. Si grado p x grado q x lim f x = k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal.

Texto completo

(1)

www.jlmat.es [1] Matemáticas aplicadas a las CCSS I Ejercicio 1.

Determina las asíntotas de la función

f x

( )

y analiza la posición de la gráfica con respecto a ellas.

( )

22

2

3

2

2

8

x

x

f x

x

x

+

=

Solución:

( )

( )

( )

( )

(

)

(

( )

)

( )

( )

( )

(

)

(

( )

)

( )

, : . lim . . 1 lim x x p x

Una función cuya expresión analítica es una fracción algebraica f x cumple q x

Si grado p x grado q x f x k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal f x

Si grado p x grado q x k con lo que la función

x →∞ →∞ = − ≤ ⇒ = ∈ − = + ⇒ = ∈ ℝ ℝ

( )

( )

(

)

(

( )

)

( )

( )

( )

( )

0 0 2 2 . . 1 . . 0. 2 3 2 , 2 8

f x tiene una asíntota oblicua

Si grado p x grado q x f x no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas La función f x puede tener asíntotas verticales en los puntos x tales que q x

x x

Con esto vemos que f x tendrá un

x x − > + ⇒ − = + − = − −

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 0 0

lim lim lim 2

2 8 2 8 2 8 1 1 0 0 . , . . 1 2 000 1 x x x a asíntota horizonta y es asíntota l x x x x x x x indeterminación x horizontal pa x x x x x x

Si damos valores muy grandes

ra a x p e f f x j x →∞ →∞ →∞ + − + − + −  ∞ + − = = = = = ⇒ − − − −  ∞ − − − − ⇒ = ⇒ =

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

200302 000 2 lim 2 997992 . 1996998 , . . 1000 1000 2 lim 2 1001992 x x f x cuando x

la gráfica de f x está por encima de la asíntota horizontal

Si damos valores muy pequeños a x p ej x f f x

cuando x la gráfica de f x está por deb

→+∞ →−∞ = > ⇒ → +∞ = − ⇒ = < ⇒ → −∞

( )

(

)(

)

2 2 2 2 2 4 4 2 4 . 4 2 8 0 4 2 . . 2 2 3 2 2 3 2 42 lim lim 2 8 4 2 0 8 2 3 2 42 lim 2 8 0 lim x x x x

ajo de la asíntota horizontal

x

x x las rectas x y x pueden ser asíntotas verticales para f x Veamos si es así

x x x x x x x x x x x x x − − − → → → → =  − − = ⇒ = = − = −  + − = + − → − ∞ − − − + ⋅ + − → → ∞ − −

(

)(

)

( )

( )

(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

(

)

)

2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 . 2 3 2 2 3 2 42 lim 2 8 4 2 0 8 4 4 2 1 2 2 1 2 3 2 0 5 5

lim lim lim

2 8 0 4 2 4 6 6 4 x x x x x x x x x x x x Cuando x f x y cuando x f x x x x x x indeterminación x es asíntota x x x x verti x cal x + + + − + →− →− →−     + − + −  = → + ∞ +  → ⇒ → −∞ → +∞ − + − + − = == − − − + = − − = −

( )

( )

( )

( )

2 5 2 , lim 2 6 5 . 6 , 2 4, x

porque aunque f no existe f x y esto quiere decir que cuanto más nos acercamos con v

no es a

alores x a

más se acercan sus imágenes al valor

Entonces la función f x tiene una asíntota verti

síntota ve cal x y una as l í rtica n →− − = −

(2)

www.jlmat.es [2] Matemáticas aplicadas a las CCSS I Ejercicio 2.

Calcula los siguientes límites de funciones:

2 2

1 3

1

2

5

3

) lim

) lim

) lim

1

1

3

2

x x x

x

x

a

b

c

x

x

x

x

x

→ → →∞

+

Solución: 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ) lim . . 1 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1

lim lim lim . lim

1 1 1 1 1 0

x

x x x x

a que es una indeterminación del tipo Para tratar de quitarla restamos las fracciones

x x x x x indet x x x x x x → → → → →     − → − ∞ − ∞     − −     + − −       − = − = = =       − − − − −      

(

)(

)

( )

( )

1 3 3 3 2 1 lim 1 1 1 3 ) lim 3 . 3 0 3 3 lim ; lim 3 0 3 0 5 3 ) li 1 2 3 , m 2 3 , x x x x x x x x

b Necesitamos calcular los límites laterales en x para ver la tendencia de la

cuando x f x cua funció ndo n x x x x x x c x x f x − + − → → + − → ∞ + → → → → +∞ → = = − + + → → ∞ → −  → → + ∞ → → − ∞ ⇒  − −  + −∞ − → 2 2 2 2 5 3 5 3 0 0 . lim lim 2 2 1 0 0 1 x x x x x x indet x x x x x →∞ →∞ + + ∞ +   = = = = = − ∞ −  

(3)

www.jlmat.es [3] Matemáticas aplicadas a las CCSS I Ejercicio 3.

Encuentra el valor de k para que la función

f x

( )

sea continua en todo

.

( )

2

3

2

1

1

3

3

1

x

x

si x

f x

x

k

si x

+

≠ −

=

+

= −

Solución:

(

) (

)

2 2 3 2 1 , 3 3 . 3 2 1 3 3 0 1 , , 1 1 , 3 3 x x

La función y es cociente de funciones continuas en todo es una función continua en todos los puntos x

salvo en los que anulan el denominador

x x

Como x x tenemos que y es continua en

x Ahora f + − = ⇒ + + − + = ⇒ = − = −∞ − − + ∞ + ℝ ∪

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 , 1 1 , , 3 3 1 1. 1 lim 1 1 3 2 1 0

lim lim . lim

3 3 0

x

x x x

x x

si x

x x f x es continua en y para que sea continua en todo

k si x

debe ser continua en x f x será continua en x f x f

f k x x x f x indet x →− →− →− →−  + ≠ −  = +−∞ − − + ∞= −  = − = − ⇔ = − − = + + −   = = = +   ∪ ℝ

(

)(

)

(

)

1

( )

1 3 1 3 1 4 lim 3 1 3 3 4 3 x

f x será continua en todo

x x k x →−   ⇒ − −  = = −  +  = − ℝ Ejercicio 4. La función

( )

2

3

8

4

x

f x

x

=

+

tiene una asíntota oblicua, calcula su ecuación y represéntala. Solución:

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

, 0, , ,

.

lim lim lim lim lim

lim lim

lim lim

x x x x x

x x

x x

Una asíntota oblicua es una recta y mx b con m a la que se acerca la función tanto como queramos cuando x f x f x f x mx b b m x x x x x Luego mx b f x m mx →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ = + ≠ → ∞ +     = ⇒ + ==         + = ⇒ +

( )

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

lim lim lim lim

3 8 3 8 8

3

3 8 3 0

4

lim lim lim . lim lim

4 4 4 1 1 0 3 8 lim li 3 m 3 4 x x x x x x x x x x x b f x mx b f x f x mx x x f x x x x x Entonces indet x x x x x x x x x f x mx x x b m b →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞     = + = =  − − −  ∞ − + = = = = = = = = + +  ∞ + +   = − =  − = +  

(

)

2 8 12 3 4 3 8 12 8 12 0

lim lim . lim

4 4 4 4 1 1 0 12 x x x x x x x x indet x x x x →∞ →∞ →∞ − − +  − − − = = = = =     + + +  ∞ +   +

( )

,

3

12

(4)

www.jlmat.es [4] Matemáticas aplicadas a las CCSS I La función

( )

2

3

8

4

x

f x

x

=

+

tendría este aspecto.

Observamos que también tiene una asíntota vertical

en

x

= −

4

.

Ejercicio 5.

Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica las discontinuidades.

( )

( )

2 2 2

2

3

0

6

2

0

2

2

x

e

si x

x

x

si x

f x

x

x

g x

x

si x

si x

x

x

+

≤ −

− +

<

=

+

=

+

> −

Solución:

( )

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 , , 2 2 , 0. 2 x x e si x f x x x si x x

La función y e es siempre continua por tanto f x es continua en

x x

La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos salvo en x Entonces x f x es continua en + +  ≤ −  = + > −   = −∞ − + = ⇒ =

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 0 , . 2 0. 2 1 lim lim 2 l 1

im lim lim lim

2 0 lim lim 0 2 x x x x x x x x x

Analicemos la función f x en los puntos x y x

f e e f x e e En x f x f x f x f x no existe x x f x x − − − + + + − + + →− →− →− →− →− →− →− →− + ∞ = − =  − = = =   = = =  = − ⇒   → ⇒  + = = =   −   ∪

(5)

www.jlmat.es [5] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2

lim lim . lim lim 2 2

0

lim 2 0

2

x x x x

x

los límites laterales son distintos pero ninguno infinito

f no existe

En x x x x x

f x indet x

x

f x presenta una discont

x Como f inuidad de t x ipo f pero f no e init x o en x → → → → →   = ⇒  +   + = = = = + =     = = −

( )

0

f x presenta una discontinuidad evitable e

isten x=

( )

( )

(

)

( )

2 2 3 0 6 0 2 3 , , 0 6 , 2. 2 0 x x si x g x x si x x

La función y x x es siempre continua por tanto f x es continua en x

La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos salvo en x Entonces x f x es continua en− + <  = + ≥  −  = − + −∞ + = ⇒ =

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 2 2 , . 0 2. 6 0 3 2 lim lim 3 0

lim 6 6 lim lim lim 3

lim li 3 3 m 2 2 lim 0 x x x x x x x x x f x es continu

Analicemos la función f x en los puntos x y x

f f x x x En x f x x f x f x f x f x x a Como f x f en x − − − + + + → → → → → → → → → + ∞ = =  = =   = − + = = ⇒    == +  = = =  =   = ⇒ ∪ 0.

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 6 8 lim 2 2 0 lim lim 6 8 l 2 im 2 0 x x x x f no existe x En x x f x f x no existe x x

Como los límites laterales tienden a infinito f x presenta una discontinuidad de tipo infinito en x

− + + → → → − →   +   → +∞ = ⇒ ⇒  +   → −∞   ⇒ =

Figure

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