UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

Propagación y Radiación Electromagnética I

EE-521

Eduardo Olivera / Marcial López

Lima-Perú

2,000

© 2,000. Todos los derechos reservados

Primera Impresión Marzo del 2,000

La Información suministrada en este libro se asume esencialmente correcta, pero los autores no asumen ninguna responsabilidad por el uso de ésta, se permite su copia para uso personal, siempre y cuando no se altere el contenido del mismo.

Acerca de los autores:

Eduardo Olivera Polo , Ingeniero Electrónico de la UNI, universidad donde ejerció la docencia desde 1,981 hasta 1,997. En la actualidad es profesor ordinario del Departamento de Ingeniería de la PUCP.

Marcial López Tafur, Ingeniero Electrónico de la UNI, Profesor Asociado, ejerce la docencia desde 1,980 hasta la fecha en la UNI, también es consultor de proyectos de telecomunicaciones y temas afines.

El propósito de los autores es el de contribuir a un mejor conocimiento de la Teoría Electromagnética, especialmente para la parte del electromagnetismo, hemos podido observar en el transcurso de varios años de dictado, que este tipo de cursos presentan problemas para el alumno, que es, generalmente, el de visualizar el fenómeno físico, a partir del modelo matemático, para ello, se ha tratado en los ejemplos, de clarificar la teoría sin incidir demasiado en la complejidad matemática, dado que estos tiempos de software de simulación y amplia información (internet), el tener el concepto claro es mas importante que el resolver problemas mecánicamente, hay que mencionar a los estudiantes que en la vida profesional, la capacidad de resolver problemas entendiendo las causas de estos, es importante, que tratar de aplicar recetas que no se adecuen al problema que uno enfrenta y hagan que la situación se complique; en la vida de estudiante, esto último equivale a resolver problemas tipos, de memoria o mecánicamente.

Para los estudiantes que quieran especializarse en telecomunicaciones, diseño de maquinas eléctricas, es muy importante esta parte de la teoría Electromagnética por lo cual recomendamos darle el mayor empeño a su estudio. UNI, Lima Febrero del 2,000

Contenido:

Capítulo 1:

Magnetostática del vacío . . . 1

1.1. Introducción . . . 1

1.2. Fuerza Magnética sobre una corriente. . . 1

1.3. Vector Inducción (B) . . . 1

1.3.1. Ley de Ampere . . . 1

Ejemplo 1.1 (Filamento infinito de corriente) . . . . 1

1.3.2. Ley de Biot - Savart . . . 2

1.4 Potencial Vectorial A. . . 3

1.4.1 Ecuación diferencial para A . . . 3

1.4.2 A en función de la corriente . . . 4

1.4.3 Flujo de B y circulación de A . . . 4

1.5 Potencial Escalar Magnético . . . 4

1.6 Momento dipolar magnético . . . 4

1.6.1 Campo B de un circuito pequeño . . . 4

1.6.2 Expresiones para evaluar m . . . 5

1.7 Casos especiales . . . 6

1.7.1 Bobina de Helmholtz . . . 6

1.7.2 Aplicación (Cascarón esférico girando con densidad de carga) . 6 1.7.3 Aplicación (Hallar B en puntos fuera del eje de simetría para una espira) 7 1.7.4 Aplicación (Calcular B para un plano infinito con corriente superficial) 8 1.7.5 Problema (Hallar B en el centro de dos espiras poligonales) . . 9

Capítulo 2: Magnetostática en la Materia. . . 11

2.1 Introducción . . . 11

2.2 Vector Magnetización . . . 11

2.3 Potencial Vectorial en la materia . . . 11

2.4 Potencial Escalar en la materia . . . 11

2.5 Campo Magnético en la materia . . . 12

2.5.1 Intensidad de campo H . . . 12

2.5.2 Ecuaciones fundamentales. . . 12

Ejemplo 2.1 (Imán permanente recto) . . . 12

Ejemplo 2.2 (Magneto cilíndrico de gran longitud) . . . . 13

Ejemplo 2.3 (Magneto en forma de esfera hueca) . . . . 13

Ejemplo 2.4 ( Imán en forma de segmento esférico) . . . . 14

2.6 Clasificación de la materia por sus propiedades magnéticas . . . 14

2.6.1 Materiales diamagnéticos . . . 14

2.6.2 Materiales paramagnéticos . . . 14

2.7 Ferromagnetismo y los materiales magnéticos . . . 15

2.7.1 Teoría de los Dominios . . . 15

2.7.2 Curva de Magnetización . . . 16

2.7.3 Lazo de Histéresis . . . 16

Ejemplo 2.5 (Determinar la µr de una cáscara cilíndrica de Fe) . . 17

Ejemplo 2.6 (Circuitos magnéticos con imanes permanentes). . . 17

Ejemplo 2.7 (Transformador de poder) . . . 17

Apéndice . . . 18

Capítulo 3: Solución de Problemas con condiciones de frontera. . . . 19

3.1 Introducción . . . 19

3.2 Comportamiento de los vectores de campo magnético en una frontera . . 19

3.2.1 Intensidad de campo H . . . 19

Ejemplo 3.3.2 (Modelo de entrehierro en una máquina eléctrica) . . 20

3.4 Problemas de contorno en coordenadas esféricas . . . . 21

Ejemplo 3.4.1 (Esfera con magnetización propia uniforme) . . . 21

Ejemplo 3.4.2 (Hallar el factor de blindaje de un cascarón esférico de Fe). . 22

3.5 Problemas con geometría cilíndrica . . . 23

Ejemplo 3.5.1 (Material magnético en forma de cilindro largo) . . 23

3.6 Conductores perfectos y ferromagnetismo ideal . . . . 23

3.7 Método de las imágenes . . . 24

Ejemplo 3.7.1 . . . 24

Ejemplo 3.7.2 . . . 25

Ejemplo 3.7.3 . . . 25

Capítulo 4: Inducción Electromagnética y Corrientes Variables . . . . 27

4.1 Ley de Faraday de la inducción . . . 27

4.1.1 Sistema en reposo . . . 27

4.1.2 Sistemas en movimiento relativo . . . 28

Ejemplo 4.1 . . . 28

Ejemplo 4.2 . . . 30

Ejemplo 4.3 . . . 30

4.2 Conversión electromecánica . . . 31

4.3 Autoinductancia y coeficiente de autoinducción . . . . 31

Ejemplo 4.4 . . . 31

Ejemplo 4.5 . . . 32

Ejemplo 4.6 . . . 32

Ejemplo 4.7 . . . 32

4.4 Inductancia mutua y coeficiente de inducción mutua . . . . 32

Ejemplo 4.8 . . . 33

Ejemplo 4.9 . . . 33

4.5 Corrientes de Foucault (eddy currents) . . . 34

4.6 Generador Homopolar (disco de Faraday) . . . 34

Notas de aplicación práctica para este capítulo . . . 35

Apéndice 4.1. . . 36

Apéndice 4.2. . . Capítulo 5 Energía Magnética . . . 37

5.1 Relación entre trabajo eléctrico y flujo magnético en un circuito estático . 37 Ejemplo 5.1 . . . 37

Ejemplo 5.2 . . . 37

5.2 Relación entre trabajo mecánico y flujo magnético en un circuito móvil. . 38

Ejemplo 5.3 . . . 38

5.3 Flujo magnético, energía almacenada y trabajo desarrollado por un circuito . 38 Ejemplo 5.4 . . . 39

5.4 La energía magnética en términos de los vectores de campo . . . 39

5.4.1 La energía magnética y A . . . 39

Ejemplo 5.5 . . . 39

5.4.2 La energía magnética, B y H . . . 39

Ejemplo 5. . . 39

5.4.3 Cálculo de L usando el método de la energía . . . . 40

Ejemplo 5.7 . . . 40

5.5 Energía magnética y curva de histéresis . . . 40

5.5.1 Ecuación de Steinmetz . . . 41

5.6 Cálculo de Fuerzas y Torques por el método de la energía . . . 41

Ejemplo 5.9 . . . 42

Ejemplo 5.10 . . . 43

5.6.2 Diversas aplicaciones de la fuerza por interacción magnética. . . 43

Ejemplo 5.11 . . . 44

Capítulo 6 Electrodinámica. Propagación de O.E.M. Planas . . . 47

6.1 Las ecuaciones de Maxwell. . . 47

Ejemplo 6.1 . . . 47

Ejemplo 6.2 . . . 47

Ejemplo 6.3 . . . 48

6.1.1 Autoconsistencia de las ecuaciones de Maxwell. . . 48

6.1.2 Relaciones constitutivas . . . 48

6.1.3 Condiciones de Contorno . . . 48

6.2 Naturaleza ondulatoria del campo electromagnético . . . 48

6.2.1 O.E.M. Planas . . . 49

6.2.2 Solución de la ecuación de onda en el dominio de la frecuencia. 49 Ejemplo 6.4 . . . 50

Ejemplo 6.5 . . . 51

6.2.3 Medio conductores semi-infinitos . . . . 51

6.2.4 Efecto pelicular en buenos conductores . . . 52

6.2.5 Conductividad aparente y efectiva . . . . 52

6.3 Balance dinámico de energía en el campo electromagnético. . . 53

Ejemplo 6.6 . . . 53

Ejemplo 6.7 . . . 54

Ejemplo 6.8 . . . 54

6.4 Propagación de O.E.M. planas a través de varios medios . . 54

6.4.1 Incidencia Normal. . . 54

6.4.2 Incidencia Oblicua . . . 54

6.4.3 Incidencia normal sobre un buen conductor . . . 56

Ejemplo 6.9 . . . 56

Ejemplo 6.10 . . . 57

Problemas Propuestos: (Archivo de Prácticas Calificadas, Exámenes y Tareas) . . . 59

1

Capítulo 1

MAGNETOSTÁTICA DEL VACÍO

1.1 Introducción:

Dentro del estudio de la interacción electromagnética aquí se tratará la llamada “interacción magnetostática”. Toda interacción puede estudiarse inicialmente en base al concepto de fuerza. La fuerza electromagnética sobre una partícula con carga “q” (carga puntual) es:

F

=

q

(

E

+ ×

v B

)

(1.1) llamada fuerza de Coulomb-Lorentz, donde: E es el vector intensidad de campo eléctrico y B es el vector inducción de campo magnético.

El concepto de campo permite asociar a cada punto del espacio un vector B; en condiciones estacionarias el vector sólo depende de r.

B

=

B

_{( )r}

=

B

_{( , , )x y z}

Además E y B son independientes el uno del otro. Las unidades de B son el Tesla o Weber/m2 (Wb/m2) 1T = 104 G (G : Gauss)

1.2 Fuerza magnética sobre una

corriente:

Por la ec. (1.1) sólo las cargas móviles experimentan fuerza; un conjunto de cargas en movimiento es una corriente eléctrica. En los capítulos 1,2 y 3 trataremos los efectos magnéticos de las corrientes estacionarias. Examinemos la forma diferencial de la ec. 1.1 para B

d

dq

d

dq

dq

d

dt

dt

=

=

l

=

F

v × B

× B

l × B

d

F

=

I d

l × B

= ×

J B

dV

I

d

Γ

=

_∫

×

F

Ñ

l B

(1.2)a

Si B es uniforme o el circuito es muy pequeño, luego no existe efecto traslacional:

Evaluando el momento de fuerza relativo al origen:

(

)

d

tt

= r ×dF = r ×

I

d

l × B

(

)

I

d

Γ

=

Ñ

∫

r ×

l × B

tt

(1.2)b

En general, existe efecto rotacional.

Una pequeña bobina (Flip-coil) puede usarse para detectar la existencia de un campo magnético

Por la analogía con la electrostática conviene caracterizar al circuito de la fig 1.2 por un momento dipolar magnético (m):

y

elect

= ×

p E

mag

= ×

m B

t

t

t

t

(1.3) Para el caso de una espira con corriente I, que encierra el área S :

m

=

I

S

, para N espiras:

m

=

NI

S

El dipolo gira hasta quedar paralelo a B (θ = 0), entonces ττ = 0

1.3 Vector de Inducción (B):

1.3.1 Ley de Ampere:

Ampere estableció experimentalmente que el campo magnético es debido a las corrientes eléctricas. Se sabe: f

0

t

ρ

∂

∇ +

=

∂

J

g

En condiciones estacionarias:

∇ =

g

J

0

En base a esta condición, Ampere estableció que el rotacional de B es:

∇× =

B

µ

0

J

(1.4)b Carácter rotacional (campo vórtice)

Forma integral: _{0 0} S

d

µ

d

µ

I

Γ

=

=

∫

B

g

l

∫

J

g

S

Ñ

(1.4)b Donde:

µ

₀

=

4

π

×

10

−7

H m

/

permeabilidad magnética del vacío para especificar completamente el campo B debe conocerse la divergencia de B:

∇ =

g

B

0

(1.5)a carácter solenoidal

0

S

d

=

∫

B

g

S

Ñ

(1.5)b la ec. (1.5) es cierta aun en condiciones dinámicas; las ec. (1.4)a y (1.5)a son las ecuaciones diferenciales fundamentales para el campo magnético estacionario.

Ejemplo 1.1: Filamento infinito de corriente:

Por conocimientos previos de física asumiremos la forma de las líneas de fuerza (ver ejemplo 1.5). Así puede usarse la ec. (1.4)b

B(r) I r F dl x y z Fig. 1.2 x y z Fig. 1.3a I B θ m B Fig1.3b

Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López

2

d

πρ

B

Γ

=

∫

B

g

l

Ñ

y _{0 0} S

d

I

µ

_∫

J

g

S

=

µ

Luego: 0

2

I

B

µ

πρ

=

ó 0 0

2

2

I

I

µ

µ

πρ

πρ

=

=

z

×

ñ

B

a

_φφ

a

a

Ejemplo 1.2: Solenoide ideal infinito:

Se asume que sólo existe campo dentro de aquél y dicho campo es uniforme y paralelo al eje.

n espiras por unidad de longitud

d

Bl

Γ

=

∫

B

g

l

Ñ

y _{0 0} S

d

nIl

µ

_∫

J

g

S

=

µ

Luego:

B

=

µ

0

nI

Fig. 1.4c Un solenoide real

1.3.2 Ley de Biot – Savart:

_{( )} 0 ₃

4

Id

d

R

µ

π

×

=

r

l R

B

(1.6)a Nótese la similitud con la ley de Coulomb:

( ) 3 0

1

4

d

dq

R

πε

=

r

R

E

B es un vector axial y E es un vector polar

( )

0 3

'

4

Id

R

µ

π

Γ

×

=

∫

l

R

B r

Ñ

(1.6)a

La ec. (1.6) corresponde a la densidad de corriente unifilar. Es usual emplear:

'

'

y

Id

l

=

I

a

_T

d

l

R

=

R

a

_R

Para una distribución superficial: (JS)

0 2

'

4

S S V

J

dS

d

R

µ

π

×

=

∫

=

∫

a

T

a

R

B

B

(1.7) Para una distribución volumétrica: (J)

0 2

'

4

V V

J

dV

d

R

µ

π

×

=

∫

=

∫

a

T

a

R

B

B

(1.8)

Ejemplo 1.3: Hallar B en puntos del plano z = 0 para un filamento de corriente I finito

0 2

'

4

I

d

dz

R

µ

π

×

=

a

T

a

R

B

0 0 2 2 2 2 3 / 2

sen

'

'

4

(

' )

4

(

' )

I

dz

I dz

d

z

z

α

ρ

µ

µ

π

ρ

π ρ

=

=

+

+

a

a

B

jj jj 1 2 0 2 2 3 / 2 '

'

4

(

' )

L z L

I

dz

z

µ ρ

π

=−

ρ

=

+

∫

a

B

jj recordando que: 2

'

tan ,

'

sec

,

tan

'/

z

=

ρ

θ

dz

=

ρ

θ θ

d

θ

=

z

ρ

1 2 0 2 2 ' 0 1 2 2 2 2 2 1 2

'

4

_'

4

L z L

I

z

z

I

L

L

L

L

µ

πρ

_ρ

µ

πρ

_ρ

_ρ

=−





=





=



+















=

+



₊

₊







B

a

B

a

jj jj

Ejemplo 1.4: Un gran número de vueltas (N) muy próximas de un alambre muy fino se enrollan en una sola capa sobre una esfera de madera de radio a, con los planos de las vueltas ortogonales al eje diametral de la esfera, cubriendo toda la superficie de ésta. Sí la corriente en el alambre es I, hallar la inducción en el centro de la esfera. I Γ R dl’ r’ r dB(r) r = punto de campo r’ = punto de fuente Fig. 1.5 Γ B I ρ Fig 1.4a I l Γ B Fig 1.4b I z y (0,0,L1) (0,0,-L2) (ρ,ϕ,0) x ϕ Fig 1.6a a T×aR α R aR a t ρ dz z’ = |a T×aR|aϕϕ z θ’ dϕ’ I dl’ θ’ at× ar z at ar θ’ dθ’ aϕϕ Fig 1.7a

3 Nótese que:

,

,

=

= −

×

= −

T R r T R

a

a

_jj

a

a

a

a

a

_θθ 0 2

(

)

'

'

sen '

'

4

dI

dl

d

dl

a

d

a

µ

θ ϕ

π

× −

=

a

a

r

=

B

ϕϕ P

or simetría, B resultante será paralela al eje z; sólo requerimos: 2 0

sen

'

'

sen '

4

z

dI

d

d

d

a

µ

φ φ

θ

π

=

=

z z

a

B

B

a

también:

dI

NI

ad

'

NId

'

a

θ

θ

π

π

=

=

2 0 2

sen

'

'

4

z

NI

d

d

d

a

µ

θ θ ϕ

π

=

B

2 0 ' 0 ' 0 ' 0

sen 2 '

'

4

2

z

NI

d

a

π π π θ ϕ θ

µ

_θ

θ

π

= = =





=

=

_

−

_





∫ ∫

z

B

B

a

0

4

NI

a

µ

=

z

B

a

Observación: El sistema dado equivale a una corriente superficial, con densidad:

cte

S

NI

J

aπ

=

=

luego de la ec. (1.7): 0 2

(

)

'

4

S

d

J

dS

a

µ

π

=

× −

r

B

a

_ϕϕ

a

2 0 2

(

)

sen '

'

'

4

S

J

a

d

d

d

a

µ

θ θ ϕ

π

× −

=

a

a

r

B

ϕϕ 2 0

sen

'

'

'

4

S z

J

d

d

d

µ

θ θ ϕ

π

=

z

B

a

0

4

S

J

µ π

=

z

B

a

1.4 Potencial vectorial A:

En teoría de campos la solución analítica de las ec. (1.4)a y (1.5)a se obtiene en términos de la función potencial.

B

= ∇ ×

A

(1.9)a El potencial no está unívocamente determinado:

'

(

'

)

(

'

)

0

(

)

0

'

= ∇ × −∇× = ∇ ×

−

∇×

−

=

∇× ∇Ψ =

∴

= + ∇Ψ

B

A

A

A

A

A

A

A

A

lo que se resuelve especificando la divergencia de A. En estado estacionario:

∇

g

A

=

0

(1.9)b Además se debe especificar el comportamiento de A en contornos de la región (ver capítulo 3)

1.4.1 Ec. Diferencial para A:

Reemplazando ec (1.9)a en (1.4)a: ₂ 0 0

(

)

(

)

µ

µ

∇× ∇×

=

∇ ∇

− ∇

=

A

J

A

A

J

g

Por ec. (1.9)b:

∇

2

A

_{( )r}

= −

µ

₀

J

_{( )r} (1.10) Ejemplo 1.5:Hallar B para un conductor cilíndrico muy largo de radio a con densidad de corriente uniforme J0.

2 0 0

0

J

a

a

µ

ρ

ρ

−

<



∇

_{= }

>



z

a

A

Por simetría:

A

=

A

_{( )ρ}

a

z Entonces: 2

A

1 d

dA

d

ρ

d

ρ ρ

ρ





∇ =

_

_





a) Para

ρ

<

a

:

1 d

dA

₀

J

₀

d

ρ

d

µ

ρ ρ

ρ





_{= −}









2 0 0 1

ln

2

4

J

A

= −

µ

ρ

+

C

ρ

+

C

b) Para

ρ

>

a

:

1

d

dA

0

d

ρ

d

ρ ρ

ρ





₌









3

ln

4

A

=

C

ρ

+

C

Hallamos:

dA

d

ρ

= ∇ × = −

B

A

a

_ϕϕ 0 0 1 3

2

J

C

a

C

a

µ

ρ

_ρ

ρ

ρ

ρ



₋



_<









= 



₋

_>



a

B

a

ϕϕ ϕϕ

Criterio: C1 = 0 para que B esté definido en ρ = 0 θ’ θ’ at× ar z JS aϕϕ Fig 1.7d aϕϕ ϕ ρ aρρ J0az z x a

Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López

Por continuidad (capítulo 3):

2 0 0 3 0 0 3

2

a a

2

J

C

J a

C

ρ ρ

µ

ρ

µ

ρ

=

= −

=

→

= −

1.4.2 A en función de la corriente:

Se trata de resolver la ec. (1.10) en función de la corriente; vemos el caso en coordenadas cartesianas: 2 0 2 0 2 0 x x y y z z

A

J

A

J

A

J

µ

µ

µ

∇

= −

∇

= −

∇

= −

conocemos: 2 0 f

ρ

φ

ε

∇ = −

; luego, por analogía:

( ') ( ) 0 ( ') 0 ( ) (1.11)a

'

1

4

'

4

f V V

dV

R

dV

R

ρ

φ

πε

µ

π

=

=

∫

∫

r r r r

J

A

Para otras distribuciones de corriente: ( ) 0 ( ')

'

4

S S

dS

R

µ

π

=

∫

r r

J

A

(1.11)b _{( )} 0

4

Id

R

µ

π

Γ

=

∫

r

l

A

Ñ

(1.11)c El ejemplo 1.5 es análogo a un cilindro con densidad de carga ρf = ρ0 .

1.4.3 Flujo de B y circulación de A:

Se define: _m

S

d

Φ =

∫

B S

g

(1.12) Unidad: Weber (Wb) ó (Tesla×m2)

1Wb = 108 Mx (Mx: Maxwell) De la ec. (1.9)a: _m S

d

Γ

d

Φ = ∇×

∫

A S

g

=

_Ñ

∫

A

g

l

_m

d

Γ

Φ =

_Ñ

∫

A

g

l

(1.13)

Ejemplo 1.6: Calcular A debido a un solenoide infinito con n espiras por unidad de longitud y corriente I.

El solenoide es equivalente a una corriente superficial:

,

sen

cos

S S S S S S

J

J

nI

J

ϕ

J

ϕ

=

=

= −

x

+

y

J

a

J

a

a

ϕϕ

La solución es análoga a un cilindro de radio a con carga electrostática.

0

sen (

)

0

cos (

)

f

A

x f

A

y

σ

=

σ

ϕ

σ

=

σ

ϕ

Le ec. (1.13) permite una solución más simple. Por simetría:

d

2

πρ

A

Γ

=

∫

A

g

l

Ñ

Para ρ < a: 2 0

2

S

A

d

nI

πρ

=

∫

B S

g

=

πρ µ

(ejemplo 1.2) 0 0

2

2

nI

nI

A

ρµ

ρµ

→

=

→

A

=

a

_ϕϕ Para ρ > a: 2 0

2

S

A

d

a

nI

πρ

=

_∫

B S

g

=

π µ

2 2 0 0

2

2

a

nI

a nI

A

µ

µ

ρ

ρ

→

=

→

A

=

a

_ϕϕ

0

≠

A

en todo el espacio, aunque

B

=

0

en el exterior puede comprobarse tomando

∇×

A

1.5 Potencial Escalar Magnético:

Cuando J = 0, la ec. (1.4)a es

∇× =

B

0

y por analogía con la electrostática puede definirse un potencial escalar:

B

= −

µ

₀

∇

∇

V

_m (1.14)a Como

∇.

∇.

B

=

0

ec. (1.5), siempre se cumple que:

∇

∇

22

V

_m

=

0

(1.14)b Ec. de LaPlace

1.6 Momento dipolar magnético:

1.6.1 Campo B de un circuito pequeño:

ρ B ∼ρ ρ = a ∼1/ρ Fig. 1.8b B dS2 Γ2 B dS1 Γ1 Sup. convexa S1 Sup. plana Fig. 1.9 S2 dl1 dl2 Fig. 1.10 JS y ϕ _x

5 De acuerdo con la sub-sección 1.4.2 la solución para Ax puede obtenerse por analogía electrostática (fig. 1.11b) Sabemos que: ₃ 0

1

(

)

4

πε

r

λ

ab

Φ =

=

−

y

p r

p

a

g

x

y

z

=

x

+

y

+

z

r

a

a

a

Luego: _{3 3} 0 0

1

4

4

py

aby

r

r

λ

πε

πε





Φ =

_

_

= −





0₃

4

x

Iab

y

A

r

µ

π

= −

(ver ec. (1.11)a) también: 0₃

4

y

Iab

x

A

r

µ

π

=

podemos expresar el resultado: _{0 3}

4 r

µ

π

×

=

m r

A

(1.15)

Iab

=

z

m

a

usando la ec. (1.9)a:

0 ₃

3

₅

4

r

r

µ

π





=

_

− +

_





m

m r

B

g

(1.16)a obsérvese que en puntos de campo lejano:

∇× =

B

0

; luego puede despejarse

V

_m:

₃

4

m

V

r

π

=

m r

g

(1.17)

En coordenadas esféricas la ec. (1.17):

cos

₂

4

m

m

V

θ

π

=

De la ec. (1.14)a: 0

1

m m

V

V

r

r

µ

θ

∂

∂





= −

_

+

_

∂

∂



r



B

a

a

_θθ 0 ₃

[

2 cos

sen

]

4

m

r

µ

_θ

_θ

π

=

r

+

B

a

a

_θθ (1.16)b también: 0

sen

₂

4

m

r

µ

θ

π

=

A

a

_ϕϕ

1.6.2 Expresiones para evaluar m:

corriente unifilar: 1₂

I

'

d

'

Γ

=

∫

×

m

Ñ

r

l

(1.18)a superficial: 1₂

'

_S

'

S

dS

=

∫

×

m

r

J

(1.18)b volumétrica: 1 2 _S

'

dV

'

=

∫

×

m

r

J

(1-18)c Para todos los efectos magnéticos una distribución de carga electrostática en movimiento equivale a una corriente:

J

_S

=

σ

_f

v

(1.19)a

J

=

ρ

_f

v

(1.19)b Ejemplo 1.7

Una esfera conductora de radio "a" está cargada a un potencial φ0; sí gira en torno a su eje diametral con velocidad angular ω0 cte. Hallar:

a) Densidad de corriente superficial b) Momento dipolar Sabemos: ₀ 0 _{0 0 0} 0

4

4

Q

Q

a

a

φ

πε φ

πε

=

→

=

Para distribución uniforme 0₂ 0 0

4

f

Q

a

a

ε φ

σ

π

=

=

Por ec. (1.19)a:

0 0

'

sen '

S f f f S f

v

a

a

σ

σ

σ ω

σ ω

θ

=

=

× =

× =

=

y r

J

r

a

a

J

a

_ϕϕ

ω

ω

Por ec. (1.18)b: 2 1 2 _{' 0 ' 0} 2 0 0 0

(

)

(

sen '

)

sen '

'

'

a

a

d

d

π π ϕ θ

ε φ ω

θ

θ θ ϕ

= = =

×

×

∫ ∫

r m

a

a

_ϕϕ 3 2 2 0 0 0 ' 0 ' 0 3 2 0 0 0 _{' 0}

(

) sen

'

'

'

2

(

) sen

'

'

a

d

d

a

d

π π ϕ θ π θ

ε φ ω

_{θ θ ϕ}

πε φ ω

θ θ

= = =

=

−

=

−

∫ ∫

∫

m

a

m

a

θθ θθ

se nota que m resultante es paralela a az

3 3 0 0 0 ' 0

sen

'

'

a

π

d

θ

πε φ ω

θ θ

=

=

z

∫

m

a

obteniéndose: r b a I Punto de campo lejano z x y r >> a,b Fig. 1.11a Fig. 1.11b b Ix z x y Ix Ix = I ↔λ Fig. 1.12 m = maz m r z x y θ A

Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López 3 0 0 4 0 3

(

a

)

( )(

a

)

a

ε φ

π





ω

=

_

_





z

m

a

(volumen)(

σ

_f

)(radio)





= 



m

ω

ω

₀₀

1.7 Casos especiales:

1.7.1 Bobina de Helmholtz

Sistema formado por 2 bobinas compactas de N vueltas

Para la fig. 1.14b: 0 0 2 2 2

'

'

4

4 (

)

NI

d

NI

ad

d

R

a

z

µ

µ

ϕ

π

π

×

×

=

=

+

T R T R

a

a

l

a

a

B

por simetría el B sólo depende de dBz:

0 2 2

sen

'

4 (

)

z

NI

a

d

d

a

z

µ

θ ϕ

π

×

=

+

T R z

a

a

B

a

2 0 2 2 3 / 2

'

4 (

)

z

NIa d

d

a

z

µ

ϕ

π

=

+

z

B

a

2 2 2 0 0 2 2 3 / 2 _{' 0}

'

2 2 3 / 2

4 (

)

2(

)

NIa

NIa

d

a

z

a

z

π ϕ

µ

_ϕ

µ

π

=

=

=

+

∫

+

z z

a

B

a

( )z

B

=

z

B

a

campo en el eje z Por el teorema de Taylor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2 0 0

(

)

!

''

'(

)

(

)

...

2!

k z k z k z z z

B

B

z

z

k

B

B

B

z

z

z

z

∞ =

=

−

=

=

+

−

+

−

+

∑

( ) 0 2 5/2 2 2 5/2 _{2 2}

3

(

)

2

(

)

₍

₎

z

dB

_NIa

_z

_{z d}

dz

a

z

_a

_{z d}

µ



_

−



_

=

−

−



+

_

_

_{+ −}

_

_







Eligiendo z0 = d/2 resulta: B(z0)’ = 0

Sí además d = a puede probarse que B(z0)’’= 0, resultando: ( ) ( )0 0 3 / 2

8

...

....

5

z z

NI

B

B

a

µ

=

+

=

+

Campo en el eje aproximadamente constante alrededor de z0.

1.7.2

Hallar B en todo el espacio debido a un cascarón esférico con densidad de carga σf, girando en torno al eje z (diametral) con velocidad ω constante.

Sabemos:

J

S

=

σ

f

v

=

σ

f

ω

ω

×

r

'

Por ec. (1.11)b 0

'

'

'

4

f S

dS

R

R

µ σ

π

=

×

_∫

r

= −

A

ω

ω

Ñ

r

r

siendo:

r

'

=

a

a

_r y

dS

'

a

_r

=

d

S

'

0

'

4

f S

d

R

µ σ

π

=

×

∫

S

A

ω

ω

Ñ

(i) conocemos:

puede ser también

S

d

Ψ = ∇ Ψ

V

dV

×

∫

Sg

∫

g

g

Ñ

luego:

'

'

1

'

₃

'

S V V

d

dV

dV

R

R

R

 

= ∇

_{ }

=

 

∫

S

∫

∫

R

Ñ

la integral puede calcularse por la ley de Gauss como en electrostática; es el caso de una distribución esférica con densidad ρf. a) Para r > a: ₃ 3 ₃ 0 0

1

4

'

4

4

3

f f V

_R

dV

a

_r

ρ

π ρ

πε

πε





=

=

_

_





∫

R

r

E

x y z R R ϕ’ R θ R aR aT z R θ R θ R a R aR aT aT × aR d I x y z a a I aT⊥⊥ aR Fig. 1.14a Fig. 1.14b B(z) B0 z0 z Fig. 1.15a JS r z r’ dS’ a

7 ₃

'

4

3 ₃

3

V

_R

dV

π

a

_r

∴

∫

R

=

r

En (i) 0

4

3 ₃ 0 ₃

4

3

4

f

a

a

r

r

µ σ

_π

µ

π

π

×





=

×

_

_

=





m r

r

A

ω

ω

Campo dipolar, ec (1.16)a y: 4 3 3

(

)

f

a

a

σ

π

=

m

ω

ω

b) Para r < a: 3 3 3 0 0

1

4

'

4

4

3

f f V

_R

dV

r

_r

ρ

π ρ

πε

πε





=

=

_

_





∫

R

r

E

3

4

'

3

V

_R

dV

π

∴

∫

R

=

r

En (i): 0

,

sen

3

f

a

r

µ σ

ω

θ

×

=

r

× =

A

ω

ω

ω

ω

r

a

_ϕϕ 0 0 0 ₂ 0 3

(

sen

)

3

2

(cos

sen

)

3

2

3

f f f f

a

r

a

a

a

µ σ

ω

θ

µ σ ω

θ

θ

µ σ ω

µ σ

= ∇ × =

∇×

=

−

=

=

r z

B

A

a

B

a

a

B

a

ϕϕ θθ

ω

ω

campo uniforme.

1.7.3

Hallar B en puntos fuera del eje de simetría para el caso de una espira circular

Solución: Según la ec. (1.11)c ( ) 2 0 ' 0

'

4

ad

I

R

π ϕ

ϕ

µ

π

=

=

∫

r

a

A

ϕϕ

sen

ϕ

'

cos '

ϕ

= −

x

+

y

a

_ϕϕ

a

a

( ) 2 0 ' 0 2 0 ' 0

sen

'

'

4

cos '

'

4

I

a

d

R

I

a

d

R

π ϕ π ϕ

µ

ϕ ϕ

π

µ

ϕ ϕ

π

= =

= −

+

+

∫

∫

x r y

a

A

a

( ) 0 ' 0

cos '

'

0

2

I

a

d

R

π ϕ

µ

ϕ ϕ

π

=

= +

y

∫

r

a

A

'

( cos '

sen '

)

(

cos ')

sen '

z

a

a

a

a

z

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

= − =

+

−

+

=

−

−

+

x z x y x y z

R

r r

a

a

a

a

a

a

a

1/ 2 2 2 2 2 1/ 2 2 2 2

( ´

cos ')

sen

'

2

cos '

R

a

a

z

a

z

a

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ϕ





=

_

−

+

+

_





=

_

+ + −

_

Generalizando: 0 1/ 2 ' 0 2 2 2

cos '

'

2

₂

_{cos '}

I

a

d

A

a

z

a

π ϕ _ϕ

µ

ϕ ϕ

π

=

_ρ

_ρ

_ϕ

=



+ + −







∫

Integrales Elípticas completas de 1ª clase (K) y 2ª clase (E) / 2 2 2 1/ 2 0 / 2 _{2 2 1/ 2} 0

(1

sen

)

(1

sen

)

dx

K

k

x

E

k

x

dx

π π

=

−

=

−

∫

∫

Para evaluar el rot:

2

(1

)

K

E

K

E

E

K

k

k

k

k

k

k

k

∂

₌

₋

∂

_{= −}

∂

−

∂

Cambio de variable:

'

2

d

'

2

d

ϕ π

= −

α

→

ϕ

= −

α

2

'

0

/ 2

cos '

2 sen

1

'

0

ϕ

α π

ϕ

α

ϕ π

α

=

→

=



=

−

_{ = → =}



Resulta: 2 / 2 0 1/ 2 0 2 2 2

(2sen

1)

(

)

4

sen

Ia

d

A

a

z

a

π ϕ

µ

_π

α

α

ρ

ρ

α

−

=



+

+ −







∫

Definiendo: 2

4

_{2 2}

(

)

a

k

a

z

ρ

ρ

=



+

+







Nótese que puede hallarse:

k

y

k

z

ρ

∂

∂

∂

∂

Se llega: 2 / 2 0 1/ 2 ₀ 2 2 1 / 2 2 2

(2sen

1)

(1

sen

)

(

)

Ia

d

A

k

a

z

π ϕ

µ

α

_α

α

π

ρ

−

=

−



+

+







∫

Puede demostrarse que: 1/ 2 ₂ 0

1

2

I

a

k

A

K

E

k

ϕ

µ

_π

_ρ









 

=

_{ }

_

_

−

_

−

_

 









Finalmente:

1

A

A

A

z

ϕ ϕ ϕ

ρ

ρ

ρ

∂



∂



= ∇ × = −

+

_

+

_

∂

z

_

∂

_

B

A

a

_ρρ

a

Fig. 1.16 I (ρ,0,z) R y x z ϕ r’ a Fig 1.15b _aϕϕ r az ar θ aθθ az=cosθar-senθaθθ

Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López

1.7.4

Calcular B para un plano infinito con corriente superficial uniforme usando Biot - Savart

Por la fórmula (1.7): 0 2

'

4

S

J

d

dS

R

µ

π

×

=

a

T

a

R

B

0 2 2 2

sen

sen

(

)

'

'

4

( '

'

)

S

J

dx dy

d

x

y

z

α

β

µ

π

−

=

+

+

y

a

B

De las figuras: 0 2 2 2 3 / 2

'

'

4

( '

'

)

S

J

zdx dy

d

x

y

z

µ

π

= −

+

+

y

a

B

0 2 2 2 3 / 2 ' '

'

'

4

( '

'

)

S y x

z J

_{dx dy}

x

y

z

µ

π

+∞ +∞ =−∞ =−∞

= −

+

+

∫ ∫

y

a

B

Cálculo de la integral: 2 2 2 2 2 '

'

'

( '

)

x

dx

A

z

y

x

A

+∞ =−∞

+

= +

∫

cambio de variable: 2

'

tan

'

sec

x

=

a

α

dx

=

A

α α

d

2 / 2 / 2 2 2 2 3 / 2 2 2 / 2 / 2

sec

cos

2

(

tan

)

A

d

d

A

A

A

A

π π α π α π

α α

_{α α}

α

+ + =−

+

=

=−

=

∫

∫

Luego queda: _{2 2} '

2

'

( '

)

y

dy

y

z

+∞ =−∞

+

∫

cambio de variable:

y

=

z

tan ,

α

dy

=

z

sec

2

d

α

Reemplazando: 2 / 2 / 2 2 2 2 3 / 2 / 2 / 2

2 sec

2

2

(

tan

)

z

d

d

z

z

z

z

π π α π α π

α α

α

π

α

+ + =−

+

=

=−

=

∫

∫

Así: 0 0

,

0

2

,

0

2

S S

J

z

J

z

µ

µ

= −

>

=

<

y y

B

a

B

a

Hallar B en el punto P (Centro del círculo de radio a) para los alambres infinitos con corriente I:

Solución: Para (a): Tramo recto (1) 0 1 2

'

4

I

d

d

R

µ

π

×

=

a

T

a

R

B

l

0 1 2

sen (

)

'

4

I

d

d x

R

µ

α

π

−

=

a

z

B

0 0 1 3 2 2 3 / 2

(

)

'

'

4

4 ( '

)

Ia

d x

Ia dx

d

R

x

a

µ

µ

π

π

−

=

= −

+

z z

a

a

B

( )

0 0 1 _' 2 2 3 / 2 0 0 2 2 2 1/ 2 0 2 _{2 2} 0 0 1

'

4

( '

)

'

lim

4

( '

)

0

lim

4

1

4

4

x M M M

Ia

dx

x

a

Ia

x

a x

a

Ia

M

a

_M

_a

I

I

a

a

µ

π

µ

π

µ

π

µ

µ

π

π

=−∞ →∞ − →∞

= −

+





= −

_

_

+









−





= −



−







+













= −

= −

∫

z z z z z

a

B

a

a

a

a

B

Tramo recto (3) 0 3 2

'

4

I

d

d

R

µ

π

×

=

a

T

a

R

B

l

0 3 2

sen (

)

'

4

I

d

d x

R

µ

α

π

−

=

a

z

B

0 0 3 3 2 2 3 / 2

(

)

'

'

4

4 ( '

)

Ia

d x

Ia dx

d

R

x

a

µ

µ

π

π

−

=

= −

+

z z

a

a

B

0 0 0 3 _' 2 2 3 / 2

'

4

x

( '

)

4

Ia

dx

I

x

a

a

µ

µ

π

=−∞

π

= −

= −

+

∫

z z

a

a

B

Tramo semicircular (2): dS’ _{aT = ax} JS R z P α aR y’ x’ x z y aT × aR ay ax y’ -y β y P 2 2

'

y

+

z

B (1) (2) (3) I _a (a) (1) (2) (3) I a (b) P y x aT aR α a x’ a aT aR x’ α y x

9 0 0 2 2 2

(

)

'

'

4

4

I

I

ad

d

d

R

a

µ

µ

ϕ

π

π

×

−

=

a

T

a

R

=

a

z

B

l

0 2 2

'

4

I d

d

a

µ

ϕ

π

= −

a

z

B

/ 2 0 0 2 2 _{' / 2}

'

4

4

I

I

d

a

a

π ϕ π

µ

_ϕ

µ

π

=

= −

a

z

∫

= −

a

z

B

0 1 2 3

[2

]

4

I

a

µ

_π

π

=

+

+

= −

+

P z

B

B

B

B

a

Para (b): En el tramo (1):

α

=

0

→

sen

α

=

0

En el tramo (3):

α π

=

→

sen

α

=

0

Del tramo (2): 0

4

I

a

µ

= −

P z

B

a

Se tiene una cáscara cilíndrica de espesor despreciable y longitud L, recorrida por una corriente I. Calcular B en un punto P del eje del cilindro imaginario al cual pertenece la cáscara. El radio del cilindro es "a" y la cáscara subtiende un ángulo φo.

Solución: De (1.10)a 2 2 2 0

4

Sen

4

(

)

o _s s o s

J

I

d

dS

J

R

a

J ad dz

a

d

r

a

z

z

ο

µ

π

φ

φ

µ

_α

π

=

=

=

=

=



+

−







R T R T R T

a

a

B

a

a

B

a

a

××

××

××

Por consideraciones de simetría, el campo B está en la dirección y, se calcula integrando la componente de dB a lo largo del eje y:

d

B

Cos

φ

/ 2 2 0 3 / 2 2 2 0 0 ₀

cos

2

₍

₎

L s

J

a

dzd

a

z

z

ο φ

µ

θ

_φ

π

∴



+

−







∫ ∫

y

a

¿Sí φ = 0 ⇒ B = ??, ¿Cómo se interpreta físicamente?

Problema: Se tienen dos espiras poligonales de n lados inscritas en una circunferencia de radio R y N vueltas, las espiras se encuentran en planos que son

perpendiculares al eje z y a una distancia 2L entre si, y son recorridas por una corriente I. Se pide:

a. Una expresión para B en el punto medio entre las dos espiras en función de los datos.

b. Lo mismo que en (a), si las espiras son circulares y comparar los resultados con (a) para n®∞

Solución: 0 2 0 1 2

4

sin

y como sin

4

I

d

dl

r

I

dx

aP

dB

r

r

µ

π

µ

α

_α

π

=

=

=

R T 1

a × a

B

0 0 1 3 3 2 2 2

4

4

2

I

aP

aP

dB

I

dx

r

cb

x

aP

µ

µ

π

π

=

=



_

_





_

−

_

+





_

_







2 0 1 3 2 2 2 0

4

(

)

2

cb

I

aPdx

B

cb

x

aP

µ

π

=



₋

₊











∫

⊗

I

x y dB φo/2 φ φ Fig. 1.14 a aT aR z P L R ϕ' y x aT aR Z = L Z = 2L x y z

Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López 0 1 2 2 2 2 2 2

4

4

Pero como: 2 sin

sin

I

cb

cb

aP aP

cb

R

N

aP

R

z

N

µ

π

π

π

=







+











 

=

_{ }

 

 

=

_{ }

+

 

1

B

∴ 0 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

2 sin

4

cos

1

sin

cos

R

I

N

R

z

N

R

R

z

N

N

π

µ

π

_π

π

π

 

 

 

=



_{  +}



 



_{ }









 

₊

 

₊



 

 



_{ }

_{ }







B

L

K

₁ 0 ₁ 1 2 2 2 2 2 _{2 2}

sin( /

)

2

cos

(

)

IR

N

B

R

z

R

z

N

µ

π

π

π

=



_{  +}



₊

 



_{ }







Baxial =

Σ

B1sinβ

como hay N elementos que producen cada uno un campo B1 con N vueltas, se tendrá: 1 1 2 2 2 2

cos

cos

nNB

N

R

z

N

π

π

 

 

 

=





_{  +}





 





_

_{ }



_







ax z

B

a

Luego la expresión total considerando las dos espiras poligonales será: 2 0 1 2 2 2 2 _{2 2} 1 2 2 2 2 2 ₂

sin( )

1

4

cos ( )

(

)

1

cos ( ) (2

)

(2

)

N N N

IR nN

R

z

R

z

R

L z

R

L z

π π π

µ

π





=

_



_

+



_

+







+

_





+

−

 

+

−





 

 

z

B

a

B1 P z o Rcos(π/N) a β β R dB1 z r dl = dx x aT aR c b a I P o