Tesis que presenta:
Daniel Miguel Ortiz
para obtener el grado de:
Maestro en Ciencias con especialidad en
Matem´
aticas
Directores
:
Dr. Carlos Renter´ıa M´
arquez
Dr. Manuel Gonz´
alez Sarabia
Resumen
En esta tesis desarrollamos la teor´ıa de esquemas algebraicos. Definiendo gavillas, esquemas afines y morfismos de esquemas. Adem´as realizamos al-gunos c´alculos con el programa Macualay 2 y mostramos algunas aplicaciones de la teor´ıa de esquemas a la teor´ıa de c´odigos.
Abstract
In this thesis we developed the theory of algebraic schemes. Defining sheaves, affine schemes and morphisms of schemes. We also make some cal-culations with the program Macualay 2 and show some applications of theory schemes to the theory of codes.
Introducci´on. 9 Agradecimientos. 11 1. Preliminares 12 1.1. Variedades Afines . . . 12 1.2. Variedades Proyectivas . . . 16 1.3. Morfismos . . . 19 2. Esquemas 23 2.1. Gavillas . . . 23 2.2. Esquemas . . . 35
2.3. Primeras propiedades de los Esquemas . . . 47
2.4. Campos de definici´on . . . 58
2.5. Morfismos propios y separados . . . 59
2.6. Gavillas de m´odulos . . . 62
3. Fundamentos de la teor´ıa de campos de funciones algebraicas 66 3.1. Lugares y valuaciones . . . 66
3.2. Divisores . . . 74
3.3. El teorema de Riemann-Roch y algunas consecuencias . . . 80
4. C´odigos Geometricos de Goppa 88 4.1. C´odigos lineales . . . 88
5. Aplicaciones de la Teor´ıa de Esquemas 99
5.1. C´alculos con Macaulay 2 . . . 99
5.1.1. Conjuntos abiertos b´asicos . . . 99
5.1.2. Puntos singulares . . . 100
5.1.3. Campos de definici´on . . . 102
5.1.4. Multiplicidad . . . 104
5.2. Esquemas y la teor´ıa de c´odigos . . . 105
5.2.1. Ejemplos de C´odigos en variedades algebraicas. . . 105
5.2.2. Funci´on de Hilbert y a−invariante . . . 107
Introducci´
on
El estudio de la geometr´ıa algebraica surge de implementar herramien-tas del algebra abstracta, en mayor medida el algebra conmutativa a temas relacionados con la geometr´ıa.
La teor´ıa de esquemas es el fundamento para la geometr´ıa formulada por Alexander Grothendieck y muchos de sus colaboradores. Es la base para la gran unificaci´on de la teor´ıa de n´umeros y la geometr´ıa algebraica so˜nada por mas de un siglo, por los matematicos que desarrollan la teor´ıa de n´umeros y los ge´ometras algebraicos.
Alexandre Grothendieck lleva a buen t´ermino una generaci´on de propues-tas experimentales y desarrollos parciales. El define el espectro de un anillo conmutativo como el espacio de los ideales primos dotado con la topolog´ıa de Zariski, pero aumenta una gavilla de anillos. Adem´as a cada subconjunto abierto se le asigna un grupo, un anillo conmutativo o un m´odulo. Estos ob-jetos son los esquemas afines, un esquema general se obtiene uniendo varios esquemas afines. En analog´ıa a que una variedad algebraica se puede obtener uniendo variedades afines.
El prop´osito de esta tesis es desarrollar la teor´ıa de esquemas y dar algunas aplicaciones.
En el cap´ıtulo 1 establecemos los conceptos preliminares necesarios para el desarrollo general de la teor´ıa de esquemas.
En el cap´ıtulo 2 establecemos las definiciones b´asicas de esquemas: gavi-llas, esquemas afines y morfismos, adem´as desarrollamos diversos ejemplos, al final del capitulo definimos el producto fibrado de esquemas el cual es una herramienta muy importante en la teora de esquemas y terminamos el capitulo definiendo gavillas de m´odulos.
En el cap´ıtulo 3 fundamentamos la teor´ıa de los campos de funciones algebraicas, definimos los conceptos de lugares, anillo de valuaci´on, divisor, diferencial de Weil y genero. Adem´as estudiamos el importante teorema de Riemman Roch.
En el cap´ıtulo 4 definimos el concepto de c´odigo lineal, asi como sus par´ametros: longitud, dimensi´on y distancia m´ınima. Adem´as estudiamos los c´odigos geom´etricos de Goppa.
En el cap´ıtulo 5 damos algunas aplicaciones de la teor´ıa de esquemas, comenzamos haciendo algunos c´alculos con el programa Macaulay 2. Con-tinuamos dando algunos ejemplos de c´odigos en variedades algebraicas y terminamos con los c´odigos evaluaci´on aplicados a esquemas proyectivos de dimensi´on cero.
Agradecimientos
A mis padres Don Esteban Miguel Ortiz y Do˜a Reyna Ortiz Ortiz, el coraz´on y la fuerza de este trabajo.
A mis Hermanos Diego, Jorge, Esteban y Carla Patricia
A mis asesores los Doctores Carlos Renter´ıa M´arquez y Manuel Gonz´alez Sarabia.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1.
Variedades Afines
Sea k un campo algebraicamente cerrado, definimos al n−espacio af´ın sobre k como el conjunto de las n−adas de elementos de k y lo denotamos como An
k o simplemente An. Un elemento P ∈ An sera llamado punto y si
P = (a1, a2, a3, . . . , an) conai ∈k, entonces losaiser´an llamadoscoordenadas
de P.
Sea A = k[x1, x2, . . . , xn] el anillo de polinomios en n variables sobre k.
Veremos a los elementos de A como funciones del n−espacio af´ın de k y definiendo f (P) = f (a1, a2, a3, . . . , an), f ∈ A y P ∈ An. Si f ∈ A es un
polinomio, podremos tomar el conjunto de ceros de f y lo denotaremos por: Z(f ) = { P ∈ An | f (P) = 0 }. En general si T es un subconjunto de A,
definiremos al conjunto de ceros deT como:
Z(T) = {P ∈An| f (P) = 0, para todo f ∈T }.
Es f´acil ver que si a es el ideal de A generado por T, entonces Z(T) = Z(a). Adem´as comoAes un anillo noetheriano, todo idealatiene un conjunto finito de generadores f1, f2, . . . , fr. As´ı, Z(T) puede ser expresado como los
ceros comunes de un conjunto finito de polinomios f1, f2, . . . , fr.
Definici´on 1.1 Un subconjunto Y de An es un conjunto algebraico si existe
Proposici´on 1.1 La uni´on de dos conjuntos algebraicos es un conjunto al-gebraico. La intersecci´on de cualquier familia de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. El conjunto vac´ıo y el total son conjuntos algebraicos.
Definici´on 1.2 Definimos la Topolog´ıa de Zariski en An tomando a los conjuntos abiertos como los complementos de los conjuntos algebraicos. Es f´acil ver que, por la proposici´on anterior, es una topolog´ıa.
Ejemplo 1.1 Consideremos la Topolog´ıa de Zariski en la recta af´ınA1.
Co-mo k[x] es un Dominio de Ideales Principales (DIP), luego todo ideal en A = k[x] es principal, lo que significa que cualquier conjunto algebraico al ser el conjunto de ceros de alg´un ideal, ser´a el conjunto de ceros de un ´
unico polinomio. Como pedimos que k fuera un campo algebraicamente ce-rrado, entonces cualquier polinomio se puede escribir de la siguiente manera:
f(x) =c(x−a1). . .(x−an)con c, a1, . . . , an∈k; lo que significa que Z(f) =
{a1, . . . , an}. As´ı los conjuntos algebraicos deA1 son solamente los conjuntos
finitos, el vac´ıo y el total, entonces los abiertos son los complementos de los conjuntos finitos, el vac´ıo y el total; dicha topolog´ıa es la topolog´ıa cofinita.
Definici´on 1.3 Un subconjunto Y no vac´ıo de un espacio topol´ogico X es irreducible si no puede ser expresado como la uni´on Y = Y1 ∪ Y2 de dos
subconjuntos propios, cada uno cerrado en Y. El vac´ıo no es considerado como irreducible.
Ejemplo 1.2 A1 es un conjunto irreducible, ya que sus ´unicos cerrados dis-tintos del total son finitos, luego no puede ser uni´on de dos cerrados ya que
k es un campo algebraicamente cerrado y por lo tanto es infinito.
Definici´on 1.4 Una variedad algebraica af´ın (o simplemente variedad af´ın) es un subconjunto cerrado e irreducible deAn (con la topolog´ıa inducida). Un
subconjunto abierto de una variedad af´ın es una variedad quasi-af´ın.
Ahora podemos explorar un poco m´as las relaciones entre subconjuntos de An e ideales en A. Para cualquier subconjunto Y ⊆
An definimos el ideal de Y enA por:
I(Y) = { f∈A | f(P) = 0 para todo P ∈Y}.
Ahora tenemos una funci´on Z la cual mapea subconjuntos de A en con-juntos algebraicos y una funci´on I la cual mapea subconjuntos de An en
Proposici´on 1.2
1. Si T1 ⊆T2 son subconjuntos de A, entonces Z(T2)⊆Z(T1).
2. Si Y1 ⊆Y2 son subconjuntos de An, entonces I(Y2)⊆I(Y1).
3. Para cualquiera dos subconjuntos Y1, Y2 ⊆ An se cumple que I(Y1 ∪
Y2) = I(Y1)∩I(Y2).
4. Para todo ideal a⊆A, I(Z(a)) = √a, donde √a es el radical de a. 5. Para todo subconjunto Y ⊆An, Z(I(Y)) = Y, cerrradura de Y.
Teorema 1 (de los ceros de Hilbert). Sea k un campo algebraicamente ce-rrado, sea a un ideal en A = K[x1, x2, . . . , xn] y sea f ∈ A un polinomio el
cual se anula en Z(a). Entonces fr ∈ a para algu´n entero r ≥ 1.
Corolario 1 Hay una correspondencia entre los conjuntos algebraicos de
An e ideales radicales de A (aquellos ideales que son iguales a sus propios
radicales) dado por Y 7→ I(Y) y a 7→ Z(a). Adem´as un conjunto algebraico en An es irreducible si y s´olo si su ideal asociado en A es un ideal primo.
Ejemplo 1.3 An es irreducible, ya que el ideal que le corresponde es el ideal
cero en A, el cual es primo.
Ejemplo 1.4 Sea f un polinomio irreducible en A = k[x, y], entonces el ideal generado por f es un ideal primo en A, luego como A es un dominio de factorizaci´on ´unica el conjunto de ceros Y =Z(f) es irreducible. A Y le llamaremos la curva af´ın defnida por f(x, y) = 0. Si f tiene grado d diremos que Y es una curva de grado d.
Ejemplo 1.5 Un ideal maximal m de A = k[x1, x2, . . . , xn] se corresponde
con un subconjunto cerrado minimal de An, dicho subconjunto solo puede
ser un punto P = (a1, . . . , an), ya que los puntos son los ´unicos conjuntos
cerrados que no contienen subconjuntos propios cerrados. Lo que significa que todo ideal maximal de A es de la forma: m = hx1−a1, . . . , xn−ani,
para algunos a1, . . . , an ∈k.
Definici´on 1.5 Si Y ⊆ An es un conjunto algebraico af´ın, definimos al
Notemos que siY es una variedad af´ın, entoncesI(Y) ser´a un ideal primo, por lo tanto A(Y) ser´a un dominio entero. Adem´as A(Y) es una k-´algebra finitamente generada. Rec´ıprocamente, toda k-´algebra finitamente generada B que sea un dominio, es el anillo af´ın de coordenadas de alguna variedad af´ın J. De hecho si B se puede escribir como el cociente de alg´un anillo de polinomios A=K[x1, x2, . . . , xn] y alg´un ideal primo a, entoncesJ =Z(a).
Definici´on 1.6 Un espacio topol´ogico X es llamado noetheriano si satis-face la condici´on de cadena descendente para subconjuntos cerrados: para cualquier suceci´on Y1 ⊇ Y2 ⊇ Y3. . . de subconjuntos cerrados, existe un
en-tero r tal que Yr =Yr+1 =Yr+2. . .
Ejemplo 1.6 An es espacio topol´ogico noetheriano. De hecho si Y
1 ⊇Y2 ⊇
Y3. . .es una cadena descendente de subconjuntos cerrados, entoncesI(Y1)⊆
I(Y2) ⊆ . . . es una cadena ascendente de ideales en A = k[x1, x2, . . . , xn].
Como A es noetheriano, entonces dicha cadena de ideales es estacionaria, pero para cada i, Yi = Z(I(Yi)), as´ı la cadena Yi tambi´en es estacionaria.
Proposici´on 1.3 En un espacio topol´ogico noetherianoX, todo subconjunto cerrado no vac´ıo Y puede ser expresado como uni´on finita Y =Y1∪. . .∩Yr
de subconjuntos cerrados irreduciblesYi. Si adem´as pedimos que Yi +Yj para
todo i 6=j, entonces los Yi est´an un´ıvocamente determinados y se llaman las
componentes irreducibles de Y.
Corolario 2 Todo conjunto algebraico en An se puede escribir de manera ´
unica como uni´on de variedades no contenidas unas en otras.
Definici´on 1.7 Si X es un espacio topol´ogico, definimos la dimensi´on deX
(que denotaremos pordim X) como el supremo de todos los enterosn tal que exista una cadena Z0 ⊂ Z1. . . ⊂ Zn de subconjuntos cerrados irreducibles
distintos de X. Definimos la dimensi´on de una variedad af´ın o quasi-af´ın como la dimensi´on de ´esta como espacio topol´ogico.
Ejemplo 1.7 La dimensi´on de A1 es 1, ya que los ´unicos subconjuntos ce-rrados e irreducibles son los conjuntos que constan ´unicamente de un punto y el total.
Definici´on 1.8 En un anillo A la altura de un ideal primo p es el supremo de todos los n tales que existe una cadena de ideales p0 ⊂ p1. . . ⊂ pn = p
de ideales primos distintos. Definimos la dimensi´on de Krull o simplemente dimensi´on de A como el supremo de todas las alturas de todos sus ideales primos.
Proposici´on 1.4 SiY es un conjunto algebraico af´ın, entonces la dimensi´on de Y es igual a la dimensi´on de su anillo af´ın de coordenadas A(Y).
Teorema 2 Sea k un campo y sea B un dominio entero el cual es finita-mente generado como una k-´algebra. Entonces:
La dimensi´on de B es igual al grado de trascendencia del campo de cocientes K(B) de B sobre k.
Para cualquier ideal primo p en B se tiene:
alturap+dim B/p=dim B.
Demostraci´on. Atiyah-Macdonald.
Proposici´on 1.5 La dimensi´on de An es n.
Proposici´on 1.6 SiY es una variedad quasi-af´ın, entoncesdim Y =dim Y
1.2.
Variedades Proyectivas
Para definir variedades proyectivas, procedemos de manera an´aloga a la definici´on de variedades afines, excepto que trabajamos en un espacio proyec-tivo.
Sea k un campo algebraicamente cerrado, definamos el n-espacio proyec-tivo Pn
k o simplemente Pn como el conjunto de clases de equivalencia de las
(n+ 1)−entradas de elementos de k no todos cero, bajo la siguiente relaci´on de equivalencia:
(a0, a1. . . , an)∼(λa0, λa1. . . , λan), para todo λ∈ k con λ6= 0.
Otra forma de ver al espacio proyectivo Pn a nivel de conjuntos es
con-siderandolo como el cociente de An+1−(0,0, . . . ,0) con la relaci´on de equi-valencia que identifica a cada punto con la recta que pasa por el origen y por ese punto. Un elemento P en Pn es llamado punto, luego el conjunto
de las (n + 1)−entradas que pertenecen a P son llamadas el conjunto de coordenadas homog´eneas de P.
SeaA el anillo de polinomiosk[x1. . . xn]. Queremos considerar a Acomo
un anillo graduado, por lo que recordamos brevemente la noci´on de anillo graduado
Un anillo S es anillo graduado, si se puede ver como suma directa de grupos abelianosSd, es decirS =
L
d≥0Sd, tal que para cualesquierad, e≥0
se tiene que Sd · Se ⊆ Sd+e. Un elemento de Sd es llamado un elemento
homog´eneo de grado d. De esta forma todo elemento de S puede ser escrito de una ´unica forma como suma de elementos homog´eneos.
Un ideal a⊆S es un ideal homog´eneo si a=L
d≥0(a∩ Sd). Recordemos
tambi´en algunos resultados de ideales homog´eneos: un ideal es homog´eneo si y s´olo si se puede generar por elementos homog´eneos. La suma, la intersecci´on, el producto y el radical de ideales homog´eneos es homog´eneo y por ´ultimo para saber si un ideal homog´eneo a es primo, es suficiente mostrar que para cualquiera dos elementos homog´eneos f y g tal que fg ∈a, entonces f ∈ao g ∈a.
Ahora tomemos aS =k[x0, x1, . . . , xn] y tomemos a Sdcomo el conjunto
de todas las combinaciones lineales de monomios en S de grado d. Si f es un polinomio de S, no podria definir una funci´on en Pn ya que no estar´ıa
bien definida, pero si f es un polinomio homog´eneo de grado d, entonces se tiene que f(λa0, λa1. . . , λan) = λdf(a0, a1. . . , an), lo que significa que si
f es cero en un punto, entonces ser´a cero en toda la clase de equivalencia. As´ıf dar´a una funci´on entre el espacioPn y el conjunto formado por el cero y el uno; dicha funci´on estar´a definida de la siguiente forma: f(P) = 0 si f(a0, a1. . . , an) = 0 y f(P) = 1 sif(a0, a1. . . , an)6= 0.
Ahora podremos hablar sobre los ceros de un polinomio homog´eneo, lla-madoZ(f) ={P ∈Pn|f(P) = 0}. SiT es cualquier conjunto de polinomios
homog´eneos de S, definiremos a los ceros de T por: Z(T) = {P ∈Pn|f(P) = 0, ∀f ∈T}.
Si a es un ideal homog´eneo de S, definimos Z(a) = Z(T), donde T es el conjunto de todos los elementos homog´eneos de a. Como S es un anillo noetheriano, cualquier conjunto de elementos homog´eneos T tiene un sub-conjunto finito f1, f2, . . . , fr, tal queZ(T) = Z(f1, f2, . . . , fr).
Definici´on 1.9 Un subconjunto Y de Pn es un conjunto algebraico si existe
un conjunto T de elementos homog´eneos de S, tal que Y =Z(T).
Proposici´on 1.7 La uni´on de dos conjuntos algebraicos es algebraico. La intersecci´on de cualquier familia de conjuntos algebraicos es algebraico. El conjunto vac´ıo y el espacio total son conjuntos algebraicos.
Definici´on 1.10 Se define la Topolog´ıa de Zariski en Pn tomando a los
abiertos como los complementos de los conjuntos algebraicos.
Ahora solamente ampliaremos las definiciones de irreducibilidad y de di-mensi´on que definimos en la secci´on anterior.
Definici´on 1.11 Una variedad algebraica proyectiva (o simplemente varie-dad proyectiva) es un conjunto algebraico irreducible en Pn, con la topolog´ıa inducida. Un subconjunto abierto de una variedad proyectiva es una variedad quasi-proyectiva. La dimensi´on de una variedad proyectiva o quasi-proyectiva es su dimensi´on como espacio topol´ogico.
SiY es cualquier subconjunto de Pn, definimos el ideal homog´eneo deY
en S, denotado porI(Y), como el ideal generado por:
{f∈S |f es homog´eneo y f(P) = 0, para todoP ∈Y}.
SiY es un conjunto algebraico, definimos al anillo homog´eneo de coordenadas de Y porS(Y) = S/I(Y).
Nuestro siguiente objetivo es mostrar que el espacioPntiene una cubierta
abierta de n-espacios afines y luego que cada variedad proyectiva tiene una cubierta abierta de variedades afines. Pero antes introduzcamos m´as notaci´on. Sif ∈S es un polinomio lineal homog´eneo, entonces el conjunto de ceros def es llamado un hiperplano. En particular denotamos al conjunto de ceros del polinomio xi por Hi, para i = 0, . . . , n. Sea Ui el conjunto abierto Pn−
Hi. Entonces Pn est´a cubierto por los conjuntos abiertos Ui, ya que si P =
(a0, a1, . . . , an) es un punto del n−espacio proyectivo, luego hay al menos
alg´unai 6= 0, luegoP ∈Ui. Definimos un mapeoϕi :Ui →An de la siguiente
manera: si P = (a0, a1, . . . , an) ∈ Ui, entonces ϕi(P) = Q, donde Q es el
punto con coordenadas afines:
a0 ai, . . . ,
an ai,
quitando la entrada ai
ai. Es f´acil ver que ϕi est´a bien definida ya que las coordenadas aj
ai son independientes de las coordenadas homog´eneas que escojamos.
Proposici´on 1.8 El mapeo ϕi es un homeomorfismo de Ui con la topolog´ıa
inducida hacia An con la topolog´ıa de Zariski.
Corolario 3 Si Y es una variedad proyectiva (quasi-proyectiva), entonces Y puede ser cubierta por conjuntos abiertos Y ∩Ui, i = 0, . . . , n, los cuales
son homeomorfos a variedades afines (quasi-afines), v´ıa el homeomorfismo
ϕi definido arriba.
1.3.
Morfismos
En est´a secci´on definiremos la noci´on de funci´on regular sobre una varie-dad, entonces definiremos un morfismo de variedades.
SeaY una variedad quasi-af´ın en An. Consideremos las funciones f deY
a k
Definici´on 1.12 Una funci´on f : Y → k es regular en un punto P ∈ Y
si exixte una vecindad abierta U con P ∈ U ⊆ Y y polinomios g, h ∈ A = k[x1, . . . , xn], tal que h(P) 6= 0 para todo punto P ∈ U y f = g/h en U.
(Aqu´ı por supuesto interpretamos a los polinomios como funciones sobre An,
por lo tanto sobre Y.) Decimos que f es regular sobre Y si es regular sobre todo punto de Y.
Lema 1 Una funci´on regular es continua, donde k esta identificado con A1
k
en su topolog´ıa de Zariski.
Ahora vamos a considerar una variedad quasi-proyectiva Y ⊆Pn.
Definici´on 1.13 Una funci´on f : Y → k es regular en el punto P ∈ Y
si existe una vecindad abierta U con P ∈ U ⊆ Y y polinomios homog´eneos
g, h ∈ S = k[x0, . . . , xn], del mismo grado, tales que h(P) 6= 0 para todo
punto P ∈U yf =g/hen U. Decimos quef es regular sobre Y si es regular en todo punto.
Observaci´on 1 Como en el caso af´ın, una funci´on regular es continua. Una importante consecuencia de esto es que si f y g son funciones regulares so-bre una variedad X y si f = g sobre alg´un subconjunto abierto no vac´ıo
U ⊆ X, entonces f = g en todas partes. Adem´as el conjunto de puntos donde (f −g)(P) = 0 es un conjunto cerrado y denso, por lo tanto igual a
X.
Ahora podemos definir la categoria de variedades.
Definici´on 1.14 Seakun campo algebraicamente cerrado. Una variedad so-brek (o simplemente variedad) es cualquier variedad af´ın, quasi-af´ın, proyec-tiva, o quasi-proyectiva como las hemos definido anteriormente. Si X, Y son dos variedades, un morfismo ϕ : X →Y es un mapeo continuo tal que para todo conjunto abierto V ⊆ Y y para toda funci´on regular f : V → k, la funci´on f ◦ϕ:ϕ−1(V)→k es regular.
Claramente la composici´on de dos morfismos es un morfismo. En parti-cular, tenemos la noci´on de isomorfismo: un isomorfismo ϕ :X →Y de dos variedades es un morfismo el cual admite un morfismo inversoψ :Y →X con ϕ◦ψ =idY y ψ◦ϕ =idX. Notemos que un isomorfismo es necesariamente
biyectivo y bicontinuo.
Ahora introducimos algunos anillos de funciones asociados con cualquier variedad.
Definici´on 1.15 Sea Y una variedad, denotamos por O(Y) al anillo de to-das las funciones regulares sobreY. SiP es un punto deY, definimos el anillo local de P sobreY, OP,Y (o simplemente OP) como el anillo de g´ermenes de
funciones regulares sobre Y. En otras palabras, un elemento de OP es el par
< U, f > donde U es un subconjunto abierto de Y que contiene a P y f es una funci´on regular sobre U. El germen se define con la siguiente relaci´on
< U, f >∼< V, g > si y s´olo si f =g sobre U ∩V.
Notemos que OP es de hecho un anillo local, donde su ideal maximal m
es el conjunto de los g´ermenes de las funciones regulares que se anulan en P. Pues si f(P) 6= 0, entonces 1/f es regular en alguna vecindad de P. El campo residual OP/m es isomorfo a k.
Definici´on 1.16 Los g´ermenes forman el campo K(Y), llamado campo de funciones racionales y sus elementos son llamados funciones racionales sobre
Y.
Nuestra pr´oxima tarea consiste en relacionarO(Y),Oy K(Y) con el ani-llo coordenado A(Y) de una variedad af´ın y el anillo coordenado homog´eneo S(Y) de una variedad proyectiva.
Teorema 3 Sea Y ⊆An una variedad af´ın con anillo af´ın coordenadoA(Y)
entonces:
(a) O(Y)∼=A(Y);
(b) Para cada punto P ∈ Y, sea mP ⊆ A(Y) el ideal de funciones que se
anulan en P. Entonces P 7→ mP da una correspondencia uno a uno, entre
los puntos de Y y los ideales maximales de A(Y); (c) Para cadaP, OP ∼=A(Y)mP y dim OP =dim Y
(d) K(Y) es isomorfo al campo cociente de A(Y).
Antes de dar nuestro siguiente resultado, introducimos algo de notaci´on. Si S es un anillo graduado y p un ideal primo homog´eneo en S, entonces denotamos porS(p) al subanillo de elementos de grado cero en la localizaci´on
de S con respecto a el subconjunto multiplicativamente cerrado T que con-siste de los elementos homog´eneos deS que no est´a enp. Notemos que T−1S
tiene una graduaci´on natural dada por deg(f /g) = deg f −deg g para f elemento homog´eneo de S y g ∈T. S(p) es un anillo local, con ideal maximal
(p·T−1S)∩S
(p). En particular, si S es un dominio, entonces para p= (0) se
obtiene un campo S(0). Similarmente, si f ∈ S es un elemento homog´eneo,
denotamos porS(f)el subanillo de elementos de grado 0 en el anillo localizado
Sf.
Teorema 4 Sea Y ⊆Pn una variedad proyectiva con anillo coordenado
ho-mog´eneo S(Y) entonces: (a) O(Y) = k;
(b) para cualquier punto P ∈ Y, sea mP ⊆ S(Y) el ideal generado por el
conjunto homog´eneo f ∈S(Y) tal que f(P) = 0. Entonces OP =S(Y)(mP);
Teorema 5 Si X y Y son variedades afines, entonces X es isomorfo a Y
Esquemas
2.1.
Gavillas
El concepto de gavilla proporciona una manera sistem´atica de conocer propiedades locales de un espacio topol´ogico. Por ejemplo, las funciones re-gulares en subconjuntos abiertos de una variedad, forman una gavilla, como veremos m´as adelante. Las gavillas son esenciales en el estudio de esquemas, de hecho no podemos definir un esquema sin tener presente el concepto de gavilla.
Definici´on 2.1 Sea X un espacio topol´ogico. Una pregavilla F de grupos abelianos en X consiste de
(a) Para todo subconjunto abierto U ⊆X le corresponde un grupo abeliano F(U) y
(b) para toda inclusi´on V ⊆U de subconjuntos abiertos de X, un morfismo de grupos abelianos ρU V :F(U)→ F(V).
Sujeto a las siguientes condiciones; (0) F(∅) = 0, donde ∅ es el conjuto vac´ıo. (1) ρU U es el mapeo identidad F(U)→ F(U) y
(2) si W ⊆V ⊆ U son tres subconjuntos abiertos, entonces ρU V =ρV W ◦
ρU V.
Si F es una pregavilla en X, nos referiremos a F(U) como las secciones de la pregavilla F sobre el conjunto abierto U y algunas veces usaremos
la notaci´on Γ(U,F) para denotar el grupo F(U). Llamamos a los mapeos ρU V mapeos restricci´on y algunas veces escribiremoss|V en vez deρU V(s), si
s ∈ F(U).
Una gavilla simplemente hablando es una pregavilla cuyas secciones est´an determinadas por condiciones locales. Para precisar esto damos la siguiente definici´on:
Definici´on 2.2 Una pregavillaF en un espacio topol´ogicoX es una gavilla si adem´as cumple las siguientes condiciones:
(3) SiU es un conjunto abierto, {Vi}una cubierta abierta de U ys∈ F(U)
es un elemento tal que s|Vi= 0 para todai, entonces s = 0.
(4) Si U es un conjunto abierto, {Vi} es una cubierta abierta de U y
tenemos elementos si ∈ F(Vi) para cada i, con la propiedad de que para
cada i, j, si|viTvj = sj|viTvj, entonces existe un elemento s ∈ F(U) tal que s|Vi =si para cada i.
Notemos que la condici´on (3) implica que el elemento s es ´unico.
Ejemplo 2.1 Sea X un espacio topol´ogico y sea A un grupo abeliano no trivial, definimos a F como F(U) = A para todo subconjunto abierto U
de X y F(∅) = 0. Entonces F es pregavilla ya que cumple que para todo
V ⊆ U abierto F(V) = A y el mapeo restrici´on ρU V : F(U) −→ F(V) es
Id : A −→ A. La pregavilla F se llama pregavilla constante. En general la
pregavilla constante no es una gavilla, por ejemplo, si X es la uni´on disjunta de dos conjuntos abiertos no vac´ıos, la condici´on (4) de gavilla no se cumple.
Ejemplo 2.2 Sea X una variedad sobre el campo k. Para cada conjunto abierto de U ⊆ X, sea O(U) el anillo de funciones regulares de U a k y para cada V ⊆ U, sea ρU V : O(U) −→ O(V) el mapeo restricci´on en el
sentido usual. Entonces O es una gavilla de anillos en X. Es claro que es una pregavilla de anillos, para verificar las condiciones (3) y (4),notemos que una funci´on que es localmente 0 es la funci´on 0 y una funci´on la cual es localmente regular es regular, por la definici´on de funci´on regular. Llamamos O a la gavilla de funciones regulares en X.
Ejemplo 2.3 Si F y G son pregavillas sobre X, la pregavilla suma directa se define como
(FL
G)(U) = F(U)L
G(U).
Si U, V son subconjuntos abiertos deX tales que V ⊆U el morfismo restric-ci´on est´a dado por
ρU V :F(U) L G(U)−→ F(V)L G(V) ρU V(f, g) = (f |V, g |V) paraf ∈ F y g ∈ G. Es claro que FL
G es pregavilla, si adem´as F y G son gavillas entonces
FLG
tambi´en sera gavilla,la condici´on (3) de la definici´on 1.2 es f´acil de demostrar, veamos que cumple (4); en efecto, sea U ⊆ X y sea S
α∈IUα
una cubierta abierta para U, denotamos por sα = (fα, gα) a los elementos de
F(Uα)LG(Uα)para todo α ∈I. Si Sα =Sβ entonces (fα |UαTUβ, gα |UαTUβ ) = (fβ |UαTUβ, gβ |UαTUβ), de donde se sigue que fα |UαTUβ= fβ |UαTUβ
como F es gavilla existe un ´unico elemeto f ∈ F(U) tal que f |Uα=fα para
todo α ∈I, an´alogamente existe un ´unico elemento g ∈ G(U) tal que g |Uα= gα para todo α ∈ I. Luego s = (f, g) es el ´unico elemento de F(U)
L
G(U)
que cumple s|Uα=sα.
Por lo tanto FLG
es gavilla.
Podemos tener casos de pregavillas que no son gavillas como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.4 SeaRel conjunto de los n´umeros reales, dotado con la topolog´ıa usual y definimos para todo subconjunto abierto ude R, al conjuntoB(u) co-mo:
B(u) = {f :u→R|f es continua y acotada}
Se puede demostrar f´acilmente que B(u) es anillo y que es pregavilla con el morfismo restricci´on, as´ı el par(R,B(u)) es una pregavilla de anillos.
Ahora veamos que (R,B(u)) no es gavilla, para tal efecto construimos una cubierta abierta {ui}paraR es decirR=∪∞i=1ui donde cada ui se define
como:
ui ={x∈R| |x|< i}.
Para cada ui definimos a fi la funci´on identidad de ui a los n´umeros reales,
fi :ui →R
x→x
fi as´ı definida es continua y acotada por lo que fi ∈ B(ui) para todo i.
Podemos suponer sin perdida de generalidad que i < j por lo queui∩uj =ui,
de donde se sigue que
fj |uj∩ui=fj |ui=fi y que fi |uj∩ui=fi |ui=fi,
as´ıfj |uj∩ui v =fi |uj∩ui para todo i < j.
Si (R,B(u)) fuese gavilla deber´ıa existir f ∈ B(R) tal que f |ui=fi para
todoipero la ´unica manera de que esto pase es quef sea la funci´on identidad, la cual es continua pero no acotada por lo que f /∈ B(R). Por lo tanto no existe una f ∈ B(R)que cumpla la propiedad (4) de la definici´on de gavilla y as´ı(R,B(u)) no es gavilla.
Definici´on 2.3 Si F es una pregavilla en X y si P es un punto de X, definimos los tallos FP de F en P, como el l´ımite directo de los grupos
F(U) para todos los conjuntos abiertos que contienen a P, via los mapeos restricci´on ρ.
As´ı un elemento deFP est´a representado por el par< U, s >, donde U es
una vecindad abierta de P y ses un elemento deF(U). Dos parejas < U, s > y < V, t > definen el mismo elemento de FP si y s´olo si existe una vecindad
abierta W deP con W ⊆V T
U, tal que s|W =t|W. As´ı podemos hablar de
elementos del tallo FP como g´ermenes de secciones de F en el punto P. En
el caso de una variedad X y su gavilla de funciones regularesO, el tallo OP
en el punto P es s´olo el anillo local deP enX.
Observaci´on 2 En FP definimos la operaci´on
< U, s >+< V, t >=< U ∩V, s|U∩V +t|U∩V>.
Esta operaci´on no depende del representante ya que si< U1, s1 >=< U2, s2 >
entonces existeW1 abierto tal queP ∈W1 ⊆U1∩U2 y tal que las restriciones
s1 |W1=s2 |W1, de donde se sigue que
De manera an´aloga si < V1, t1 >=< V2, t2 > entonces existe W2 abierto tal
que P ∈ W2 ⊆ V1∩V2 y tal que las restriciones t1 |W2= t2 |W2 de donde se
sigue < V1, t1 >=< W2, t1 >=< W2, t2 >=< V2, t2 >, as´ı < U1 ∩V1, s1 |U1∩V1 +t1 |U1∩V1>=< U1, s1 >+< V1, t1 >= =< W1, s1 >+< W2, t1 >=< W1, s2 >+< W2, t2 >= =< U2, s2 >+< V2, t2 >=< U2∩V2, s2 |U2∩V2 +t2 |U2∩V2>.
El cero de FP es < X,0X > donde 0X es el cero del grupo abeliano
F(X),por la propiedad (3) de la definici´on de gavilla se sigue que
< X,0X >=< U,0U >.
Para todo subconjuntoU abierto deX, adem´as se puede demostrar f´acilmente que el inverso de < U, s > es < U,−s >, por lo tanto FP es grupo.
Definici´on 2.4 Si F y G son pregavillas sobre X, un morfismo ϕ:F → G consiste de un morfismo de grupos abelianos ϕ(U) :F(U)→ G(U) para cada conjunto abierto U y tal que si V ⊂U, el diagrama
F(U) G(U) F(V) G(V) -ϕ(U) ? ρU V ? ρ0U V -ϕ(V)
es conmutativo, donde ρ y ρ0 son los mapeos restricci´on en F yG. Si F yG son gavillas en X, usamos la misma definici´on para un morfismo de gavillas. Un isomorfismo de gavillas es un morfismo en el cual ambos lados tienen inverso.
Notemos que un morfismoϕ:F → G de pregavillas enXinduce un morfismo ϕP : FP → GP en los tallos, para cualquier punto P ∈ X. La siguiente
proposici´on (la cual podr´ıa no ser cierta para pregavillas) ilustra la naturaleza local de una gavilla.
Proposici´on 2.1 Sea ϕ : F → G un morfismo de gavillas en un espacio topol´ogico X. Entonces ϕ es un isomorfismo si y s´olo si el mapeo inducido en el tallo ϕP :FP → GP es un isomorfismo para todo P ∈X.
Demostraci´on. Siϕ:F → G es un isomorfismo entonces existeψ :G → F
tal que para todoU subconjunto abierto de X tal queψ(U)◦ϕ(U) =IF(U).
Sea P ∈ U y sean ϕP,ψP los morfismos inducidos en los tallos por ϕ y ψ
respectivamente, veamos que ψP ◦ϕP = IFP es decir ψP ◦ϕP : FP → FP. Para ello sea < U, s > un elemento de FP, entonces ψP ◦ϕP(< U, s >) =
ψP(< U, ϕ(U)(s)>) =< U, ψ(U)ϕ(U)(s)>=< U, s > as´ıψP◦ϕP =IFP de manera an´aloga se tendr´ıa queϕP◦ψP =IGP, por lo tanto ϕP es isomorfismo para todo P ∈X.
Ahora, suponemos que los ϕP son isomorfismos para todo P ∈ X,
mos-tremos que ϕ es un isomorfismo, para ello ser´a suficiente mostrar que ϕ(U) :
F(U) → G(U) es un isomorfismo para todo U, porque entonces podremos definir un morfismo inverso ψ como ψ(U) = ϕ(U)−1 para cada U. Primero
mostremos que ϕ(U) es inyectivo. Sea s ∈ F(U) tal que ϕ(U)(s) = 0 ∈ G(U), entonces para todo punto P ∈ U, ϕ(< U, s >) =< U, ϕ(U)(s) >=< U,0G(U) >= 0 ∈ GP,(donde 0G(U) es el cero de G(U)), es decir la imagen de
ϕP(< U, s >) de ϕ(U)(s) es 0 en el tallo GP. Como ϕP es inyectivo para
cada punto P se sigue que < U, s >=< U,0F(U) >= 0 ∈ FP para cada
P ∈ U. Lo cual significa que existe una vecindad abierta WP de P tal que
s |WP= 0. ComoU est´a cubierto por las vecindades WP de todos sus puntos. Se sigue de la propiedad (3) de gavilla ques = 0 enF(U), por lo tantoϕ(U) es inyectivo.
Lo siguiente es mostrar que ϕ(U) es suprayectivo, si t ∈ G(U) entonces para cada P ∈ U, tenemos que tP =< U, t >∈ GP, como ϕP es
suprayec-tivo existe sP ∈ FP tal que ϕP(sP) = tP para cada P ∈ U. Adem´as sP
est´a representado por una secci´on s(P) en una vecindad abierta VP de P,
es decir sP =< VP, s(P) > entonces tP = ϕP(sP) = ϕ(< VP, s(P) >
) =< Vp, ϕ(VP)(s(P)) >=< U, t > como los g´ermenes son iguales, existe
WP ⊆VP∩U tal queϕ(s(P))|WP=t |WP, y comoϕ es morfismo, el siguiente diagrama es conmutativo:
F(VP) G(VP) F(WP) G(WP) -ϕ(VP) ? ρ0VP WP ? ρ0VP WP -ϕ(WP)
de donde seguimos que ϕ(WP)(s(P) |WP) = ϕ(VP)(s(P)) |WP, por lo que podemos suponer que WP =VP entoncesϕ(s(P)) =t|VP enG(VP). LuegoU est´a cubierto por los conjuntos abiertosVP y en cadaVP tenemos una secci´on
s(P) ∈ F(VP). Si P, Q son dos puntos, entonces veamos que s(P)|VP∩WP y s(Q) |VP∩WP son dos secciones de F(VP ∩VQ) que son enviadas a t |VP∩WP medianteϕ. En efecto comoϕ es morfismo entonces el siguiente diagrama es conmutativo F(VP) G(VP) F(VP ∩V Q) G(VP ∩V Q) -ϕ(VP) ? ρVP ,VP∩V Q ? ρ0 VP ,VP∩VQ -ϕ(VP∩V Q) Si tomamos a s(P)∈ F(VP) entonces s(P) ϕ(VP)(s(P)) s(P)|VP∩VQ ϕ(VP ∩VQ)(s(P)|VP∩VQ) = ϕ(VP)(s(P))|VP∩VQ -ϕ(VP) ? ρVP ,VP∩V Q ? ρ0 VP ,VP∩VQ -ϕ(VP∩V Q) As´ı ϕ(VP ∩VQ)(s(P)|VP∩VQ) = ϕ(VP)(s(P))|VP∩VQ=t |VP∩VQ.
De manera an´aloga tenemos
ϕ(VP ∩VQ)(s(Q)|VP∩VQ) = ϕ(VQ)(s(Q))|VP∩VQ=t |VP∩VQ.
como ϕes inyectivo entonces se tiene ques(P)|VP∩WP=s(Q)|VP∩WP, entonces por la propiedad (4) de gavilla, existe una secci´on s ∈ F(U) tal que s |VP= s(P) para cada P.
Finalmente tenemos que mostrar que ϕ(U)(s(P)) = t, pero esto es f´acil ya queϕ(s), tson dos secciones deG(U), para cadaP,ϕ(s)|VP=t|VP y aplicando la propiedad (3) de gavilla a ϕ(S)−t, concluimos que ϕ(s) =t.
Definici´on 2.5 Sea ϕ : F → G un morfismo de pregavillas. Definimos la pregavilla kernel de ϕ como U 7→kernel(ϕ)(U) = kernel(ϕ(U)).
Observaci´on 3 Notemos que si ϕ : F → G es un morfismo de gavillas, entonces la pregavilla kernel de ϕ es una gavilla, para demostrar esto sean U
y V subconjuntos abiertos tales que V ⊆U y sea s ∈kernel(ϕ(U)), como ϕ
es morfismo tenemos el siguiente diagrama
s∈ F(U) 0∈ G(U) s|V∈ F(V) 0∈ G(V) -ϕ(U) ? ρU V ? ρ0U V -ϕ(V)
de donde se sigue que s |V= 0 as´ı s |V ∈ kernel(ϕ(V)). Ahora, sea {Uα}
una cubierta abierta de U es decir U = S
Uα y sean sα ∈ kernel(ϕ(Uα)),
del diagrama anterior tambi´en se sigue que sα |Uα∩Uβ = sβ|Uα∩Uβ para todo α, β y como F es gavilla existe s ∈ F(U) tal que s |Uα= sα. Basta ver que s ∈kernelϕ(U) pero esto se sigue del siguiente diagrama
s ϕ(U)(s) s|Uα=sα 0 =ϕ(U)(s)|Uα -ϕ(U) ? ? -ϕ(Uα)
Ya queϕ(Uα)(sα) = 0 =ϕ(U)(s)|Uα se sigue queϕ(U)(s)|Uα= 0∈ G(U) para
todo α, pero como G es gavilla, se sigue de la propiedad (3) de gavilla que
ϕ(U)(s) = 0, por lo ques∈kernelϕ(U) y por lo tanto la pregavillakernel ϕ
es una gavilla.
De la misma forma definimos, la pregavilla cokernel de ϕ y pregavilla imagendeϕa las preavillas dadas porU 7→cokernel(ϕ)(U) = cokernel(ϕ(U)) y U 7→im(ϕ)(U) = im(ϕ(U)) respectivamente.
En general la pregavilla cokernel y la pregavilla imagen de ϕ no son gavillas. Esto nos lleva a la noci´on de gavilla asociada a una pregavilla. Proposici´on 2.2 Definici´on.Dada una pregavillaF,existe una gavillaF+
y un morfismo θ : F → F+, con la propiedad tal que para cualquier gavilla
G y cualquier morfismo ϕ : F → G, existe un ´unico morfismo ψ : F+ → G
tal que ϕ=ψ◦θ. F F+ G -θ H H H H H H H H j ϕ ? ψ
Adem´as el par (F+, θ) es ´unico salvo isomorfismos. F+ es llamada la
gavilla asociada a la pregavilla F.
Demostraci´on.Primero mostramos la unicidad deF+. SiF+
1 es otra gavilla
con la misma propiedad tendriamos que
F F+ 1 F+ -θ0 H H H H H H H H j θ ? ψ0
De donde obtenemos queψ0◦θ0 =θ. De manera an´aloga tenemos queψ◦θ= θ0. F F+ F+ 1 -θ H H H H H H H H j θ0 ? ψ
Luego ψ0 ◦ψ ◦θ = θ y ψ◦ψ0 ◦θ0 = θ0 por lo que ψ ◦ψ0 = IF+
1 y de igual manera ψ0◦ψ =IF+, por lo tanto ψ es un isomorfismo de F+ a F1+.
Ahora construimos la gavilla F+ como sigue: para cualquier conjunto
abiertoU, seaF+(U) el conjunto de las funcionessdeU a la uni´onS
P∈UFP
de los tallos de F sobre los puntos de U, tal que
(1) para cada P ∈U, s(P)∈ FP y
(2) existe una cubierta abierta {Uα} de U y elementos sα ∈ F(Uα) tales
que s(P) = (sα)P para todo P ∈Uα donde (sα)P =< Uα, sα > es el germen
y P ∈X.
Se puede verificar queF+ con la restricci´on natural de los mapeos es una
pregavilla, veamos queF+es gavilla. En efecto, seaU un subconjunto abierto
deX, {Vα}una cubierta abierta deU y supongamos que sα|Vα∩Vβ=sβ|Vα∩Vβ para sα∈ F(Vα) y sβ ∈ F(Vβ), si {Vαi} es una cubierta abierta para Vα con
elementossαi ∈ F(Vαi) entonces, por la propiedad (2) de la gavilla asociada,
tenemos quesα(P) = (sαi)P para todoP ∈Vαi y de manera an´aloga si{Vβi}
es una cubierta abierta para Vβ entonces sβ(P) = (sβi)P para todo P ∈Vβi,
luego para todo P ∈Vα∩Vβ tenemos que
sα(P) = (sαi)P = (sβi)P =sβ(P).
Ahora sean (sαi)P =< Vαi, sαi > y (sβi)P =< Vβi, sβi >, como (sαi)P =
(sβi)P existe Vαβ tal que < Vαβ, sαi >=< Vαβ, sβi > y como U = ∪α∪i Vαi
entonces tenemos que sαi ∈ F(U), adem´as notemos que
sαi |Vα=< Vα, sαi >=< Vαβ, sαi >=< Vα, sα >=sα y que
sαi |Vβ=< Vβ, sαi >=< Vαβ, sαi >=< Vαβ, sβi >=< Vβ, sβ >=sβ por lo tanto sαi |Vα=sα y sαi |Vβ=sβ. As´ıF
+ es gavilla.
Notemos tambi´en que si F fuera una gavilla, entonces F+ es isomorfa a F
por medio de θ.
En algunas aplicaciones a esquemas, encontraremos situaciones donde se nos da una base B para los conjuntos abiertos de un espacio topol´ogico X y queremos encontrar una gavilla F con s´olo conocer a los gruposF(U) y a los morfismos restricci´on de los conjuntos abiertos pertenecientes a la base. En la siguiente observaci´on mostraremos la forma de hacerlo.
Observaci´on 4 Sea B una base de subconjuntos abiertos en X. Podemos definir una B-pregavilla y una B-gavilla reemplazando a los subconjuntos abiertos U de X por subconjuntos abiertos U pertenecientes a B’ en las definiciones de pregavilla y gavilla respectivamente. Entonces toda B-gavilla F0 se puede extender de manera ´unica (salvo isomorfismos) a una gavillaF
en X. Es m´as, para cualquier subconjunto abierto U de X, podemos escribir a U como una uni´on de conjuntos abiertos Ui ∈ B en cuyo caso F(U) es el
conjunto de elementos (si)i ∈
Q
iF0(Ui) tales que si |Ui∩Uj =sj |Ui∩Uj.
En otras palabras una gavilla esta completamente determinada por sus sec-ciones sobre una base de conjuntos abiertos.
SeaU={Ui}, una familia de subconjuntos abiertos deX, sea U =∪iUi y
Uij =Ui∩Uj, para cualquier pregavillaF enX tenemos la siguiente sucesi´on
exacta 0→ F(U)−−→d0 Y i F(Ui) d1 −−→Y i,j F(Ui,j)
definida por d0 :s7→(s|Ui)i yd1 : (si)i 7→(si |Uij −sj |Uij)i,j, notemos que la
inyectividad de d0 es equivalente a pedir la condici´on (3) de gavilla, mientras
que la igualdad ker d1 =Im d0 es equivalente a la condici´on (4).
Definici´on 2.6 Una subgavilla de una gavilla F es una gavilla F0 tal que
para cualquier conjunto abierto U ⊆ X, F0(U) es un subgrupo de F(U),
donde los mapeos restricci´on de la gavilla F0 estan inducidos por aquellos de
F, adem´as resulta que para cualquier punto P, el tallo F0
P es un subgrupo de
FP.
Si ϕ : F → G es un morfismo de gavillas, definimos el kernel de ϕ, denotado por ker ϕ como la pregavilla kernel de ϕ (la cual es una gavilla), por lo tanto kerϕes una subgavilla de F.
Decimos que un morfismo de gavillasϕ:F → G es inyectivo sikerϕ= 0, por lo que ϕes inyectiva si y s´olo si el mapeo inducidoϕ(U) :F(U)→ G(U) es inyectivo para cada conjunto abierto de X.
Siϕ : F → G es un morfismo de gavillas, definimos la gavilla imagen de ϕ, denotada por im ϕ como la gavilla asociada a la pregavilla imagen de ϕ. Por la propiedad universal de la gavilla asociada a una pregavilla, existe un mapeo natural im ϕ → G, de hecho este mapeo es inyectivo y por lo tanto im ϕ puede ser identificada con una subgavilla de G.
Decimos que un morfismo ϕ : F → G de gavillas es suprayectivo si im ϕ=G.
Decimos que una sucesi´on . . .Fi−1 −−−−→ Fϕi−1 i −−→ Fϕi i+1 →. . . de
gavi-llas y morfismos es exacta si en cada etapa ker ϕi = im ϕi−1, por lo tanto una sucesi´on 0→ F −→ Gϕ es exacta si y s´olo si ϕes inyectiva yF −→ G →ϕ 0 es exacta si y s´olo si ϕ es suprayectiva.
SeaF0 una subgavilla de la gavillaF. Definimos la gavilla cocienteF/F0
como la gavilla asociada a la pregavilla U → F(U)/F0(U), de donde se sigue
que para cualquier punto P, el tallo (F/F0)
P es el cociente FP/FP0.
Si ϕ : F → G es un morfismo de gavillas, definimos el cokernel de ϕ denotado como coker ϕ, como la gavilla asociada a la pregavilla cokernel de ϕ.
Observaci´on 5 Decimos que un morfismoF → G de gavillas es inyectivo si y s´olo si los mapeos sobre las secciones ϕ(U) :F(U) → G(U) son inyectivos para cada U. El correspondiente enunciado para morfismos suprayectivos no es verdad,
si ϕ:F → G es suprayectivo, los mapeos ϕ(U) :F(U)→ G(U) sobre las secciones no necesariamente son suprayectivos. Sin embargo, podemos decir que ϕ es suprayectivo si y s´olo si los mapeos ϕP : FP → GP en los tallos
son suprayectivos para cada P. M´as generalmente, una sucesi´on de gavillas y morfismos es exacta si y s´olo si es exacta en los tallos. Esto de nuevo ilustra la naturaleza local de las gavillas.
Hasta ahora s´olo hemos hablado de gavillas sobre un espacio topol´ogico, ahora definimos algunas operaciones sobre gavillas, asociadas con mapeos continuos de un espacio topol´ogico a otro.
Definici´on 2.7 Sea f :X →Y un mapeo continuo de espacios topol´ogicos. Para cualquier gavilla F en X definimos la gavilla imagen directa f∗F sobre
Y por (f∗)(V) = F(f−1(V)) para cualquier conjunto abierto V ⊆ Y. Para
cualquier gavilla G en Y, definimos la gavilla imagen inversa f−1G en X
como la gavilla asociada a la pregavilla U 7−→ limV⊇f(U)G(V), donde U
es cualquier conjunto abierto en X y el l´ımite esta tomado sobre todos los conjuntos abiertosV deY que contienen af(U). No debemos confundirf−1G
con la gavilla f∗G la cual ser´a definida despu´es para un morfismo de espacios anillados.
Definici´on 2.8 SiZ es un subconjunto deX, considerado como un subespa-cio topol´ogico con la topolog´ıa inducida, si i: Z → X es el mapeo inclusi´on y si F es una gavilla en X, entonces llamamos i−1F a la restricci´on de F a Z que a menudo se denota por F |Z. Notemos que el tallo de F |Z en un
punto P ∈Z es s´olo FP.
2.2.
Esquemas
En esta secci´on definiremos la noci´on de esquema. Para este prop´osito primero definiremos lo que son los esquemas afines de cualquier anillo A, los cuales tienen asociado un espacio topol´ogico junto con una gavilla de anillos llamado spec A.
Ahora construiremos el espaciospec A asociado al anillo A Definimos el spec A como el conjunto de todos los ideales primos de A. Si a es un ideal deA, definimos el subconjunto V(a)⊆spec A como el conjunto de todos los ideales primos que contienen a a.
Lema 2 (a) Sia yb son dos ideales deA, entoncesV(ab) =V(a)S
V(b). (b) Si {ai} es una colecci´on de ideales de A, entonces V(Pai) =TV(ai).
(c) Si a y b son dos ideales, entoncesV(a)⊆V(b) si y s´olo si √a⊇√b.
Demostraci´on.
(a) Si p∈V(I)S
V(J) entonces I ⊆ p ´o J ⊆p, si I ⊆p entonces IJ ⊆p
ya que IJ ⊆I, por lo tanto p ∈V(IJ). Ahora si IJ ⊆ p y I 6⊆p, elegimos x ∈I tal que x6∈p. Si y ∈J entonces xy ∈IJ ⊆ p luego y∈ p ya que p es ideal primo, as´ıJ ⊆ppor lo tanto p∈V(J).
(b) Si p ∈ T
V(Iα) entonces Iα ⊆ p para todo α, luego PIα ⊆ p por lo
tanto p∈V(P Iα). Ahora si p∈V( P Iα) entonces Iα ⊆p pues Iα ⊆ P Iα,
luego p∈V(Iα) para todo α por lo tantop∈
T
V(Iα) para todo α.
(c) El radical deaes la intersecci´on de todos los ideales primos que contienen a a. As´ı√a⊇√b si y s´olo si V(a)⊆V(b).
Ahora definimos una topolog´ıa en spec A tomando a los subconjuntos de la forma V(a) como los subconjuntos cerrados. Notemos que V(A) = ∅;
V((0)) = spec A; y el lema muestra que uniones finitas e intersecciones ar-bitrarias de conjuntos de la forma V(a) son de nuevo de la misma forma. As´ı los conjuntos cerrados V(a) forman una topolog´ıa para spec A.
Lo siguiente es definir una gavilla de anillos O en el Spec A. Para cada ideal primop⊆A, seaAp la localizaci´on deAenp. Para un conjunto abierto
U definimos O(U) como el conjunto de las funciones s : U → `
p∈UAp, tal
ques(p)∈Ap para cadapy tal queses localmente un cociente de elementos
deA para ser precisos, requerimos que para cadap∈U exista una vecindad V dep contenida enU y elementos a, f ∈A, tal que para cada q∈V, f 6∈q
y s(q) = a/f en Aq.
Proposici´on 2.3 O es una gavilla de anillos.
Demostraci´on. Primero supongamos que s, t ∈ O(U). Definimos la suma como (s+t)(p) = s(p) +t(p) y el producto como (st)(p) = (s)(p)t(p). Por como definimos aO existenV yV0 vencindades abiertas depcontenidas enU tales ques(q) = af ∈Rq para todoq ∈V yt(q) = a
0
f0 ∈Rqpara todoq∈ V0,
luego (s+t)(q) = s(q) +t(q) = aff f0+a00f enRq y (st)(q) = s(q)t(q) = aa
0
f f0 enRq
para todo q∈ V ∩V0. As´ıO(U) es subanillo de O, adem´as O es pregavilla con el mapeo restricci´on usual.
Veamos ahora que O cumple las propiedades de gavilla, para tal prop´osito sea U subconjunto abierto de spec(R), {Uα} una cubierta abierta de U y
sean sα ∈ Oα para todo α, tales que sα |Uα∩Uβ= sβ |Uα∩Uβ para todo α, β. Si p∈ U, elegimos α tal que p∈Uα y por como O est´a definida, existe una
vecindad V contenida en Uα∩Uβ y elementos a, f ∈R tales que sα(q) = af
en Rq para todoq∈V. Entonces s(q) = fa para todoq∈V, as´ıs ∈ O(U) y
s |Uα=sα para todo α. Por lo tanto O cumple la propiedad (4) de gavilla. Ahora si s ∈ O(U) tal que s |U α= 0 para toda α, entonces s(q) = 0 en Rq
para todo qen Uα, pero esto s´olo es posible si s= 0, por lo tanto se cumple
la propiedad (3) de gavilla.
De lo anterior podemos concluir que O es una gavilla de anillos.
Definici´on 2.9 Sea A un anillo. El espectro de A es el par que consiste de el espacio topol´ogico spec A junto con la gavilla de anillos O definida anteriormente.
Vamos a establecer algunas propiedades b´asicas de la gavilla O sobre Spec A. Para cualquier elemento f ∈ A, denotamos por D(f) = {p ∈
Spec A |f /∈p}al conjunto abierto que es complemento deV((f)). Notemos que los conjuntos abiertos de la formaD(f) forman una base para la topolog´ıa del Spec A. Es m´as, si V(a) es un conjunto cerrado y p 6∈ V(a), entonces
p+a tal que hay una f ∈a, f 6∈p. Entonces p∈D(f) yD(f)T
V(a) =∅. Lema 3 Sea {fα |α∈Λ} un conjunto de elementos de A. Entonces
Spec A =S
α∈ΛD(fα)
si y s´olo si 1∈ ({fα}),es decir si y s´olo si 1 pertenece al ideal generado por
los fα.
Demostraci´on.ComoS
αD(fα) =Spec (A)\
T
αV((fα)), la proposici´on
es esquivalente a probar que T
αV((fα)) = ∅ si y s´olo si 1 ∈ ({fα}) por el
lema 2, T
αV(fα) = V(({fα})) el cual es vac´ıo si y s´olo si 1 ∈ ({fα}), que
era lo que queriamos demostrar.
Observaci´on 6 Notemos que el lema 3, nos dice que si 1 ∈ (fα1, . . . , fαn)
para alg´un n fijo entonces el Spec A es quasi-compacto.
Proposici´on 2.4 Sea A un anillo y sea (Spec A,O) su espectro.
(a) Para cualquier p ∈ Spec A, el tallo Op de la gavilla O es isomorfo al
anillo local Ap.
(b) Para cualquier elemento f ∈ A, el anillo O(D(f)) es isomorfo a el anillo local Af.
(c) En particular, Γ(SpecA,O)∼=A.
Demostraci´on. (a) Primero definimos un homomorfismo de Op aAp
man-dando cualquier secci´on local s en una vecindad de p a su valor s(p) ∈ Ap,
esto nos da un homomorfismo ϕ bien definido de Op a Ap. El mapeo ϕ es
suprayectivo por que cualquier elemento de Ap puede ser representado
co-mo un cociente a/f con a, f ∈ A, f /∈ p. Entonces D(f) ser´a una vecindad abierta de p y a/f define una secci´on de O sobre D(f) cuyo valor en p es el elemento dado. Para demostrar que ϕ es inyectivo, sea U una vecindad de p y sean s, t ∈ O(U) elementos que tienen el mismo valor s(p) = t(p) en p, reduciendo a U si fuera necesario, podemos suponer que s = a/f y t = b/g en U donde a, b, f, g ∈ A y f, g /∈ p. Como a/f y b/g tienen la
misma imagen en Ap se sigue de la definici´on de localizaci´on que existe un
h /∈ p tal que h(ga−f b) = 0 en A. Por lo tanto a/f = b/g en todo anillo localAq tal que f, g, h /∈q, pero el conjunto de tales qes el conjunto abierto
D(f)∩D(g)∩D(h) que contiene ap, por lo tanto s=t en toda vecindad de
p, as´ı tienen el mismo tallo en p. Por lo tanto ϕ es un isomorfismo, lo cual prueba (a).
Para (b)y (c), notemos que (c) es un caso especial de (b) cuando f = 1 y D(f) es todo el espacio. As´ı que es suficiente probar (b). Definimos un ho-momorfismo ψ : Af → O(D(f)) mandando a/fn a la secci´on s ∈ O(D(f))
la cual asigna a cada p la imagen dea/fn en A
p.
Primero mostramos que ψ es inyectivo. Si ψ(a/fn) = ψ(b/fm), entonces
para cada p ∈ D(f), a/fn y b/fm tiene la misma imagen en Ap, por lo
que existe un elemento h /∈ p tal que h(fma −fnb) = 0 en A. Sea a el
ideal anulador de fma −fnb, entonces h ∈ a y h /∈ p, esto se tiene para
cualquierp∈D(f). As´ı podemos concluir queV(a)∩D(f) =∅, por lo tanto V(a) ⊆ V(f) y por el lema 1 (c), se tiene que f ∈ √a, luego fl ∈ a para
algunal, as´ıfl(fma−fnb) = 0 lo cual muestra quea/fn =b/fm enA f, por
lo tanto ψ es inyectivo.
La parte dif´ıcil es probar que ψ es suprayectivo. Sea s∈ O(D(f)), entonces por definici´on deO, podemos cubrir a D(f) con conjuntos abiertosVi en los
cuales s est´a representado por un cociente ai/gi con gi ∈/p para todo p∈Vi,
en otras palabras Vi ⊆D(gi). Ahora los conjuntos abiertos de la forma D(h)
forman una base para la topolog´ıa, as´ı podemos suponer que Vi = D(hi)
para alg´un hi. Como D(hi) ⊆ D(gi), tenemos que V((hi)) ⊇ V((gi)), por
tanto por el lema 1(c), p(hi) ⊆
√
gi y en particular, hni ∈ (gi) para alg´un
n. As´ıhn
i = cgi y entonces ai/gi = cai/hni. Reemplazando hi por hni (pues
D(hi) = D(hni)) y ai por cai, podemos suponer que D(f) est´a cubierto por
subconjuntos abiertos D(hi) y ques est´a representado por ai/hi en D(hi).
Ahora observemos que D(f) puede ser cubierto por un n´umero finito de D(hi). En efecto, D(f) ⊆ SD(hi) si y s´olo si V((f)) ⊇ TV((hi)) =
V(P
(hi)). Por el lema 1(c), esto es equivalente a pedir que f ∈ pP(hi),
´
o fn ∈P
(hi) para alg´unn. Esto significa que fn puede ser expresado como
una suma finita fn =P
bihi, bi ∈ A. Por lo tanto un subconjunto finito de
hi puede ser elegido, as´ı de ahora en adelante fijaremos un conjunto finito
h1, . . . , hr tal que D(f)⊆D(h1)∪ . . . ∪D(hr).
Para el siguiente paso, notemos que en D(hi)∩D(hj) = D(hihj)) tenemos
dos elementos de Ahihj, llam´emosles ai/hi y aj/hj que representan a s. Por la inyectividad de ψ probada anteriormente, aplicada a D(hihj), deberiamos
tener que ai/hi =aj/hj enAhihj. Por lo tanto para alg´un n, (hihj)n = (hjai−hiaj) = 0
Como existe un n´umero finito de ´ındices involucrados, podemos elegir n su-ficientemente grande que funcione para toda i, j a la vez. Reescribimos esta ecuaci´on como
hnj+1(hn
iai)−hni+1(hnjaj) = 0
Reemplazando cadahiporhni+1 yai porhniai. Entonces todav´ıa tenemos que
s esta representado en D(hi) por ai/hi y adem´as tenemos que hjai = hiaj
para toda i, j.
Ahora escribimos fn = P
bihi lo cual es posible para alg´un n ya que los
D(hi) cubren a D(f). Seaa =Pbiai, entonces para cada j tenemos
hja= P ibiaihj = P ibihiaj =f na j
Esto nos dice que a/fn=aj/hj enD(hj). As´ıψ(a/fn) =s en todas partes,
lo cual muestra que ψ es suprayectivo y por lo tanto un isomorfismo.
Definici´on 2.10 Un espacio anillado es el par (X,OX) que consiste de un
espacio topol´ogico X y una gavilla de anillos OX en X. Un morfismo de
espacios anillados de (X,OX) a (Y,OY) es el par (f, f#) que consiste de
un mapeo continuo f : X → Y y un mapeo f# : OY → f∗OX de gavillas
de anillos en Y. El espacio anillado (X,OX) se llama espacio localmente
anillado si para cada punto P ∈X, el tallo OX,P es un anillo local.
Un morfismo de espacios localmente anillados es un morfismo (f, f#) de
espacios anillados tal que para cada punto P ∈X, el mapeo inducido (v´ease m´as adelante) de anillos locales fP# : OY,f(P) → OX,P es un homomorfismo
local de anillos locales. Explicamos un poco esta ´ultima condici´on: dado un punto P ∈ X, el morfismo de gavillas f# : OY → f∗OX induce un
homo-morfismo de anillos OY(V)→ OX(f−1(V)) para cualquier conjunto abierto
de Y. Como V abarca todas las vecindades abiertas de f(P), f−1(V) abarca
un subconjunto de las vecindades de P.
Tomando l´ımite directo obtenemos un mapeo OY,f(P) = l´ım −−→ V OY(V)→ l´ım −−→ V OX(f−1(V)),
y este ´utimo l´ımite mapea a los tallos OX,P, por lo tanto tenemos un
homomorfismo inducido fP# : OY,f(P) → OX,P. Requerimos que ´este sea un
homomorfismo local.
SiAyB son anillos locales con ideales maximalesmAymB respectivamente,
un homomorfismo ϕ :A→B es llamado homomorfismo local siϕ−1(m
B) =
mA.
Un isomorf ismo de espacios localmente anillados es un morfismo en el cual ambos lados tienen inverso. Por lo tanto un morfismo (f, f#) es un
isomorfismo si y s´olo sif es un homeomorfismo de espacios topol´ogicos yf# es un isomorfismo de gavillas.
Proposici´on 2.5 (a) SiAes un anillo, entonces(Spec A,O)es un espacio localmente anillado.
(b) Si ϕ : A → B es un homorfismo de anillos, entonces ϕ induce un morfismo de espacios localmente anillados
(f, f#) : (Spec B,OSpec B)→(Spec A,OSpec A).
(c) SiAyB son anillos, entonces cualquier morfismo de espacios localmente anillados deSpec B a Spec A est´a inducido por un homomorfismo de anillos
ϕ :A→B como en (b).
Demostraci´on.
(a) Esto se sigue de la proposici´on 1.4 (a).
(b) Dado un morfismo ϕ : A → B, definimos un mapeo f : Spec B →
Spec A por f(p) = ϕ−1(p) para cualquier p ∈ Spec B. Si a es un ideal de
A, entonces f−1(V(a)) = {p ∈ Spec B | ϕ−1(p) ⊇ a} = {p ∈ Spec B |
p ⊇ ϕ(a)} = V(ϕ(a)), por lo tanto f es continua. Para p ∈ Spec B podemos localizar ϕ y obtener un homomorfismo local de anillos locales, es decir ϕp : Aϕ−1(p) → Bp. Si a/g ∈ Aϕ−1(p) entonces g /∈ ϕ−1(p) luego ϕ(g) ∈/ p, as´ıϕp(ag) = ϕϕ((ag)). Ahora damos un mapeo f#(V) : OSpecA(V) →
OSpecB(f−1(V)) para cualquier subconjunto abierto V deSpec A como sigue
{s :V →a p∈V Ap |s(p)∈Ap} f# −−−→ {t :f−1(V)→ a p∈f−1(V) Bp |t(p)∈Bp}
f#(s)(p) = ϕ
p(s(f(p))) = ϕp(s(ϕ−1(p))) y es f´acil mostrar que f#
con-muta con los mapeos restricci´on por la naturaleza local de OSpecA y OSpecB.
Por lo tanto f# es un morfismo de gavillas y f# : OSpec A,f(p) → OSpec B,p
en los tallos, va a ser un homomorfismo local porque ϕp : Aϕ−1(p) → Bp es un homomorfismo local, as´ı (f, f#) es un morfismo de espacios localmente
anillados.
(c) Supongamos que tenemos un morfismo de espacios localmente anilla-dos (f, f#) de Spec B a Spec A. Tomando como abierto al espacio total
Spec A tenemos que f# :O
SpecA(Spec A)→f∗OSpecB(Spec A), luego por la
proposici´on 1.4 (c), estos anillos son A y B respectivamente, as´ı tenemos un homomorfismo ϕ: A→B. Para cualquierp∈ Spec B tenemos inducido un homormorfismo local en los tallos que hace el siguiente diagrama conmutativo
A B OSpecA,f(p) =Af(p) OSpecB,p =Bp -ϕ ? ? -fp#
de donde seguimos que ϕ−1(p) = f(p) lo que muestra que f coincide con el mapeoSpec B→Spec Ainducido porϕ, ahora es inmediato quef#tambi´en
es inducida porϕ, as´ı que el morfismo (f, f#) de espacios localmente anillados
en efecto provienen de el homomorfismo de anillos ϕ.
Definici´on 2.11 Un esquema af´ın es un espacio localmente anillado(X,OX)
el cual es isomorfo (como espacio localmente anillado) al espectro de alg´un anillo.
Definici´on 2.12 Unesquemaes un espacio localmente anillado(X,OX)en
el cual todo punto tiene una vecindad abierta U tal que el espacio topol´ogico
U, junto con la gavilla restringidaOX|U, es un esquema af´ın. Llamamos a X
el espacio topol´ogico fundamental del esquema (X,OX) y OX su estructura
de gavilla. Por abuso de notaci´on escribiremos a menudo X para denotar al esquema (X,OX). Si requerimos referirnos al espacio topol´ogico fundamental
Definici´on 2.13 Un morfismo de esquemas es un morfismo como espacios localmente anillados. Un isomorfismo es un morfismo en el que ambos lados tienen inverso.
Ejemplo 1 Si k es un campo, Spec k es un esquema af´ın cuyo espacio topol´ogico consiste de un punto, ya que el ´unico ideal primo es el ideal gene-rado por el (0), y la estructura de gavilla consiste de el campo k.
Ejemplo 2 Si R es un anillo de valuaci´on discreta, entonces T = Spec R
es un esquema af´ın cuyo espacio topol´ogico consiste de dos puntos, ya que el ideal (0) y el ideal maximal son los ´unicos ideales primos. El punto (m) es cerrado con anillo local R; y el otro punto (0) es abierto y denso, con anillo local igual a K.
Ejemplo 3 Si k es un campo, definimos la linea af´ın sobre k, A1
k, como
Spec k[x]. k[x]tiene dos tipos de ideales primos: (0) y(f(x)), donde f es un polinomio irreducible. Por lo tanto Spec k[x] tiene un punto cerrado por cada polinomio m´onico irreducible y un punto(0) cuya clausura es todo Spec k[x], tal punto ser´a llamado punto gen´erico. Si suponemos que k es algebraica-mente cerrado, entonces los puntos cerrados son de la forma(x−a)llamamos a este el punto x=a, luegoA1
k es s´olo el ejeX junto con un punto gen´erico.
El tallo de OA1
k en el punto (x−a) es:
k[x](x−a) ={fg((xx)) |f, g∈k[x]y g(a)6= 0}.
El tallo en (0) es k(x), el cual es llamado campo de funciones.
Ejemplo 4 El Spec Z. Z es dominio de ideales principales y Spec Z es usualmente visto como una linea.
Existe un punto cerrado por cada n´umero primo adem´as de un punto gen´erico (0). El tallo en (p) es Z(p) y en (0) es Q, as´ıQ el campo de
fun-ciones de Spec Z. Los conjuntos abiertos de Spec Z se obtienen quitando un n´umero finito de n´umeros primos. Si m = Q
pi, entonces los conjuntos
Γ(Spec(Z)m,OSpecZ) ={
a
mk | a ∈ Z, k ≥0}.
Los tallosOx en un puntoxsonZ/2Z,Z/3Z, . . . ,Q, tenemos cada campo
primo exactamente una vez.
Ejemplo 5 Sea k campo algebraicamente cerrado, definimos el plano af´ın como A2
k =Spec k[x, y]. Tenemos puntos cerrados que provienen de los
ide-ales maximide-ales(x−a, y−b), los cuales corresponden a puntos (a, b)del plano usual. Adem´as de los puntos cerrados, existe un punto gen´erico ξ que corres-ponde al ideal cero de k[x, y] cuya clausura es todo el espacio. Tambi´en para cada polinomio irreducible f(x, y), existe un punto η correspondiente al ideal
(f(x, y)), cuya clausura consiste de η y de todos los puntos cerrados (c, d)
para los cuales f(c, d) = 0. Decimos que η es un punto gen´erico de la curva
f(x, y) = 0.
Ahora definimos una importante clase de esquemas construidos a partir de anillos graduados los cuales son an´alogos a las variedades proyectivas.
Sea S un anillo graduado S =L
d>0Sd, denotamos por S+ al ideal
irre-levante L
d>0Sd.
Definimos al conjunto P roj S como el conjunto de todos los ideales primos homog´eneosp que no contengan todos losS+. Siaes un ideal homog´eneo de
S, definimos el subconjunto V(a) ={p∈P roj S |p⊇a}.
Lema 4 (a) Si a yb son dos ideales homog´eneos en S, entoncesV(ab) = V(a)S
V(b).
(b) Si {ai} es cualquier familia de ideales homog´eneos de S, entonces
V(P
ai) = TV(ai).
Demostraci´on.Las pruebas son las mismas como en el lema 1, tomando en cuenta el hecho que un ideal homog´eneo p es primo si y s´olo si para cualesquiera dos elementos homog´eneos a, b∈S, ab∈p implica que a∈p o b ∈p.
Por el lema anterior podemos definir una topolog´ıa en el conjuntoP roj S tomando los subconjuntos cerrados como los subconjuntos de la formaV(a). Lo siguiente es definir una gavilla de anillos O en P roj S. Para cada p ∈
P roj S, consideramos el anillo S(p) de elementos de grado cero en el anillo
localizado T−1S, donde T es un conjunto multiplicativamente cerrado que
consiste de todos los elementos homog´eneos de S que no est´an en p. Para cualquier subconjunto abiertoU ⊂P roj S, definimosO(U) como el conjunto de funciones s :U →`
S(p) tal que para cada p∈U,s(p)∈S(p) y tal que s
es localmente un cociente de elementos deS, es decir para cadap∈U, existe una vecindad V de p contenida en U y elementos homog´eneos a, f ∈ S, del mismo grado, tales que para todo q∈V, f /∈q y s(q) =a/f enS(q). Ahora
es claro que O es pregavilla de anillos con los mapeos restricci´on usuales y podemos demostrar de manera an´aloga a la proposici´on 2.3 que O es gavilla. Definici´on 2.14 Si S es cualquier anillo graduado, definimos (P roj S,O)
como el espacio topol´ogico junto con la gavilla de anillos construida anteri-ormente.
Proposici´on 2.6 Sea S un anillo graduado.
(a) Para cualquierp∈P roj S, el tallo Op es isomorfo a el anillo localS(p).
(b) Para cualquier elemento homog´eneo f ∈ S+, sea D+ ={p ∈ P roj S |
abiertos cubren a P roj S y para tal conjunto abierto , tenemos un isomor-fismo de espacios localmente anillados
(D+(f),O |D+(f))∼=Spec S(f),
donde S(f) es el subanillo de los elementos de grado cero en el anillo local Sf.
(c) P roj S es un esquema.
Demostraci´on. Notemos primero que por (a) P roj S es un espacio local-mente anillado y por (b) esta cubierto por esquemas abiertos afines, As´ı (c) es una consecuencia de (a) y (b).
La prueba de (a) es pr´acticamente id´entica a la prueba de la proposici´on (1.4 a).
Para probar (b), primero notemos que D+(f) =P roj S −V(f), por lo que
es abierto. Como los elementos de P roj S son todos aquellos ideales primos homog´eneos que no contengan todos los S+, deducimos que los conjuntos
abiertos D+(f) para los elementos homog´enos f ∈ S+ cubren al espacio
topol´ogico P roj S. Ahora fijemos un elemento homog´eneof ∈S+.
Definire-mos un isomorfismo (ϕ, ϕ#) de espacios localmente anillados del
subconjun-to abiersubconjun-to D+(f) al Spec S(f). Existe un homomorfismo natural de anillos
l :S →Sf y S(f) un subanillo de Sf. Para cualquier ideal homog´eneoa⊆S,
seaϕ(a) = (aSf)∩S(f). En particular sip∈D+(f), entoncesϕ(p)∈Spec S(f)
es decir mostraremos que (pSf)∩S(f) es ideal primo de S(f), si a, b ∈ S(f)
y son tales que ab ∈ (pSf)∩S(f) entonces tenemos que ab ∈ (pSf) y como
(pSf) es ideal primo de Sf, tenemos que a ∈(pSf) ob ∈(pSf) digamos que
a∈(pSf) entonces a∈(pSf)∩S(f). Por lo tanto (pSf)∩S(f) es ideal primo
de Spec S(f).
Es f´acil mostrar que ϕ es suprayectiva, para mostrar que es inyectiva supo-nemos que ϕ(p) = ϕ(q), entonces para todo b∈p tenemos quebrf−(r deg b) ∈
(pSf)∩S(f) ⊆p0Sf luego br ∈p0 y como es ideal primo tenemos queb ∈p y
por lo tanto p⊆ p0 de manera an´aloga obtenemos que p0 ⊆p as´ıp=p0, por lo tanto ϕ es inyectiva. Adem´as si a es un ideal homog´eneo de S, entonces
p ⊇a si y s´olo si ϕ(p)⊇ϕ(a), es decirp ∈V(a) si y s´olo si ϕ(p)∈V(ϕ(a)) as´ıϕ es continua. Por lo visto anteriormente ϕ es un homeomorfismo. Notemos tamb´ıen que paraϕ(p)∈Spec S(f)el talloOSpec S(f),ϕ(p) ∼= (S(f))ϕ(p) y el anillo local S(p) es naturalmente isomorfo a (S(f))ϕ(p).
Estos isomorfimos y el homomorfismo ϕ inducen un mapeo natural de gavillas: