Razones y proporciones
El testamento del jeque
Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque solo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría, montado en su camello. Le pidieron consejo y este dijo: - Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría problemas. - Cierto, pero solo tenemos once - respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación.
¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?
Objetivos
Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de:
- Comparar dos cantidades por sustracción o división e interpretar el resultado.
- Co ns tr ui r re la ci on ese nt re l as c an ti da de s proporcionadas.
- Reconocer los tipos de proporciones que existen.
- Aplicar las propiedades adecuadamente en la resolución de problemas.
- Aplicar los conceptos para la resolución de situaciones de la vida real.
Introducción
En la vida cotidiana encontramos varias magnitudes a nuestro alrededor, por ejemplo: La velocidad del bus donde nos desplazamos, el tiempo que demora nuestro recreo, la temperatura del medio ambiente, el precio de una entrada al cine, etc.
Razón
Es la comparación de dos cantidades homogéneas, esta comparación puede hacerse empleando la sustracción o la división.
Clases de razón
a. Ra zón a r it m é ti c a ( R . A . )
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dicha comparación nos determina en cuánto excede una cantidad a la otra.
Ejemplo:
A un evento deportivo asistieron 42 000 personas a occidente y 24 000 a oriente.
¿Cuál es su razón
aritmética?
Solución:
Escribiendo los datos mediante una
sustracción
Todas las magnitudes que podamos identificar son susceptibles de ser medidas y asociarse a un número y una unidad a la que llamamos cantidad.
42000 - 24000 18000
Valor de la razón aritmética
Veamos algunos ejemplos:
MAGNITUD UNIDAD CANTIDAD
Longitud Metro 20 m
Masa Kilogramo 8 Kg
Dinero soles 40 soles
Velocidad Km/h 120 Km/h
I n t e r p re t ac i ón d e l r es u l t a d o :
El número de personas en occidente excede en
18 000 al número de personas en oriente.
Hay 18 000 personas más en occidente que en
oriente.
En general una razón aritmética se puede escribir:
a - b = RA
Donde:
a : Antecedente
b. R a z ón g e o m ét r i c a ( R . G . )
Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dicha comparación nos determina cuántas veces una cantidad contiene a la otra.
Ejemplo:
En una mesa de votación se contabilizó 200 hombres y
50 mujeres. ¿Cuál es su razón geométrica?
Solución:
Efectuando la división en el orden que aparecen los datos tenemos.
Propiedad:
En toda proporción aritmética se cumple que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.
Es decir:
Si: a - b = c - d a + d = b + c
Cl
a s e s de prop o r c ión a ri t mé ti c a
- Proporción aritmética discreta.- Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son diferentes.
Interpretación: 200
5 4
Valor de la R.G.
a - b = c - d b c
Donde “d” es la cuarta diferencial de “a”, “b” y “c”.
- Proporción aritmética continua.- Es aquella proporción
- El número de hombres es 4 v e c e s el número de mujeres.
- El número de mujeres es la cuarta parte del número de hombres.
En general una razón geométrica se puede escribir:
aritmética en la cual los términos medios son
iguales. a - b = b - c
Donde “b” es la media diferencial de “a” y “c”. Se cumple:
a
= RG
a c
b = 2
b
Donde:
a : Antecedente
b : Consecuente
RG : Valor de la R.G.
“c” es la tercera diferencial de “a” y “b”.
b. P r o p or c ión G e o m é t r i c a (Equi - cociente)
Cuando se reúnen dos razones geométricas de igual valor.
Por ejemplo:
Proporción
Es la reunión de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor.
Clases de proporción
En general: 3
1
15 5
4
1
20 5
3
4
15 20
a. Pr o por c i ón Ar i t mé t i c a (Equi - diferencia)
Cuando se reunen dos razones aritméticas de igual valor.
Por ejemplo:
32- 7 25
A C B D Donde: En general: Donde:
32- 7 70 - 45
70 - 45 25
a - b = c - d
“A” y “D” son los términos extremos. “B” y “C” son los términos medios.
Propiedad:
producto
“a” y “d” son los términos extremos.
“b” y “c” son los términos medios.
A B C D
B D
A B C D
A C
A
C
A B C D
A C A
B D B
C D
a) 16 b) 20 c) 24
d) 27 e) 30
a) 10 b) 15 c) 18
d) 12 e) 20
Es decir:
A C
Nivel I
Problemas para la clase
Si:
B D A.D. = B.C.
1. La suma de las edades de dos hermanos es 42 años. Si
Cl
a s e s de propo r c ión g e o mé tri c a :
- Proporción geométrica discreta: Es aquella en la cual los términos medios son diferentes.
su razón geométrica es 5/2, hallar la edad del hermano menor dentro de 4 años.
a) 15 b) 12 c) 10
d) 8 e) 16
A
C B
C 2. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si su razón
B D
Donde:
“D” es la cu a rta propor c io n a l de “A”; “B” y “C”.
- Proporción geométrica continua: Es aquella en la cual los términos medios son iguales.
A
B
aritmética es 120, hallar el número mayor.
a) 100 b) 120 c) 150
d) 180 e) 210
3. Dos números son entre sí como 4 es a 7 si su suma es
88, hallar su diferencia.
a) 24 b) 32 c) 16
d) 18 e) 36
Se cumple: B = Donde:
B C
A.C
4. La razón geométrica de dos números es 3/5, si se aumenta 46 unidades a uno de ellos y 78 al otro se obtendrían cantidades iguales. Dar la suma de cifras del número menor.
“B” es la media proporcional de ”A” y “C”. “C” es la tercera proporcional de “A” y “B”.
Propiedades de la proporción geométrica
a) 10 b) 8 c) 12
d) 7 e) 16
5. Hallar la cuarta proporcional de 9; 12 y 15.
Si : A C ; entonces se cumple:
B D
A B C D
6. Hallar la media proporcional de 8 y 18.
1. 2.
B D
3. 4. A A B C CD
7. En una proporción aritmética continua la media diferencial es 18 y uno de los extremos es 10, hallar el otro extremo.
A B C D
5. 6.
7.
A B C D a) 18 b) 21 c) 26
d) 32 e) 36
8. La suma de los extremos de una proporción geométrica es 36 y su diferencia es 4. Hallar el producto de los
Observación: En las propiedades de la 1 a la 6 los términos de la primera razón (A y B) sólo se pueden sumar y restar e intercambiar el orden, las mismas operaciones se deben realizar con los términos de la segunda razón y la igualdad se mantendrá.
términos medios.
a) 160 b) 180 c) 240
d) 320 e) 144
a) 12 b) 15 c) 16 d) 18
Nivel III
e) 20
a) 15 b) 18 c) 21 a) 36 b) 24 c) 27
d) 24 e) 32 d) 18 e) 54
a 7
7. En una proporción geométrica discreta la suma de los extremos es 48 y su diferencia es 12. Si los antecedentes
10.Si:
b
a2 b2
2b2
5 ; haciendo uso de las propiedades, hallar:
.
están en la razón de 5 a 2, hallar el valor de la razón geométrica de la proporción, si todos los términos son números enteros.
37 a) 50 37 d) 100 37 b) 25 17 e) 15 74 c) 25 1 a) 3 2 d) 5 2 b) 3 3 e) 5 1 c) 5 Nivel II
1. Las edades de Juan y Arturo son 12 y 18 años
8. La razón geométrica de las velocidades de “A” y “B” es
4/3. Si en 10 minutos “A” recorre 200 m, ¿cuánto recorrerá “B” en media hora?
respectivamente. Dentro de cuántos años la razón de a) 300 m b) 450 c) 600
sus edades será 9/11. d) 150 e) 360
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20 9. Si : a c 25
2. En una caja hay 150 cuadernos, 90 de pasta roja y el resto de pasta azul. ¿Cuántos cuadernos rojos se deben retirar para poder afirmar que por cada 5 cuadernos
b
y b
b
d 9
d 15
d 3
rojos se encuentra 4 azules?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
3. En una fábrica trabajan 240 personas y se observa que por cada 4 hombres hay 1 mujer. ¿Cuántas mujeres deben contratarse de tal forma que se tenga 3 hombres por cada 2 mujeres?
Hallar “a + c”
a) 425 b) 550 c) 325
d) 275 e) 250
10.Patty nació 8 años antes que Luis y hace 6 años sus edades estaban en la misma relación que los
números
9 y 5. Si dentro de “n” años la razón de sus edades será
5/4, hallar “n”
a) 50 b) 60 c) 70
d) 75 e) 80
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los términos es 25 y el término intermedio es 20. Hallar la suma de los 4 términos.
a) 75 b) 92 c) 81
d) 105 e) 115
5. El producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 50625. Si la suma de los antecedentes es 24, ¿cuál es la suma de los consecuentes?
1. A un evento deportivo asistieron 4 hombres por cada 5 mujeres y 3 mujeres por cada 7 niños. Si en total asistieron 1 860. Hallar la razón aritmética entre el número de hombres y el número de niños.
a) 540 b) 360 c) 480
d) 690 e) 510
2. Sabiendo que “b” es la media proporcional de “a” y “c”
a) 36 b) 40 c) 32
d) 48 e) 50
6. Sabiendo que :
- “a” es la tercera diferencial de 28 y 20.
- “b” es la cuarta proporcional de 16; “a” y 36. Hallar la media proporcional de “a” y “b”.
suman 234. Además: a2 b2
b2 c2
Hallar “a + b”
a) 72 b) 84 c) 88 d)
96 e) 108
4 .
a) 135 b) 145 c) 155
d) 175 e) 196
3. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 63. Hallar la diferencia de los extremos si la razón es un número entero.
a) 7 b) 15 c) 18
d) 21 e) 24
4. En un recipiente se mezclan 32 litros de vino y 40 litros de agua. Se extraen 18 litros, de la mezcla y se completa con vino hasta que los volúmenes se igualan. Luego se extraen 12 litros de la nueva mezcla y se reemplaza con vino. Hallar la razón geométrica de las cantidades finales de vino o agua.
a) 1 436 b) 1 318 c) 1 351
d) 1 287 e) 1 156
10.En una fiesta se observa que por cada 3 hombres hay 4 mujeres y por cada 5 hombres que fuman hay 4 hombres que no fuman. Además en las mujeres por cada 2 que fuman hay 5 mujeres que no fuman. Si la cantidad de no fumadoras está comprendida entre 18 y 26. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
a) 135 b) 147 c) 151
d) 158 e) 162
2 a) 5 3 d) 2 2 b) 3 3 e) 4 2 c) 7 Autoevaluación
1. Dos números son entre sí como 3 es a 5. Si su suma es
120. Hallar su producto.
5. En una proporción geométrica continua la suma de los antecedentes es 28. Si la suma de los términos de la segunda razón es 70. Hallar la media proporcional.
a) 20 b) 24 c) 16
d) 18 e) 32
6. En una carrera de 2 000 m un atleta “A” ganó a otro “B” por 400 m y “B” ganó a “C” por 200 m. ¿Por cuántos metros ganará “A” a “C” en una carrera de 3 000 m?
a) 800 b) 950 c) 840
d) 580 e) 460
7. La razón aritmética de dos números es a la razón geométrica de los mismos como el número mayor es a
49/10. Hallar la razón geométrica de los números.
a) 2 375 b) 5 425 c) 3 325
d) 3 375 e) 4 225
2. Hallar la tercera proporcional de 25 y
20. a) 18 b) 16 c) 12
d) 15 e) 24
3. Las edades de José y Antonio son proporcionales a los números 7 y 5. Si hace 8 años sumaban 32 años. ¿Cuál es la edad actual de Antonio?
a) 20 años b) 24 c) 25
d) 28 e) 32
4. En una proporción geométrica continua el mayor de los términos es 18 y el término intermedio es 12. Hallar la suma de los cuatro términos.
7 a) 3 7 b) 2 4 c)
7 a) 42d) 60 b) 48e) 50 c) 52
4 d)
9
2 e)
5 5. En una caja hay 280 bolas de 3 colores distintos. Se
observa que por cada 2 bolas azules hay 5 blancas y 8. La suma de todos los términos de una proporción
geométrica es 420. Hallar la suma de los consecuentes si el producto de las dos razones es 4/25.
por cada 3 blancas hay 7 verdes. ¿Cuántas bolas verdes hay?
a) 300 b) 180 c) 240
d) 360 e) 120
9. En una asamblea estudiantil se presenta una moción. En la primera votación por cada 4 votos a favor habían
5 en contra, pedida la reconsideración se notó que por cada 7 votos a favor habían 4 en contra. Si 247 estudiantes cambiaron de opinión y no hubo abstenciones, ¿cuántos estudiantes asistieron a la
Claves
1. d 2. b 3. a
