diseno estructural

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Computers and Structur

Computers and Structur es, Inc.es, Inc. Berkeley, California, USA

Berkeley, California, USA

Primera Edición en Español Primera Edición en Español

Análisis

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Un Enfoque Físico

Con Énfasis en

Con Énfasis en Ingeniería

Ingeniería SSísm

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L. Wilsson

on

Profesor Emérito de Ingeniería Estructural Profesor Emérito de Ingeniería Estructural

Universidad de California en Berkeley Universidad de California en Berkeley

Traducción Traducción www.morrisoningenieros.com www.morrisoningenieros.com Revisión Técnica Revisión Técnica Ing. C

Ing. C a a r r los Alos A. Prat . Prat o o , Ph.D. , Ph.D. Profesor Ti

Profesor Titular Ptular P lenario del Departalenario del Departamemento de Estructuras nto de Estructuras Universidad Nacional de Córdoba, Argentina

Universidad Nacional de Córdoba, Argentina Ing. Fe

Ing. Fe r r nando G nando G o o n n z z alo Vásq alo Vásq ue ue z z , Ph.D. , Ph.D. Profesor Asociado

Profesor Asociado

Universidad Nacional de Ingeniería, Perú Universidad Nacional de Ingeniería, Perú

I

I ng. Ang. Al l be be rt rt o Guz o Guz mán De L mán De L a C a C ru ru z z , Ph.D. , Ph.D. Coordinador del A

Coordinador del Area rea de Estructuras de Estructuras

Universidad Politécnica de Puerto Rico, Puerto Rico Universidad Politécnica de Puerto Rico, Puerto Rico

Ing. E

Ing. E m m i i l l io C io C ruz He ruz He raras s me me , M.Sc. , M.Sc. Profesor Asociado

Profesor Asociado

Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña, República Dominicana Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña, República Dominicana

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publicación puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningún medio, sin un permiso escrito previo de Computers and Structures, Inc.

Copias de esta publicación pueden ser obtenidas de: Computers and Structures, Inc.

1995 University Avenue Berkeley, California 94704 USA

Teléfono: (510) 649-2200 Fax: (510) 649-2299 e-mail: [email protected]

El logo CSI es marca registrada de Computers and Structures, Inc. SAP90, SAP2000, SAFE, FLOOR y ETABS son marcas registradas de Computers and Structures, Inc.

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LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES

Que Tienen Propiedades Que Sólo Pueden Ser Estimadas

PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES

Que Sólo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente

QUE SOPORTAN FUERZAS

Que No son Conocidas con Precisión

DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD

CON

EL PÚBLICO SEA SATISFECHA.

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Análisis Estático y Dinámico de Estructuras

Edward L. Wilson, D. Ing.

El Profesor Wilson posee más de 45 años de experiencia profesional en la Ingeniería Civil, Mecánica y A eroespacial. Fue P rofesor de I ngeniería E structural d e l a Universidad d e C alifornia e n B erkeley dur ante e l p eríodo d e 1965 a l 1991 , y ha publicado más de 180 artículos y libros. Sus aportes a la investigación y al desarrollo le ha n cosechado numerosos p remios, incluyendo su elección a la A cademia Nacional de Ingeniería en el año 1985.

En e l a ño 1961, el Profesor W ilson e scribió e l p rimer programa a utomatizado de computadora de análisis de elementos finitos, y fue quien originó el desarrollo de la serie de programas de computadora CAL, SAP y ETABS. Estos programas s on conocidos por s u precisión y velocidad, y s u empleo de a lgoritmos numéricos muy eficientes y elementos finitos precisos. Durante los últimos diez años, Ed Wilson ha trabajado como Consultor Senior de l a CSI en la pr ogramación y la documentación de dichos nuevos métodos de análisis estructural computacional.

El principal objetivo de este l ibro es resumir el desarrollo teórico de los elementos finitos y los métodos numéricos empleados en las últimas versiones de los programas SAP y ETABS. La mayoría de los elementos y métodos numéricos que se usan en estos programas son nuevos, y no se presentan en libros de texto actuales sobre el análisis e structural. Además, este libro resume las ec uaciones fundamentales de l a mecánica.

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Se requieren conocimientos m atemáticos m ínimos pa ra comprender p lenamente e l material presentado en este libro. Sin embargo, es i mprescindible una comprensión del c omportamiento f ísico de e structuras. N o s e r equieren c onocimientos de programación de computadoras.

Se presenta un nuevo elemento de CÁSCAR A cuadrilateral con grados de libertad de rotación normales, el cual es preciso para placas finas y gruesas, y cáscaras. Por lo tanto, se pueden conectar los elementos de cáscara fácilmente a los elementos clásicos de PÓRTICO. Se puede utilizar el elemento SOLIDO tridimensional para modelar tanto líquidos como sólidos.

Se pr esenta el an álisis d inámico como una e xtensión lógica de l análisis es tático donde se agregan fuerzas de inercia y amortiguamiento para satisfacer el e quilibrio en cada punto cronológico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR, por sus si glas en inglés) en un análisis d inámico produce resultados m ucho más precisos que el empleo de los autovectores dinámicos exactos.

El uso de vectores LDR permite que se extienda el método clásico de superposición modal al aná lisis dinámico no-lineal, utilizando el m étodo de Análisis Rápido No-Lineal (FNA, por sus siglas en inglés). Este nuevo método de análisis dinámico no-lineal permite que estructuras con un número limitado de elementos no-no-lineales sean analizadas casi en el mismo tiempo de computación que lo que s e requiere para un análisis dinámico de la misma estructura.

Este libro es de lectura obligator ia para todo investigador y profesional que trabaja en el campo de la ingeniería estructural moderna.

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Prólogo de la Cuart a Ed ición

Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de Julio del 2000. A juzgar por los comentarios de los lectores, el libro ha sido muy exitoso desde la publicación de la primera e dición en 1998. De todas formas, t odos los libros t écnicos

tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos periódicamente.

Ha sido agregado el Capítulo 23 acerca de la interacción fluido-estructura de los tipos de cargas d urante t erremotos. E n es te ca pitulo e sta d emostrado q ue el elemento S OLID tridimensional en SAP2000 puede ser utilizado para modelar f luidos interactuando c on estructuras sólidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los fluidos. Un Pequeño modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta sísmica de los sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con el programa SAP2000. Por tanto, la necesidad de utilizar programas para objetivos específicos p ara es ta clase de problemas ha si do eliminado. A demás, ya n o es requerida la adición de aproximación de masa.

Esta edición puede ser utilizada como un libro de referencia básica por el elemento tecnología y el método numérico utilizado en S AP2000, ETABS y S AFE. De todos modos estos programas contienen muchas opciones practicas que no son cubiertas en el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construcción, análisis de pushover, y degradación de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temas est án disponibles en la p agina w eb www.csiberkeley.com o www.edwilson.org.

Si usted tiene alguna pregunta teórica relacionada con el material presentado en este libro me puede contactar a t ravés de correo electrónico en [email protected]. Para preguntas relacionadas con e l uso de los programas de computadoras por favor contacte a CSI.

Edward L. Wilson Agosto 2004

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Prólogo de la Tercera Ed ición

Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de julio del 2000. L a mayor parte del material nuevo ha sido agregado en respuesta a l as preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE.

El Capítulo 22 ha sido escrito acerca del empleo directo de cargas sísmicas por desplazamiento absolutos que a ctúan en la b ase d e la estructura. Varios t ipos nuevos de er rores numéricos han s ido identificados para ca rgas de desplazamiento ab soluto. Primero, l a naturaleza f undamental de la ca rga por desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleración en la base empleada tradicionalmente en l a i ngeniería s ísmica. Segundo, s e requiere u n intervalo de i ntegración menor para de finir los desplazamientos sísmicos y p ara resolver l as ecu aciones d el equilibrio d inámico. Tercero, s e necesita de un núm ero elevado de m odos para que la carga de desplazamiento absoluta arroje la misma precisión que la producida cuando una aceleración en la base es utilizada como carga. Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se aplica para la carga de desplazamiento absoluto. Finalmente el amortiguamiento modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la carga por aceleración.

Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido en el capítulo 13 un m étodo de or den superior d e integración b asado en u na variación cúbica de las cargas con respecto al lapso. Adicionalmente, los factores por participación estático y dinámico han sido definidos para permitir al ingeniero

estructural m inimizar los errores as ociados c on c argas por desplazamiento. Adicionalmente el capítulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar el e fecto físico del amortiguamiento modal en los resultados del análisis dinámico.

El Apéndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas ha sido actualizado. H oy e s pos ible c omprar un a c omputadora pe rsonal por aproximadamente $1 ,500.00 que e s 2 5 v eces m ás r ápida que la CRAY d e $10,000,000 producida en 1974.

Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresión. Por favor envíe sus comentarios y preguntas e d@ c sibe rkele y.c o m a .

Edward L. Wilson Agosto 2000

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Coment arios Personales

Mi profesor de física de primer año de la universidad advertía dogmáticamente a la clase “no usen una ecuación que no puedan demostrar”. El mismo instructor una vez declaró “Si un a pe rsona tiene cinco minutos p ara r esolver u n problema de l cual dependiera su vida, el individuo debe de emplear tres minutos leyendo y entendiendo claramente el pr oblema”. En los ú ltimos cuarenta años e sta simple observación práctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofía haya sido transmitida a

mis est udiantes. Con respecto a la i ngeniería estructural m oderna uno pu ede reformular esas observaciones como “no utilicen un programa de análisis estructural a menos que usted entienda completamente la teoría y aproximaciones contenidas en el pr ograma” y “ no ha ga un m odelo d e c omputadora hasta que l as cargas, propiedades de l os m ateriales y c ondiciones de frontera no estén claramente

definidos.”

Por lo tanto, el propósito principal de este libro es presentar los antecedentes teóricos necesarios de manera que el usuario de programas de computadoras para el análisis estructural pueda e ntender l as ap roximaciones bá sicas implementadas dentro de l programa, verifique y asuma su responsabilidad profesional de los resultados. Se asume que el lector tiene conocimientos de es tática, mecánica de só lidos y a nálisis estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo con una licenciatura en Ingeniería Civil o Mecánica. Notación matricial y vectorial elementales son definidos en los apéndices y son usados profusamente. Antecedentes en notación tensorial y variables complejas no son requeridos.

Todas l as ecuaciones son desarrolladas usando un enfoque físico puesto que este libro está escrito para estudiantes y profesionales de l a i ngeniería, y no pa ra mis colegas académicos. E l análisis es tructural tridimensional e s r elativamente simple debido a l a a lta v elocidad de l a computadora m oderna. P or l o t anto, todas l as ecuaciones son presentadas en forma tridimensional, y se incluyen automáticamente las pr opiedades de los materiales anisotrópicos. N o se r equieren antecedentes de programación de com putadoras para ut ilizar un pr ograma de c omputadora

inteligentemente. Sin embargo, algoritmos numéricos detallados han sido dados para que el lector entienda completamente los métodos computacionales que se resumen en e ste l ibro. Los apéndices contienen un sumario elemental de los métodos numéricos usados; sin embargo, no debería ser necesario emplear tiempo adicional leyendo artículos de investigación para entender la teoría presentada en este libro. El autor h a d esarrollado y p ublicado m uchas t écnicas de computación p ara el análisis estático y dinámico de estructuras. H a sido motivo de satisfacción personal el hecho de que muchos profesionales de la ingeniería hayan encontrado ú tiles estos m étodos d e computación. Por lo tanto, una razón por la cual compilar este libro teórico y de aplicación

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es co nsolidar en una p ublicación dicha investigación y d esarrollo. Adicionalmente, e l reciente d esarrollado an álisis n o lineal rápido (FNA), y ot ros m étodos numéricos s on presentados en detalle por primera vez.

Las leyes fundamentales de la física, que son la base del análisis estático y dinámico de estructuras, tienen más de 100 años de edad. Por lo tanto, cualquiera que crea que haya descubierto un principio nuevo de mecánica, es víctima de su propia ignorancia. Este libro contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo de programas de análisis estructural.

El análisis estático y dinámico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de computadoras personales económicas. Sin embargo, el campo de la ingeniería estructural, en mi opinión, nunca será automatizado. La idea de que un sistema experto de programas de c omputadoras con in teligencia ar tificial r eemplazará la c reatividad hum ana e s un insulto a todos los ingenieros estructurales.

El material en este libro ha evolucionado a través de lo últimos 35 años con la ayuda de mis antiguos estudiantes y colegas profesionales. Sus contribuciones s on reconocidas. Ashraf Habibullah I qbal S ubarwardy, R obert M orris, S yed H asanain, Dolly G urola, M arilyn Wilkes y Randy C orson de C omputers and Structures, Inc., merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustaría agradecer al gran número de i ngenieros es tructurales que ha n usado la ser ie de p rogramas T ABS y SAP. Ellos han provisto la motivación para esta publicación.

El material presentado en la primera edición de Análisis Dinámico Tridimensional de Estructuras está inc luido y actualizado en e ste l ibro. E spero a nsiosamente por

comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material en futuras ediciones de este libro.

Edward L. Wilson

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CONTENIDO

1. Propiedades de los Materiales

1.1 Introducción

1.2 Materiales Anisotrópicos

1.3 Uso de las Propiedades de los Materiales en Programas de Computadora 1.4 Materiales Ortotrópicos

1.5 Materiales Isotrópicos

1.6 Deformación en el Plano en Materiales Isotrópicos 1.7 Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrópicos 1.8 Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos 1.9 Velocidades de Onda de Cortante y Compresión 1.10 Propiedades de Materiales Axisimétricos

1.11 Relaciones de Fuerza-Deformación 1.12 Resumen

1.13 Referencias

2. Equilibrio y Compatibilidad

2.1 Introducción

2.2 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

2.3 Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos 2.4 Requisitos de Compatibilidad

2.5 Ecuaciones de Desplazamiento de Deformación 2.6 Definición de Rotación

2.7 Ecuaciones en la Frontera entre Materiales

2.8 Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos 2.9 Estructuras Estáticamente Determinadas

2.10 Matriz de Transformación de Desplazamientos 2.11 Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento 2.12 Solución de Sistemas Estáticamente Determinados

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ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

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2.13 Solución General de Sistemas Estructurales 2.14 Resumen

2.15 Referencias

3. Energía y Trabajo

3.1 Introducción

3.2 Trabajo Virtual y Trabajo Real 3.3 Energía Potencial y Energía Cinética 3.4 Energía de Deformación

3.5 Trabajo Externo

3.6 Principio de Energía Estacionaria 3.7 Método de la Fuerza

3.8 Ecuación de Movimiento de Lagrange 3.9 Conservación del Momento

3.10 Resumen 3.11 Refererencias

4. Elementos Unidimensionales

4.1 Introducción

4.2 Análisis de un Elemento Axial 4.3 Elemento de Pórtico Bidimensional 4.4 Elemento de Pórtico Tridimensional 4.5 Liberación del Extremo del Elemento 4.6 Resumen 4-13

5. Elementos Isoparamétricos

5.1 Introducción 5-1

5.2 Ejemplo Sencillo Unidimensional

5.3 Fórmulas de Integración Unidimensionales

5.4 Restricción sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios 5.5 Funciones de Formas Bidimensionales

5.6 Integración Numérica en Dos Dimensiones 5.7 Funciones de Forma Tridimensionales

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CONTENIDO iii

5.8 Elementos Triangulares y Tetraédricos 5.9 Resumen

5.10 Referencias

6. Elementos Incompatibles

6.1 Introducción

6.2 Elementos con Cortante Fijo 6.3 Adición de Modos Incompatibles

6.4 Formación de la Matriz de Rigidez del Elemento 6.5 Elementos Bidimensionales Incompatibles

6.6 Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles 6.7 Elementos Tridimensionales Incompatibles 6.8 Resumen

6.9 Referencias

7. Condiciones de Bordes y Restricciones Generales

7.1 Introducción

7.2 Condiciones de Frontera de Desplazamientos 7.3 Problemas Numéricos en el Análisis Estructural 7.4 Teoría General Asociada a las Restricciones 7.5 Restricciones sobre el Diafragma del Piso Restricciones Rígidas

Uso de Restricciones en Análisis de Viga-Losa

Uso de Restricciones en el Análisis de Muro de Cortante Uso de Restricciones para Transiciones de Malla

Multiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad Resumen

8. Elementos de Flexión en Losa

8.1 Introducción

8.2 El Elemento Cuadrilateral

8.3 Ecuaciones Deformación-Desplazamiento 8.4 La Rigidez del Elemento Cuadrilateral

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8.5 Satisfaciendo la Prueba de Grupo 8.6 Condensación Estática

8.7 Elemento de Flexión en Placa Triangular 8.8 Otros Elementos de Flexión de Placa 8.9 Ejemplos Numéricos

8.9.1 Un Elemento Viga

8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.4 Evaluación de Elementos de Flexión en Placa Triangular 8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsión en Vigas 8.10 Resumen

8.11 Referencias

9. Elemento de Membrana con Rotaciones Normales

9.1 Introducción

9.2 Suposiciones Básicas

9.3 Aproximación de Desplazamiento 9.4 Introducción de Rotación de Nodo

9.5 Ecuaciones de Deformación - Desplazamiento 9.6 Relación Esfuerzo - Deformación

9.7 Transformación Relativa a Rotaciones Absolutas 9.8 Elemento de Membrana Triangular

9.9 Ejemplo Numérico 9.10 Resumen

9.11 Referencias

10. Elementos de Cáscara

10.1 Introducción

10.2 Un Simple Elemento de Cáscara Cuadrilateral 10.3 Modelos de Cáscaras Curvos con Elementos Planos 10.4 Elementos de Cáscara Triangulares

10.5 Elementos Sólidos para Análisis de Cáscaras 10.6 Análisis de Bóveda de Cañón Scordelis-Lo 10.7 Ejemplo de Cáscara Hemisférica

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CONTENIDO v

10.8 Resumen 10.9 Referencias

11. Rigidez Geométrica y Efectos P-Delta

11.1 Definición de Rigidez Geométrica Análisis Aproximado de Pandeo

Análisis P-Delta de Edificios

Ecuaciones para Edificios Tridimensionales Magnitud de Efectos P-Delta

Análisis P-Delta usando Programa de Computo sin Modificación Longitud Efectiva – Factores K

Formulación General de la Rigidez Geométrica Resumen

Referencias

12. An álisis Dinámico

12.1 Introducción

12.2 Equilibrio Dinámico

12.3 Método de Solución Paso a Paso 12.4 Método de Superposición Modal 12.5 Análisis Espectral

12.6 Solución en el Dominio de Frecuencia 12.7 Solución de Ecuaciones Lineales 12.8 Respuesta Armónica no Amortiguada 12.9 Vibración Libre no Amortiguada 12.10 Resumen

12.11 Referencias

13. Análisis Dinámico Utilizando la Superposición de Modo

13.1 Ecuaciones a Resolver

13.2 Transformación a Ecuaciones Modales 13.3 Respuesta Debida a Condiciones Iniciales 13.4 Solución General Debido a Carga Arbitraria

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13.5 Solución para Cargas Periódicas 13.6 Factores de Masa Participante

13.7 Factores de Participación de Cargas Estáticas 13.8 Coeficientes de Participación de Carga Dinámica 13.9 Resumen

14. Cálculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa

14.1 Introducción

14.2 Método de Búsqueda del Determinante 14.3 Chequeo de Secuencia Sturm

14.4 Iteración Inversa

14.5 Ortogonalización de Gram-Schmidt 14.6 Iteración en el Sub-espacio

14.7 Solución de Sistemas Singulares

14.8 Generación de Vectores Ritz Dependientes de Carga 14.9 Explicación Física del Algoritmo LDR

14.10 Comparación de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz 14.11 Corrección para Truncado de Modos Superiores

14.12 Respuesta Sísmica en la Dirección Vertical 14.13 Resumen

14.14 Referencias

15. Análisis Dinámico con Carga Sísmica de Espectro de Respuesta

15.1 Introducción

15.2 Definición de un Espectro de Respuesta 15.3 Cálculo de Respuesta Modal

15.4 Curvas Típicas del Espectro de Respuesta 15.5 Método CQC de Combinación Modal 15.6 Ejemplo Numérico de Combinación Modal 15.7 Espectros de Diseño

15.8 Efectos Ortogonales en el Análisis Espectral

15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales 15.8.2 El Método General CQC3

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CONTENIDO vii

15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales 15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales

15.9 Limitaciones del Método de Espectro de Respuesta 15.9.1 Cálculos de las Deriva de Piso

15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.3 Revisión de Diseño para Vigas de Acero y Concreto 15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos

16. Interacción Suelo Estructura

16.1 Introducción

16.2 Análisis de Respuesta de Sitio

16.3 Cinemática o Interacción Suelo Estructura

16.4 Respuesta debido a Movimientos Múltiples de Apoyos 16.5 Análisis de Presa de Gravedad y Fundación

16.6 Aproximación de Fundación sin Masa

16.7 Condiciones Aproximadas de Radiación de Frontera 16.8 Uso de Resortes en la Base de una Estructura

17. Modelado en Análisis Sísmico Cumpliendo con Códigos de

Edificaciones

17.1 Introducción

17.2 Modelo Computarizado Tridimensional

17.3 Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales 17.4 Análisis Dinámico Tridimensional

17.4.1 Cortante Dinámico de Cortante Base 17.4.2 Definición de Direcciones Principales 17.4.3 Efectos Direccionales y Ortogonales 17.4.4 Método Básico de Análisis Sísmico 17.4.5 Escalando Resultados

17.4.6 Desplazamientos Dinámicos y Fuerzas de Elementos 17.4.7 Efectos por Torsión

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17.6 Resumen del Método de Análisis Dinámico 17.7 Resumen

17.8 Referencias

18. Análisis No-Lineal Rápido

18.1 Introducción

18.2 Estructuras que Tengan un Número Limitado de Elementos No-Lineales 18.3 Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

18.4 Cálculo de Fuerzas No-Lineales

18.5 Transformación a Coordenadas Modales 18.6 Solución de Ecuaciones Modales No-Lineales

18.7 Análisis Estático No-Lineal para Estructura de Pórtico 18.8 Análisis Dinámico No-Lineal para Estructura de Pórtico 18.9 Análisis Sísmico de Tanque Elevado de Agua

18.10 Resumen

19. Amortiguamiento Viscoso Lineal

19.1 Introducción

19.2 Disipación de Energía en Estructuras Reales

19.3 Interpretación Física del Amortiguamiento Viscoso 19.4 El Amortiguación Modal Viola Equilibrio Dinámico 19.5 Ejemplo Numérico

19.6 Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa 19.7 Cálculo de Matriz Ortogonal de Amortiguamiento 19.8 Estructuras con Amortiguamiento No-Clásico 19.9 Disipación No-Lineal de Energía

20. Análisis Dinámico Utilizando la Integración Numérica

20.1 Introducción

20.2 Familia de Métodos Newmark 20.3 Estabilidad del Método Newmark

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CONTENIDO ix

20.4 El Método de la Aceleración Promedio 20.5 El Factor de Wilson

20.6 Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez 20.7 Método Hilber, Hughes y Taylor

20.8 Selección de un Método de Integración Directa 20.9 Análisis No-Lineal

21. Elementos No-Lineales

21.1 Introducción

21.2 Elemento General Tridimensional de Dos Nudos 21.3 Elemento de Plasticidad General

21.4 Diferentes Propiedades Positivas y Negativas 21.5 Elemento Brecha Bilineal de Tensión-Fluencia 21.6 Elemento No-Lineal Brecha-Choque

21.7 Elementos de Amortiguamiento Viscoso 21.8 Elemento Tridimensional Fricción-Brecha 21.9 Resumen

22. Análisis Sísmico Utilizando Carga de Desplazamiento

22.1 Introducción

22.2 Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento 22.3 Uso de Desplazamientos Pseudo-Estáticos

22.4 Solución de Ecuaciones de Equilibrio Dinámico 22.5 Ejemplo Numérico

22.5.1 Estructura de Ejemplo 22.5.2 Carga Sísmica

22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero 22.5.4 Análisis Sísmico Para Amortiguamiento Finito 22.5.5 Efecto del Truncamiento de Modos

22.6 Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz 22.7 Solución usando Integración Paso-a-Paso

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23. INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA

23.1 Introducción

23.2 Interacción Fluido-Estructura

23.3 Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundación

23.4 Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presión De Poro Del Agua 23.5 Cálculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000 23.6 Selección Del Valor De La Rigidez Del Elemento “Gap”

23.7 Ecuaciones Fundamentales De La Dinámica De Fluidos 23.8 Relación Entre Presión Y Velocidad

23.9 Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales 23.10 Condiciones De Frontera De Irradiación 23.11 Modos De Oleaje De La Superficie 23.12 Propagación Vertical De Las Ondas 23.13 El Documento Westergaard

23.14 Análisis Dinámico De Emblases Rectangulares 23.15 Fronteras Absorbedoras De Energía Del Embalse 23.16 Formulaciones Relativa Vs Absoluta

23.17 Efecto Del Escalón De La Compuerta En La Presión 23.18 Análisis Sísmico De Compuertas Radiales

23.19 Observaciones Finales 23.20 Referencias

Apéndice A Notación de Vector

A.1 Introducción

A.2 Producto Vectorial

A.3 Vectores para Definir un Sistema Referencia Local A.4 Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales

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CONTENIDO xi

Apéndice B Notación de Matricial

B.1 Introducción

B.2 Definición de notación Matricial

B.3 Transpuesta de una Matriz y Multiplicación Escalar B.4 Definición de una Operación Numérica

B.5 Programación de Productos Matriciales B.6 Orden de Multiplicación de Matriz B.7 Resumen

Apéndice C Solución o Inversión de Ecuaciones Lineales

C.1 Introducción

C.2 Ejemplo Numérico

C.3 Algoritmo de Eliminación Gauss

C.4 Solución de un Sistema General de Ecuaciones Lineales C.5 Alternativa de Pivotaje

C.6 Inversión de Matrices

C.7 Interpretación Física de Inversión de Matricial

C.8 Eliminación Parcial Gauss, Condensación Estática y de Sub-estructura C.9 Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil

C.10 Factorización LDL

C10.1 Triangularización o Factorización de la Matriz A C10.2 Reducción por Adelantado de Matriz b

C10.3 Cálculo de X por Substitución Regresiva C.11 Cancelación Diagonal y Precisión Numérica C.12 Resumen

C.13 Referencias

Apéndice D El Problema de Autovalores

D.1 Introducción D.2 El Método Jacobi

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D.3 Cálculo de Esfuerzos Principales 3d

D.4 Solución del Problema General de Valores Característicos D.5 Resumen

Apéndice E Transformación de Propiedades de Materiales

E.1 Introducción E.2 Resumen

Apéndice F Un Elemento de Viga en Base a Desplazamiento c on

Deformaciones a Cortante

F.1 Introducción

F.2 Suposiciones Básicas F.3 Área Efectiva de Cortante

Apéndice G Integración Numérica

G.1 Introducción

G.2 Cuadratura Unidimensional Gauss

G.3 Integración Numérica en Dos Dimensiones G.4 Una Regla Bidimensional de Ocho Puntos G.5 Una Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos G.6 Una Regla de Integración de Cinco Puntos G.7 Reglas de Integración Tridimensional G.8 Integración Selectiva

G.9

Resumen

Apéndice H Velocidad de Sistemas De Computadora

H.1 Introducción

H.2 Definición de Una Operación Numérica

H.3 Velocidad de Diferentes Sistemas de Computadoras H.4 Velocidad de Sistemas de Computadoras Personales H.5 Sistemas Operativo de Enlace

(48)

(49)

CONTENIDO xiii

Apéndice I Método del Mínimo Cuadrado

I.1 Ejemplo Simple I-2 Formulación General

I-3 Cálculo de Esfuerzos Dentro de Elementos Finitos

Apéndice J Registros Consistentes de Aceleración y Desplazamiento

Sísmicos

J.1 Introducción

J.2 Registros de Aceleración del Terreno

J.3 Cálculo de Registros de Aceleración por Registros de Desplazamiento J.4 Creación de un Registro Consistente de Aceleración

J.5 Resumen

(50)

(51)

1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

Las Propiedades de los Mater iales Deben Ser Evalua das

Mediante Pr uebas de Labor a torio o de Campo

1.1 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones fundamentales de la mecánica estructural pueden ser clasificadas en tres categorías [1]. En primer lugar, la relación esfuerzo-deformación contiene información s obre l as propiedades de los materiales que de ben ser ev aluadas mediante expe rimentos d e l aboratorio o d e c ampo. E n s egundo l ugar, l a estructura g lobal, c ada e lemento, y c ada pa rtícula infinitesimal de ntro de c ada elemento deben estar en equilibrio de f uerzas e n su pos ición de formada. En tercer l ugar, se deben cumplir las condiciones de com patibilidad de desplazamientos.

De cum plirse l as tres ec uaciones en todo momento, se s atisfacen de m anera automática otras c ondiciones. Por e jemplo, e n c ualquier m omento da do, el trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energía cinética y de deformación almacenada dentro del s istema est ructural, más cua lquier e nergía que ha ya sido di sipada por el si stema. El trabajo virtual y los pr incipios d e variación son de un v alor i mportante en la de rivación matemática de ciertas ecuaciones; sin e mbargo, no c onstituyen ecuaciones fundamentales de la mecánica.

1.2 MATERIALES ANISOTRÓPICOS

Las relaciones l ineales es fuerzo-deformación contienen las co nstantes d e l as propiedades de m ateriales, que únicamente pueden ser ev aluadas a través de experimentos de l aboratorio o de c ampo. Las p ropiedades m ecánicas para l a mayoría de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se

(52)

(53)

1-2 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

definen en función de tres números: el módulo de elasticidad E , la relación de Poissonν , y el coeficiente de dilatación térmica α . Además, el peso específico w y la densidad ρ se consideran propiedades fundamentales de los materiales.

Antes del desarrollo del método del elemento finito, la mayoría de las soluciones analíticas en la mecánica de sólidos se limitaban a los m ateriales i sotrópicos (propiedades i guales en t odas d irecciones) y hom ogéneos ( las m ismas propiedades en todos los puntos de ntro de l s ólido). Desde l a i ntroducción del método de elemento finito, ya no existe esta limitación. Por lo tanto, es razonable comenzar c on una de finición de m aterial a nisotrópico, qu e pue de s er m uy diferente en cada elemento de una estructura.

La de finición d e los esfuerzos positivos, en referencia a un sistema 1-2-3 ortogonal, se presenta en la Figura 1.1.

Fig u ra 1.1 Conve nción de los Esf ue rzos Positiv os

1

2

3

2

3 σ

1

21

23

31

12

32

13

(54)

(55)

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1-3

Por de finición, t odos los esfuerzos vienen dados en uni dades de fuerza-por-unidad de área. En notación matricial, los seis esfuerzos independientes pueden ser definidos mediante:

[

σ ₁ σ ₂ σ ₃ τ ₂₁ τ ₃₁ τ ₂₃

]

=

T

f (1.1)

Del e quilibrio, τ 12 = τ 21 , τ 31 = τ 13 y τ 32 = τ 23 . Las s eis de formaciones

correspondientes de ingeniería son:

[

ε 1 ε 2 ε 3 γ 21 γ 31 γ 23

]

=

T

d (1.2)

La forma más g eneral de l a r elación tridimensional esfuerzo-deformación para materiales estructurales lineales sujetos tanto a los esfuerzos mecánicos como a cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial como [2]:

                    ∆ +                                                       − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − =                     23 31 21 3 2 1 23 31 21 3 2 1 6 5 65 4 64 3 63 2 62 1 61 6 56 5 4 54 3 53 2 52 1 51 6 46 5 45 4 3 43 2 42 1 41 6 36 4 35 4 34 3 2 32 1 31 6 26 5 25 4 24 3 23 2 1 21 6 16 5 15 4 14 3 13 2 12 1 23 31 21 3 2 1 1 1 1 1 1 1 α α α α α α τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε T E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E (1.3)

O en forma matricial simbólica:

a Cf

d = +∆_T (1.4)

La matriz Cse conoce como la matriz de correlación, y puede considerarse como

la definición más fundamental de las propiedades de materiales porque todos los términos pueden ser evaluados directamente a través de sencillos experimentos de l aboratorio. C ada columna de l a m atriz C representa las de formaciones

causadas por la aplicación de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura

T

∆ viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura.

(56)

(57)

Los pr incipios bá sicos de e nergía requieren qu e l a m atriz C para m ateriales

lineales sea simétrica. Por lo tanto,

i ji j ij E E ν ν = (1.5)

Sin embargo, debido a errores de medición o algún pequeño comportamiento no lineal del material, no se satisface esta co ndición de manera idéntica para l a mayoría de l os materiales. Por ende, esos valores e xperimentales normalmente son promediados de manera que los valores simétricos puedan ser aprovechados en el análisis.

1.3 USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EN

PROGRAMAS DE COMPUTADORA

La ma yoría de l os pr ogramas modernos de c omputadoras para e l análisis d e elementos finitos exigen que l os e sfuerzos sean expresados en términos de l as deformaciones y cambios de temperatura. Por lo tanto, se requiere una ecuación de la siguiente forma dentro del programa:

0

f Ed

f = + (1.6)

donde E = C-1. Por lo tanto, los e sfuerzos térmicos de cero-deformación se

definen como sigue:

a E

f ₀ =_{- T}∆ (1.7)

La i nversión num érica d e l a matriz C 6x6 para m ateriales a nisotrópicos complejos s e realiza de ntro del p rograma de computadora. Por l o tanto, no s e requiere calcular la matriz E en forma analítica según se indica en muchos libros clásicos sobre la mecánica de sólidos. Además, los esfuerzos térmicos iniciales se evalúan numéricamente dentro del programa. Por consiguiente, para l a mayoría de los m ateriales an isotrópicos, los da tos b ásicos di gitados se rán veintiuna constantes elásticas, más seis coeficientes de dilatación térmica.

Además de los esfuerzos térmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales. Dichos esfuerzos iniciales pueden ser el resultado de la fabricación o el historial de la construcción de la estructura. De

(58)

(59)

conocerse dichos esfuerzos iniciales, éstos pueden ser agregados directamente a la Ecuación (1.7).

1.4 MATERIALES ORTOTRÓPICOS

El t ipo de m aterial anisotrópico más com ún es aquel en el cua l los esfuerzos cortantes, actuando en los tres planos de referencia, no provocan deformaciones normales. Para este c aso espe cial, el m aterial se de fine c omo ortotrópico, pudiéndose expresarse la Ecuación (1.3) como sigue:

                    ∆ +                                                       − − − − − − =                     0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 23 31 21 3 2 1 6 5 4 3 2 32 1 31 3 23 2 1 21 3 13 2 12 1 23 31 21 3 2 1 α α α τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε T G G G E E E E E E E E E (1.8)

Para el material ortotrópico, la m atriz

c

tiene nueve c onstantes de materiales independientes, y existen tres coeficientes de dilatación térmica independientes. Este tipo de propiedad material es muy común. Por ejemplo, las rocas, el concreto, la m adera y muchos m ateriales r eforzados c on f ibra e xhiben un comportamiento or totrópico. S in e mbargo, s e d ebe s eñalar que pr uebas d e laboratorio indican que la Ecuación (1.8) constituye solamente una aproximación al comportamiento real de los materiales.

1.5 MATERIALES ISOTRÓPICOS

Un material isotrópico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximación d e mayor us o pa ra pronosticar el comportamiento de materiales elásticos lineales. Para materiales isotrópicos, la E cuación (1.3) adopta la siguiente forma:

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(61)

1-6 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO                     ∆ +                                                   − − − − − − =                    

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

23 31 21 3 2 1 23 31 21 3 2 1 T G G G E E E E E E E E E α τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε (1.9)

Parece que l a m atriz de corr elación posee t res co nstantes de l os materiales independientes. Se puede demostrar fácilmente que la aplicación de un esfuerzo cortante pur o debe pr oducir de formaciones pur as de t ensión y de c ompresión sobre el e lemento si é ste se g ira unos 4 5 grados. Usando e sta restricción, s e puede demostrar que:

)

1 (

2

+ν = E G (1.10)

Por l o tanto, para m ateriales isotrópicos, se t ienen que de finir sol amente el módulo de Young E y la relación de Poisson ν . La mayoría de los programas de computadora usan la Ecuación (1.10) para calcular el módulo de c ortante, en el caso de que no sea especificado.

1.6 DEFORMACIÓN EN EL PLANO EN MATERIALES

ISOTRÓPICOS

En los c asos donde ε ₁,γ ₁₃,γ ₂₃,τ ₁₃,yτ ₂₃ son cero, la estructura se enc uentra en un e stado de de formación en el plano. Para este caso se r educe l a matriz a un arreglo de 3x3. Puede co nsiderarse que l as secciones t ransversales de m uchas presas, túneles y sólidos con una dimensión casi infinita a l o largo del eje 3, se

encuentran en un estado de deformación en el plano para carga constante en e l plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de deformación en el plano, la r elación

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PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1-7           ∆ −                       − − − =           0 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 12 2 1 12 2 1 E T E α γ ε ε ν ν ν ν ν τ σ σ (1.11) donde

)

2

1 )(

1 (

+ν − ν = E E (1.12)

Para el caso de deformación en el plano, el desplazamiento y la deformación en la dirección 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuación (1.8) el esfuerzo normal en la dirección 3 es: T E ∆ − + =_ν _σ _σ _α σ ₃ ( ₁ ₂) (1.13)

Es importante notar que a medida que la relación ν de Poisson se acerca a 0.5, algunos términos en l a relación esfuerzo-deformación t ienden al infinito. Estas propiedades reales existen para un material casi incomprensible con un m ódulo

de cortante relativamente bajo.

1.7 ESFUERZO EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS

Si σ ₃₃

,

τ ₁

,

y

τ ₂₃ son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en

el plano. Para este caso la matriz esfuerzo-deformación se reduce a un arreglo 3x3. El comportamiento como membrana de l osas y l as estructuras de muro de cortante puede considerarse en un estado de deformación en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de esfuerzo en el plano, la relación esfuerzo-deformación es:

          ∆ −                       − =           0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 1 12 2 1 12 2 1 E T E α γ ε ε ν ν ν τ σ σ (1.14) donde ) 1 ( −ν 2 = E E (1.15)

(64)

(65)

1.8 PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS

Muchos materiales isotrópicos diferentes, que tienen un módulo de cortante muy bajo en c omparación c on su m ódulo de v olumen, pos een u n c omportamiento parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como sólidos casi incompresibles. La terminología incompresible es engañosa, puesto que la compresibilidad, o el módulo volumétrico, de dichos materiales es normalmente inferior a la de otros sólidos. La relación presión-volumen de un s ólido o de un fluido puede expresarse como sigue:

ε λ

σ = (1.16)

donde λ es e l m ódulo de e xpansión volumétrica del m aterial, q ue debe s er

evaluado m ediante pr uebas de l aboratorio de pr esión-volumen. E l c ambio de volumenε es equivalente a ε 1 + ε 2 + ε 3 , y la presión hidrostática σ indica esfuerzo

constante en todas las d irecciones. De la E cuación (1.9) se pue de exp resar e l módulo volumétrico en términos del módulo de Young y la relación de Poisson como sigue: ) 2 -1 E = ν λ

(

3

(1.17)

Para l os fluidos, e l m ódulo volumétrico es un a c onstante i ndependiente, la relación de Poisson es 0.5, y el módulo de Young y el módulo de cortante son cero. Para l os materiales isotrópicos, e l m ódulo v olumétrico y e l m ódulo d e cortante se conocen como constantes elásticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales de los materiales tanto para sólidos como para fluidos. De la Ecuación (1.10), l a relación de P oisson y e l m ódulo de Y oung pueden ser calculados en base a lo siguiente:

2 6+ G G 2 3 = λ λ ν − y E =₂₍₁₊_ν₎G (1.18a y 1.18b)

Si e l m ódulo de cortante s e v uelve pe queño en c omparación con e l m ódulo volumétrico, entonces _ν≈0.5 y _{E 3}≈ _G. La Tabla 1.1 resume las propiedades

(66)

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Tabla 1.1 Propiedades Mecánicas Apr oxi madas de Materiales Típicos

Material E Módulo de Young ksi ν Relación de Poisson G Módulo de Cortante ksi λ Módulo Volumétrico ksi α Dilatación Térmica -6 10 × w Peso específico lb/in3 Acero 29,000 0.30 11,154 16,730 6.5 0.283 Aluminio 10,000 0.33 3,750 7,300 13.0 0.100 Concreto 4,000 0.20 1,667 1,100 6.0 0.087 Mercurio 0 0.50 0 3,300 - 0.540 Agua 0 0.50 0 300 - 0.036 Agua* 0.9 0.4995 0.3 300 - 0.036

* Estas son propiedades aproximadas q ue pueden ser utilizadas para modelar el agua como un material sólido.

Es aparente que la principal diferencia entre líquidos y sólidos es que los líquidos poseen un m ódulo de c ortante m uy pe queño en comparación c on e l módulo

volumétrico, y que los líquido s no so n inc o mpre sible s .

1.9 VELOCIDADES DE ONDA DE CORTANTE Y COMPRESIÓN

La medición de las velocidades de onda de compresión y de corte de materiales, que utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro método sencillo que se utiliza frecuentemente para definir las propiedades de los materiales. La velocidad de la onda compresiva, V c , y la velocidad de onda de corte, V s vienen

dadas por: ρ λ +2G = V _c (1.19) ρ G = V _s (1.20)

donde ρ es la densidad del material. Por lo tanto, es posible calcular todas las

demás prop iedades el ásticas d e los materiales is otrópicos a p artir d e estas ecuaciones. Está claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos porque el módulo de cortante es cero.

(68)

(69)

1.10 PROPIEDADES MATERIALES AXISIMÉTRICAS

Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberías, recipientes a presión, tanques para a lmacenar l íquidos, cohetes, y ot ras estructuras e spaciales, es tán incluidas en la c ategoría de estructuras axi simétricas. Un g ran núne ro d e estructuras axi simétricas pos een materiales an isotrópicos. Para el c aso de l os sólidos axisimétricos que quedan sujetos a c argas no-axisimétricas, la matriz de correlación, según se define en l a Ecuación (1.3), puede expresarse en términos del sistema de r eferencia r , z yθ como la Ecuación (1.21). Se puede obtener la solución de e ste caso e special de un s ólido tridimensional expresando l os desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armónicas. Luego se expresa la solución como la suma de l os r esultados de una s erie d e problemas axisimétricos bidimensionales [3].

                    ∆ +                                                       − − − − − − − − − − − − − − =                     0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 5 65 6 56 5 4 3 43 2 42 1 41 4 34 3 2 32 1 31 4 24 3 23 2 1 21 4 14 3 13 2 12 1 rz z r z r rz z r z r rz z r T E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E α α α α τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε θ θ θ θ θ θ θ

_(1.21)

1.11 RELACIONES DE FUERZA-DEFORMACIÓN

Las ecua ciones e sfuerzo-deformación que s e pre sentan en las se cciones anteriores cons tituyen las leyes constitutivas fundamentales d e los materiales lineales. Sin em bargo, para elementos un idimensionales en l a i ngeniería estructural, muchas v eces r eformulamos di chas ecuaciones en términos de esfuerzos y de formaciones. Por e jemplo, pa ra un e lemento uni dimensional axialmente cargado de l ongitud L y ár ea A, la deformación axial total ∆ y e l

esfuerzo axial P son ∆ = L ε y P = Aσ . Ya que σ = E ε , la relación esfuerzo-deformación es:

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(71)

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1-11 ∆ = k a P (1.22) donde L AE k

a = y se define com o la rigidez axial del elemento. También, s e

puede expresar la Ecuación (1.22) en la siguiente forma:

P f _a = ∆ (1.23) donde AE L

f _a= y se de fine como la flexibilidad axial d el e lemento. Es

importante notar que los términos de rigidez y flexibilidad no son una función de la c arga, s ino que dependen solamente de las p ropiedades de los materiales y geométricas del elemento.

Para u n e lemento un idimensional de sección transversal cons tante, la f uerza torsional T en términos de la r otación relativa _ϕ entre los ext remos del

elemento viene dada por:

ϕ T k T = (1.24) donde L JG

k _T= y_Jes el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de

la rigidez torsional es la flexibilidad torsional.

En el caso de flexión pura de una viga con un e xtremo fijo, la integración de la distribución de l e sfuerzo t orsional s obre l a sección t ransversal p roduce u n momento M . La distribución del deformación lineal produce una rotación en el

extremo de la viga de φ

.

Para esta viga de longitud finita, la relación

momento-rotación es:

φ

b k

M ₌ (1.25)

donde la r igidez de f lexión

L EI

k _b= . Para una s ección transversal t ípica de la

viga de longitud dx , la relación momento-curvatura en el punto x es: )

( )

( x EI x

M = ψ (1.26)

Estas relaciones fuerza-deformación se consideran fundamentales en los campos tradicionales del análisis y el diseño estructurales.

(72)