, siendo A t la matriz traspuesta de A. 5. [2013] [EXT-A] a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 1 2.

1. [2014] [EXT-A] a) Resolver la siguiente ecuación matricial X·A = B-C, siendo A = 5 2

3 1 , B = 2 13 -2 y C = 1 -11 2 .

b) Sean F₁, F₂ y F₃ las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo detereminante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3F₁-F₃, F₂ y 2F₃.

2. [2014] [EXT-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales mx-y = 1 -x+my = 1-2m.

a) Discutir el sistema según los valores de m.

b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x = 2.

3. [2014] [JUN-A] Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: mx+y = 1

x+my = m 2mx+2y = m+1

4. [2014] [JUN-B] Sea la matriz A = a a+1 a+2a a+3 a+4 a a+5 a+6 .

a) Discutir su rango en función de los valores de a.

b) Para a = 1, resolver la ecuación matricial AtX = 00 0

, siendo At la matriz traspuesta de A.

5. [2013] [EXT-A] a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: 3x-y+mz = 0x+y = m mx-3y+mz = -2m

b) Resolverlo para m = 0.

6. [2013] [EXT-B] Sea la matriz M = 0 2 11 1 1 -1 -2 -2

.

a) Calcular M-1.

b) Calcular la matriz X que cumple X·M + M = 2M2.

7. [2013] [JUN-A] Sean las matrices A = 21 a , B = -13 -4 y C = 21 1 .

a) Calcular, cuando sea posible, las matrices C·Bt, Bt·C, B·C.

b) Hallar a para que el sistema x·A + y·B = 4·C de tres ecuaciones y dos incónitas x e y, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de a.

8. [2013] [JUN-B] Sea la matriz A = 0 -2 0a -2 0 0 1 a .

a) ¿Para qué valores de a la matriz A es inversible?

b) Estudiar el rango según los valores de a.

c) Hallar a para que se cumpla A-1 = 1 4A.

9. [2012] [EXT-A] Se considera el sistema 2x+y+az = 0x+ay-z = 2 x+y-z = a+1

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede.

10. [2012] [EXT-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A = 1 a -11 0 -1 3 a a .

b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C₁ y C₂ y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C₂ y C₁-C₂, calcular el determinante de la matriz BD-1.

11. [2012] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones

ax+y+z = (a-1)(a+2) x+ay+z = (a-1)2(a+2) x+y+az = (a-1)3(a+2) a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

b) Resolver el sistema para a = 1. c) Resolver el sistema para a = -2.

12. [2012] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I.

b) Hallar todas las matrices M de la forma a b

b a que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I.

13. [2011] [EXT-A] a) Averiguar para qué valor de m la matriz A = -1 0 1-1 1 -m 0 m -2

no tiene inversa. b) Calcular la matriz inversa de A para m = 0.

c) sabemos que el determinate de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinate de la matriz 2·A vale -16. ¿Cuál es el orden de la matriz A?

14. [2011] [EXT-B] Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales x+my = mmx+y = 2 x+y = 2

.

15. [2011] [JUN-A] a) Calcular el rango de la matriz A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

.

b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3x3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinate de 5B y el de B2.

16. [2011] [JUN-B] Discutir y resolver, cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: x+y+z = 1

x-y-z = 0 3x+my+z = m+1

.

17. [2010] [EXT-A] Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: x+2y+z = 2ax+y-z = 1 x+3y-z = 0 .

18. [2010] [EXT-B] a) Si se sabe que el determinante

a₁ b₁ c₁

a₁ 2a₂ 3a₃ b₁ 2b₂ 3b₃ c₁ 2c₂ 3c₃ y a₁ b₁ c₁ a₂+a₃ b₂+b₃ c₂+c₃ a₂ b₂ c₂

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A-1 = At (At = traspuesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3?

19. [2010] [JUN-A] a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B2 = 16I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B.

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación 0 1

0 1 X = 0 0 10 0 2 .

20. [2010] [JUN-B] Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: 2x - y + az = 1+ax - ay + z = 1 x + y + 3z = a a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.

b) Resolver el sistema para a = 1.

21. [2009] [EXT-A] Resolver la ecuación: 2x -x -1-x-x -1 2x -1 2x 0

= 0.

22. [2009] [EXT-B] Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz A = 2-1 - 1 1 -1 1 -1 2-

.

23. [2009] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det (-2)A = 32. Calcular el tamaño de la matriz A.

24. [2009] [JUN-A] Calcular la matriz X que verifica AX = BBt, donde A = 2 1

3 -2 y B = 0 1 03 -1 2 , siendo Bt la matriz traspuesta de B.

25. [2009] [JUN-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales: x-y = 5y+z =  x-2z = 3

. Se pide: a) Discutirlo en función del parámetro .

b) Resolverlo cuando sea posible.

26. [2009] [JUN-B] Resolver la ecuación: x+1 xx x+1 xx

x x x+1

= 0.

27. [2008] [EXT-A] Sea a un parámetro real. Se considera el sistema x+ay+z = 2+a(1-a)x+y+2z = 1 ax-y-z = 1-a a) Discutir el sistema en función del valor de a.

b) Resolver el sistema para a = 0. c) Resolver el sistema para a = 1.

28. [2008] [EXT-A] Sea A una matriz 3x3 de columnas C₁, C₂ y C₃ (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C₁+C₂, 2C₁+3C₃ y C₂ (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A.

29. [2008] [EXT-B] Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: ax+y = 0 2x+(a-1)y = 0

30. [2008] [JUN-A] Sean las matrices B = 5 3

3 2 y C = 13 88 5 . Calcular la matriz A, sabiendo que A2 = B y A3 = C.

31. [2008] [JUN-B] Se considera el sistema

x-y+z = -1 y+z = 2a x+2z = a2

donde a es un parámetro real. a) Discutir el sistema en función del valor de a.

b) Resolver el sistema para a = 0. c) Resolver el sistema para a = 1.

32. [2008] [JUN-B] Calcular el rango de la matriz A =

1 3 -1 -5 -1 1 -3 -3 2 4 0 -6 3 2 4 -1

.

33. [2007] [EXT-A] Se considera el sistema x+y+az = 4ax+y-z = 0 2x+2y-z = 2

, donde a es un parámetro real. a) Discutir el sistema en función del valor de a.

b) Resolver el sistema para a = 1.

34. [2007] [EXT-A] Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B = 2 1

0 1 . Hallar X sabiendo que BX+B = B2+I.

35. [2007] [EXT-B] Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz A = 1+m 2 32 1 m -2 -1 2 .

36. [2007] [JUN-A] Hallar para qué valores de a es inversible la matriz A = a 4+3a

1 a y calcular la inversa para a = 0.

37. [2007] [JUN-B] Sean las matrices A = 21 3 , B = 72 -2 , C = 0 0 00 1 0 0 0 1 , D = 02 2 y E = 25 3 . a) Hallar la matriz ABt, donde Bt indica la matriz traspuesta de B. ¿Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AtD.

c) Calcular M = xy z

que verifique la ecuación ABt+C M = E.

38. [2006] [EXT-A] Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de los coeficientes es A = 1 1 11 m m

2 m+1 2 .

sistema cuando sea posible.

40. [2006] [EXT-B] Dada la matriz P = 2 a+1 01 2 a 3 4 5

, determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P.

41. [2006] [JUN-A] Hállense las matrices A cuadradas, de orden 2, que verifican la igualdad: A 1 0

1 1 = 1 01 1 A.

42. [2006] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales (1+a)y+z = 4x+2y+z = 3 x+2y+az = 4 . a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a.

b) Resuélvase el sistema para a = 2.

43. [2006] [JUN-B] Dadas las matrices P = -1 0 11 1 0 -1 -1 1

y A = -1 0 00 -1 0 0 0 2

, hállese razonadamente la matriz B sabiendo que BP = A.

44. [2005] [EXT-A] Sea la matriz A = a b

0 c . Calcúlese el determinante de A sabiendo que A2-2A+Id = O, donde Id es la matriz identidad y O la matriz nula.

45. [2005] [EXT-A] Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz 2 1 31 2 1 0 1 a .

46. [2005] [EXT-B] Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

kx+y+z = 1 x+ky+z = k x+y+kz = k2 (a) Discútase según los valores de k e interprétese gemétricamente el resultado.

(b) Resuélvase el sistema para k = 2.

47. [2005] [EXT-B] Sea A = 1 2

2 3 . Determínense los valores de m para los cuales A+mId no es invertible (donde Id denota la matriz identidad).

48. [2005] [JUN-A] (a) Discútase el sistema 2x+y+az = 0x+ay-z = 2 3x+(a+1)y-z = a-1

, en función del valor de a. (b) Para el valor a = 1, hállese, si procede, la solución del sistema.

49. [2005] [JUN-A] Sea A una matriz 2x2 de columnas C₁, C₂ y determinante 4. Sea B otra matriz 2x2 de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C₁+C₂ y 3C₂, calcúlese el determinante de la matriz B·C-1.

50. [2005] [JUN-B] Dadas las matrices A = 1 0 01 0 0 1 0 0

, C = 2 1 01 0 0 3 2 2

51. [2004] [EXT-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 43A. Calcúlese el determinante de la matriz B.

52. [2004] [EXT-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales x+2y+3z = 1x+ay+3z = 2 2x+(2+a)y+6z = 3 . a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es incompatible?

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es compatible determinado? c) Resúelvase el sistema para a = 0.

53. [2004] [EXT-B] Dadas las matrices P = -1 0 11 1 1 0 -1 1

y A = -1 0 00 -1 0 0 0 2

, hállese la matriz B sabiendo que B-1PB = A.

54. [2004] [JUN-A] Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C₁, C₂ y C₃ y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son -C₂, C₃+C₂, 3C₁. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.

55. [2004] [JUN-B] Se considera el sistema x+y+x+y+z = z = 1 x+y+z = 1 a) Discútase según los valores del parámetro . b) Resuélvase para  = -3.

c) Resuélvase para  = 1.

56. [2004] [JUN-B] Dada la matriz B = 1 3

2 -1

-1 2 , hállese una matriz X que verifique la ecuación XB+B = B-1.

57. [2003] [EXT-A] a) Discutir en función de los valores de m: 2x-3y = 0x-y+z = 0 x+2y+mz = m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anteiror.

58. [2003] [EXT-A] Se consideran las matrices A = 1 2 m 1 -1 -1 y B =

1 3 m 0 0 2

, donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible.

59. [2003] [EXT-B] Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar que A = B?

60. [2003] [JUN-A] Estudiar el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro m: A = 1 1 11 2 2 1 2 m

.

61. [2003] [JUN-B] Dadas las matrices A = -1 0 12 1 0 3 2 -1

y B = 1 0 -11 1 1 -2 0 0

, se defina la matriz C = A+mB. a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3.

62. [2003] [JUN-B] Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A+At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta (At es la matriz traspuesta de A).

Soluciones 1. a) 5 -8

-14 24 b) 30 2. m=-1: inc; m=1: c.i.; m{-1,1}: c.d. b) m=1: (2,1); m = -32: (2,-4) 3. m=1: c.i. (1-k,k); m1: inc. 4. a) 2, a b) (k,-2k,k) 5. a) m{0,1}: c.i.; m{0,1}: c.d. b) (0,0,k) 6. a) 2 0 11 1 1 -2 -1 -2 b) 0 3 21 2 2 -2 -4 -5 7. a) CBt₌ 3 -1 -4_{6 -2 -8} 3 -1 -4 ; Bt_{C = -3 b) -1; 28}

5,-125 8. a) a0 b) a=0: 1; a0: 3 c) 2 9. a) a=-2: inc; a = 1: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (-2-2k,4+3k,k) 10. a) a{-3,0}: 2; a{-3,0}: 3 b) -1 10 11. a) a{-2,1}: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 12. a) 13(M-2I) b) -1 00 -1 , 3 00 3 , 1 2 2 1 , 1 -2-2 1 13. a) -2,1 b) 12 -2 0 -1 -2 2 -1 0 0 -1 c) 4 14. m = 0: c.d. (02); m  0: inc. 15. a) 2 b) 1000, 16 16. m = 1: c.i. 1 2,1-2k2 ,k ; m  1: c.d. 12,1,-12 17. a = 15: inc; a1 5: c.d.; 9

5a-1,2a-45a-1,6a-35a-1 18. a) 30, -5 b) |A| = 1 19. a) 64 b) a b c0 0 1 20. a) a{0,5}: inc; a{0,5}: c.d. b) (1,0,0) 21. 1 22. {-1,2,3}: 2; {-1,2,3}: 3 23. 5 24. 1 7 1 12 5 -31 25. = -12: inc;  -12: c.d. 12 +3 2+1, 2 -2 2+1, 3  2+1 26. -1

3 27. a) a = -1: inc; a = : comp. ind; a{-1,0}: comp.det b) (2-k,-1-k,k) c) 32,2,-12 28. -3A 29. a{-1,2}: comp. ind: a{-1,2}: comp. det. 30. 2 1

1 1 31. a) a = 1: comp. ind; a  1: incomp. b) inc. c) (1-2k,2-k,k) 32. 2 33. a) a = -12: inc. ; a = 1: c.i. ; a - 12,1 : c.d. b) (k,2-k,2) k 34. 1 2 3 1 0 2 35. m{-2,3}: 2 ; m{-2,3}: 3 36. a{-1,4} ; 14 0 4 1 0 37. a) 7 2 -2 14 4 -4 21 6 -6 , no b) (10) , 1 c) -7/61 -3 38. m=1: c.i. m1: c.d. 39. k = 0: c.d. 0,0 ; k = 3: c.d. 3,-3 ; k = -3: c.d. -3

5,-35 ; k {-3,0,3}: inc 40. cualquier valor 41. a 0 c a ; a,c 42. a) a{-1,1}: inc. a{-1,1}: c.d. b) 0,1,1 43. -1 1 -1 0 -1 1 2 0 2 44. 1 45. a = -1

3: 2; a  -13: 3 46. (a) k = 1: comp.ind. planos coincidentes ; k = -2: incomp. planos que se cortan dos a dos ; k  {-2,1}: comp. det. los planos se cortan en un punto. (b) -3

4, 14,94 47. -2 5 48. (a) a 0, 12 : incomp; a 0, 12 : comp.det. (b) -6,10,2 49. 1 6 50. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 51. 9 52. a) 2 b) no c) 2-3k,-1 2,k 53. 0 1 1 1 0 1 1 1 0 54. -1

6 55. a)  = 1: comp. ind;  1: comp. det. b) (-1,-1,-1) c) (k,m,1-k-m) 56. 4 4

4 4 57. m = 7: inc. ; m  7: c.d. ; -3mm-7,-2mm-7, mm-7 58. m  -2, 1