RADICALES
Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice 2
n de un número entero.
Raíz enésima de un número entero.
Si a y n , con n 2, diremos que la raíz enésima de a es un número real r y lo notaremos así: r
a n
, si rn a.
a r r
a n
n
Se llama: “a” radicando.
“r” raíz enésima.
“n” índice del radical. “ ” símbolo del radical.
Las raíces de índice dos se llaman raíces cuadradas, y no se escribe el índice.
Las de índice 3 se llaman raíces cúbicas, las de índice 4 se llaman raíces cuartas, etc....
Ejemplos: 2 8 3
, 3 27 3
, n 0 0
La raíz cuadrada de 16 es 4 y también –4, porque 42 = 16 y ( –4)2 = 16. Si queremos referirnos a la raíz positiva (4) lo notaremos 16 4, y para referirnos a la raíz negativa (–4) lo notaremos
4
16 . Si queremos referirnos a las dos raíces lo notaremos 16 4.
Esto no sólo sucede con las raíces cuadradas, sino con todas las de índice par; por tanto 4 81 3 , 3
81 4
, 4 81 3 .
Observamos que:
Todos los números positivos tienen dos raíces de índice par, que son opuestas. Los números negativos no tienen raíz de índice par.
Todos los números tienen una sola raíz de índice impar (que será positiva si el número es positivo y negativa si el número es negativo).
a a n
n , ya que n a r rn a
, luego n a n rn a
Otra forma de expresar n a
usando las potencias es la siguiente: n
n a a
1
Esta notación encaja totalmente con las propiedades de las potencias, ya que: a
a a
a nn
n
n 1
1 1
Potencias de exponente racional
En general se llaman potencias de exponente racional a:n m n
m a a
Pues nn m
m n n m
a a a
Propiedades de las potencias de exponente racional
1. q
p n m q p n m
a a a
2. q
p n m q p n m q p n m
q p n m
a a a a a
a a
:
3. q
p n m q p n m
a a
4. n
m n
m n m
b a b a
5. n
m n
m n m
b a b
a : :
6. n
m n m n m
Radicales equivalentes
Dos potencias de distinto exponente fraccionario son equivalentes si determinan el mismo número real.
Ejemplo:
... 2
2
2 6
3 4 2 2 1
En general: np p m n m
a
a , siendo a *, y p .
El ejemplo anterior lo podemos escribir en forma de radical de la siguiente manera: ...
2 2
2 4 2 6 3
Propiedad fundamental: n am npamp
“Dos radicales son equivalentes si expresados en forma de potencia sus exponentes son fracciones equivalentes”
La propiedad fundamental:
Leída de izquierda a derecha Ampliación de radicales Leída de derecha a izquierda Simplificación de radicales
Simplificación de radicales
La propiedad fundamental permite obtener radicales equivalentes de índice más pequeño. Antes de operar, o durante el proceso de la operación hay que simplificar los radicales siempre que sea posible.
n m p
n mp
a a
Reducción de radicales a índice común
Usando la ampliación de radicales podemos reducir varios radicales a índice común. Veamos cómo se hace con un ejemplo:
Vamos a reducir a índice común los radicales 4
a, y 6 b:
El índice común es el m.c.m. de todos los índices: m.c.m.(4,6)=12 12 3
12 3 4 1 4
a a
a
a , 12 12 2
2 6 1 6
b b
b
Una vez reducidas las raíces a índice común, podemos compararlas y operar con ellas como se indica a continuación.
Comparación de radicales
Entre dos radicales del mismo índice será mayor el de mayor radicando.
Operaciones con radicales
1. Multiplicación y división: Para multiplicar o dividir radicales hay reducirlos a índice común y luego multiplicar o dividir los radicandos.
n n n
b a b
a n
n n
b a b a
Pues: n
n n
n n
n
b a b
a b a b a
1 1
1
y n
n
n n n
n
b a b
a
b a b a
1
1 1
2. Potencias: Para calcular una potencia de un radical, se eleva el radicando a dicho exponente y
se deja el mismo índice.
n p p
n
a a
Ya que: n n p
p p n p n
a a
a a
1
3. Raíz: Para calcular la raíz de otra raíz, se multiplican los índices y se deja el mismo radicando.
n m m n
a a
Porque: nm nm mn
m n m
n
m n a a a a a a
1 1 1 1 1 1
4. Suma y resta: Mas adelante veremos en que casos la suma o resta de dos radicales se puede expresar con un solo radical. De momento nos limitaremos a resaltar que n a n b n a b
Ejemplo: 64 36 64 36 , ya que: 64 36 8 6 14 y 64 36 100 10
Extracción de factores de un radical
Siempre que tengamos n am con m > n, se puede sacar del radical parte de la potencia de am de la siguiente forma:
Sea c el cociente entero que resulta al dividir m entre n, y r el resto de dicha división. Como se verifica que m n c r, tendremos que n m n nc r n nc r n n c r
a a a
a a
a
n r c n r c n n n r
n n c
a a a a
a
a .
En resumen que n am ac n ar
Introducción de factores en un radical
Dado un radical con factores fuera de él, se pueden introducir dichos factores en el radical de la siguiente forma: a n b n an n b n an b.
Si lo que tenemos es un cociente: n n n n
n n
a b
a b a
b
Luego: a nb n an b n n n
a b a
b
Forma típica de un radical
Cuando un radical está expresado de la forma n b
a con:
1. Todos los factores posibles extraídos 2. La n
b simplificada al máximo
Se dice en este caso que el radical está expresado en su forma típica. El número “a” se denomina coeficiente y n
b parte radical.
Radicales semejantes
Dos radicales diremos que son semejantes, si sus respectivas formas típicas tienen la misma parte radical.
Por ejemplo n b
Operaciones con radicales semejantes
Suma y resta: n n n
b c a b c b a
Multiplicación: n n
b a k b a
k .
n m n
m
b h a k b a h k
Potencia: n p p n p
b a b a
División por un número real: n
n
b k a k
b a
Raíz: m n m mn
b a b a
Prioridad de operaciones: Como son números reales, se mantiene la misma que para ellos.
Racionalización de denominadores
Racionalizar un denominador en una expresión B A
, es encontrar una razón equivalente a ella que no tenga raíces en el denominador.
Se pueden presentar varios casos; veamos como se racionalizan algunos de ellos.
Caso I: c k
a
. En este caso se racionaliza multiplicando numerador y denominador por c.
Ejemplo:
15 5 2 5 3
5 2 5 5 3
5 2 5 3
2
Caso II:
n p c k
a
(con p<n; si fuese p>n se extraerían factores del radical). En este caso se
racionaliza multiplicando numerador y denominador por n cn p .
Ejemplo:
21 6 4 42
6 8 6 7
6 8 6 7
6 8 6 6 7
6 8 6
6 7
6 8 6
7
8 5 3 5 3 5 3
5 5 5 3 5 2 3
5 3 5 3
Caso III:
d h c k
a
En este caso se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Sabiendo que el conjugado de un binomio se obtiene cambiando de signo su segundo término y dejando el primero tal y como está.
Ejemplo: 2 2
2 3 7 2
2 3 7 2 5 2 3 7 2 2 3 7 2
2 3 7 2 5 2
3 7 2
5
2 2 3 7 2 10
2 3 7 2 5 2
9 7 4
