TEMA 8 Y 9 FUNCIONES. (El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x).

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FUNCIÓN

Una función relaciona dos variables: x (variable independiente) e

y (variable dependiente).

(El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x). y = 3x – 5

Una función asocia a cada valor de x un único valor de y. Así, por ejemplo, en la gráfica de aquí abajo, para x = 3 sólo tenemos un valor de y, que es y = 1.

La siguiente gráfica no es una función, porque a cada valor de x le corresponden varios de y. Así, por ejemplo, para x = -2,5 hay tres valores de y: 4,5, 0 y -4,5.

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DOMINIO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “ Es el tramo donde la función existe en “x”

RECORRIDO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “ Es el tramo donde la función existe en “y”

CRECIENTE Y DECRECIENTE La función es creciente si la gráfica

(NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “X”) Es el tramo donde la función existe en “x”

(NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “Y”) Es el tramo donde la función existe en “y”

CRECIENTE Y DECRECIENTE (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “X”) si la gráfica sube, al recorrerla de izquierda a derecha.

EN LA COORDENADA “X”) , al recorrerla de izquierda a derecha.

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La función es decreciente

MÁXIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS Es el punto donde la función pasa de creciente a decreciente.

MÍNIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS Es el punto donde la función pasa de decreciente a creciente.

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Una función es continua cuando al dibujar

papel, mientras que si levantamos el lápiz se dice que es discontinua.

decreciente, si la gráfica baja, al recorrerla de izquierda a derecha.

COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS) Es el punto donde la función pasa de creciente a decreciente.

COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS) Es el punto donde la función pasa de decreciente a creciente.

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

Una función es continua cuando al dibujar la gráfica no levantamos el lápiz del papel, mientras que si levantamos el lápiz se dice que es discontinua.

, al recorrerla de izquierda a derecha.

la gráfica no levantamos el lápiz del papel, mientras que si levantamos el lápiz se dice que es discontinua.

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1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: y = mx

• Es una recta que SIEMPRE pasa por el origen de coordenadas (0,0).

• La m es la PENDIENTE DE LA RECTA. x y m= 1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) =

3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento:

- si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x - si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x 5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos. 6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x

x -1 0 1

y -2 0 2

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2. FUNCIÓN AFÍN: y = mx+n

• Es una recta que NUNCA pasa por el origen de coordenadas (0,0).

• La m es la PENDIENTE DE LA RECTA.

x n y

m= −

• La n es la ORDENADA DE LA RECTA (“donde corta al eje y”) 1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) =

3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento:

- si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x - si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x 5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x + 1

x -1 0 1

y -1 1 3

7. Representación: Ejemplo: y = 2x + 1

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3. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS y=mx+n

Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). Como la ecuación de la recta será y = mx + n, tendremos que hallar m y n. La m es igual a:

Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 5)?

Para no confundirnos y hallar la m sin errores es conveniente entretenernos en asignar valores:

x1 = 2; y1 = 1; x2 = 4; y2 = 5.

En la fórmula de arriba sustituimos las letras por sus respectivos valores para hallar la m: m =

2

2

4

1

5

1 2 1 2

=

=

x

x

y

y

¿Cómo hallamos n?

En la ecuación general y = mx + n sustituimos la m por el valor que acabamos de hallar (2), la y, por la ordenada del punto A (que es y1 = 1) y la x, por la abscisa x del punto A (que es x1 = 2) [podríamos haber utilizado también las coordenadas del punto B, en lugar de las del punto A, y el resultado hubiera sido el mismo], con lo que nos queda:

y = mx + n 1 = 2 · 2 + n 1 = 4 + n 1 – 4 = n n = -3

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4. LA FUNCIÓN CONSTANTE

• Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es

• Su representación gráfica es una recta en k.

1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) = n

3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento 5. Máximos y mínimos

6. No se hace tabla de valores 7. Representación

CONSTANTE: y=k

Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es

y = k

Su representación gráfica es una recta paralela al eje X, que corta al eje Y

: Dom f(x)= : Im f(x) = n

: Función continua

Crecimiento y decrecimiento: Ni crece ni decrece, es constante. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

No se hace tabla de valores: Representación: Ejemplo: y = 3

Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es

, que corta al eje Y

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5. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: Ejemplo: f(x) = x²

1. Vértice

2. Puntos de corte con el eje OX

Eje OX y=0 cero, por lo que tendremos: Resolviendo la ecuación podemos obtener:

• Dos puntos de corte: (x • Un punto de corte: (x

• Ningún punto de corte si b²

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b ·

CUADRÁTICA y=ax2+bx+c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: Ejemplo: f(x) = x² − 4x + 3. xv =

( )

2

2

4

1

·

2

4

=

=

yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1 V(2, −1) 2. Puntos de corte con el eje OX

cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

x² − 4x + 3 = 0 f(0)=(0)2-4(0)+3=3

(0,3)

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4.Tabla de valores y representación gráfica

Colocamos los puntos obtenidos en la tabla (el vértice, y los cortes con los ejes) V x 2 y -5. Estudio de la función: DIBUJO 1. Dominio: 2. Recorrido: 3. Continuidad: 4. Crecimiento y decrecimiento 5. Máximos y mínimos

Tabla de valores y representación gráfica

Colocamos los puntos obtenidos en la tabla (el vértice, y los cortes con los

V OX OX 2 3 1 -1 0 0 función: DIBUJO Dom f(x)= Im f(x) = (Vy,+∞) Im f(x) = ( Función continua

Crecimiento y decrecimiento: Decrece (-∞,Vx)

y crece (Vx,+∞)

Crece ( decrece (Vx,+

Máximos y mínimos: Mínimo (Vx,Vy)

Colocamos los puntos obtenidos en la tabla (el vértice, y los cortes con los OY 0 3 Dom f(x)= Im f(x) = (-∞,Vy) Función continua Crece (-∞,Vx) y decrece (Vx,+∞) Máximo (Vx,Vy).

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6. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DEL DIBUJO a y= 2 3 x+1 b y= 5 2 x+2 c y= 5 2 x d y= 3 1 − x e y=-2

Figure

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