AJUSTE DE CURVAS. Cálculo Numérico Ing. Frednides Guillén Guerra Maracay - Venezuela

AJUSTE DE CURVAS

Cálculo Numérico

Ing. Frednides Guillén Guerra

Maracay - Venezuela

Ajuste de Curvas

•

_{Consiste en determinar los parámetros de un}

modelo y=f(x) que se ajuste mejor a los datos

(x

₁

,y

₁

), ... , (x

_N

,y

_N

) que están sujetos a errores

aleatorios producidos por incertidumbres en las

mediciones, y por un deficiente control de las

condiciones en el que se realiza un experimento.

Ajuste de Curvas

• Cuando se consideran datos que están sujetos a errores aleatorios, se emplea:

EL MÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS

Ajuste de Curvas

•

_{A partir del método de los mínimos cuadrados se}

obtienen las

Ecuaciones de Regresión

y tienen varias

aplicaciones:

–

_{Descripción y construcción de modelos}

–

Predicción y estimación

–

_{Estimación de parámetros}

–

_Control

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes

pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproximada:

- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 x_k y_k -1 10 0 9 1 7 2 5 3 4 4 3 5 0 6 -1 y=Ax+B x y

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

•

_{La recta de regresión consiste en el análisis de}

regresión simple del método de los mínimos

cuadrados:

–

Lo que se desea es encontrar una ecuación simple

que aproxime lo mejor posible los puntos de

estudio

–

La recta o cualquier otra función elegida para

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la

recta:

y = f(x) = Ax + B

• _{Que minimiza el error cuadrático medio E2(f)}

(1) ) ( 1 ) ( 2 / 1 1 2 2       ₋ =

∑

= N k k k y x f N f E

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• El error medio cuadrático está dado por la siguiente ecuación:

• _{El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera}

la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar porque no es tan complejo de minimizar

computacionalmente. (1) ) ( 1 ) ( 2 / 1 1 2 2       ₋ =

∑

= N k k k y x f N f E

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Sea un conjunto de N puntos (x_k , y_k) donde k=1 hasta N, cuyas abscisas {x_k} son todas distintas, la recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de

ecuación y = f (x) = Ax+B que minimiza el error medio cuadrático E₂(f).

• El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente expresión es mínima:

(

( )

)

( ) (2) 1 2 2 2

∑

= − = ⋅ N k k k y x f f E N

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la recta, entonces:

• _{El valor mínimo de la función E(A,B) se calcula igualando a}

cero sus derivadas parciales:

(

)

(3) ) , ( 1 2

∑

= − + = N k k k B y Ax B A E (4) 0 ) , ( 0 ) , ( = ∂ ∂ = ∂ ∂ B B A E A B A E

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Desarrollando el cálculo, tenemos:

• _Luego:

(

)( )

(

)

(

)

_∑

(

)

∑

∑

∑

= = = = − + = − + = ∂ ∂ − + = − + = ∂ ∂ N k k k N k k k N k k k k k k N k k k y B Ax y B Ax B B A E x y Bx Ax x y B Ax A B A E 1 1 1 2 1 2 2 ) , ( 2 2 ) , (

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

0 , 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 = − ⋅ + = − + = − + = − +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = N k k N k k N k k k N k k k N k k N k k N k k k k k y B N x A y B Ax y x x B x A x y Bx Ax

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Despejando:

• _{A este sistema de ecuaciones se le conoce como:}

ECUACIONES NORMALES DE GAUSS

( )

( )

(

)

( )

( )

(5) , 1 1 1 1 1 2

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = ⋅ + = + N k k N k k N k k k N k k N k k y B N x A y x x B x A

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• Ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los

siguientes pares de puntos (-1, 10), (0,9), (1,7), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (6, -1). Obtener la ecuación de la recta aproximada. Primero se calculan los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss:

x_k y_k (x_k)2 _x k yk -1 10 1 -10 0 9 0 0 1 7 1 7 2 5 4 10 3 4 9 12 4 3 16 12 5 0 25 0 6 -1 36 -6 20 37 92 25 643 . 8 607 . 1 37 8 20 25 20 92 (5) ecuación la Aplicamos ≈ − ≈ = + = + B A B A B A y=-1.607 x + 8.643 y=-1.607 x + 8.643

Ajuste Potencial

y=Ax

M

• Algunos casos experimentales se modelan mediante una

función del tipo y=AxM, donde M es una constante conocida.

• _{Usando la técnica de los mínimos cuadrados:}

• _{En este caso particular basta con calcular la derivada de}

E(A) e igualar a cero:

(

)

∑

= − = N k k M k y Ax A E 1 2 ) (

Ajuste Potencial

y=Ax

M

• El desarrollo de las ecuaciones es el siguiente:

(

)

(

)( )

(

)

( ) (

)

(

)

( )

(6) : obtiene se tanto lo Por 0 0 2 2 ) ( ' 0 ) ( ; ) ( 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = − = − = − = = ∂ ∂ − = N k M k N k M k k N k M k k N k M k N k M k k M k N k M k k M k N k k M k x x y A x y x A x y Ax x y Ax A E A A E y Ax A E

Ajuste Potencial

y=Ax

M

• Ejemplo: A fin de medir la aceleración de la gravedad, se recogieron unos datos experimentales del tiempo que tarda en llegar un objeto al suelo. La relación funcional es d=0.5gt2. donde d es la distancia

de caída media en metros y t el tiempo medio en segundos. Con estos datos calcule el valor aproximado de la aceleración de la gravedad g. Tiempo t_k (s) Distanciad_k (m) 0.47 1.1 0.71 2.4 0.77 3 0.96 4.5 1.1 6

Ajuste Potencial

y=Ax

M • Aplicamos la ecuación (6) Tiempo t_k (s) Distancia d_k (m) d_k t_k2 t k4 0.47 1.1 0.2430 0.0488 0.71 2.4 1.2098 0.2541 0.77 3 1.7787 0.3515 0.96 4.5 4.1472 0.8493 1.1 6 7.2600 1.4641 14.6387 2.9679

(

)

_∑

( )

∑

= = = N k M k N k M k k x x y A 1 2 1

( ) ( )

2 * 9323 4 : gravedad la Despejando 9323 4 9323 4 9679 2 6387 14 2 1 4 1 2 . g t . d . . . A t t d A N k k N k k k = ⋅ = = = =

∑

∑

= = g = 9.8647 m/s2 g = 9.8647 m/s2

Ajuste de Curvas

• Supóngase que se quiere ajustar un conjunto de datos a una curva exponencial de la forma:

• _{Aplicamos logaritmo en ambos miembros de la ecuación}

• _{De esta manera queda linealizada la ecuación y se pueden}

hacer los siguientes cambios de variable:

Y=ln(y), X=x, y B=ln(C) Ax Ce y =

( )

( )

( )

( )

B AX Y C Ax y e C y Ce y Ax Ax + = + = + = = ln ) ln( ln ln ) ln( ln ) ln(

Ajuste de Curvas

• Mediante el cambio de variable los datos quedan de la

siguiente forma: (X_k , Y_k) = (x_k , ln(y_k)); a este proceso se le conoce como método de linealización de datos. Luego se aplican las ecuaciones normales de Gauss.

• Luego que se obtienen A y B, se calcula el parámetro C:

( )

( )

(

)

( )

( )

(7) , 1 1 1 1 1 2

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = ⋅ + = + N k k N k k N k k k N k k N k k Y B N X A Y X X B X A B e C =

Ajuste de Curvas

• Ejemplo: Utilice el método de linealización de datos para hallar el ajuste exponencial y=CeAx a los cinco datos: (0, 1.5), (1 , 2.5), (2 , 3.5), (3 , 5.0) y (4 , 7.5). Aplicando los cambios de variable: x_k y_k X_k Y_k=ln(y_k) X_k2 _X kYk 0.0 1.5 0.0 0.4054 0.0 0 1.0 2.5 1.0 0.9162 1.0 0.9162 2.0 3.5 2.0 1.2527 4.0 2.5055 3.0 5.0 3.0 1.6094 9.0 4.8283 4.0 7.5 4.0 2.0149 16.0 8.0596 10 6.1988 30.0 16.3097

Ajuste de Curvas

• Aplicando la ecuación (7) para el cálculo de los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss, se tiene:

5799 . 1 4574 . 0 3912 . 0 1988 . 6 5 10 3097 . 16 10 30 4574 . 0 ₌ = ≈ ≈ = + = + e C B A B A B A - 1 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 1 0 1 2 x y=1.5799 e0.3912 x y

Ajuste de Curvas

• Cambios de variables para linealizar datos:

Función, y=f(x) Linealización, Y=Ax+B Cambios

y = A/x + B y = A/x + B X = 1/x , Y = y y = 1 / (A x + B) 1/y = Ax + B X = x , Y = 1/y y = A ln(x) + B y = A ln(x) + B X = ln(x) , Y =y y = C eAx _{ln(y) = A x + B} X = x , Y = ln(y), B=ln(C) , C=eB y = C xA _{ln(y) = A ln(x) + B} X = ln(x) , Y = ln(y), B=ln(C) , C=eB