Integral 2008

(1)

Cálculo integral en



Matemáticas – 2º Bachillerato

−10 0 10 −10 −5 0 5 10 0 50 100 150 200 x z y 1 2 3 4 5 x y g(x) f(x)-g(x) f(x)

(2)

Cálculo integral en



© Carlos J. Sánchez de Merás, noviembre 2007

�

[email protected]

(3)

1. Primitiva de una función

Sea f (x) una función definida en el intervalo [a, b ]. Se dice que una función F (x) es una primitiva de f (x) en [a, b ] cuando F (x) tiene por derivada la función f (x) en [a, b ]:

F x( )es primitivade f x( ) en [ , ]a b ⇔ F x′( )= f x( )_{∀ ∈  }x a b,

Si una función f (x) tiene una función primitiva, F (x), entonces f (x) admite infinitas primitivas, cuya expresión general puede escribirse F (x)+C. Como se observa, las infinitas primitivas que puede admitir una función se diferencian en una constante arbitraria, C , que se llama constante de integración. A la expresión F (x)+C se le denomina integral indefinida de f (x), y se escribe:

f x dx( ) F x( ) C

∫

= +

1.1. Propiedades

➊

La derivada de la integral de una función f (x) es la propia función f (x):

d dx

∫

f x dx( ) f x( )     =

➋

Linealidad de la integral: λ⋅ ± ⋅µ λ µ   = ±

∫

f x( ) g x dx( )

∫

f x dx( )

∫

g x dx( )

(4)

(5)

(6)

(7)

3. Integración de funciones racionales

3.1. Raíces reales

Nos encontramos ante integrales de la forma P x

Q x dx

( ) ( )

∫

, con P(x) y Q(x) polinomios, tales que el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si no se cumple esta condición, efectuaremos la división correspondiente, y reduciremos el problema original a una integral polinómica y otra del tipo bajo consideración, según se muestra a continuación: F x G x F x G x F x G x H x P x Q x ( ) ( ) gr ( ) gr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( tales que

{ }

>

{ }

⇒ ⇒ = + )) , con gr

{ }

P x( ) < gr

{ }

Q x( )

Factoricemos entonces el polinomioQ(x). Sea Q x( ) (= x x− _a) (α⋅ x x− _b)β ⋅ ⋅_ (x x− _z)ξ_dicha

factorización del polinomio Q(x), y x_a, x_b, …, x_z las raíces reales del polinomio con multiplicidades α, β, …, ξ, respectivamente. El cociente de P(x) y Q(x) podrá escribirse como

P x Q x P x x x x x x x A x x A x x a b z a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − = = − + − − α β ξ α α  1 2 1 ++ + ₋ + ₋ − + + + ₋ = − + =

∑

 A  x x B x x Z x x a i b i i i z i i α β β ξ ξ ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 1 [ 1 ]

por lo que, integrando miembro a miembro, obtendremos

P x Q x dx A x x A x x A x x a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ln

∫

= − − − + − − − + + − + + − − 1 1 2 2 1 1 2 1 α α α α  α −− − − + − − − + + − + + − − − − B x x B x x B x x Z x b b b 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 β β ξ β β β ( ) ( ) ln (    −− + − − − + + − + − − x Z x x Z x x C z z z )ξ 1 _ξ ( )ξ ξln 2 2 2 1 _

que se puede escribir de forma más compacta como

P x Q x dx A i x x B i x x i i a i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

∫

= − − − + − − − = − − = −

∑

α

∑

β α α β 1 1 1 1 1 1 bb i i i z i a b Z i x x A x x B x x Z ) ( ) ( ) ln ln β ξ ξ α β ξ ξ − = − − + + − − − + + − + − + +

∑

  1 1 1 lln x x− _z +C

El único problema que nos queda por resolver es el de la determinación de las constantes A_i, B_i, …, Z_i. Teniendo en cuenta la relación [ 1 ], y efectuando las sumas correspondientes, podemos escribir

(8)

8 CJS v2008

Matemáticas – 2º Bachillerato Cálculo integral en _

P x x x x x x x A x x x x b c z i a i i a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − + + − ⋅ − =

∑

β γ ξ α α  1 1 xx x x x B x x x x x x Z c z i b i i a b i − ⋅ ⋅ − ⋅ − + + − ⋅ − ⋅ ⋅ − =

∑

) ( ) ( ) ( ) ( ) γ ξ β α β     1 1 ((x x_z)i i − − =

∑

1 1 ξ

E

jEmplo Calcular la integral x x x x x x dx 2 5 ₋₁₀ 4 ₊₃₉ 3 ₋₇₄ 2 ₊₆₈ ₋₂₄

∫

En este caso, no hace falta dividir los polinomios, ya que el grado del numerador es inferior al grado del denominador. Procederemos entonces a factorizar el denominador. Aplicando el método de Ruffini,

1 -10 39 -74 68 -24 1 1 -9 30 -44 24 1 -9 30 -44 24 0 2 2 -14 32 -24 1 -7 16 -12 0 2 2 -10 12 1 -5 6 0 2 2 -6 1 -3 0 3 3 1 0 x x x x x x x x 5 4 3 2 3 10 39 74 68 24 1 2 3 − + − + − = =( − ⋅) ( − ) (⋅ − )

podemos identificar las raíces a =1, b =2, c =3 , con sus respectivas multiplicidades α=1, β=3, γ=1. La integral queda por tanto

x x x x x x dx x x x x dx A x 2 5 4 3 2 2 3 1 10 39 74 68 24 1 2 3 1 − + − + − = − − − = = −

∫

( )( ) ( ) ++ − + − + − + −

∫

B x B x B x C x dx 1 3 2 2 3 1 2 2 2 3 ( ) ( ) cuyo resultado es I A x B i x B x C x C A x i i i = − + − − − + − + − + = = − − =

∑

1 3 1 2 3 1 1 1 3 2 2 3 1 ln ( )( ) ln ln ln ++ − − + − − + − + − + B x B x B x C x C 1 2 2 1 3 1 2 1 2 1 1 2 2 3 ( ) ( ) ln ln

(9)

x x x A x x C x x B x B x 2 3 1 3 1 1 0 2 2 3 1 2 1 3 2 2 = - - + - - + + - - - + -( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )11 3 2 2 + -é ëê B x( ) ùûú

sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se puede resolver

⇨ desarrollando el polinomio del segundo miembro, igualando coeficientes y aplicando algún método conocido de resolución

⇨ sustituyendo x por valores adecuados: las raíces (que proporcionan las constantes con subíndice 1) y números con los que sea fácil operar (0, por ejemplo).

3.2. Raíces complejas

Si Q (x) tiene raíces complejas (simples), además de raíces reales (simples o múltiples) la descomposición en fracciones simples del cociente nos lleva a

P x Q x P x x a x k A x a A x a A x a Mx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + = − + − + + − + + − α α α α 2 2 1 2 1  N N x2 ₊k2

donde, por comodidad, hemos considerado una única raíz real (x =a ) de multiplicidad α, y una única raíz compleja –imaginaria– (x = ±ki i, = −1). El término debido a la raíz compleja proporciona dos nuevas integrales: una del tipo logaritmo neperiano,

Mx x k dx M _x _k 2 2 2 2 2 + = +

∫

ln

y otra del tipo arcotangente,

N x k dx N k dx x k N k x k 2 2 2 2 1 + = +      =      

∫

arctg

Las constantes se calculan como en el caso anterior, igualando los coeficientes de los polinomios tras realizar las sumas correspondientes.

3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x

Nos encontramos ahora ante integrales del tipo

∫

R(sen , cos )x x dx, donde R es una función racional cualquiera.

(10)

10 CJS v2008

3.3.1. Método general

Este tipo de integrales se resuelven utilizando el cambio de variable tg x t

2       =

Utilizando los resultados conocidos de trigonometría

1 1 1 1 1 1 2 2 ₂ 2 2 2 + = ⇒ = + = − ⇒ = +     tg cos cos _tg

sen cos sen tg

tg α α α _α α α α α α  →       =       +       = + = α x x x x t t x 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sen tg tg cos      = +       = +             1 1 2 1 1 2 2 tg x t

sen sen cos cos cos sen

sen c 2 2 2 2 1 2 2 2 2 α α α α α α α = ⋅ = −    → = + =x x t t oos x t t = − +        1 1 2 2 y como x t dx t dt = ⇒ = + 2 2 1 2 arctg

entonces la integral puede reescribirse como

R x x dx R t t t t t dt (sen , cos ) = , + − +       ₊

∫

2 1 1 1 2 1 2 2 2 2

racional en t, fácil de resolver, aplicando descomposición en fracciones simples como hemos visto anteriormente.

3.3.2. Casos particulares

3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno

Si la función racional cumple R( sen , cos )- x x =R(sen , cos )x x y R(sen , cos )x - x =R(sen , cos )x x

simultáneamente, es decir, es par (simétrica con respecto al eje OY ), efectuaremos el cambio de variable tg x =t , más sencillo que el cambio general tg x t

2    



 = . Con este cambio se tiene

1 1 1 1 1 1 2 2 ₂ 2 2 2 + = ⇒ = + = − ⇒ = +     tg cos cos _tg

sen cos sen tg

tg α α α _α α α α α α  ⇒ = ± + = ± +       cos sen x t x t t 1 1 1 2 2 2

(11)

x t dx t dt = ⇒ = + arctg 1 1 2

y entonces reducimos la integral a

R x x dx R t t t t dt R t t (sen , cos ) , , = ± + ± +    __{ +} = = +

∫

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 ₁₁ 1 1 2 2 +       ₊

∫

t t dt

siendo R₁ una función racional distinta de R.

3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno

Si la función racional cumple R( sen , cos )- x x = -R(sen , cos )x x , es decir, si es impar en sen x, haremos el cambio de variable cos x =t. Si por el contrario se cumple que R(sen , cos )x - x = -R(sen , cos )x x (esto es, la función racional es impar en cos x ) efectuaremos el cambio sen x =t.

E

jEmplo

Calcular la primitiva de sen sen

cos x x x dx + +

∫

3 2 1 2

En este caso, el integrando es claramente impar en sen x, por lo que haremos

cos sen

sen

x t xdx dt dx dt

x

= ⇒ − = ⇒ = −

Aplicando este cambio, la integral queda

sen sen cos sen ( sen ) cos sen co x x x dx x x x dt x + + = ⋅ + + − _{= −} −

∫

3

∫

2 2 2 1 2 1 1 2 2 ss cos 2 2 2 2 1 2 2 1 2 x x dt t t dt + = = − − +

∫

racional en t, de resolución sencilla.

3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x

En este caso, la función racional únicamente presenta términos en seno o en coseno, es decir, la integral es del tipo

∫

R(sen )x dx o bien

∫

R(cos )x dx . Lo más conveniente en estos casos es realizar la división, y

(12)

12 CJS v2008

descomponer el resultado en fracciones simples. En definitiva, lo que haremos será tratar la función racional trigonométrica correspondiente como si fuera una función racional polinómica, asimilando sen x =t o bien

cos x =t .

E

jEmplo Calcular 1 4 4 4 3 2 + + − −

∫

cos

cos cos cos

x

x x x dx

Haciendo la división, y descomponiendo en fracciones simples,

cos

cos cos cos (cos )

cos cos cos c 4 3 2 2 3 2 1 4 4 1 5 3 4 x x x x x x x x + + - - = - + -+ - oos cos cos cos (cos )(cos )(cos )

cos x x x x x x x x -+ - - = - + + Þ Þ 4 4 4 2 2 1 5 3 2 2 _- -+ - - = - + + + + 3 4 4 2 2 1 3 2

cos x cos x cosx cos cos cos

A x B x C x

con lo que la integral puede escribirse de la forma

1 4 4 1 5 3 4 4 3 2 2 3 2 + + − − = − + − + −

∫

cos

cos cos cos cos

cos cos cos x x x x dx x x x x ccos sen

cos cos cos

x dx x x A x B x C x dx −       = = − + − + + + +      

∫

4 2 2 1

Estas últimas integrales se resuelven mediante el cambio general tg x t

2       = .

(13)

4. Integración por partes

Se utiliza este método de integración en integrales del tipo

∫

u dv⋅ , siendo tanto u (x) como v (x) funciones de x. Su cálculo se basa en el hecho conocido de que la derivada del producto de funciones viene dada por

d[ ( ) ( )] d d ( ) d ( ) ( ) d ( ) d u x v x x u x x v x u x v x x ⋅ ₌ _⋅ ₊ _⋅

Integrando miembro a miembro la anterior expresión, obtenemos

d u v( ⋅ )= v du⋅ + u dv⋅

∫

donde encontramos en el segundo miembro la integral buscada. Simplificando y despejando, hallamos la solución

u dv⋅ = ⋅ −u v v du⋅

∫

E

jEmplo

Calcular la primitiva de

∫

xsenx dx Tomando

u x du dx

dv xdx v x

= ⇒ =

=sen ⇒ =−cos

y por aplicación directa de la fórmula se tiene

xsenx dx xcosx cosx dx xcosx senx C

(14)

(15)

5. Integral definida

La integral definida proporciona la solución al problema del cálculo del área bajo una curva. En efecto, sea una función f (x) positiva, continua y monótona creciente en un intervalo [a, b]. Dividiremos dicho intervalo en n partes, que supondremos iguales por comodidad, mediante los puntos x₁, x₂, …, x_n-1.

Llamaremos partición del intervalo al conjunto P de puntos

P x a x x x x b P x x ib a n i n n n i =

{

= =

}

= _ = + − =     − 0 1 2 1 0 1 2 , , , , , , , , ,  

Una partición P’ es más fina que la partición P (lo que se escribe P’  P ) cuando la anchura de los subintervalos de P’ es menor que la de los subintervalos de P . Esto equivale a incluir más puntos en dicha partición.

Podemos calcular ahora el área bajo la gráfica de f (x) de manera aproximada, como suma de las áreas de los rectángulos que tienen como base los subintervalos de la partición, y como altura, bien el valor máximo de la función en dicho subintervalo, M_i (área por exceso), o bien el valor mínimo de la función en dicho subintervalo, m_i (área por defecto). Evidentemente, el área exacta bajo la curva, S, está entre estos dos valores. Así las cosas, tenemos:

s m x x S M x x i i i i i n i i i i i n = ⋅ − = ⋅ − − = − =

∑

( ) ( ) 1 1 1 1

área por defecto

área ppor exceso s_i ≤ ≤S S_i

Ahora bien, si reducimos la anchura de los subintervalos (es decir, si refinamos la partición), puede apreciarse que la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función en dichos subintervalos se va haciendo progresivamente menor. En el límite, cuando el número de subintervalos tiende a infinito, el intervalo tiene una anchura diferencial y los valores máximo M_i y mínimo m_i coinciden con el valor de la función en dicho punto. En dichas condiciones, el área por exceso y el área por defecto coinciden. Al estar el valor exacto de área acotado por dos sucesiones que tienden al mismo valor, necesariamente entonces

S f x x x f x dx n i i i i n a b = ⋅ − = →+∞ − =

∑

_∫

lim ( ) ( ₁) ( ) 1 x y

s_i º área por defecto M2

S_i º área por exceso

M3

m2

M1

m3

(16)

16 CJS v2008

En definitiva,

Sea f (x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] como el área S de la región R del plano limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

S f x dx

a b

=

∫

( )

5.1. Propiedades

➊ Si los límites de una integral definida son iguales, la integral definida es nula:

f x dx f x

a a

( ) ( )

∫

= 0 ∀

➋ Aditividad: si f (x) es una función continua en [a,b] y c Î]a,b[:

f x dx f x dx f x dx c a b a b a c c b ( ) ( ) ( ) [ , ]

∫

=

∫

+

∫

∀ ∈

➌ Si se intercambian los límites de integración, la integral definida cambia de signo:

f x dx f x dx a b b a ( ) ( )

∫

= −

∫

➍ Linealidad de la integral: α f x dx β g x dx αf x βg x dx α β a b a b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ,

∫

+

∫

=

∫

_ + _ ∀ ∈ 

➎ Si f (x) y g (x) son continuas en [a,b] y si f (x)³g (x) "x Î]a,b[:

f x dx g x dx a b a b ( ) ( )

∫

≥

∫

➏ Signo de la integral:Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)>0 "x Î]a,b[ :

f x dx

a b

( )

∫

> 0

Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)<0 "x Î]a,b[:

f x dx

a b

( )

(17)

Por tanto, si f (x) cambia de signo en [a,b], la integral definida proporciona la suma

algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje de abscisas, cada

una con su signo. Si quisiéramos calcular el área en términos absolutos, tendríamos que calcular el área de cada recinto y, antes de sumar, cambiar de signo las negativas, es decir, hemos de realizar una suma de los valores absolutos de las áreas de cada uno de los recintos.

5.2. Regla de Barrow

Si f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x) [cfr. §1 ] ,entonces f x dx F b F a a b ( ) ( ) ( )

∫

= −

5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas

El área comprendida entre dos curvas f (x) y g (x) es igual al área comprendida entre la función diferencia, f (x) – g (x), y el eje de abscisas.

Por consiguiente, el proceso que deberemos seguir para calcular el área es:

➊ Calcular los puntos de corte entre las funciones f (x) y g (x), es decir, resolver la ecuación

f x( )−g x( )= 0

➋ Estudiar el signo de la función f (x) – g (x) en los distintos intervalos generados por las raíces de la ecuación anterior

➌ Aplicar la propiedad de aditividad de la integral definida, teniendo en cuenta el signo de cada integral

E

jEmplo y =x2 −₅ _y _{= − − 5}_x 1 2 3 4 5 x y g(x) f(x)-g(x) f(x)

(18)

18 CJS v2008

f x g x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ; − = − − − − = + + = ⇒ + = ⇒ = = − 2 2 2 1 2 5 5 0 1 0 0 1

Para cualquier valor entre 0 y -1, que es el intervalo de integración, f (x) < g (x), por lo que podremos calcular el área mediante la expresión S = − x +x dx −

∫

2 1 0

Calculando la primitiva y aplicando la regla de Barrow se obtiene

S = −x +x      =  − + −      = − + = − 3 2 1 0 3 2 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 6 ( ) ( ) _u.d.s.

5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva

De la misma forma que calculamos el área contenida entre el eje OX, las rectas x = a y x = b y una función f (x), podemos calcular el volumen de revolución que genera una función al girar en torno al eje OX. En este caso, los distintos subintervalos de la partición

generan cilindros de altura igual al ancho del subintervalo y radio igual al máximo (volumen por exceso) o al mínimo (volumen por defecto) que toma la función en dicho subintervalo, como puede apreciarse en la figura.

En el límite, cuando la partición se ha refinado hasta obtener infinitos subintervalos de anchura diferencial, el volumen por exceso y el volumen por defecto convergen al valor del

volumen exacto, ya que los valores máximo y mínimo coinciden. Podremos afirmar, por tanto, que El volumen de revolución generado por una función f (x) al rotar alrededor del eje OX, y limitado por las rectas x = a y x = b se calcula según

V f x dx a b =π

∫

_ ( )_2 -5 -4 -3 -2 x y f(x) g(x) S=1/6 u.d.s. FX Y X

(19)

6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

ex ex e f x f x dx x dx C cos sen ( )cos ( )

∫

′ ∫ = + 

Ejercicio 2

x x x dx x x x dx f x nf x dx 2 3 ₂ ₁ 1 3 2 2 2 2 1 − − = − − ∫

∫

′ ( ) ( ) [ ( )] ( )  = − ₊ 3 2 8 2 4 3₍_x _x₎ C

Ejercicio 3

x x dx x x dx x x dx f x nf x dx 1 1 1 2 2 1 2 2 12 2 12 − = − = − − − ∫

∫

−

∫

− ′ ( ) ( ) [ ( )] ( )  = − 1− + 2 x C

Ejercicio 4

2 1 1 2 12 x x dx + + +

∫

( )

En primer lugar, podríamos pensar que se trata de una integral inmediata de tipo arcotangente, pero desechamos esta opción puesto que el numerador no puede transformarse en la derivada del término cuadrático del denominador. Si optamos por calcular la derivada del denominador, sin embargo, comprobaremos que con una sencilla transformación la integral se convierte en una inmediata de tipo logaritmo neperiano. En concreto,

1 2 1 4 2 1 2 1 1 2 1 1 4 4 2 1 1 2 1 2 2 2 + +  ′ = + ⇒ + + + = + + +

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x dx x x ddx

∫

Una vez llegados a este punto, podemos concluir

2 1 1 2 1 1 4 4 2 1 1 2 1 2 2 x x dx x x dx f x f x dx + + + = + + + ∫

∫

′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = 1 _ + + _{ +} 4 1 2 1 2 ln ( x ) C

(20)

20 CJS v2008

Ejercicio 5

cos3_xsen4_{x dx}

∫

Como el integrando es claramente impar en cosx, efectuaremos el cambio sen x =t :

sen cos

cos

sen cos cos sen

x t xdx dt dx dt x x x x x t = ⇒ = ⇒ = + = ⇒ = − = − 2 2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ 2

con lo que la integral se transforma en

cos3 sen4 (₁ 2) 4 4 6 5 7

5 7

x x dx t t dt t t dt t t C

∫

=

∫

− =

∫

− = − +

Y deshaciendo el cambio llegamos al resultado final

cos3 sen4 sen5 sen7

5 7 x x dx x x C

∫

= − +

Ejercicio 6

tg tg tg 3 1 2 x x x dx + −

∫

Nos encontramos ante una integral racional con funciones trigonométricas. Además, como el integrando es una función impar aplicaremos el cambio tgx = t :

tg tg tg tg ( ) x t dx dt t x x x dx t t t dt t t t = ⇒ = + + − = + − + = + −

∫

1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 3 2 2 22t ₁ 2 1 2 dt t t tdt + = −

∫

Con este cambio hemos transformado la integral en una racional polinómica. Ahora bien, como los grados del numerador y denominador coinciden, habremos de efectuar la correspondiente división polinómica:

t t t t 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 − = − + − = − − −      

La integral queda por tanto

t tdt tdt dt tdt f x f x dx 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 − = − − − = − + − ∫

∫

′( ) ( )  = − − − + t _t _C 2 1 4ln1 2

(21)

y deshaciendo el cambio de variable, tg tg tg tg _ln _tg 3 1 2 2 1 4 1 2 x x x dx x _x _C + − = − − − +

∫

Ejercicio 7

x x x dx 2 3 2 1 − −

∫

La integral bajo consideración es racional polinómica, por lo que deberíamos efectuar la descomposición del integrando en fracciones simples, previa factorización del polinomio del denominador. Sin embargo, resulta mucho más cómodo en este caso factorizar tanto el denominador como el denominador. En efecto,

x x x dx x x x x dx x x dx xdx x dx 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 − − = − + − = + ₌ ₊

∫

( )( )

∫

( )

Ahora ya es inmediato realizar el cálculo de la integral:

x x x dx x x C 2 3 2 1 1 − − = − +

∫

ln

Comprobemos ahora cómo la descomposición en fracciones simples propor

x x x dx x x x dx A x B x D x dx A x B x D x 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 − − = − − = − + + = − − + +

∫

( )

∫

ln ln CC

Nos queda ahora calcular las constantes A , B y D de la descomposición, para lo que tendremos que resolver la ecuación Ax B x Dx x x x A D x B D B x 2 2 2 2 1 1 1 1 + − + − = − + + − − = − ( ) ( ) ( ) ( )

que se traduce, identificando coeficientes, en el sistema

A D B D B A B D + = − = =     ⇒ = = =      1 0 1 0 1 1

y nos lleva, finalmente a

x x x dx A x B x D x C x x C 2 3 2 1 ₁ 1 − − = − − + + = − +

∫

ln ln ln

(22)

22 CJS v2008

Ejercicio 8

1 4 5 2 x − x+ dx

∫

La integral que se nos presenta es racional polinómica. En este caso, además, el numerador es una constante y el denominador es de segundo grado. Todos los integrandos de estas características conducen a soluciones de la forma arcotangente, y la primitiva se calcula utilizando el método conocido como completar cuadrados (si la integral no viene expresada en su forma canónica).

En concreto, intentaremos transformar el polinomio completo de segundo grado de forma que pueda escribirse como el cuadrado de un binomio más una constante. Para ello:

➀

Dividiremos el polinomio por el coeficiente del término de segundo grado (si es necesario)

➁

El binomio buscado tomará la forma (x +k ), donde k es el coeficiente del término de grado

uno dividido por dos (y por el coeficiente del término de segundo grado, si hemos efectuado el paso anterior)

➂

Completaremos la transformación sumando una constante p para que se cumpla que p +(x +k )2

coincida con el polinomio

Con los datos del problema, la transformación es

x2 ₋₄x_{+ =}₅ ₍x₋₂₎2 ₊₁

lo que convierte la integral en

1 4 5 1 1 2 2 2 1 2 x x dx x dx f x f x dx − + = + − ∫ =

∫

′ + ( ) arctg( ( ) [ ( )]  xx −2)+C

Ejercicio 9

tg2_{x dx}

∫

Para calcular esta integral podriamos pensar en aplicar el método de integración por partes, puesto que no se corresponde con ningún tipo de integral inmediata. La aplicación de dicho método, sin embargo, no conduce a resultado satisfactorio.

Emplearemos un camino algo más creativo: la adición y sustracción de la misma constante en el integrando transforma el problema en la suma de dos integrales inmediatas:

tg2_{x dx} _{1 1} tg2_{x dx} _dx ₁ tg2_{x dx} _x tg_{x C}

(23)

Ejercicio 10

xlnx dx

∫

Para resolver esta integral es necesario aplicar el método de integración por partes:

x x dx x x x dx x x u x du dx_x dv x dx v x ln ln ln ln

∫

= = −

∫

= = = ⇒ = = ⇒ = 2₃3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 xx x_dx x _x x x _x _C − = − = = − +

∫

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 ln (ln )

Ejercicio 11

3 1 4 5 2 x x x dx + − −

∫

Puesto que se trata de una integral racional polinómica, procederemos a factorizar el denominador y descomponer el integrando en fracciones simples:

3 1 4 5 3 1 1 5 1 5 1 2 x x x dx x x x dx A x B x dx A x B x + − − = + + − = + + − = + + −

∫

( )( )

∫

ln ln 55 + C

Sólo nos queda calcular las constantes de integración, a partir de

3 1 5 1 5 3 5 1 x A x B x x A B B A A B A B + = − + + = + + − + = − + =     ( ) ( ) ( ) ( )

Sin embargo, cuando las raíces son simples, es más cómodo sustituir x por dichas raíces, lo que proporciona directamente 3 1 5 1 1 6 2 1 3 5 6 16 8 3 x A x B x x A A x B B + = − + + = − − = − ⇒ = = = ⇒ = ( ) ( ) ] ] En definitiva, 3 1 4 5 1 3 1 8 3 5 2 x x x dx x x C + − − = + + − +

∫

ln ln

(24)

24 CJS v2008

Una vez llegados a este punto, podemos simplificar el resultado

3 1 4 5 1 3 1 8 3 5 1 5 1 2 1 3 8 3 x x x dx x x C x x C x + − − = + + − + = + + − + = = + ⋅

∫

ln ln ln ln ln xx − C  3 58_ +

Ejercicio 12

cos2_{x dx}

∫

Apliquemos el método por partes:

cos cos sen

cos sen sen cos sen

2_{x dx} u x du xdx 2

dv xdx v x x x x d

∫

= = ⇒ = −

= ⇒ = = +

∫

xx [ 1 ]

Llegamos a una integral que es formalmente análoga a la primera, por lo que si aplicamos el método por partes a esta última integral

sen sen cos

sen cos sen cos cos

2_{x dx} u x du xdx 2

dv xdx v x x x x

∫

= = ⇒ =

= ⇒ = − = − +

∫

ddx [ 2 ]

Llevando el resultado de [ 2 ] a [ 1 ],

cos2_{x dx} sen cos_x _x sen cos_x _x cos2_{x dx}

∫

= − +

∫

y obtenemos una identidad (

‽‽

). Es evidente entonces que hemos deseguir otro camino. En concreto, podemos aplicar la conocida igualdad trigonométrica cos2_x ₊sen2_x _{= ⇒}₁ sen2_x _{= −}₁ cos2_x

en [ 1 ], y así llegar a

cos sen cos ( cos ) sen cos cos sen

2_{x dx} _x _x ₁ 2_{x dx} _x _x _dx 2_{x dx}

x

∫

= +

∫

− = +

∫ ∫

− =

= ccosx x+ −

∫

cos2x dx [ 3 ]

A partir de [ 3 ] es inmediato calcular el valor de la integral

I =

∫

cos2x dx = sen cosx x x+ +C

2

Existe, sin embargo, un método más elegante para calcular la integral, que consiste en manipular el integrando utilizando las igualdades trigonométricas apropiadas, y transformar la integral en inmediata. Veámoslo con algo más de detalle. Partiendo de

(25)

cos sen

cos sen cos

cos cos sen 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x x x + = − =    ⇒ = + = −ccos 2 2 x     

podemos escribir la integral como

cos cos cos

( )cos ( ) 2 1 2 2 1 2 2 x dx xdx dx x dx f x f x dx

∫

=

∫

+ =

∫ ∫

+ ∫  ′             = +x x +C 2 2 4 sen

Si además tenemos en cuenta que sen2x =2sen cosx x, podemos comprobar que la primitiva obtenida por los dos métodos es idéntica.

Ejercicio 13

1₋ 2

∫

x dx

Para resolver esta integral necesitaremos hacer un cambio de variable, puesto que no es inmediata ni racional, y el método por partes no proporciona un camino viable. El cambio de variable viene condicionado por la forma del integrando. Si recordamos que sen2_x₊cos2_x ₌₁_{, parece lógico pensar que hay dos posibles}

cambios de variable, x =sen t o bien x =cos t . Cualquiera de ellos, en principio, nos elimina el problema de la raíz cuadrada, y reduce la integral a una trigonométrica. En concreto, utilizando el cambio x =sen t se obtiene

x t dx tdt x dx t tdt tdt t = ⇒ = − = − =

∫

sen cos

sen cos cos

cos

1 2 1 2 2



integral que ya hemos resuelto en el ejercicio 12. Si optáramos por utilizar el otro cambio de variable,

x t dx tdt x dx t tdt t t = ⇒ = − − = − − = −

∫

cos sen

cos sen sen

sen

1 2 1 2 2



∫

ddt

y llegamos a una integral formalmente análoga a la anterior y que se resuelve de la misma manera.

Ejercicio 14

Dadas las curvas y =(x −1)3_e_y _{= −}₅ _x2_{, calcular razonadamente:}

(26)

26 CJS v2008

b) El área encerrada por ellas y el eje OY

El punto de intersección de las curvas se obtiene resolviendo la ecuación (x −1)3 = −5 x2_{. Desarrollando}

y simplificando términos, se obtiene la ecuación x3 ₋₂x2 ₊₃x_{− =}₆ ₀_{, ecuación de tercer grado que podemos}

resolver utilizando la regla de Ruffini,

1 -2 3 -6

2 2 0 6

1 0 3 0

x3₋₂x2 ₊₃x _{− =}₆ ₍x ₋₂₎₍x2 ₊₃₎

por lo que se tiene

x₁ =2;x_{2 3}_, = ± 3i

El punto de corte es entonces

x₁ = ⇒ ( , )2 P 2 1

Con el fin de calcular el área pedida haremos un croquis de las curvas:

El área que se nos pide calcular es la sombreada en verde. Es evidente entonces que puede calcularse como

S =

∫

_(5−x2) (− x −1)3_dx

0 2

Sin embargo, y teniendo en cuenta la simetría de la función cúbica alrededor del punto x =1, resulta mucho más cómoda calcularla según

S =

∫

5−x dx2

0 2

El cálculo de esta primitiva es trivial, ya que se trata de una integral inmediata de tipo polinómico:

5 5 3 10 8 3 22 3 7 3 2 0 2 3 0 2 − = − = − = =

∫

x dx x x . En definitiva, S = 22 = 3 7 3.  u.a. -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 x y y=(x -1)3 y=5-x2 P(2,1)

(27)

Ejercicio 15

Calcular los valores reales z que verifican −

− − =

∫

16 2 15 25 2 0 x x dx z ln

Calculemos en primer lugar la primitiva. Se aprecia claramente que se trata de una función racional, de raíces x₁ = −3 y x₂ =5, lo que indica que la factorización correspondiente es

− − − = + + − 16 2 15 3 5 2 x x A x B x

Los valores de las constantes A y B se hallan a partir de la ecuación

A x B x B B A A x x ( − )+ ( + )= − ⇒_ ₋ = − ⇒_{= − ⇒} ₌=−  =  =−  5 3 16 8 16 2 8 16 2 5 3 y entonces se tiene − − − = + − − = + −       +

∫

16 2 15 2 3 2 5 3 5 2 2 x x dx x x x x C ln( ) ln( ) ln

Aplicando la regla de Barrow, podemos calcular la integral definida,

− − − = + −       − ₋      = − +

∫

16 2 15 3 5 3 5 5 3 3 2 0 2 2 x x dx z z z z z ln ln ln ( ) ( −−       5 2 )

La ecuación propuesta se convierte entonces en

ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) − + −       = ⇒ − ₋+ = − + = − ⇒ 5 3 3 5 25 5 3 3 5 5 3 3 5 4 2 z z z z z z zz = 12 y, finalmente, z = 3

La interpretación geométrica del problema puede verse en la figura:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y f (x)

(28)

28 CJS v2008

Ejercicio 16

Calcular el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de la función y = f x( )=x2 +₄

alrededor del eje OY y limitado por las rectas y =4 e y =8

Como sabemos, el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de una función alrededor del eje OX puede calcularse a partir de la expresión

V f x dx

a b

=π

∫

_ ( )_2

Ahora bien, como en este caso la rotación tiene lugar alrededor del eje OY , deberemos calcular la forma que toma la función x = ( )f y . En concreto,

y =x2+ ⇒ = ±₄ x y−₄

Tomando únicamente la función positiva, el volumen se calcula

V = _ y− _ dx = y − dx = y − y        =  − − 

∫

π 4 π 4 π π 2 4 0 8 2 4 8 4 8 2 4 8 ( ) ( ) es decir, V = 8π u.d.v. −10 0 10 −10 ₋₅ 0 ₅ 10 0 50 100 150 200

x

z

y

(29)

Ejercicio 17

Calcular el área de una elipse de semieje mayor a y semieje menor b , centrada en el origen, mediante

cálculo integral

La ecuación de una elipse centrada en el origen de semiejes a y b toma la forma x

a y b 2 2 2 2 1 + = , y su

representación gráfica es la de la figura.

Es evidente entonces que podremos calcular el área de la elipse como el cuádruple del área S₁, siendo dicha área S₁ la que hay bajo la función y b x

a = 1− 2 2 y entre las rectas x =0 y x =4: S b x a dx a 1 2 2 0 1 =

∫

−

El problema se reduce por consiguiente a calcular esta integral. Por simple inspección comprobamos que no es inmediata ni racional. El método por partes tampoco proporciona ninguna solución aceptable. Hemos de pensar entonces en efectuar un cambio de variable. En concreto, si escribimos la integral como

S b x a dx a 1 2 0 1 = −     

∫

podemos constatar que se trata de la misma integral del ejercicio 13. En efecto,

S b x a dx x a t dx a tdt x t x a t a 1 2 0 1 0 0 2 = −      = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =    

∫

sen cos π               =ab

∫

cos2tdt 0 2 π

Recordando el resultado cos2 sen cos

2

x dx x x x C

∫

= + + y aplicando la regla de Barrow obtenemos

el resultado final S₁ ab 2tdt ab t t t ab 0 2 0 2 2 4

=

∫

cos = sen cos + =

π π π y por tanto S = 4S₁ =π u.d.s.ab x y S₁ a

(30)

30 CJS v2008

Ejercicio 18

Dibujar el recinto limitado por y = − +x2 ₄x −₃_{, su recta tangente en el punto}_{P (0,–3) y la recta}

y = − + 3x . Calcular su área

La ecuación de la recta tangente a la función f (x) que pasa por el punto P (x_P,y_P) se escribe como

y y− _P = ′f x( ) (_P ⋅ x x− _P)

En nuestro caso, se tiene

y x x y x x f x

P P

= − +2 ₄ − ⇒ ′ = − + ₃ ₂ ₄  ′=0 → _{( )}=₄

por lo que la recta tangente pedida será

y =4x−3

La representación gráfica de la parábola y las dos rectas queda por tanto

Calculemos ahora los puntos de intersección A, B y C :

y x x y x x x x x x A A A A A A A A A A A = − + − = −    ⇒ − + − = − − = ⇒ = ⇒ 2 2 2 4 3 4 3 4 3 4 3 0 0 ( ,,0 −3)

(31)

y x y x x x x x B B B B B B B B B = − + = −    ⇒ − + = − = ⇒ = ⇒ = 3 4 3 3 4 3 5 6 6 5 6 5 9 5 1 2 ( , ) ( . ,, . )1 8 y x x y x x x x x x x C C C C C C C C C C C = − + − = − +    ⇒ − + − = − + − + − = ⇒ 2 2 2 4 3 3 4 3 3 5 6 0 _ == ⇒_{= ⇒}  2 2 1 3 3 0 2 2 C x_C C ( , ) ( , )

Una vez calculadas las intersecciones en inmediato calcular el área del recinto limitado por las tres gráficas, S x x x dx x x x dx x dx x x x x A B B C = − − − + − + − + − − + − = =

∫

(4 3) ( 2 4 3)

∫

( 3) ( 2 4 3) 2 0 66 5 ₂ 6 5 2 3 0 6 5 3 2 6 5 2 3 5 6 3 3 5 2 6 6 5 3

∫

+

∫

− + = + − +      = =       x x dx x x x x ++ − +      −       −       +               = 8 3 10 12 6 5 3 5 6 5 2 6 6 5 3 2 88 3 2 36 10 36 5 40 30 54 15 16 15 + + − = = + − = u.d.s.

(32)

(33)

7. Ejercicios propuestos

Ejercicio 1

Calcular las siguientes integrales:

1

x x xdx +      

∫

1 3

2

sen cos x xdx 3+

∫

3 ∫

ln_x2xdx

4

sen2₃_xcos₃_xdx

∫

5

7 22 +

∫

tg cos x x dx

6

1₊ 2

∫

sen sen cos x x xdx

7 ∫

tg(2x+1)dx

₈

x x2 ₊₁dx

∫

9

x x2 ₊₁dx

∫

10

_x 3₂_xdx ln

∫

11

x x dx x + +

∫

e e 1

12

x x dx 2_sen

∫

13

(x2₊₁)sen₂x dx

∫

14

x2_ln(₂x₊₁₎dx

∫

15 ∫

_x2 _{+ −}dx_x ₂

16 ∫

₍_x ₊₂dx_{) (}2 _x ₋₁₎

17

2 3 2 5 2 x x x dx + + +

∫

18

x_x x dx 2 2 6 4 + + +

∫

19 ∫

_x3dx₋₁

20

3 2 12 32 1 x x x dx − − +   −

∫

( ) ( )

21

₁2 3 8 x x dx +

∫

22 ∫

_{1 4}₊2x xdx

23

2 2 e e − − +

∫

x x dx

24

arcsen x x dx 1₋ 2

∫

25 ∫

_{x x}₍dx₊₁₎2

26

dx x x( + )

∫

12

27

e e 2 1 x x ₊ dx

∫

28

22 ₄ 5 ₉ x x x dx + − +

∫

29 ∫

_x2 ₋₄1_x ₊₉dx

30

x x dx 3 2 ₁2 ( − )

∫

31

_x x −_x dx − +

∫

2 4 5 2

32

x x dx 2_cos₄

∫

33

x5 x3dx e−

∫

34

ln x_x dx 2

∫

35

cos_sen22 x xdx

∫

36

x x xdx 3 2 3 cos

∫

(34)

34 CJS v2008

Ejercicio 2

Calcular las siguientes integrales, utilizando los cambios de variable que se indican:

1 ∫

₁₊ex_exdx ex =t

2

3 1 2+ −

∫

e x dx e −x ₌_t2

3 ∫

₍₁₋1_x2 3₎ dx x = sent

4

1 1 2 2 x x − dx

∫

x t = 1 cos

5

_{sen cos}senx _xdx

+

∫

tg x =t

₆

e e 2 1 x x dx +

∫

1₊_ex ₌_t2

7

₃_x 2₂ _xdx +

∫

x =t

8

x x − dx

∫

1 x − =1 t 2

9 ∫

3₁₋_x1 ₁₋_xdx 1 6 − =x t

10

3 27 1 9 x x x dx + +

∫

3x ₌_t

11 ∫

1₁+₋ x_xdx _t ₌ _x

12

1 ₃ x − xdx

∫

x =t6

Ejercicio 3

Calcular la función f (x) si sabemos que f (0)=0, f ’(0)=2 y f ’’(x)=3x

Ejercicio 4

Encontrar la primitiva de la función f x

x ( )= − 1 1 4 2 que se anula en x = π4

Ejercicio 5

Hallar el área limitada por la curva y =x3 −₃x2+₁_{y la recta tangente a la misma en el punto en que}

alcanza su máximo relativo. Dibujar el recinto

Ejercicio 6

Considerar la figura plana encerrada entre las curvas y = 3x2 _e_y ₌_x2_{, cuando 0≤}_{x ≤1. Hallar el volumen}

(35)

Ejercicio 7

Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1

1 1 1 + −

∫

x dx

2

2 1 2 1 1 _x x dx + −

∫

3

x x2 3 2dx 1 0 2 ( + ) −

∫

4

cos sen x xdx 1 2 0 2 +

∫

π

5

1 3 2 1 3 +

∫

x dx

6

ln3 1 x x dx e

∫

7

x 2 2x dx2 1 + −

∫

1

8

sen cosx 2x dx 0 π

∫

9

ctg x dx π π 4 2

∫

10

sec (2 ) 4 2 x+ dx −

∫

π π π

11

1 ₁1 4 3 4 x( −x)dx

∫

12

2 1 ₁ 2 1 x + +x dx −

∫

13

4 1 ₁ 3 2 x x − dx

∫

14

x2 x dx 0 sen π

∫

15

arcsen x dx 0 1

∫

16

sen(ln )_x x dx 1 e

∫

17

31 ₁ 0 x dx +

∫

2

18

(sen3 sen )cos2 0 x + x x dx

∫

π

19

₁ 1 2 2 + −

∫

π cos xdx π

20

2₂ 3₁ 0 2 _x x dx + +

∫

21

1 2 0 1 −

∫

x dx

22

1 2 3 1 − −

∫

x dx

23

ln x x dx 1 e

∫

24

sen3 cos2 0 x x dx π

∫

25

22 5₂ 0 1 _x x x dx + − −

∫

26

ln x dx 1 e e

∫

27

1 1 3 ₊

∫

x x dx

28

x2_xdx 0 2 1+

∫

29

e_exx dx − +

∫

1 1 0 1

30

x2 x dx 0 2 4 cos π

∫

31

(t ) dt x 2 4 3 1 +

∫

32

1 2 0 1 +

∫

ex _dx

33

cos sen t t dt x 2 3 0 +

∫

34

t_t dt x 2 2 3 4 3 1 − − −

∫

35

x2 x dx 1 4 2 + − −

∫

36

1 2 +

∫

t dt x x sen

(36)

36 CJS v2008

Ejercicio 8

Encontrar el valor de k, k >0, tal que el volumen del cuerpo de revolución generado por la curva y =kx2_,

con 0≤x ≤1, al girar en torno al eje OX sea igual a 1

Ejercicio 9

Encontrar la recta vertical x =k, tal que divide en dos partes iguales el área del recinto limitado por las curvas y =x2_,_x _{= 2}_e_y _{= 0}

Ejercicio 10

Calcular el valor de a para que el área delimitada por la curva y = sena x

2 y las rectas y = 0 y x = π,

sea igual a 4

Ejercicio 11

Se sabe que la gráfica de una función pasa por el punto A (1,1) y que f ’(1)=2. Se conoce también que su derivada segunda es la función g (x)=2. Calcular razonadamente la función f (x)

Ejercicio 12

¿Existe alguna función y =f (x) tal que ′′ = −

f x x

( ) 1

1 y que f (0)=2 y f (3)=3? ¿Y que f (2)=2 y f (3)=3?

(37)

(38)

(39)

Contenido

1. Primitiva de una función

3 1.1. Propiedades

2. Primitivas inmediatas

5 3. Integración de funciones racionales

7 3.1. Raíces reales

3.2. Raíces complejas

3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x

3.3.1. Método general

3.3.2. Casos particulares

3.3.2.1. La función racional es par en seno y coseno 3.3.2.2. La función racional es impar en seno o coseno