. Si grado p x grado q x lim f x = k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal.

(1)

www.jlmat.es [1] Matemáticas aplicadas a las CCSS I Ejercicio 1.

Determina las asíntotas de la función

f x

( )

y analiza la posición de la gráfica con respecto a ellas.

( )

22

2

3

2

8 x

x

f x

x

+

−

=

−

Solución:

( )

_{( )}

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( )

, : . lim . . 1 lim x x p x

Una función cuya expresión analítica es una fracción algebraica f x cumple q x

Si grado p x grado q x f x k con lo que la función f x tiene una asíntota horizontal f x

Si grado p x grado q x k con lo que la función

x →∞ →∞ = − ≤ ⇒ _{= ∈} − = + ⇒ _{= ∈} ℝ ℝ

( )

(

)

(

( )

)

( )

0 0 2 2 . . 1 . . 0. 2 3 2 , 2 8

f x tiene una asíntota oblicua

Si grado p x grado q x f x no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas La función f x puede tener asíntotas verticales en los puntos x tales que q x

x x

Con esto vemos que f x tendrá un

x x − > + ⇒ − = + − = − −

( )

2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 . 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 0 0

lim lim lim 2

2 8 2 8 2 8 ₁ 1 0 0 . , . . 1 2 000 1 x x x a asíntota horizonta y es asíntota l x x x x _x _x _x indeterminación x horizontal pa x x x x x x

Si damos valores muy grandes

ra a x p e f f x j x →∞ →∞ →∞ + − _{+ −} + −  ∞ + − =_ _= = = = ⇒ − − − −  ∞ _{− −} − − ⇒ = ⇒ =

(

)

( )

(

)

( )

200302 000 2 lim 2 997992 . 1996998 , . . 1000 1000 2 lim 2 1001992 x x f x cuando x

la gráfica de f x está por encima de la asíntota horizontal

Si damos valores muy pequeños a x p ej x f f x

cuando x la gráfica de f x está por deb

→+∞ →−∞ = > ⇒ _≥ ⇒ _{→ +∞} = − ⇒ ₋ ₌ _< ⇒ _≤ ⇒ → −∞

( )

(

)(

)

2 2 2 2 2 4 4 2 4 . 4 2 8 0 4 2 . . 2 2 3 2 2 3 2 42 lim lim 2 8 4 2 0 8 2 3 2 42 lim 2 8 0 lim x x x x

ajo de la asíntota horizontal

x

x x las rectas x y x pueden ser asíntotas verticales para f x Veamos si es así

x x x x x x x x x x x x x − − − → → → → =  − − = ⇒ _ ⇒ ₌ _{= −} = −  + − ₌ + − _→ _{→ − ∞} − − − + ⋅ + _{− →} _{→ ∞} _⇒ − −

(

)(

)

( )

(

)

(

₍

₎₍

)(

₎

)

(

₍

₎

)

2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 . 2 3 2 2 3 2 42 lim 2 8 4 2 0 8 4 4 2 1 2 2 1 2 3 2 0 5 5

lim lim lim

2 8 0 4 2 4 6 6 4 x x x x x x x x x x x x Cuando x f x y cuando x f x x x x x x indeterminación x es asíntota x x x x verti x cal x + _→+ + − + →− →− →−    _⇒  + − + −  ₌ _→ _{→ + ∞}  ₋ ₋ ₋ ₊ _⋅  → ⇒ _{→ −∞} _→ ⇒ _{→ +∞} − + − + − _→ _⇒ ₌ ₌ − ₌ _⇒ − − − + = − − = −

( )

2 5 2 , lim 2 6 5 . 6 , 2 4, x

porque aunque f no existe f x y esto quiere decir que cuanto más nos acercamos con v

no es a

alores x a

más se acercan sus imágenes al valor

Entonces la función f x tiene una asíntota verti

síntota ve cal x y una as l í rtica n →− − = −

(2)

Calcula los siguientes límites de funciones:

2 2

1 3

1

2

5

3 ) lim

) lim

1

3

2

x x x

x

a

b

c

x

→ → →∞

+





−





−





Solución: 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ) lim . . 1 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1

lim lim lim . lim

1 1 1 1 1 0

x

x x x x

a que es una indeterminación del tipo Para tratar de quitarla restamos las fracciones

x x x x x indet x x x x x x → → → → →     − → − ∞ − ∞     − −     + − −       − = − = = =       − − − − −      

(

)(

)

( )

1 3 3 3 2 1 lim 1 1 1 3 ) lim 3 . 3 0 3 3 lim ; lim 3 0 3 0 5 3 ) li 1 2 3 , m 2 3 , x x x x x x x x

b Necesitamos calcular los límites laterales en x para ver la tendencia de la

cuando x f x cua funció ndo n x x x x x x c x x f x − + − → → + − → ∞ + → → → → +∞ → = = − + + → → ∞ → −  → → + ∞ → → − ∞ ⇒  − − _ + −∞ − → 2 2 2 2 5 3 5 3 0 0 . lim lim 2 2 1 0 0 1 x x x x x x indet x x x x x →∞ →∞ + ₊ ∞ +   = = = = = − ∞ −   ₋

(3)

Encuentra el valor de k para que la función

f x

( )

sea continua en todo

ℝ

.

( )

2

3

2

1

3

1 x

x

si x

f x

x

k

si x



₊

₋

≠ −



=



₊



_{= −}



Solución:

(

) (

)

2 2 3 2 1 , 3 3 . 3 2 1 3 3 0 1 , , 1 1 , 3 3 x x

La función y es cociente de funciones continuas en todo es una función continua en todos los puntos x

salvo en los que anulan el denominador

x x

Como x x tenemos que y es continua en

x Ahora f + − = ⇒ + + − + = ⇒ _{= −} ₌ _{−∞ −} _{− + ∞} + ℝ ∪

( )

(

) (

)

( )

2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 , 1 1 , , 3 3 1 1. 1 lim 1 1 3 2 1 0

lim lim . lim

3 3 0

x

x x x

x x

si x

x x f x es continua en y para que sea continua en todo

k si x

debe ser continua en x f x será continua en x f x f

f k x x x f x indet x →− →− →− →−  ₊ ₋ ≠ −  =_ ₊ ⇒ _{−∞ −} _{− + ∞}  _{= −}  = − = − ⇔ = − − = + + −   = = = +   ∪ ℝ

(

)(

)

(

)

1

( )

1 3 1 3 1 4 lim 3 1 3 3 4 3 x

f x será continua en todo

x x k x →−   ⇒ _⇔ − −  = = −  +  = − ℝ Ejercicio 4. La función

( )

2

3

8

4 x

f x

x

−

=

+

tiene una asíntota oblicua, calcula su ecuación y represéntala. Solución:

(

)

( )

, 0, , ,

.

lim lim lim lim lim

lim lim

x x x x x

x x

Una asíntota oblicua es una recta y mx b con m a la que se acerca la función tanto como queramos cuando x f x f x f x mx b b m x x x x x Luego mx b f x m mx →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ = + ≠ → ∞ +     = ⇒ ₊ ₌ ⇒ ₌         + = ⇒ +

( )

(

( )

)

( )

(

)

2 2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2

lim lim lim lim

3 8 3 8 8

3

3 8 3 0

4

lim lim lim . lim lim

4 4 4 ₁ 1 0 3 8 lim li 3 m 3 4 x x x x x x x x x x x b f x mx b f x f x mx x x f x _x x _x _x Entonces indet x x x x x x x x x f x mx x x b m b →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞     ₌ _⇒ _{+ =} _⇒ ₌ ₋  − − ₋ −  ∞ − + = = = = = = = = + +  ∞ ₊ +  ₋  = − =  − = +  

(

)

2 8 12 3 4 3 8 12 8 12 0

lim lim . lim

4 4 4 4 ₁ 1 0 12 x x x x x x x _x indet x x x x →∞ →∞ →∞ − − +  ₋  ₋ ₋  _∞ _{− −} − = = = = =     + + +  ∞ +   ₊ −

( )

,

3

12

(4)

www.jlmat.es [4] Matemáticas aplicadas a las CCSS I La función

( )

2

3

8

4 x

f x

x

−

=

+

tendría este aspecto.

Observamos que también tiene una asíntota vertical

en

x

= −

4

.

Ejercicio 5.

Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica las discontinuidades.

( )

2 2 2

2

3

0

6

2

0

2

x

e

si x

x

si x

f x

_x

g x

_x

si x

x

+



_{≤ −}



_{− +}

_<



=



₊

=



₊

≥

> −



−



Solución:

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 , , 2 2 , 0. 2 x x e si x f x _x _x si x x

La función y e es siempre continua por tanto f x es continua en

x x

La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos salvo en x Entonces x f x es continua en + +  _{≤ −}  = ₊ > −   = −∞ − + = ⇒ ₌ −

(

) (

)

( )

2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 0 , . 2 0. 2 1 lim lim 2 l 1

im lim lim lim

2 0 lim lim 0 2 x x x x x x x x x

Analicemos la función f x en los puntos x y x

f e e f x e e En x f x f x f x f x no existe x x f x x − − − + + + − + + →− →− →− →− →− →− →− →− + ∞ = − =  _{− =} ₌ ₌   ₌ ₌ ₌  = − ⇒   →_ ⇒ _≠ ⇒  ₊ = = =   −   ∪

(5)

www.jlmat.es [5] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

2 0 0 0 0 0 0 0 ₂ ₀ ₂

lim lim . lim lim 2 2

0

lim 2 0

2

x x x x

x

los límites laterales son distintos pero ninguno infinito

f no existe

En x _x _x _{x x}

f x indet x

x

f x presenta una discont

x Como f inuidad de t x ipo f pero f no e init x o en x → → → → →   = ⇒  ₊   ₊ = = = = + =     = = −

( )

0

f x presenta una discontinuidad evitable e

iste ⇒ n x=

( )

(

)

( )

2 2 3 0 6 0 2 3 , , 0 6 , 2. 2 0 x x si x g x _x si x x

La función y x x es siempre continua por tanto f x es continua en x

La función y es cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos salvo en x Entonces x f x es continua en  _{− +} _<  = ₊ ≥  −  = − + −∞ + = ⇒ ₌ −

(

) (

)

( )

(

)

( )

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 2 2 , . 0 2. 6 0 3 2 lim lim 3 0

lim ₆ ₆ lim lim lim 3

lim li 3 3 m 2 2 lim 0 x x x x x x x x x f x es continu

Analicemos la función f x en los puntos x y x

f f x x x En x f x _x f x f x f x f x x a Como f x f en x − − − + + + → → → → → → → → → + ∞ = =  = =   _ = − + = = ⇒    _→_ ⇒ ₌ ⇒ ₌ +  _ ₌ _{= =}  =   ₋ = ⇒ ∪ 0.

( )

2 2 2 2 2 6 8 lim 2 2 0 lim lim 6 8 l 2 im 2 0 x x x x f no existe x En x x f x f x no existe x x

Como los límites laterales tienden a infinito f x presenta una discontinuidad de tipo infinito en x

− + + → → → − →   +   _→ _{→ +∞}  _ = ⇒ _ _ ₋ →_ ⇒  +   _→ _{→ −∞}  ₋   ⇒ ₌ 