Ecuaciones de Segundo
Grado
René Descartes nació en Francia en el siglo XVII. Fue un gran filósofo y matemático. Considerado por muchos como el fundador de la filosofía moderna, hace famosa su frase: "PIENSO, LUEGO EXISTO".
En el ámbito matemático, uno de los mayores logros de Descartes es su famosa SUMA:
Parte teórica
• Ecuación de segundo grado.- Son aquellas que luego de reducir términos semejantes y pasar todos los términos al primer miembro adoptan la forma:
ax 2+ bx + c = 0
ÁLGEBRA
+
GEOMETRÍA=
GEOMETRÍA ANALÍTICATérmino
cuadrático Término lineal Término independiente
Esto significa que, Descartes fue el creador de la GEOMETRÍA ANALÍTICA al fusionar la Geometría Euclidiana con el Álgebra. Uno de los puntos principales en esta disciplina, es el concepto de PLANO CARTESIANO (este nombre es debido a que Descartes en latín se escribe CARTESIUS), en el cual se ubican los pares ordenados (x, y).
Al unir varios pares ordenados mediante curvas o líneas rectas se generan gráficos, algunos de los cuales provienen de las denominadas CÓNICAS. Una CÓNICA muy conocida es la parábola.
To da PAR ÁB OLA es u n
Donde: "a", "b", "c" son coeficientes (a 0) "x" incógnita.
Debes tener presente que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones o también llamadas raíces de la ecuación.
• ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO?
Existen varias formas de resolver una ecuación de segundo grado, pero mencionaremos las dos más importantes:
* Por factorización.- Aquí generalmente se utiliza el aspa simple, además recuerda:
Si: a . b = 0 a = 0 v b = 0 polinomio de segundo grado
de la forma:
P(x) = ax2 + bx + c
donde: "a", "b" y "c" son constantes reales.
y
P(x)
x raíces
de
P(x)
Ejemplo:
Resolver: x2 - 7x + 12 = 0
Solución:
x2 - 7x + 12 Observa en el gráfico
adjunto, que la parábola corta al eje X en dos puntos. Estos dos puntos son denominados RAÍCES DEL POLINOMIO P(x)
y serán obtenidos cuando hallemos los valores de "x" que verifican la igualdad: ax2 + bx + c = 0
O lo que es conocido como "
ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
".x - 4
x - 3
Luego: x2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)
Cada factor se iguala a cero:
Por fórmula general: Luego, aplicamos la propiedad anterior:
x b b
2 4ac Suma x
1 + x2
(7)
7
1 2a
Ejemplo: Producto x1 . x2
12
12
1 Resolver: x2 - 7x + 12 = 0
Solución:
Problemas resueltos
1. Resolver: 6x2 - 5x + 1 = 0
Primero identificamos los valores de "a", "b" y "c".
1x 2 - 7x + 12 = 0
a b c
Resolución:
6x2 - 5x + 1 = 0
3x -1
2x -1
Así tenemos: a = 1; b = -7; c = 12 y aplicamos la fórmula:
(3x - 1)(2x - 1) = 0
Si: ab = 0 a = 0 v b = 0
(7)
x (7)
2 4(1)(12)
2(1)
entonces:
3x - 1 = 0 v 2x - 1 = 0 3x = 1 v 2x = 1
x 7
Luego:
49 48 2
x 1 v 3
1
; 1
x 1 2
x 7 1 v x 7 1
finalmente: 3 2
2
1 2 2 2 2. Resolver: 2x
Resolución:
- 5x - 1 = 0
x1 = 4 v x2 = 3
• Propiedades de las raíces.- Dada una ecuación de segundo grado se tiene:
Suma de raíces Producto de raíces
utilizando la fórmula general: a = 2; b = -5; c = -1
x x b x . x c x b b
2 4ac
1 2 a 1 2 a 2a
Ejemplos:
Dada la ecuación: x2 - 7x + 12 = 0; determinar la suma
(5)
x (5)
2 4(2)(1)
2(2) y el producto de raíces.
Solución:
En primer lugar, se identifican los valores de “a”, “b” y “c”:
x 5
x 5 4
25 8 4 33
1 x2 - 7x + 12 = 0 Finalmente las raíces son:
a b c 5 33
4
5 33 y
a) -5 y -6 b) -5 y 6 c) -10 y -3 d) 10 y 3 e) 5 y 6
a) -3 y -6 b) 2 y 6 c) 3 y 6 d) -2 y 6 e) -9 y -2
a) 5 b) 0 c) 0 y 5
d) -5 e) 0 y -5 3. Resolver:
(2x2 - 9x)2 + 4(2x2 - 9x) - 45 = 0
Indique la suma de las raíces enteras.
5. Resolver:
Resolución:
3x2 - 27x = 0
Resolución: Factorizando se tiene:
Realicemos el cambio: 2x2 - 9x = y
luego la ecuación de segundo grado será: y2 + 4y - 45 = 0
y + 9
y - 5
(y + 9)(y - 5) = 0 y = - 9 v y = 5
x[3x - 27] = 0 se cumple:
x = 0 v 3x - 27 = 0 x = 0 v 3x = 27 x = 0 v x = 9
pero: y = 2x2 - 9x El conjunto solución de la ecuación será: {0; 9}
Reemplazando:
2x2 - 9x = -9 v 2x2 - 9x = 5
2x2 - 9x + 9 = 0 v 2x2 - 9x - 5 = 0
Bloque I
Problemas para la clase
Resolviendo cada una de las ecuaciones: 2x2 - 9x + 9 = 0 v 2x2 - 9x - 5 = 0
2x -3 2x +1
x -3 x -5
(2x - 3)(x - 3) = 0 (2x + 1)(x - 5) = 0
1. Resolver y dar su conjunto solución: x2 + 11x + 30 = 0
2. Dada la ecuación: x2 - 7x - 8 = 0; hallar sus raíces.
a) 8 y -1 b) -8 y 1 c) -2 y 4 d) -1 y -6 e) -5 y -3
x 3
2 v x 3 x 1 2 v x = 5
3. Resolver: x2 - 9x + 18 = 0 La suma de las raíces enteras es:
3 + 5 = 8
4. Indicar la suma y producto de las raíces de la ecuación: 4. Hallar las raíces de: x2 + 3x - 28 = 0
Resolución:
2x2 - 16x - 1 = 0 a) -4 y -7 b) -7 y 4 c) -2 y -7
d) 4 y 7 e) -4 y 7 5. Resolver: x2 - 5x - 6 = 0
Identificando coeficientes: a = 2 ; b = -16 ; c = -1
a) 3 y 2 b) -3 y 2 c) 6 y 1 d) -6 y 1 e) 6 y -1
Luego: 6. Resolver: x2 - 5x = 0
x1 x 2 b a
(16)
8
2
7. Resolver: 2x2 - 12x = 0
c x1x2
a 1
0,5
2 a) 6 b) 0 y 6 c) 3 y 2
a) 5 b) -5 c) -5 y 5 d) -3 y -2 e) 3 y 2
a) 4 y 2 b) -3 y -5 c) -4 y -2 d) 3 y 5 e) 4 y -2
8. H a l l a r l a s r a í c e s d e : x 2 - 25 = 0 5. Indicar las raíces de: 9(2 - x) = 2x2
3 a)
2 y -6 b) 3
y 6 c) 2
2 3 y -2 9. Dada la ecuación: x2 - 49 = 0
Indicar sus raíces.
a) 7 y 2 b) -7 y 7 c) -7 y 5 d) 14 e) 0
10.Resolver: (x - 1)(x - 5) = -3
a) 2 y 4 b) -2 y 3 c) -2 y -4
d) 6 y -3 e) 3 y -6
6. Indicar las raíces de: x2 = (x - 9)2 + (x - 8)2
a) 5 y 17 b) 29 y 5 c) -29 y 5 d) -5 y -17 e) 29 y 17
7. Aplicar la fórmula para resolver: x2 - 4x + 2 = 0
d) -3 y -2 e) 0 a) 2 2 1 ; 1 2 2 b) 2 2 1 ; 2 2 1 11.Resolver: (x + 1)(x + 6) = -6 c) 2 2 ; 2 2 d) 4 y -2
a) 2 y 3 b) 2 y 4 c) -1 y 3 d) -4 y -3 e) -6 y -1
12.Resolver: (x - 3)2 + x2 = (x + 4)(x - 2) + 2
e) 4 y 2
8. Resolver: x2 - 6x + 7 = 0
a) 3 c) 1
3 ; 3 3 2 ; 1 2
b) 3 d) 2
2 ; 3 2 2 ; 2 2
Bloque II
1. Resolver: 7x2 + 40x - 12 = 0
e) 4 y 2
9. Resolver: x2 + 2x = 5
a) 1 6 ; 1 6 b) 1 2 ; 1 2 1
a) -6 y 7
2 b)
7 y -6 c) 1 7 y -6 c) 1 3 ; 1 3 d) 2 3 ; 2 3 d) 3
7
1 y 2 e)
7 y 6
e) 2 y -5
10.Resolver: (x + 3)2 - (x - 1)2 = x2
2. Resolver: 2x2 - 3x - 5 = 0 a) 4
2 6 ; 4 2 6 b) 2 6 1 ; 2 6 1 5
5 5
c) 2 3 ; 2 3 d) 3 2 ; 3 2 a) 2
5
y 1 b) 2 y -1 c) 2 y 1 e) -3 y 1 Bloque III d) 2 y -1 e) 5 y -1
1. Calcular la suma de raíces reales de la ecuación: 3. Resolver: 3x2 + 5x - 2 = 0
3x2 = - (x - 4)
1
a) 3 y -2 b) 1 3 y 2 c) 1 y -2
1
a) 5 b) -3 c)
3 1
d) -1 y 2 e) 1
3 y -2 d) 3 e) 3
4. Resolver: (x + 1)2 = 9
a) 2 y 1 b) 2 y -4 c) 2 y 3 d) 2 e) ± 3
2. En la siguiente ecuación: 5x2 = x + 1
Calcular la suma de las inversas de sus raíces.
a) 1 b) 0 c) -1
1
d) e) -2
a) -4 b) -1 c) -2 d) -3 e) -5
a) 1 y 6 b) -3 y -2 c) -6 y 1 d) 3 y 2 e) 6 y -1
a) 7 y 4 b) -7 y 4 c) 7 y -4 d) 28 y 3 e) -28 y -3
a) n + 1 b) n - 1 c) n - 3 a) 1
2 y 2 b) 1 y 2 1
y 2 2 d) n - 2 e) 3 - n
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
a) a - 2b b) 2a + b c) a + 2b d) 2a - b e) a + b
3. Resolver: 3x2 - 6x - 1 = 0 10.
R e s o l v e r : (x 2 + 4x)2 + 7(x2 + 4x) + 12 = 0
señalar una raíz. Señalar la mayor raíz.
3 2 3 a)
3
3 3 b)
3
3 3 c)
3 2 3 3
d)
3 e) 1
Autoevaluación 4. Resolver: 10x2 - 23x + 12 = 0
4
; 3 6 1. Resolver: x
2 - 5x + 6 = 0
a)
5 2 b) 5 ; 1
6; 1 4 ; 3
c)
10 d) 5 2 2. Indicar las raíces de: x2 - 3x - 28 = 0
1
; 12 e) 2 5
5. Resolver: (x2 - 5x)2 - 2(x2 - 5x) - 24 = 0
Señale la suma de las raíces enteras positivas.
a) 11 b) 10 c) 1
d) 12 e) 9
6. Resolver: x2 + 6x + 9 = n2 ; n > 0
Hallar un valor de "x"
3. Dada la ecuación: x2 = 81; hallar las raíces.
a) 9 b) -9 c) 9 y -9
d) 81 y -81 e) 8
4. Resolver la ecuación: 2x2 - 3x - 2 = 0
c)
7. Resolver la ecuación: 16x2 - 25 = 0
Hallar la suma de sus raíces.
1 d)
2 y 2 e) 1 y 2
5. Resolver: x2 - 2x - 6 = 0. Indicar la mayor raíz.
a) 1 7 b) 1 7 c) 2 7 8. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación: d) 2 7 e) 0
a) -2 b)
5
3x 5 6 x
1 1
c)
2 2
d)
3 e) 2
9. Resolver en "x" y encontrar la diferencia de las raíces: x2 - 7ax + 12a2 - ab - b2 = 0
Claves
NOTAS CURIOSAS
... Áreas y punto (s) ...
Si nos pidieran calcular el área de una figura como el cuadrado, el triángulo, el círculo, etc. pues bastaría aplicar las fórmulas ya conocidas.
Sin embargo hay figuras para las cuales no existen fórmulas de cálculo de área. Es por este motivo, que el matemático checoslovaco G.Pick, publicó en 1899 una manera sencilla y bonita para el área de un polígono cuyos vértices son puntos de una red.
Observa el siguiente gráfico:
Veamos un ejemplo más:
Hallar el área de la figura ubicada en:
Del gráfico tenemos: B = 9; I = 4 Luego el área es:
Área = 9 + 4 - 1 = 4,5 + 3 = 7,5 u2
2
Hallar el área de la figura dibujada
Para resolver este problema, aplicaremos la fórmula de Pick:
... y ahora un trabajo para ti ..., determina el área de:
A B
ÁREA B I 1 2
C
donde: B = puntos en el borde de la figura I = puntos en el interior de la figura
En nuestro caso tendremos: B = 7; I = 1; Luego el área será:
7 2
