APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Ejemplos resueltos)
Parte I. [Comunicación Matemática]
Responda si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. 1) El SEL { tienen infinitas soluciones.
Resolución
{ {
Al sumar las ecuaciones se obtiene que . Por tanto, el SEL tiene infinitas soluciones. Respuesta: la proposición es verdadera.
2) El SEL { tiene una única solución. Resolución
{ {
Al sumar las ecuaciones se obtiene que . Por tanto, el SEL tiene no tiene solución. Respuesta: la proposición es falsa. Parte II. [Resolución de problemas]
1) Resuelva el SEL { por el método de eliminación de variables. Resolución
Seleccionamos eliminar la variable .
{
{
( )
Por tanto, la solución buscada es { .
En consecuencia, el conjunto solución es {( )}
2) Resuelva el SEL { por el método de sustitución de variables. Resolución
De la primera ecuación del SEL, seleccionamos despejar la variable .
Ahora procederemos a reemplazar en la segunda ecuación
Como , entonces .
Por tanto, la solución buscada es {
En consecuencia, el conjunto solución es
3) Resuelva el SEL { por el método de igualación de variables. Resolución
De la primera y segunda ecuación del SEL, seleccionamos despejar la variable . Primera ecuación:
Segunda ecuación: Procederemos a igualar la variable y resolvemos la ecuación planteada
En consecuencia, el conjunto solución es {( )}
4) Usando el método gráfico, resuelva
{
[Sugerencia: dibuje la recta de cada ecuación e identifique (en caso exista) el punto de intersección]
Resolución
Vamos a dibujar la ecuación: Si .
Con ello, tenemos el punto de paso Si .
Con ello, tenemos el punto de paso Vamos a dibujar la ecuación:
Si . Con ello, tenemos el punto de paso Si .
Con ello, tenemos el punto de paso Dibujando cada ecuación en el mismo plano cartesiano
Se concluye que el SEL tiene
Parte III. [Modelamiento matemático]
1) La tienda El Sol, que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0,70 la libra y almendras a $1,60 la libra. Al final de un mes, el propietario se entera de que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1,00 la libra. Calcule cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos.
Sea las libras de cacahuates que la mezcla contiene y las libras correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras,
El ingreso de libras de cacahuates a $0,70 la libra es de dólares y el ingreso de libras de almendras a $1,60 la libra es de dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1,00 por libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la siguiente ecuación:
Ingreso de los cacahuates + Ingreso de las almendras = Ingreso de la mezcla
De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente: {
De la primera ecuación, obtenemos que . Luego sustituimos este valor de en la ecuación de abajo y despejamos .
Por tanto, .
En consecuencia, 30 libras de cacahuates deberá mezclarse con 15 libras de almendras para formar la mezcla.
2) En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. Calcula cuántos animales hay de cada clase.
Resolución
Sea la cantidad de gallinas y la cantidad de conejos. Del enunciado: “si se cuentan las cabezas, son 50”, se formula
Del enunciado: “si las patas, son 134”, se formula
De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente: {
Si sacamos mitad a la segunda ecuación, el sistema de ecuaciones lineales queda reescrita como
{
Por tanto, .
En consecuencia, en el corral hay 33 gallinas y 17 conejos.
3) Si se aumenta la longitud de un campo rectangular en 5m y la anchura en 7m, la superficie aumenta en 830 ; mientras que si se disminuye la longitud en 8m y la anchura en 4m, la superficie disminuye en 700 . Plantee el SEL que permita calcular las dimensiones del campo.
Resolución
Nos apoyaremos en un dibujo para poder platear el SEL
Si e representan, en metros, la longitud y la anchura, respectivamente, el área del campo será . El área aumentada será , mientras que las dimensiones aumentadas del campo son e , con lo que debe ser . El área disminuida será , y las nuevas dimensiones son e , de modo que . De este modo, podemos escribir el sistema
{ que, después de simplificar, resulta
{
4) Las dos cifras de un número suman 12. Sabiendo que si se invierte el orden de sus cifras, el número disminuye en 36. Plantee el SEL que permita hallar dicho número.
Resolución
Sea ̅̅̅ el número de dos cifras buscadas.
Del enunciado: “Las dos cifras de un número suman 12”, se formula
̅̅̅ ̅̅̅ Por tanto, el SEL que se plantea es
{
5) Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de oferta y demanda siguientes:
{
Grafique en el mismo plano el curva de oferta y demanda, e identifique el punto de equilibrio. Resolución
Vamos a dibujar la ecuación de demanda D: Si .
Con ello, tenemos el punto de paso
Si . Con ello, tenemos el punto de paso
Vamos a dibujar la ecuación de oferta S: Si .
Con ello, tenemos el punto de paso
Si . Con ello, tenemos el punto de paso
Dibujando cada ecuación en el mismo plano cartesiano
