Macroeconom´ıa I
-3. El mercado laboral
David Strauss
CIDE
Introducci´
on
Econom´ıa consiste de una multitud de agentes. A cada agentei pertenece
una granja. Se necesita gente trabajando en los campos para generar comida.
Adem´as, las granjas tienen diferente calidad,Ai. Agentes pueden trabajar en
cualquier granja (es decir tu granja tambien produce comida si hay otra gente all´ı).
Para cada unit de trabajo se recibe una pagaw, dado como externo por los
agentes.
La cantidad de comida producida depende del labor usado,lid, y de la calidad
de la granja,Ai:
Yi =Aif(lid) =Ai(lid)α
Preferencias entre consumo y ocio:
U(ci,li) = ln(ci) + ln(1−lis)
Budget constraint:
ci ≤πi+wlis
Se puede rentar capital de la otra gente.
A
i=
A
Maximizaci´on de la granja:
max
ld i
πi(lid) = max ld
i
A(lid)α−wlid
FOC:
lid = αA
w
1−1α
.
Profits:
πi∗=A(1−α) αA
w
1−αα
A
i=
A
Maximizaci´on de los agentes:
L= ln(ci) + ln(1−lis) +λ[πi+wlis−ci]
FOC:
ci : 1 =λci
lis : 1 =λw(1−lis)
Combinar los 2 FOC y inserir en budget constraint:
lis∗=1
2 −
π∗i
2w
Inserir los profits:
lis∗=
1
2−
1−α
2α
αA w
A
i=
A
Dado que todos los agentes don iguales en cada aspecto, el agregado de la demanda/oferta de trabajo es igual a la demanda/oferta de cada persona.
ls∗
i =lid∗:
1
2 −
1−α
2α
αA
w
1−1α
= αA
w
1−1α
El pago en equilibrio es:
w∗=αA
1 +α
α
1−α
.
La cantidad de trabajo es entonces:
lis∗=l d∗
i =
α
A
i∈ {
A
L,
A
H}
Ahora modificamos el modelo: 50% de la gente tiene buenos pastos, los otros 50% un campo malo.
Maximizaci´on de la granja:
max
ld i
πi(lid) = max ld
i
Ai(lid)
α−wld i
FOC:
lid =
αAi
w
1−1α
.
Profits:
π∗i =Ai(1−α)
αA
i
w
1−αα
A
i∈ {
A
L,
A
H}
Maximizaci´on de los agentes:
L= ln(ci) + ln(1−lis) +λ[πi+wlis−ci]
FOC:
ci : 1 =λci
lis : 1 =λw(1−lis)
Combinar los 2 FOC y inserir en budget constraint:
lis∗=1
2 −
π∗i
2w
Inserir los profits:
lis∗=
1
2−
1−α
2α
αAi
w
A
i∈ {
A
L,
A
H}
Ahora hay 50% de agentes conAL y 50% conAH.
Market clearing: 0.5ls∗
H + 0.5l s∗
L = 0.5l d∗
H + 0.5l d∗
L :
1−1−α
2α (
αA
H
w
1−1α
+ αA
L
w
1−1α
) = αA
H
w
1−1α
+ αA
L
w
1−1α
;
1 =α
w
1−1α
(A
1 1−α
H +A 1 1−α
L )
1 +α
2α
El pago en equilibrio es:
w =α(0.5A
1 1−α
H + 0.5A 1 1−α
L )
1−α
1 +α
α
1−α
Comprueba que - por cualquierα >0
(0.5A
1 1−α
H + 0.5A 1 1−α
L )
1−α>(0.5A
Capital y Labor
Ahora, la cantidad de comida producida depende del labor usado,lid, de las
maquinas usadaskid y de la calidad de la granja,Ai:
Yi=Ai(kid)
1−α
(lid)
α
Los agentes tienen al lado de su unidad de trabajo tambien una dotacin de capital,xi.
Primer caso: Ai =A,xi=x.
Problema de maximizacin de las granjas:
max
ld i≥0,kid≥0
πi(lid,k d
i ) = max ld
i≥0,kdi≥0
A(kid)1−α(lid)α−wlid−r(kid−xi)
FOC:
αA(kid)1−α(lid)α−1=w.
Capital y Labor
Combinar los 2 FOC:
kd i
ld i
=w
r
1−α
α
Optimal demand for labor and capital:
αα(1−α)1−αA=wαr1−α.
Profits:
πi∗= (1−α−(1−α))Yi(lid∗,k d∗
i ) = 0
Capital y Labor
Modificamos el modelo, ahora hay otra vez dos niveles de tecnologa,Ai:
Yi=Ai(kid)
1−α(ld i )
α
Problema de maximizacin de las granjas:
max
ld i≥0,k
d i≥0
πi(lid,k d
i ) = max ld
i≥0,k d i≥0
Ai(kid)
1−α
(lid)
α
−wlid−r(k d i −xi)
FOC:
αAi(kid)1−α(lid)α−1=w.
(1−α)Ai(kid)−
α(ld i )
α=r.
Optimal demand for labor and capital:
αα(1−α)1−αAi=wαr1−α.
Capital y Labor
Modificamos el modelo, ahora hay otra vez dos niveles de tecnologa,Ai:
Yi=Ai(kid)
1−α(ld i )
α
Problema de maximizacin de las granjas:
max
ld i≥0,k
d i≥0
πi(lid,k d
i ) = max ld
i≥0,k d i≥0
Ai(kid)
1−α
(lid)
α
−wlid−r(k d i −xi)
FOC:
αAi(kid)1−α(lid)α−1=w.
(1−α)Ai(kid)−
α(ld i )
α=r.
Optimal demand for labor and capital:
αα(1−α)1−αAi=wαr1−α.
Capital y Labor
Modificamos el modelo, ahora hay dos niveles de dotaci´on de capital,xi. Y
solo hay un nivel de tecnolog´ıa,Ai:
Yi =A(kid)
1−α(ld i )
α
Problema de maximizaci´on de las granjas:
max
ld i≥0,kid≥0
πi(lid,k d
i ) = max ld
i≥0,kdi≥0
A(kid)1−α(lid)α−wlid−r(kid−xi)
FOC:
αA(kid)1−α(lid)α−1=w.
(1−α)A(kid)−α(lid)α=r.
Optimal demand for labor and capital:
αα(1−α)1−αA=wαr1−α.
Que aprendemos? Cuales son las consequencias de multiples niveles de
Capital dinamico
Modificamos el modelo, ahora hay solo capital en la funci´on de producci´on, y
no hay un capital market, tienes que acumular el capital tu mismo:
yt =At(kT)α
Ahora, los consumidores tienes preferencias de consumo en cada periodo de ln(ct), el factor de discuento esβ:
U(c0,c1,c2, ...) =
∞
X
t=0
βtln(ct)
El budget constraint:
ct+it =yt
Law of motion de capital: (δ: capital depreciation rate)
kt+1= (1−δ)kt+it
Problema de maximizaci´on:
max
{ct,kt+1}∞t=0
∞
X
t=0
Capital dinamico
FOC:
ct: βt
1
ct
=λt.
kt+1: λt =λt+1[αAt+1ktα+1−1+ (1−δ)].
Euler equation: 1
ct
=β[αAt+1ktα+1−1+ (1−δ)]
1
ct+1
Steady-State
En el largo plazo un indiviuo quiere hacer conusmption smoothing. Why?
El steady state de una economa es definido por el hecho que variables
centrales no se cambian con el tiempo (ct =c,kt =k)
Solvemos por el Steady State: Euler equation:
1 =β[αASSkSSα−1+ (1−δ)]
