmediata inferior al último número colocado La esquina superior derecha fuera del cuadro, se considera como una celda ocupada

»

Por eiemplo, para n=7

ff I v >

36 4 5 ^ I 5 I 14 I 161 25 i 34

I 13 | 1 S | 24 1 33 I 42 j 44 j \ < f g p 23 I 32 I 41 l ^ g j 3 I 12 •< l£>l 31 I 40 I j49j 2^ i 11 i 2 0/

C = i n ( n2 + l) = Í 7 ( 5 0 ) = 175

En 1514, el pintor alemán Albrecht Dürer realizó su g r a b a d o "Melancolía" en el que hay u n cuadro mágico normal d e orden 4:

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

C = i n ( n > + 1)

= ^(4)(17)

C = 34 Todas sus hileras, columnas y diagonales mayores s u m a n 34.

Las celdas centrales d e la hilera inferior dan la fecha del grabado: 1514.

Además se p u e d e n verificar las siguientes propiedades:

1.- La s u m a d e los cuadrados d e los números q u e están e n las p r i m e r a s 2 hileras es igual a la suma d e los c u a d r a d o s d e los n ú m e r o s q u e están e n las últimas 2 hileras.

2.- La suma de los cuadrados d e los números da las hileras 1 y 3 es igual a la suma de los cuadrados d e los números que están en la 2a. y 4a. hilera.

(32)

4.- La s u m a d e los c u a d r a d o s y de los cubos d e los n ú m e r o s d e las diagonales m a y o r e s son respectivamente iguales a la suma d e los c u a d r a d o s y los cubos d e los n ú m e r o s q u e no están en estas diagonales.

H a y u n p r o c e d i m i e n t o d e o r i g e n desconocido para elaborar c u a d r o s mágicos normales d e o r d e n múltiplo d e 4, que consiste en lo siguiente:

1.- Cruzar con línea suave todas las diagonales mayores d e los bloques d e 4 x 4 celdas diferentes q u e se forman, d e izquierda a derecha y de arriba a abajo.

2 - C o n t a r con los n ú m e r o s naturales 1, 2, 3,... las celdas del c u a d r o de i z q u i e r d a a d e r e c h a , e m p e z a n d o con la esquina s u p e r i o r i z q u i e r d a hasta completar la primera hilera y siguiendo d e la misma manera con las hileras q u e siguen, colocando el n ú m e r o q u e le corresponda, e n las celdas q u e no estén cruzadas.

3.- C o n t a r con los n ú m e r o s naturales 1, 2, 3,... e m p e z a n d o con la celda inferior derecha y e n sentido inverso al anterior, colocando el n ú m e r o q u e le corresponda, en las celdas cruzadas.

Por ejemplo, para n = 4 C = - i ( 4 X 1 7 ) = 3 4 .

Otro ejemplo para n = 8 : = ^ ( « X6 5) - 2 6°"

Una regla para determinar cuadros mágicos no-normales d e o r d e n i m p a r mayor que 3, es la siguiente :

1.- Colocar en la primera hilera los números naturales : a, 2a, 3a, , na.

2.- En la segunda hilera repetir estos nímeros, e m p e z a n d o por el q u e sigue al elemento de la celda central en la primera hilera, es decir, se e m p i e z a con

~ ( n + 3)a , siguiendo el mismo orden cíclico.

| ( n + 3)a,^-(n + 5)a na, a, 2a , ^ ( n + l ) a .

3.- Repetir este proceso a partir d e la segunda hilera, para obtener la tercera y

n . n

así sucesivamente. Para estos cuadros: C = £ i a = a £ i • c - n(n + 1)

(33)

) k

EJERCICIO?, Babilonia (4000 600 A.C.).

1.- D e m o s t r a r la f ó r m u l a q u e a s a r o n l o s B a b i l o n i o s p a r a el á r e a d e u n t r a p e c i o c o n u n o d e l o s l a d o s

p e r p e n d i c u l a r a l o s l a d o s p a r a l e l o s : A = i (a + b) c . E n c o n t r a r e l á r e a p a r a a = 8 ; U S y c = 3 ,

p e r p e n d i c u l a r a a y l».

2.- V e r i f i c a r q u e el v a l o r d e * e s 3 e n l a fórmula b a b i l ó n i c a p a r a el á r e a d e u n c í r c u l o : A = — C2.

3 , E n c o n t r a r el e r r o r q u e t e n í a n l o s B a b i l o n i o s al c a l c u l a r el á r e a d e u n c í r c u l o d e r a d i o 4, c o n s i d e r a n d o

q u e c a l c u l a b a n C = 3 d .

4 - E n u n a t a b l e t a q u e s e e n c u e n t r a e n el M u s e o d e lx>uvre, e n F r a n c i a , s e c a l c u l a el t i e m p o n e c e s a r i o

p a r a d u p l i c a r u n a c i e r t a c a n t i d a d C o a u n i n t e r é s c o m p u e s t o a n u a l d e l 2 0 % . R e s o l v e r é s t e p r o b l e m a

c o n la f ó r m u l a a c t u a l : C , = C0( 1 + r )1. .

5.- C a l c u l a r ( l 2 )3 y ( 1 2 )4 y p o r i n t e r p o l a c i ó n lineal o b t e n e r X t a l q u e : ( 1 2 ) * = 2 . E s t e f u é e l

r e s u l t a d o o b t e n i d o p o r l o s b a b i l o n i o s e n el p r o b l e m a a n t e r i o r .

6 , R e s o l v e r el s i g u i e n t e p r o b l e m a d e u n a t a b l e t a b a b i l o n i a d e 1 8 0 0 A C , El l a d o d e u n c u a d r a d o e s 2 / 3

d e l l a d o d e o t r o c u a d r a d o , m e n o s 10. Si la s u m a d e l a s á r e a s d e l o s 2 c u a d r a d o s e s 1 0 0 0 , e n c o n t r a r

l o s l a d o s d e l o s c u a d r a d o s .

7 , R e s o l v e r e l s i g u i e n t e p r o b l e m a s i m i l a r a l o s q u e a p a r e c e n e n u n a t a b l e t a B a b i l o n i a :

E n c o n t r a r l o s l a d o s d e l r e c t á n g u l o d e á r e a 1 y s e m i - p e r í m e t r o 4.

8 , U n a t a b l e t a B a b i l o n i a c o n t i e n e u n a t a b l a d e v a l o r e s d e n W q u e s u g i e r e la s o l u c i ó n d e a l g u n a s

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