MODELOS NO LINEALES. Alejandro Vera Trejo

Alejandro Vera Trejo

3. MODELOS NO LINEALES

Objetivo

Se representará una situación

determinada a través de la construcción de una o varias ecuaciones no lineales.

Se solucionarán situaciones reales a través de ecuaciones de segundo grado

y superior. Se analizarán y

solucionarán problemas que conllevan el uso de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

3. MODELOS NO LINEALES

3.1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

3. MODELOS NO LINEALES

3.1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Para resolver una ecuación de segundo grado se utiliza la siguiente formula:

Sea la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 a ac b b x 2 4 2 − ± − = 2 24 25 5 ) 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( 4 5 5 2 ± − = − − ± = x 2 4 ; 2 6 2 1 5 = ± = x

3. MODELOS NO LINEALES

3.1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?

El precio de las acciones de CEMEX

CPO es $2 mayor que las de

COMERCI UBC y la suma de los cuadrados de ambas acciones es $340. Determinar ambos precios.

x = precio de la acción de CEMEX y = Precio de la acción de COMERCI

x – 2 = y (1)

x2 + y2 = 340 (2)

Despejando “y” de (1) y = x - 2

3. MODELOS NO LINEALES

3.1 ¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Sustituyendo este resultado en (2)

x2 _{+ (x - 2)}2 _{= 340} x2 _{+ x}2 _{- 4x +4 -340 = 0} 2x2 - 4x – 336 = 0 x2 - 2x - 168 = 0 2 676 4 2 ) 1 ( 2 ) 168 )( 1 ( 4 ) 2 ( 2 2 ± + = − − − ± = x 14 2 26 2 1 = + = x 12 2 26 2 2 = − − = x

3. MODELOS NO LINEALES

3.2 ¿Qué es un logaritmo?

Sea C un número positivo, y a un

número positivo diferente de 1;

entonces, el logaritmo en base a del número C es el exponente b al que eleva la base a tal que ab _{= C}

log_a (C) = b, si y solo si ab = C

3 = log₂ 8 ya que 23 = 8 4 = log₃ 81 ya que 34 = 81 2 = log₅ 25 ya que 52 _{= 25}

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3.2 ¿Qué es un logaritmo?

En la práctica común se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales cuya base es el número e = 2.718281 y los logaritmos comunes, cuya base es a = 10

Para los logaritmos comunes por

definición se tiene: log 1000 = 3 ya que 103 = 1000 log 100 = 2 ya que 102 = 100 log 10 = 1 ya que 101 _{= 10} log 1 = 0 ya que 100 _{= 1} log 0.10 = -1 ya que 10-1 _{= 0.10}

3. MODELOS NO LINEALES

3.2.1

¿Cuáles son las leyes de los logaritmos?

log_a 1 = 0 log_a a = 1 log_a an = n

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log(ab) = log(a) + log(b)

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. MODELOS NO LINEALES

3.2.1

¿Cuáles son las leyes de los logaritmos?

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

log(ax_{) = xlog(a)}

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

( )

( )

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3.3 ¿Qué es una ecuación logarítmica?

Es aquella en que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Ejemplo: encontrar el valor de n

M = C (1+i)n

Para encontrarla es necesario aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación

log (M) = log C(1+i)n

log (M) = log C + n log(1+i) n = (log (M) – log (C))/log(1+i)

3. MODELOS NO LINEALES

3.3 ¿Qué es una ecuación logarítmica?

Se desea encontrar el plazo n que se requiere para obtener un monto M de $8,161.18 con un capital C de $5,800 y una tasa de interés anual compuesto del 5%. Sea

M = C (1+i)n

Aplicando logaritmos en ambos

miembros de la ecuación.

log (M) = log C(1+i)n

log (M) = log C + n log(1+i)

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3.4 ¿Qué es una ecuación exponencial?

Es aquella en que la incógnita se encuentra en el exponente. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural.

Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario conocer las siguientes propiedades:

Si tienen la misma base, se igualan los exponentes ab = ac b = c

Si tienen el mismo exponente, se igualan las bases ab _{= c}b _{a = c}

⇒

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3.4.1

¿Cuáles son las propiedades de las

ecuaciones exponenciales?

Propiedades de las potencias para

descomponer las ecuaciones

exponenciales.

Producto abc = ab + ac Cociente ab-c = ab / ac

Potencia de potencia abc _{= (a}b₎c

Aplicando estas propiedades las

ecuaciones exponenciales se reducen significativamente.

3. MODELOS NO LINEALES

3.4.1

¿Cuáles son las ecuaciones con exponentes?

Son aquellas en que la incógnita es

exponente de la cantidad. Para

resolverlas se aplican los logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

Encontrar el valor de x de la siguiente ecuación 52x-1 _{= 125} (2x-1) log(5) = log (125) 2 2 / ) 1 3 ( 2 / 1 698970 . 0 096910 . 2 2 / 1 ) 5 log( ) 125 log( = + =       ₊ =     ₊ = x

BIBLIOGRAFIA

Aurelio Baldor, “ALGEBRA”, por Editorial Patria, septiembre 2007.

Alejandro Vera Trejo